Het vermogen hebben we gemodelleerd als de intensiteit van één toestand in een universum, en dit is de intensiteit van een ervaren toestand. Het vermogen van gelijk welke welgevormde haakuitdrukking is altijd te modelleren als een som van vier termen (“een vier-potentiaal”) en dus een som van de intensiteit van vier toestanden uit hetzelfde universum, dat zijn gekwantificeerde potentiële haakuitdrukkingen die niet simultaan ervaarbaar zijn maar waarvan er drie onvermijdelijk gebeuren als één van de vier ervaren wordt. Inderdaad: het is onvermijdelijk dat er één toestand ervaren wordt en, indien één toestand ervaren wordt, dan moeten er drie toestanden gebeuren wanneer er vier toestanden elkaar uitsluiten.

Energie hebben we gemodelleerd als cumulatie van vermogen. We moeten nu twee mogelijkheden onderscheiden: cumulatie als product en cumulatie als verhouding.

Energie als product

De cumulatie ℂ_jf_je_j is niet anders dan (f-f₀)(e-e₀)(1+k_f)^j(1+k_e)^j of dus de eenheid (f-f₀)(e-e₀) met intensiteit (1+k_f)^j(1+k_e)^j. De intensiteit is een product en een product modelleert simultaneïteit. De intensiteit kunnen we dan anders schrijven als (1+k_f+k_e+k_fk_e)^j, en dit toont een eigenwaarde k_f+k_e+k_fk_e die in het algemeen van zowel k_f als k_e afwijkt.

Speciale gevallen van relaties tussen beide eigenwaarden:

k_f+k_e+k_fk_e=-1: geen waarneming van een proces.

k_f+k_e+k_fk_e=0: evenwicht.

k_f+k_e+k_fk_e=1: spontane cumulatie. We kunnen dat concreet maken met een voorbeeld. De spontane cumulatie is niet anders dan de disjunctie k_e=(1-k_f)/(1+k_f) of k_f=(1-k_e)/(1+k_e). De verhouding (1-k_f)/(1+k_f) is altijd te schrijven als een product (1-k)(1+k) voor een k²=2k_f /(1+k_f). Dus we kunnen schrijven k_e=1-2k_f /(1+k_f) of 2k_f /(1+k_f)=1-k_e. Dit geeft de relatie tussen beide eigenwaarden die een spontane omvorming van vermogens kan modelleren. We kunnen k_e=(1-k_f)/(1+k_f) immers schrijven als k_e=rk_f voor een r=(1-k_f)/(k_f+k_f²).

k_f+k_e+k_fk_e=k_f of k_f+k_e+k_fk_e=k_e en dus k_e(1+k_f)=0 of k_f(1+k_e)=0. We bestuderen nu k_e(1+k_f)=0: stel bijvoorbeeld k_e=0 dan is k_f+k_e+k_fk_e=k_f een tautologie (k_f kan nog gelijk welke waarde hebben, en de cumulatie van de eenheid f, namelijk ℂ_jf_j, blijft doorgaan), stel k_f=-1 dan is k_f+k_e+k_fk_e=k_f niet anders dan k_e=k_e, een tautologie (k_e kan nog gelijk welke waarde hebben, en de cumulatie van de eenheid e, namelijk ℂ_je_j, blijft doorgaan).

Energie als verhouding

We moeten nu ook kunnen veronderstellen dat energie te modelleren is als een verhouding in plaats van als een product, er is immers geen fundamenteel verschil tussen beiden. We moeten dan wel kiezen wat in de noemer en wat in de teller verschijnt. Een verhouding is altijd te schrijven als een kettingbreuk. Energie als cumulatie van vermogen ℂ_jf_je_j is dan niet anders dan (f-f₀)(1+k_f)^j/(e-e₀)(1+k_e)^j of dus de eenheid (f-f₀)/(e-e₀) met intensiteit (1+k_f)^j/(1+k_e)^j en de intensiteit kunnen we dan anders schrijven als (1+(k_f-k_e)/(1+k_e))^j, waarbij (k_f-k_e)/(1+k_e) een eigenwaarde is die in het algemeen van zowel k_f als k_e afwijkt.

Speciale gevallen:

(k_f-k_e)/(1+k_e)=-1: geen waarneming van een proces, maar hieruit volgt ook k_f=-1.

(k_f-k_e)/(1+k_e)=0: evenwicht, dus k_f=k_e.

