Gedrag in het grootste onderscheidingen universum kan gemodelleerd worden door een eenheid die we een (energetisch) vermogen kunnen noemen, een eenheid met een intensiteit op een bepaald moment. Die eenheid is het product van twee eenheden, symbolen e en f en is daardoor een voorbeeld van de fundamentele triade. Een van de twee is evenredig met het verschil van intensiteit van twee toestanden, de andere van de twee is evenredig met het verschil van het verschil van intensiteit van twee toestanden. De eenheden zijn dus gecollapste haakuitdrukkingen en het product van twee eenheden kan dus een gecollapste toestand modelleren in twee onderscheidingen. De twee eenheden kunnen elk afzonderlijk een intensiteit hebben, intensiteiten die gerelateerd zijn aan elkaar als ze samen een product vormen en dan de intensiteit vormen van een vermogen dat dus een gecollapste toestand is in twee onderscheidingen. Dat vermogen is een geconstrueerde eenheid als gevolg van het onderzoek naar het gedrag, de relatie tussen waarnemingen aan de eenheden e en f en modelleert dus de intensiteit van een toestand die op twee manieren kan waargenomen worden in minimaal een twee onderscheidingen universum, namelijk een onderscheiding e en de laatst toegevoegde ℵ en een onderscheiding f en de laatst toegevoegde ℵ.

Aangezien we kunnen tellen op voorwaarde dat de laatst toegevoegde onderscheiding dezelfde waarde heeft als alle andere onderscheidingen, zullen de intensiteit van e en van f gegeven worden door onderscheidingen van het type ℵ (alternatief <ℵ>). Het is enkel op die manier dat een invers kan gedefinieerd worden, het product ef een invariant kan zijn en dat beide intensiteiten dus een verhouding kunnen hebben. Die intensiteit kan veranderen door te accumuleren (decumuleren) tijdens een proces (bijvoorbeeld in de tijd). Noemen we het vermogen V, dan noteren we de accumulatie van vermogen als ℵV (die niet anders is dan de speciale som ℂjVj van het momentane kwantum V_j). De cumulatie van vermogen wordt dan energie genoemd. Vermogen en energie zijn historisch geëvolueerde begrippen, ze hebben in verschillende repertoria verschillende namen gekregen en we zijn nog volop bezig te ontdekken met welke middelen en onder welke voorwaarden energieën in elkaar te transformeren zijn.

De eenheid die een intensiteit kan hebben en een toestand modelleert noemen we een buffer. Buffers kunnen we met elkaar koppelen ofwel in serie, ofwel in parallel. Cumulaties (dus de intensiteit van buffers) kunnen toenemen of afnemen, de tijd (of een andere vrijheidsgraad) kan enkel toenemen en dit is een noodzakelijke voorwaarde om het afnemen en toenemen van iets anders te kunnen waarnemen. Dit patroon heeft in verschillende repertoria een andere naam gekregen. De beide eenheden hebben uiteraard ook een naam gekregen die naar een specifiek repertorium verwijst en sommige repertoria zijn gebouwd rond één eenheid (ofwel e, ofwel f) waarvan de accumulatie in de tijd ook weer een eigen naam kreeg. We hebben al de volgende concrete voorbeelden onderscheiden waarbij we uitdrukken dat vermogen het begrip is dat verschillende energiesoorten met elkaar verbindt als cumulaties van vermogen:

Het belang hiervan is dat het mogelijk blijkt te zijn met behulp van de concrete begrippen in de tabel (verwijzend naar een bepaald repertorium) om die abstracte vorm van vermogen en van energie te formuleren en te kwantificeren die de transformatie van die begrippen in een bepaald repertorium naar begrippen in een ander repertorium kan beschrijven. We hebben dus enkel in de kolom van “eenheid e” en “eenheid f” de klassieke dimensie tussen haakjes gezet. Zie voor alle dimensies de uitgebreide legende van een tabel met “eenheid E₁” en “eenheid E₂”.

Deze modellering werkt doordat het gebaseerd is op een essentieel inzicht: vermogen (energiedensiteit, ook los van tijd te definiëren als de kwantificering of schaal van één bit) is het fundamentele kwantum.

