De veronderstelling die we maken bij het modelleren van een proces met constante eigenwaarde k is dat we anticiperen dat de intensiteit (dus telbaar) verandert van het verschil dat een verschil maakt (en dat dus zelf niet verandert) en dat de verandering gemodelleerd wordt met een factor k die een nieuwe constante is naast de constante (x-x₀). Maar daardoor hebben we een nieuwe entiteit gecreëerd, namelijk de soort k(x-x₀). Deze soort is immers terug telbaar en hierin is het product k(x-x₀) de factor die niet verandert en die dus de nieuwe entiteit karakteriseert. Op die manier hebben we dus een a priori onbeperkt aantal verschillende nieuwe entiteiten gecreëerd vanuit het niets, allemaal door de entiteit k_i(x-x₀), een uitgebreid getalproduct, verbonden aan een bepaalde stap die allemaal een intensiteit zouden kunnen krijgen die we als r_ik_i(x-x₀) zouden kunnen noteren. We moeten dat dus heel precies onderzoeken. De karakteristieke factor k_i met 0<k_i<1 kunnen we ook voorstellen door m_i^-1 met 0<m_i<∞ en de m_i natuurlijke getallen. De priemgetallen die de soorten getallen zijn zullen hier dus ook een rol spelen om de relaties te onderzoeken tussen de nieuwe entiteiten die door m_i^-1 gekarakteriseerd worden. Met m_i^-1 kunnen we ook een tralie opspannen en producten m_i krijgen daarin de betekenis van een simultaneïteit.

We merken nu op dat het aspect k(x-x₀) op een bepaalde stap kan geïnterpreteerd worden als “k van de constante (x-x₀)” maar evenzeer als “(x-x₀) van de constante k”, beide factoren, een verschil met nul en een verschil met x₀ kunnen dezelfde rol spelen (intensiteit of eenheid).

Het gevolg is dat elke entiteit k(x-x₀) dus kan onderscheiden worden door een andere relevante stap. Die stap moeten we niet interpreteren als andere stappen uitsluitend (bijvoorbeeld in de tijd of in de ruimte) zoals we dat kunnen doen voor toestanden. Het kan een niveau van beschrijving zijn (een “schaal”) zoals we dat gebruiken voor gelijk welke welgevormde haakuitdrukking H: deze is in één onderscheiding uit te drukken (H ten opzichte van <H>), of in twee onderscheidingen (H als welgevormde uitdrukking in a en b) enz… en de niveaus die hierdoor ontstaan zijn fractaal in elkaar ingebed (bijvoorbeeld: enkel bij de oneven niveaus in een tralie zijn alle onderscheidingen relevant die de tralie opspannen). Met een concreet voorbeeld: als we het gedrag van een rood bolletje dat zich over tafel beweegt willen beschrijven dan kunnen we dat door de entiteit als bolletje te beschrijven en moeten we dat niet als rood bolletje beschrijven, de kleur zal in het gedrag als invariant verondersteld worden, alhoewel het natuurlijk kan dat de waargenomen kleur door veranderende lichtinval wel verandert.

Daarenboven moeten we ons niet laten misleiden door de symbolen die gebruikt zijn: datgene dat we kunnen veronderstellen van bijvoorbeeld eenheden (x±1) kunnen we natuurlijk ook veronderstellen van eenheden (k±1), beide factoren van de vorm (x-x₀)(1±k)ⁿ kunnen immers dezelfde rol spelen weliswaar enerzijds met een gewaardeerde begintoestand (namelijk x₀ voor x en verschillend van 0) of met de begintoestand 0 voor k, waarbij we voor k en x hetzelfde symbool zouden kunnen inzetten. De mogelijke niveaus die door k(x-x₀) zullen beschreven worden, kunnen we dus enerzijds onderscheiden door het veranderen van de waarde van (k-0), en dan zijn het dus mogelijke niveaus van één entiteit, maar anderzijds: de mogelijke niveaus die door k(x-x₀) zullen beschreven worden, kunnen we ook onderscheiden door het veranderen van de waarde van (x-x₀) en dan zijn het dus mogelijke niveaus van één eigenwaarde. Uiteraard kunnen we dan ook de gezamenlijke niveaus onderzoeken van interagerende “eenheden met intensiteit”. Dit geldt voor alle entiteiten die in het systeem kunnen interageren en elke entiteit zou dus een andere k_i kunnen krijgen met 0<k_i<1 en de entiteiten zouden door die k_i kunnen gekarakteriseerd worden. Wanneer we de entiteiten die gekarakteriseerd worden door k_i(x-x₀) deelentiteiten (of telbare, dus totaal geordende deelaspecten, deelsystemen, deelprocessen) noemen van een spontaan proces (met eigenwaarde 1) geeft dat ons dan de mogelijkheid om te onderzoeken hoe de deelprocessen kwantitatief hun invloed zullen doen gelden binnen het totaal spontaan proces. We zouden dan ook daarbij ook nog kunnen veronderstellen dat som of product van alle k_i gelijk is aan 1.