(k_f-k_e)/(1+k_e)=1: spontane cumulatie, de relatie tussen beide eigenwaarden is dan k_e=(k_f-1)/2.

(k_f-k_e)/(1+k_e)=k_e, dus (k_f-k_e)=k_e+k_e² en dus k_f=2k_e+k_e². Hieruit volgt dat 1+k_f=1+2k_e+k_e²=(1+k_e)² en hieruit volgt dat (1+k_f)^j/(1+k_e)^j=(1+k_e)^j, inderdaad de intensiteit met de eigenwaarde van e.

(k_f-k_e)/(1+k_e)=k_f, dus (k_f-k_e)=k_f+k_ek_f en -k_e=k_ek_f en dus k_f=-1. Hieruit volgt dat (1+k_f)^j/(1+k_e)^j=0 en dit betekent dat er geen proces gemodelleerd wordt met twee onderscheidingen. Inderdaad k_e kan nog steeds een waarde hebben, maar een verschil van een verschil is onwaarneembaar.

Potentiaal als verhouding van cumulaties

Laten we nu eens veronderstellen dat een potentiaal een verhouding is van de cumulatie van energie tot de cumulatie van een van de eenheden van energie. De betekenis van het potentiaal ℂ_jf_je_j/ℂ_jf_j is dan niet anders dan (f-f₀)(e-e₀)(1+k_f)^j(1+k_e)^j/(f-f₀)(1+k_f)^j of dus ℂ_je_j en gelijkaardig voor ℂ_jf_je_j/ℂ_je_j die niet anders is dan ℂ_jf_j.

Wat is dan de relatie tussen een potentiële haakuitdrukking en een potentiaal zoals het klassiek gebruikt wordt? We illustreren dat door een kolom bij te voegen bij de tabel van vermogens ef, met het berekend potentiaal, namelijk de energie per cumulatie van f, en het potentiaal een naam te geven.

Al deze vermogens genereren dus een bepaalde soort potentiaal en een potentiaal kunnen we interpreteren als een disjunctie van gelijkwaardige eenheden in een tralie, tralie die ook met getallen kan geconstrueerd worden indien we dat willen. De tabel toont duidelijk hoe bijvoorbeeld een ruimtelijke afstand x een voorbeeld is van een impuls potentiaal want ℂ_jv_jF_j/ ℂ_jF_j=ℂ_jv_j=x. Hiermee leiden we een dimensie in een driedimensionale ruimte af van een willekeurig proces dat we kunnen kwantificeren door de stappen j van toestanden die elkaar uitsluiten. Zoals ook op andere plaatsen leiden dus geometrie af van het ene axioma van het haakformalisme, we hebben geen geometrische axioma’s nodig. Ruimte is, zoals ook tijd, niet a priori gegeven maar wordt afgeleid van een proces. Ruimte is hierbij het drie-potentiaal onderliggend aan het vier-potentiaal.

Een potentiaal kunnen we daarom begrijpen als de intensiteit van een welgevormde haakuitdrukking (die een potentiële constructie is: “indien..., dan…”), de cumulatie in een buffer.

Relaties

Energie als cumulatie van vermogen ℂ_jf_je_j heeft al een paar relaties tussen eigenwaarden k_e en k_f opgeleverd die een bepaald soort proces modelleren. De relaties tussen eigenwaarden modelleren een transformatie van vermogen. Er zijn echter nog meer relaties bekend.

De verhouding van de cumulatie van een eenheid tot de intensiteit van een andere eenheid modelleert een capaciteit, buigzaamheid, zelfinductie, massa (of inverse ervan). Deze cumulaties stockeren energie, enerzijds potentiële energie, anderzijds kinetische energie.

De verhouding van een eenheid tot een andere eenheid modelleert weerstand (of inverse ervan). Dit dissipeert energie.

Potentiële energie

Energie als cumulatie van vermogen ℂ_jf_je_j stellen we eerst voor als (f-f₀)(e-e₀)(1+k_f)^j(1+k_e)^j.

De betekenis van ℂ_jf_j is niet anders dan (f-f₀)(1+k_f)^j met eenheid (f-f₀) en intensiteit “de speciale som” (1+k_f)^j waarbij k_f de eigenwaarde is van f en (f-f₀) de eenheid van een verschil van toestanden. Hierin is j een aantal processtappen. De verhouding van de cumulatie van een eenheid tot de intensiteit van een andere eenheid stellen we in dit geval dus voor als C/(e-e₀)=(f-f₀)(1+k_f)^j. Energie als cumulatie van vermogen ℂ_jf_je_j is dan C(1+k_e)^j. C wordt capaciteit genoemd.