Bijvoorbeeld: we kunnen door de introductie van de eenheden e en f beschrijven hoe elektromechanische energie in een rotatie energie of een fluïdomechanische energie kan omgezet worden, en hoe de intensiteiten daarvan dan met elkaar gerelateerd zijn en hoe ze wiskundig kunnen beschreven worden met behulp van verhoudingen. Dit zijn allemaal gevolgen van de klassieke hypothese die bestaande entiteiten onderscheidt en hun gedrag als intensiteit beschrijft.

De bondgraaf, bron en put

De bondgraaf heeft zijn naam gekregen van de verbindingen (“bonds”) tussen buffers die vermogen (“power”) uitwisselen. De bondgraaf is een voorstelling van hoe vermogensverbindingen verbonden zijn met elkaar (de mogelijke parallelle of seriële verbindingen) waarbij de knooppunten buffers zijn. Een cumulatie (buffer) wordt een bron (of put) genoemd indien de intensiteit van de ene eenheid onafhankelijk lijkt van de andere eenheid en steeds dezelfde waarde heeft (invariant is). Een buffer of bron S levert altijd een laatst toegevoegde onderscheiding aan een andere buffer B (met behulp van een conjunctie met ℵ) zodanig dat de intensiteit van de eenheid van die buffer B groter wordt zonder dat de intensiteit van de bron S waarneembaar vermindert. Een put vernietigt altijd een onderscheiding van een andere buffer (met behulp van een disjunctie met <ℵ>) zodanig dat de intensiteit van de eenheid van die buffer kleiner wordt zonder dat de intensiteit van de put waarneembaar vermeerdert. Dit kunnen we modelleren door het ontbreken van een cumulatie, dus door een eigenwaarde gelijk aan nul en dus het ontbreken van feedback. In het proces wordt altijd dezelfde intensiteit (x-x₀) waargenomen. Een getal dat de toestand van een bron (put) zou kunnen karakteriseren is bij elke processtap hetzelfde zodanig dat het verschil van de intensiteit tussen twee toestanden gelijk is aan nul.

We onderscheiden een bron (put) van e en een van f. Een bron (put) van de eenheid e (f) zal altijd dezelfde intensiteit hebben, in welke combinatie de bron (put) ook opgenomen wordt. Het is in de praktijk onmogelijk om de intensiteit van een bron of een put te veranderen door een evenwicht te bereiken in een of ander systeem dat vermogen kan uitwisselen. Verandering in de bron (put) wordt niet waargenomen, ligt buiten de waarnemingsresolutie. Dus dank zij het feit dat we verandering niet kunnen waarnemen voor sommige buffers kunnen we tot de conclusie komen dat we ons in een situatie ver van evenwicht bevinden. Bron en put houden een systeem ver van evenwicht, dit nemen we als noodzakelijke hypothese en kunnen we als toepasselijk beschouwen omdat we daar voorbeelden van vinden. Bijvoorbeeld: voor alle acties die we kunnen doen op aarde kunnen we er van uitgaan dat de aarde altijd een overdaad aan stralingsenergie van de zon zal ontvangen. We zullen ook altijd straling in de ruimte zien verdwijnen zelfs als “al de straling” zou geabsorbeerd worden (de paradox zoals bij een “zwarte straler”), de maan zal rond de aarde blijven draaien, de aarde zal rond zijn as blijven draaien en dan ook nog eens rond de zon draaien en we kunnen er van uit gaan dat we gelijk welke intensiteit van elektrische lading door te aarden kunnen kwijtraken.

