We hebben begrepen dat de grootte van het universum waarin een welgevormde haakuitdrukking moet uitgedrukt worden de mogelijke grootte van de verhouding 1=c₁•c₂ zal bepalen, en die verhouding zal dus een limiet hebben. We bekijken nu enkele mogelijkheden voor c₁ en c₂, van eenvoudig tot meer complex en relateren de toename van de complexiteit met enkele inzichten van het haakformalisme.

We beginnen met het eenvoudigste geval, een dat onmiddellijk duidelijk maakt wat er moet verondersteld worden. Neem als coëfficiënt van h₁ het getal c₁ en als coëfficiënt van h₂ het getal 1/c₁. De coëfficiënt van h₁•h₂ wordt dan c₁.1/c₁ =1. Noteer dat we hier moeten aannemen dat het invers gedefinieerd is, en dat is enkel mogelijk wanneer c₁ staat voor een laatst toegevoegde onderscheiding en hiermee dus het anti-commutatief creatief product maakt: c₁•(<>⊕h₁)=((<<>>⊕<h₁>)⊗(<>⊕h₁))_c1 en c₁^-1•(<>⊕h₂)=((<<>>⊕<h₂>)⊗(<>⊕h₂))_<c1>. Merk op dat het getal c₁ overeenkomt met de laatst toegevoegde onderscheiding c₁ en het getal c₁^-1 overeenkomt met de laatst toegevoegde onderscheiding <c₁>. We moeten hierbij expliciet aannemen dat het getal c₁ verschillend is van nul en er dus een ordening mogelijk is. Met deze getallen kunnen we een model bouwen dat volledig compatibel is met het haakformalisme.

We kunnen dit complexer maken als we inzien dat (n+m) en (n-m) elkaars invers zijn ten opzichte van n²-m² want dan is ook het volgende mogelijk. Neem als coëfficiënt van h₁ het getal (n-m)/(n²-m²)^-1/2 en als coëfficiënt van h₂ het getal (n+m)/(n²-m²)^-1/2. De coëfficiënt van h₁•h₂ wordt dan (n-m)/(n²-m²)^-1/2.1.(n+m)/(n²-m²)^-1/2.1=1. We kunnen dat als volgt betekenis geven: het aantal laagbits (hoogbits) wordt gegeven door een getal m dat een fractie is van het totaal aantal bits n. Het aantal hoogbits (laagbits) wordt gegeven door het complementair getal ten opzichte van n. We gebruiken hier n en m maar zowel n als m staan los van aantallen die de diepte van h karakteriseren, als we willen karakteriseren ze een diepte in een andere tralie die invariant is met de tralie van h. Het aantal bits van een willekeurige welgevormde haakuitdrukking w wordt altijd gegeven door de som van het aantal betekende bits van (<>⊕w) en de som van het aantal betekende bits van (<>⊕<w>), noem deze getallen w_(<>⊕w) en w_(<>⊕<w>) dan is duidelijk dat de som van beide het getal n is dat een deel is van de coëfficiënt van h₁ (n-m)/(n²-m²)^-1/2 en van de coëfficiënt van h₂ (n+m)/(n²-m²)^-1/2. Twee welgevormde haakuitdrukkingen kunnen altijd in eenzelfde universum van n bits voorgesteld worden en zullen altijd een aantal bits gemeenschappelijk hebben, neem als dit aantal m, dan zullen ze n-m=p bits verschillend hebben. Als we nu m en p als deelstrings nemen dan worden die aantallen op een gelijkaardige manier gegeven door m_(<>⊕m) en m_(<>⊕<m>) en p_(<>⊕p) en p_(<>⊕<p>).

De grens van het nieuwe model wordt bereikt voor n=m en dus voor de toevoeging van een extra onderscheiding. Inderdaad, de coëfficiënten van h₁ (n-m)/(n²-m²)^-1/2 en van h₂ (n+m)/(n²-m²)^-1/2 zijn dan niet gedefinieerd zodanig dat de coëfficiënt van h₁•h₂ (n-m)/(n²-m²)^-1/2.1.(n+m)/(n²-m²)^-1/2.1 dan ook niet gedefinieerd zal zijn. Wanneer we echter de verhouding nemen van de getallen dan valt de gemeenschappelijke noemer weg en is het resulterende getal wel gedefinieerd als 0=(n-m)(n+m)^-1 en blijft niet gedefinieerd als (n+m)(n-m)^-1. De waarde van <<(n-m)(n+m)^-1 of (n+m)(n-m)^-1>> is de waarde van de disjunctie en die blijft gedefinieerd als 0.

We kunnen ook andere interpretaties geven aan de getallen. Noem n het aantal hoog-bits en m het aantal laag-bits, dan zal n+m het totaal aantal bits geven en n-m het aantal gemeenschappelijke bits, en dus de diepte in de tralie.