Voorbeeld in het mechanisch domein: F=kℂ_jv_j met k de stijfheid van de veer of de elasticiteitsmodulus van het materiaal. Het invers van k wordt buigzaamheid genoemd.

Indien we energie als cumulatie van vermogen ℂ_jf_je_j zouden modelleren als (f-f₀)(1+k_f)^j/(e-e₀)(1+k_e)^j, dan zouden we de verhouding van de cumulatie van een eenheid tot de intensiteit van een andere eenheid voorstellen als C’(e-e₀)=(f-f₀)(1+k_f)^j met C’=1/C.

De energie als functie van verplaatsing (namelijk ℂ_jv_j) wordt potentiële energie genoemd.

Kinetische energie

Energie als cumulatie van vermogen ℂ_jf_je_j nemen we als (f-f₀)(e-e₀)(1+k_f)^j(1+k_e)^j.

De betekenis van ℂ_je_j is niet anders dan (e-e₀)(1+k_e)^j met eenheid (e-e₀) en intensiteit “de speciale som” (1+k_e)^j waarbij k_e de eigenwaarde is van e en (e-e₀) de eenheid van een verschil van een verschil van toestanden. Hierin is j een aantal processtappen. De verhouding van de cumulatie van een eenheid tot de intensiteit van een andere eenheid stellen we in dit geval dus voor als I/(f-f₀)=(e-e₀)(1+k_e)^j. Energie als cumulatie van vermogen ℂ_jf_je_j is dan I(1+k_f)^j. I wordt inertie genoemd.

Voorbeeld in het mechanisch domein: v=m^-1ℂ_jF_j met m de massa. Vanuit de impuls p=ℂ_jF_j als cumulatie van een versnelling, begrijpen we dan ook dat massa (“traagheid”) een kwantificering is van de eenheid van een verplaatsing, en dus een vaste schaalfactor eigen aan een bepaald materiaal.

De energie als functie van impuls (namelijk ℂ_jF_j) wordt kinetische energie genoemd.

Dissipatie van energie

Energie als cumulatie van vermogen ℂ_jf_je_j nemen we als (f-f₀)(e-e₀)(1+k_f)^j(1+k_e)^j.

Onafhankelijk van de cumulatie veronderstellen we nu dat (f-f₀)(e-e₀) een vaste waarde heeft. We stellen (e-e₀)=R(f-f₀), zodanig dat energie als cumulatie van vermogen ℂ_jf_je_j gelijk wordt aan R(f-f₀)²(1+k_f)^j(1+k_e)^j. Er geldt natuurlijk ook dat (e-e₀)/R=(f-f₀) en dus ℂ_jf_je_j = ((e-e₀)²/R)(1+k_f)^j(1+k_e)^j.

R wordt een weerstand genoemd.

De eenheid van potentiaal als getal

We hebben aangetoond dat er om te tellen minimaal twee aspecten moeten onderscheiden worden die gelijkwaardig zijn, vermenigvuldigen we het ene aspect met m, dan vermenigvuldigen we het andere aspect met m^-1 als we invariantie willen modelleren in het getallendomein. Dit betekent dat het onvermijdelijk is dat één van deze getallen begrensd is: als we een som willen maken met verschillende eenheden (en dus willen tellen) is M het kleinste gemeen veelvoud van de producten van m_i. We hebben de som van de m_i een symbool gegeven: μ=Σ_im_i. Dit is een Σ_im_i en geen ℂ_im_i.

We kunnen nu μ als een soort potentiaal interpreteren omdat 1/M er de eenheid van is en 1/M bevindt zich in de tralie van de (priem)getallen op een welbepaald niveau. Dit potentiaal kan een intensiteit m hebben die niet ingebouwd wordt in de tralie van de getallen. Een voorbeeld toont wat dit betekent voor de interpretatie van (p+q)^m. Dit kan dan enkel door een product en (μ/M)^m interpreteren we dan als een abstract vermogen bij “stap m”, als een momentane intensiteit van energie (of als abstracte densiteit van exergie) die kan accumuleren of decumuleren tijdens een proces dat door een laatst toegevoegde onderscheidingen gemodelleerd wordt en niet anders is dan een processnelheid.

Lading en potentiaal

Lading is het unieke begrip dat gebruikt kan worden voor exclusieve disjunctie. Er is maar één mogelijkheid om “tegengestelde waarde” uit te drukken, maar er zijn a priori een onbeperkt aantal mogelijkheden om “gelijke waarde” uit te drukken.