Om een verschil te maken tussen bron en put wordt in de bondgraaf methode een harpoenvormige pijl gebruikt en het is ook dat symbool dat we hier zullen introduceren. Een bron is dan S⇀, een put is dan S↼. Een bron voor de eenheid e is dan S_e⇀. Een put voor de eenheid e is dan S_e↼. Dit introduceert een fundamentele duale relatie en we moeten dus een keuze maken. We kiezen ervoor om te kijken naar de buffer die anders is dan een bron of put. Noem zo een buffer B dan zal de intensiteit van (e of f van) B gevoed worden door een bron en afgevoerd worden door een put, dus S⇀B of B↼S in het eerste geval en B⇀S of S↼B in het tweede geval. Als we dus buffers onderscheiden dan moeten we ook attent zijn voor de harpoenen naar dat punt. Stel dat we de toename van intensiteit door een conjunctie met een onderscheiding voorstellen dan moeten we afname door een disjunctie met de ingebedde onderscheiding voorstellen. Bron en put zijn dus onvermijdelijk aan elkaar gerelateerd door de eenheid die hun interactie modelleert. Het gevolg hiervan is dat we een buffer kunnen onderscheiden van bron (put) doordat de buffer iets cumuleert. Dit iets is een intensiteit van de soorten e (bijvoorbeeld: verschil van verschil van intensiteit van 2 toestanden), f (bijvoorbeeld: verschil van intensiteit van 2 toestanden) of e•f (intensiteit van één toestand). Door het proces wordt de laatst toegevoegde onderscheiding in een buffer ofwel ingebouwd, ofwel verdwijnt die, want juist dat is de betekenis van cumuleren. Bron en put maken duidelijk dat dit cumuleren onvermijdelijk voorlopig is, enkel waarneembaar is zolang het proces loopt.

Verbindingen tussen buffers

We kunnen nu verschillende buffers onderscheiden, noem deze B₁; B₂; … die elkaar uitsluiten (die zich bijvoorbeeld op verschillende plaatsen bevinden zodanig dat de conjunctie van hun waarneming enkel een willekeurige gebeurtenis kan zijn) en de buffers kunnen met elkaar verbonden zijn waardoor ze toch een gecoördineerd gedrag kunnen vertonen (bijvoorbeeld als de intensiteit van iets in de ene toeneemt dan neemt de intensiteit van datzelfde iets van de andere af). We kunnen de verbindingen nu onderzoeken om te kijken of we abstracte soorten kunnen onderscheiden. We moeten de verbindingen daartoe een naam geven. Daartoe gebruiken we het verschil van intensiteit van, bijvoorbeeld e, in B₁ en B₂. Dit kunnen we doen onafhankelijk van de hypothese dat ze “intensiteiten kunnen uitwisselen”, we stellen gewoon een verschil van intensiteit vast in verschillende buffers en dat verschil kan nul zijn. De intensiteit van e in B₁ noemen we e₁, de intensiteit in B₂ noemen we e₂. Het verschil van intensiteit noemen we e₁₂ en dit is dus e₁-e₂. Dit verschil is onafhankelijk van een referentie intensiteit, noem deze e_r. Inderdaad: (e_r+e₁)-(e_r+e₂)=(e₁-e₂)=e₁₂. Dat is dus niet anders dan de intensiteit van een simultaneïteitsinterval dat simultaan gedrag van twee buffers kan beschrijven wat betreft e. We moeten nog niet veronderstellen dat ze eenzelfde soort interactie vertonen als de interactie tussen een bron en een put (namelijk een harpoen). In concrete gevallen zullen we dit (de intensiteit van) een (proces)snelheid noemen: het verschil van de intensiteit van twee toestanden, niet verschillend van de intensiteit van een projector. Dit is een schaalfactor, afhankelijk dus van een resolutie en we kunnen dit karakteriseren door een eigenwaarde k en dus een cumulatie. We veronderstellen nu bovenop de reeds gemaakte veronderstellingen dat beide buffers door een harpoen verbonden zijn. De harpoen B₁⇀B₂ geven we de naam e₁₂ en de harpoen B₂⇀B₁ geven we dan de naam e₂₁. Dit drukt de dualiteit van bron en put uit maar nu voor buffers die een waarneembaar gedrag vertonen en dus gecoördineerd van intensiteit veranderen. De symbolen e₁₂ en e₂₁ geven de intensiteit van een verandering tussen elkaar uitsluitende eenheden, dus de grootte van de laatst toegevoegde onderscheiding. De verandering kan op een as, dus één richting, in de twee zinnen gaan.

Is er geen verschil tussen de intensiteiten van de buffers in de loop van een verandering (en dat modelleert dan evenwicht) dan moet dus gelden dat e₁₂+e₂₁=0. We zien onmiddellijk dat dit een eigenschap is van bron of put.