(x-x₀)(1±k) is een commutatief product van twee termen, elk een som of verschil van een variabel getal en een vast getal. We gaan nu verder bestuderen hoe verdere producten ontstaan vanuit verschillen en daartoe starten we terug met het aanleggen van een nieuwe tabel. We illustreren het nieuw onderzoek eerst met de positieve feedback, dan met de negatieve feedback.

Positieve feedback

De eerste kolom van de tabel geeft de onderscheiden (niveau)stappen. Merk op dat dit een logisch gevolg is van het ene axioma van het haakformalisme: de werkelijkheid is een potentiële constructie, maar wat waarneembaar is, is een onderscheiding waarbij het onmogelijk is dat alles waargenomen wordt (er is voor elk waargenomen aspect een inbedding, en die is niet waargenomen, wat dus het begrip “elkaar uitsluiten” en dus onder andere tijd binnenbrengt maar alleen voor het waarnemen). De werkelijkheid kan dus op verschillende niveaus waargenomen worden die zich onderscheiden van elkaar maar daarom niet elkaar uitsluiten.

We beginnen de tabel niet bij nul maar we geven ook een aantal stappen weer waar de intensiteit niet verandert (bijvoorbeeld in “de tijd interpretatie van uitsluiting”: vroeger dan de eerste verandering van intensiteit die waarneembaar werd). De reden is dat deze de getal nul, die optreedt in de volgende kolommen, verantwoorden. De tweede kolom geeft de intensiteit van positieve feedback: bij elke stap verandert de intensiteit met een vaste waarde die een fractie is van de reeds beschikbare intensiteit op het moment van verandering. De fractie wordt gegeven door k, en dus veronderstellen we 0<k<1. De intensiteit op een bepaalde stap is dus niet anders dan een momentane intensiteit die ontstaat uit de momentane processnelheid van de entiteit (x-x₀). Die wordt gegeven door de derde kolom. Hierin staan terug sommen en we kunnen weer het verschil maken tussen twee elkaar opvolgende stappen en zo berekenen we dus dat de snelheid van de processnelheid van de entiteit (x-x₀) momentaan verandert en dat noemen we een versnelling. Met andere woorden: een versnelling is de snelheid van <<de verandering van intensiteit>>, <<de verandering van intensiteit>> die zelf niet anders is dan een processnelheid. Dit is dus een versnelling die resulteert uit de snelheid die door k gekarakteriseerd wordt en deze intensiteit is uitgerekend in de vierde kolom. Een intensiteit is waarneembaar door een verandering ervan. Een processnelheid is waarneembaar door een verandering ervan. Dat betekent ook dat we van een verandering van versnelling kunnen spreken en deze intensiteit is uitgerekend in de vijfde kolom. De verandering van versnelling zullen we interpreteren als controle. Dit komt zeer goed overeen met de intuïtieve betekenis ervan: veronderstel een spontane beweging in een potentiaalveld (gravitatie, elektrisch potentiaal, magnetisch potentiaal…). Wanneer we een doel willen bereiken dat anders is dan het doel dat we kunnen afleiden van de spontane beweging, dan moeten we de spontane versnelling (veroorzaakt door het potentiaalveld) veranderen, het proces sturen en dus controle uitvoeren. Dit betekent dat we het relevante onderscheidingen universum zullen veranderen met een laatst toegevoegde onderscheiding (we begrepen dat de tweede maal afleiden naar ℵ resulteert in <<>> en een volgende maal afleiden kunnen we interpreteren als de verandering van de grootte van het universum door de invloed van ℵ, namelijk (<<>>⊗<<>>)_ℵ).