Translatie vermogen v_jF_j, rotatie vermogen ω_jτ_j, fluïdomechanisch vermogen P_jφ_j, wordt langs de impuls ook gekwantificeerd door de intensiteit massa, massa zien we als “lading” met dezelfde waarde waarbij er maar één mogelijke invulling bestaat (interpretatie van het onvermijdelijke ervaren, iets heeft altijd waarde “ja”). Hoe groter de massa, hoe groter het vermogen.

Elektromagnetisch vermogen i_ju_j, wordt onder andere gekwantificeerd door de intensiteit elektrische lading, elektrische lading is ofwel positief ofwel negatief. De lading heeft dus een waarde maar er zijn maar twee mogelijke invullingen, vandaar dat we kunnen spreken van een exclusieve disjunctie. Elektrische lading en verandering zijn onvermijdelijk gekoppeld met een verandering van magnetische flux die door beweging gegenereerd wordt. Hoe groter de elektrische lading, hoe groter het elektromagnetisch vermogen.

Thermisch vermogen f_SjT°_j, Chemisch vermogen f_njμ_j, wordt onder andere gekwantificeerd door nucleaire of moleculaire “energieniveaus”. Energieniveaus gedragen zich als niveaus in een tralie, we kunnen dat modelleren als disjuncties van mogelijkheden met dezelfde waarde, niet voor de tralie op zijn geheel maar voor elk niveau afzonderlijk. Dus als mogelijkheden van “lading” met dezelfde waarde (exclusieve disjunctie is hier enkel mogelijk in een één onderscheiding universum). Die lading heeft dus dezelfde waarde maar er zijn meerdere mogelijke invullingen, vandaar dat we moeten spreken van een gewone disjunctie. Dat herkennen we als eigen aan een n-vector (met n>2): de disjunctie <<1 onderscheiding ervaren of 3 onderscheidingen ervaren of … of 2m+1 onderscheidingen ervaren>> is ervaren.

Typisch voor kwantitatief meetbare processen met deze twee laatste soort vermogens is

• dat de laatst toegevoegde j niet ingebouwd wordt en enkel gedrag modelleert

• dat we dus kunnen spreken van een accumulatie en decumulatie van energie, dus een thermische energie ℂ_jf_SjT°_j en een chemische energie ℂ_jf_njμ_j kunnen onderscheiden

• dat we dus kunnen spreken van een cumulatie van een “stroom” in en uit een “buffer”, een entropiestroom f_S leidend tot entropie S=ℂ_jf_Sj en een molaire stroom f_n in een accumulerend of decumulerend aantal mol n=ℂ_jf_nj,

• maar dat we niet kunnen spreken van een accumulatie of decumulatie van de temperatuur T° of de chemische potentiaal μ. Zij hebben een bepaald en eindig niveau als een product van een kleinste gemeen veelvoud. Zij worden gekarakteriseerd door één getal, een eenheid, dat we nu als een abstracte “eenheidspotentiaal” kunnen interpreteren en die we moeten beschouwen als een onvermijdelijke entiteit, en niet als een intensiteit. Die eenheid kan dus niet gehalveerd worden zonder de essentie te verliezen. De mogelijkheid om nog een potentiaalverschil waar te nemen verdwijnt bij evenwicht, een bepaalde evenwichtstemperatuur in het ene geval, de aanwezigheid van een bepaald evenwicht tussen een beperkt aantal chemische verbindingen in het tweede geval. Het zijn verschillen die aanleiding geven tot intervallen.

Deze inzichten geven de abstracte “lading” de karakteristieken die we verbinden met “een welgevormde haakuitdrukking” of “een ervaarbare disjunctie van onderscheidingen”. We maken altijd minstens één onderscheiding. Twee onderscheidingen zijn ofwel tegengesteld ofwel evenwaardig. Wat ervaren wordt is een disjunctie van een oneven aantal onderscheidingen met dezelfde waarde. Meerdere onderscheidingen kunnen uiteraard binair ageren op elkaar en dus karakteristieken hebben van “lading”, maar de effecten die we zullen waarnemen zijn dan nog enkel te modelleren met aantallen. De binaire interactie zullen we altijd kunnen modelleren als een 3&1 som van 2-vectoren.

Lading op niveau van een tralie is dan massa, eventueel opgedeeld als een partitie van energieniveaus.