Dank zij ons onderzoek naar de eenheden die door een verschil kunnen gemodelleerd worden kunnen we deze eenheid nu identificeren als het samen voorkomen van de eenheid e, de eenheid f en de eenheid e•f (dus <e<f>><<e>f>). Dat betekent dat altijd drie eenheden betrokken zijn bij verandering en we hebben aangetoond dat drie eenheden voldoende zijn om gelijk welke verandering te modelleren. We hebben aangetoond dat ze niet anders zijn dan drie elkaar uitsluitende toestanden in de onderscheidingen e en f.

We onderscheiden dus niet alleen een B₁ en een B₂, maar ook een B₃. Ook hier kunnen we evenwicht modelleren: in het geval van de gesloten lus B₁⇀B₂⇀B₃⇀B₁ moet gelden dat e₁₂+e₂₃+e₃₁=0. Dit betekent dat intensiteit van de rechtstreekse verbinding (bijvoorbeeld e₁₂ of e₂₁) kleiner kan zijn dan de intensiteit van de verbinding over de derde buffer. We kunnen hierdoor verschillen van verschillen berekenen, bijvoorbeeld (e₁₂-e₂₃). Deze verschillen zijn dus ook onafhankelijk van een referentie. Ook dat is dus niet anders dan de intensiteit van een simultaneïteitsinterval dat gezamenlijk gedrag kan beschrijven. Als de (intensiteit van) verandering (e₁₂ of e₂₁) een snelheid genoemd wordt, dan zullen we dit (de intensiteit van) een versnelling noemen. We kunnen dit kwantificeren door de eigenwaarde k te variëren en te normaliseren zodanig dat we kunnen modelleren dat verschillende k met elkaar interageren. Het “iets” dat in beide buffers relevant is, is hierdoor meetbaar maar nog steeds onbekend. We zullen het “energie” noemen omdat het als “vermogen” meetbaar wordt en we stellen ons dat voor als het “iets” dat twee grenzen van onze waarnemingsresolutie met elkaar verbindt: de bron heeft een hoge energie en een onwaarneembaar hogere energie en de put heeft een lage energie en een onwaarneembaar lagere energie. Dit maakt ook duidelijk dat de richting waarin een verandering doorgaat (en waarneembaar is door de intensiteiten van buffers te volgen) bepaald wordt door de buffers die we bron en put genoemd hebben. Maar dit maakt ook duidelijk dat we een verbinding kunnen modelleren waarin er geen sprake is van buffering. Neem bijvoorbeeld vier buffers B₁; B₂; B₃; B₄ en veronderstel dat e₁₂+e₃₂+e₄₂=0, deze vergelijking drukt uit dat er een centrale buffer is, in dit geval B₂, en die is door een harpoen verbonden met een B₁, een B₃ en een B₄. Dat kunnen we ook uitdrukken als e₂₁+e₂₃+e₂₄=0. Maar in de buffer B₂ is de intensiteit van de verandering van de eenheid e gelijk aan nul, dus de eenheid e kan een intensiteit hebben maar die verandert niet, de intensiteit van e gedraagt zich als referentiepunt voor alle verschillen en is dan e_r. Het vermogen ef dat “doorgegeven wordt” in de buffer B₂ zal enkel door verandering van de intensiteit van de eenheid f kunnen gebeuren. De hypothese dat het “iets” dat we energie noemen een invariante moet zijn (en enkel van soort kan veranderen), ook op lokaal niveau, vereist nu dat er moet gelden Σ_ne_nf_n=0 waarbij de n het aantal harpoenen geeft (dus het aantal veranderingen, niet het aantal buffers) en aangezien elke e_n de vaste waarde e_r heeft moet in dit geval dus gelden: Σ_nf_n=0. Zo’n verbinding wordt een 0-node genoemd in de bondgraaf methodiek. Het duale hiervan wordt een 1-node genoemd, dus met f_r als referentie eenheid en Σ_ne_n=0.

Dit is een heel belangrijk inzicht en geeft duidelijk het verschil aan tussen “een klassieke som” Σ_n en de meer complexe som ℂ_n. We schrijven dus niet ℂ_ne_nf_n=0 of ℂ_nf_n=0 want die uitdrukkingen modelleren het ontbreken van feedback: de laatst toegevoegde onderscheiding wordt niet ingebouwd. In buffers wordt de laatst toegevoegde onderscheiding wel ingebouwd en die “bevindt zich” in een bepaalde buffer tijdens het proces als de intensiteit van de eenheid in die buffer.