We stellen de tabel zo gedetailleerd mogelijk voor omdat hier in de vijfde kolom iets nieuws optreedt in de vorm van een product: de procescontrole in stap 2 voor een positieve feedback komt ook overeen met een product van patronen van een negatieve feedback. Die betrokken intensiteit hebben we daarom in vet weergegeven.

Negatieve feedback

Ook in deze tabel stellen we vast dat in de vijfde kolom iets nieuws optreedt: de procescontrole in stap 2 voor een negatieve feedback komt overeen met een product van patronen van een positieve feedback. De betrokken intensiteit hebben we in vet weergegeven.

Bespreking

We hebben verondersteld dat (x-x₀) constant is, het is de entiteit die we waarnemen in n stappen zodanig dat het zin heeft te spreken over de intensiteit van de entiteit. De verandering van die intensiteit stelt ons dan in staat om te spreken over zijn “momentane snelheid”. Maar, op zijn beurt is dit terug een entiteit, namelijk k(x-x₀), aangezien we verondersteld hebben dat k constant is. En dus, zoals een mogelijke evolutie van de entiteit (x-x₀) gegeven wordt door (x-x₀)(1±k)ⁿ, zal ook een evolutie van de entiteit ±k(x-x₀) gegeven worden door ±k(x-x₀)(1±k)^m. In de tabellen zien we daar een voorbeeld van in de derde kolom met m=n-1. Een constante eigenwaarde voor de snelheid van verandering leidt tot een constante eigenwaarde voor de versnelling van de verandering, eigenwaarde die gegeven wordt door het kwadraat van de eerste eigenwaarde.

We kunnen dat als volgt interpreteren: veranderingen doen zich voor als niveaus n in een tralie, tot een bepaalde intensiteit m bereikt is waarop zich enkel nog elkaar uitsluitende toestanden kunnen bevinden van een tralie die enkel in de momentane waarneming door die éne entiteit met eigenwaarde k (agens-in-context) kan opgebouwd worden en daardoor de tralie is waarin de cumulatie te beschrijven is. De cumulatie is niet anders dan een voortzetting van een evolutie die vanuit verschillende niveaus, die simultaan aanwezig zijn in een tralie, kan geconstrueerd worden. De manier waarop we dit herkennen is de manier waarop we verschillen kunnen herkennen die we dan snelheid, versnelling, controle, controle van controle enz… noemen en met een meer algemene term: coördinatie. Dat is dus de betekenis van “evolutie” zoals we dat hier gedocumenteerd hebben: enkel vanaf een zeker niveau van complexiteit kan evolutie enkel als elkaar uitsluitende toestanden beschreven worden en dat is het gevolg van de veronderstelling van een constante eigenwaarde k.

We kunnen dat onmiddellijk uitbreiden naar hogere machten van k, dus de evolutie van de entiteit ±k(x-x₀) zal gegeven worden door ±k(x-x₀)(1±k)^p en de evolutie van de entiteit +k²(x-x₀) zal gegeven worden door k²(x-x₀)(1±k)^q. We merken dan op dat de eigenwaarde van de verandering tussen de kolommen steeds dezelfde is en van het dubbelgetal type ±1±κ:

(x-x₀)(1±k)ⁿ/±k(x-x₀)(1±k)^n-1=±(1±k)/k=±1±1/k

±k(x-x₀)(1±k)^n-1/k²(x-x₀)(1±k)^n-2=±(1±k)/k=±1±1/k

Dit dubbelgetal kunnen we dan ook interpreteren als de intensiteit van één bit in een mogelijke beschrijving van de werkelijkheid die we langs kwadraten kunnen modelleren.

Dit kunnen we ook onmiddellijk uitbreiden naar de nieuwe entiteiten die vanaf stap 2 ontstaan.

De entiteit ±k(1+k)(x±x₀) is een symmetrische variant. De entiteit ±k(1-k)(x±x₀) is een asymmetrische variant en zullen we afzonderlijk bestuderen. We zullen veronderstellen dat deze eigenwaarde een “eigen”, afzonderlijke, eigenwaarde kan hebben en we zullen de evolutie van een k(n), en dus simultaan (1-k(n)), bestuderen.

We kunnen k(n) en (1-k(n)) met 0<k<1 ook beschouwen als complementaire waarschijnlijkheden en die vinden we terug bij de studie van de entropie als maat voor relevantie.