Relatie tussen de twee eenheden

Een relatie wordt een weerstandsrelatie genoemd indien de intensiteit van de ene eenheid omgekeerd evenredig is met de intensiteit van de andere eenheid. De evenredigheidsfactor (verhouding) kan constant zijn of niet. Veronderstel nu een evenredigheidsfactor R op een bepaald moment dan geldt bijvoorbeeld e=Rf en aangezien een vermogen gegeven wordt door het product ef wordt het vermogen ook gegeven door het product e²/R of Rf². Voorbeelden zijn een elektrische weerstand waarbij het vermogen gelijk is aan Ri² (met i de elektrische stroom); een mechanische translatie demper (wrijvingsweerstand) waarvan het vermogen gegeven wordt door Rv² (met v de translatie snelheid); een torsie demper met een vermogen evenredig met de torsieweerstand en het kwadraat van de hoeksnelheid ω². Dit vermogen is altijd positief (zie het kwadraat) en een som van deze vermogens neemt dus altijd toe. De relatie blijkt gelijk welke energievorm om te zetten in warmte(straling).

Aangezien dit ook geldt voor de cumulaties voedt dit de hypothese dat ook warmte die naar een put uitgestraald wordt een alternatief kan zijn voor tijd als parameter die alleen maar kan toenemen. Warmte wordt gekwantificeerd als een verhouding (het product van entropie met absolute temperatuur). In het technisch-economisch domein wordt deze warmte dikwijls enkel als verlies bekeken en afgegeven aan de omgeving (die als thermische put gebruikt wordt), tenzij de entiteit als verwarmingselement ontworpen werd. Warmte is een essentiële voorwaarde voor de fysische en (bio)chemische processen op aarde die slechts in een beperkt temperatuurinterval zowel invariantie als verandering kunnen vertonen.

Relatie tussen een eenheid en de cumulatie van de andere eenheid

Soms kunnen we een relatie van evenredigheid waarnemen tussen (de intensiteit van) een eenheid e en ℂ_jf_j, of tussen (de intensiteit van) een eenheid f en ℂ_je_j. Veronderstel nu een evenredigheidsfactor k op een bepaald moment dan geldt bijvoorbeeld e=kℂ_jf_j. De eenheden worden dus in elkaar uitgedrukt, wat we herkennen in de waarneming dat potentiële energie en kinetische energie in elkaar om te zetten zijn.

Dit wordt een capacitieve of potentiële relatie genoemd bij accumulatie in de ene richting. Bijvoorbeeld: u=C^-1ℂ_ji_j (elektromagnetisch repertorium: spanning u, lading ℂ_ji_j, capaciteit 1/C) en F=C’^-1ℂ_jv_j (translatie repertorium: kracht F, verplaatsing ℂ_jv_j, buigzaamheid 1/C’). Dit accumuleert potentiële energie en kan een hoeveelheid energie een tijd bufferen. Voor het algemene symbool van deze relatie is in de bondgraaf methodiek gekozen voor C.

Dit wordt een inertie of kinetische relatie genoemd bij accumulatie in de andere richting. Bijvoorbeeld: i=L^-1ℂ_ju_j (elektromagnetisch repertorium: stroom i, magnetische flux ℂ_ju_j, zelfinductie 1/L) en v=m^-1ℂ_jF_j (translatie repertorium: snelheid v, impuls ℂ_jF_j, reciproque massa 1/m). Dit accumuleert kinetische energie en kan een hoeveelheid energie een tijd bufferen. Voor het algemene symbool van deze relatie is in de bondgraaf methodiek gekozen voor I.

De relatie tussen potentiële energie en kinetische energie kan enkel op het niveau van de totale energie ℂ_je_jf_j (ℂ_ji_ju_j of ℂ_jv_jF_j enz…) uitgedrukt worden. Dit brengt ons bij de relaties op niveau van het vermogen zelf.

Het omvormen van vermogen

Vermogen kan geaccumuleerd worden en gedecumuleerd worden in de loop van de tijd. Wat cumuleerd wordt moet dus de intensiteit zijn van de eenheid “energie”. Verschillende vormen van energie kunnen in elkaar omgevormd worden en dit is natuurlijk een zeer belangrijk inzicht en we zijn voortdurend op zoek naar manieren om dat zo snel mogelijk en met zo weinig mogelijk verlies uit te voeren.

In het ideale geval geldt de gelijkheid van de vermogens die in elkaar getransformeerd worden, dus e₁f₁=e₂f₂.

Een omvormer die een zelfde eenheid verschaalt, bijvoorbeeld door de relatie e₂=me₁, wordt een transformator genoemd en aangezien e₁f₁=e₂f₂ geldt, moet dan ook f₁=mf₂ gelden. In het elektromagnetisch repertorium kennen we transformators om wisselspanningen groter of kleiner te maken. In het mechanisch repertorium kennen we hefbomen en tandwiel- of ketting overbrengingen. In het hydraulisch domein een verdringerpomp.

Voor het algemene symbool van de relatie is in de bondgraaf methodiek gekozen voor TF.

Een omvormer die de andere eenheid verschaalt, bijvoorbeeld door de relatie f₂=re₁, wordt een gyrator genoemd en aangezien e₁f₁=e₂f₂ geldt, moet dan ook f₁=re₂ gelden. In het elektromagnetisch repertorium is een gelijkstroom motor een voorbeeld, waarbij de torsie evenredig is met de stroom en de hoeksnelheid evenredig met de spanning. In het mechanisch repertorium kennen we de draaiende gyroscoop waarbij een kracht in één ruimtelijke richting resulteert in een verplaatsing in de richting daar loodrecht op. In het hydraulisch domein een turbine of centrifugaalpomp.

Voor het algemene symbool van de relatie is in de bondgraaf methodiek gekozen voor GY.

Als we e en f als elementen van een kolommatrix voorstellen als (e₁, f₁)^T en (e₂, f₂)^T dan zal de omvorming door een 2x2 matrix kunnen beschreven worden met m en 1/m op de diagonaal (of r en 1/r) en we hebben bewezen dat er een matrix afbeelding kan geconstrueerd worden voor alle basisrelaties in een tralie, waarmee we dan de geconstrueerde eenheid moeten kunnen modelleren.

Verbindingen in hun algemeenheid

Om een nieuwe eenheid te vormen moeten bronnen, putten, cumulaties (buffers) en omvormers met elkaar verbonden kunnen worden. Een verbinding wordt gemodelleerd door uit te drukken dat er in de verbinding geen toename of afname kan zijn van vermogen. Dat betekent dat voor een verbinding van n vermogens van gelijk welke soort moet gelden dat de som van de intensiteiten Σ_ne_nf_n=0 (en niet ℂ_ne_nf_n=0) juist omdat de eenheid van vermogen uniek moet zijn als de hypothese is dat we soorten vermogens in elkaar kunnen omzetten. Een algemene verbinding met gelijk welke eigenschap blijkt beschreven te kunnen worden als de combinatie van slechts twee mogelijkheden, een mogelijkheid waarbij de intensiteit van de eenheid e niet verandert en een mogelijkheid waarbij de intensiteit van de eenheid f niet verandert. Deze zijn hoger al afgeleid en het zijn de 0-node en 1-node. Dit model is natuurlijk een abstract model en een component van een fysische verbinding moet zo’n scheiding natuurlijk niet uitvoeren. Het abstract model geeft ons wel de mogelijkheid om omvorming van energie beter te begrijpen en eventueel te ordenen volgens het effect op bepaalde aspecten.

Bijvoorbeeld bij een serieschakeling van elektrische componenten is de stroom een invariante en bij evenwicht is de som van de spanningen gelijk aan nul, bij een parallelschakeling is de spanning een invariante en bij evenwicht is de som van de stromen gelijk aan nul.

We kunnen wel Σ_ne_nf_n=0 veronderstellen en niet ℂ_ne_nf_n=0 omdat er altijd een of ander proces zal doorgaan en er ook altijd iets anders zal gebeuren dan datgene dat we ingebouwd hebben in het universum dat we kunnen opspannen. Zoals we hoger aantoonden kan dat wellicht als warmtestraling gemodelleerd worden.