We kunnen nu ook het standpunt van de bits (of de atomen) verlaten en onderzoeken welk gedrag kan gemodelleerd worden met het aantal onderscheidingen. We veronderstellen dus dat een lineaire verandering van m zich voordoet in de exponent van 2, en daardoor exponentieel gedrag in de loop van de tijd genereert. Dit zorgt er ook voor dat er onderliggend telkens een (deel)tralie kan herkend worden op basis van onderscheidingen, gegeven door een aantal atomen 2^k. Hier veronderstellen we dus dat het aantal n en m verwijzen naar het aantal onderscheidingen, dit is fundamenteel anders dan het aantal hoogbits of laagbits. Het totaal aantal mogelijke toestanden is 2ⁿ, het aantal veranderende toestanden is 2^m. Neem n als de grootte van de laatst toegevoegde onderscheiding, en m kleiner. Dan zou n kunnen staan voor stappen in de tijd. De exponentiële functie is één-op-één, dus als coëfficiënt van h₁ kunnen we het getal 2 nemen en dat is niet anders dan 2EXP{(n-m)(n+m)/(n²-m²)^-1/2} en als coëfficiënt van h₂ kunnen we 2^-1 nemen en dat is niet anders dan wat uitgedrukt kan worden in functie van aantallen in een andere tralie 2EXP{(p-q)(-p-q)/(p²-q²)^-1/2}. Er zijn nu vier getallen betrokken.

Maar met de exponenten van 2 zijn nog meer interessante modellen te maken. Neem bijvoorbeeld als coëfficiënt van h₁ 2^(n-m)/2n en als coëfficiënt van h₂ 2^(n+m)/2n. De coëfficiënt van h₁•h₂ wordt dan 2^(n-m)/2n.2^(n+m)/2n =1. Hiermee modelleren we dan een (spontane) afname of toename van onderscheidingen. Met andersduale atomen modelleren we het verlies van één onderscheiding op atoombuur niveau: het product van de ene coëfficiënt en de andere is gelijk aan 1 en dat is de eenheid van wat invariant is.

We kunnen 2ⁿ ook begrijpen als het limietgeval (k=1) voor een fractie hiervan, namelijk de intensiteit (x-x₀)(1+k)ⁿ die kan begrepen worden als de exponentiële toename van een eenheid (x-x₀) in de loop van toenemende stappen n. Door het feit dat er enkel toename is kunnen we n ook als een tijd interpreteren. Ook hier staan n en m los van de k. Is n groter (kleiner) dan m dan is (x-x₀)(1+k)ⁿ groter (kleiner) dan (x-x₀)(1+k)^m, dat is positieve feedback, dus voor positieve k. Is n groter (kleiner) dan m dan is (x-x₀)(1-k)ⁿ kleiner (groter) dan (x-x₀)(1-k)^m, dat is negatieve feedback, dus voor negatieve k. In dat geval is er geen negatieve feedback voor k=1 omdat (x-x₀)(1-k)ⁿ dan nul is. De normalisering met (x-x₀)(1+k)²ⁿ zorgt dat de evolutie los van de eenheid (x-x₀) gemodelleerd wordt.

Op hun beurt kunnen deze getallen aanleiding geven tot sommen en verschillen.

Neemt (x-x₀)(1+k)ⁿ – (x-x₀)(1+k)^m af, dan neemt (x-x₀)(1+k)ⁿ + (x-x₀)(1+k)^m toe. Dat is dan negatieve feedback, m neemt toe.

Neemt (x-x₀)(1-k)ⁿ – (x-x₀)(1-k)^m af, dan neemt (x-x₀)(1-k)ⁿ + (x-x₀)(1-k)^m toe. Dat is dan negatieve feedback, m neemt af, maar (x-x₀)(1-k)ⁿ + (x-x₀)(1-k)^m neemt toe, maar steeds minder en minder.

De (1+k)ⁿ is natuurlijk ook als een (1+u/v)ⁿ voor te stellen met v groter dan u en dus als een ((u+v)/v)ⁿ. En de teller hiervan is als een som te schrijven in zijn binomiale expansie, (u+v)ⁿ wordt immers gegeven door uⁿ+(n/1!)u^n-1v+(n(n-1)/2!)u^n-2v²+...

Sommen van exponenten maken natuurlijk nog meer modellen mogelijk binnen hetzelfde uitgangspunt dat we modellen maken met een laatst toegevoegde onderscheiding en dus inversen en associativiteit kunnen gebruiken en dus verhoudingen als invarianten.

Een som als invariante veronderstellen (die dan kan gelijkgesteld worden aan de eenheid) maakt het ook mogelijk maakt om golfverschijnselen te modelleren. Op de volgende manier kunnen we immers één hoek definiëren die dan de functie inneemt van de laatst toegevoegde onderscheiding en waarbij repetitieve processen kunnen gemodelleerd worden:

cosθ = ±(n-m)^1/2(2n)^-1/2

sinθ = ±(n+m)^1/2(2n)^-1/2

arccos(±(n-m)^1/2(2n)^-1/2)=θ=2πt/r. Dus m varieert en θ en t varieert.

Dus t=arccos(±(n-m)^1/2(2n)^-1/2)r/2π

Is m het aantal gemeenschappelijke bits dan zijn andersduale punten op even niveaus te vinden (atoombuur is niveau 2), dus m is eigenlijk 2m' met m' een geheel getal. Noteer dat we met kwadraten en dubbele kwadraten alle priemgetallen kunnen maken.

Dit betekent dat, met x een willekeurige intensiteit die als eenheid beschouwd kan worden:

x^(n-m)/2n.x^(n+m)/2n=x¹

Dit kunnen we uitbreiden zonder dat de redenering verandert (exponentiële functie is één-op-één):

cosθ = ±(2ⁿ-2^m)^1/2(2ⁿ⁺¹)^-1/2

sinθ = ±(2ⁿ+2^m)^1/2(2ⁿ⁺¹)^-1/2

Maar ook:

cosθ = ±((x-x₀)(1+k)ⁿ – (x-x₀)(1+k)^m)^1/2(2(x-x₀)(1+k)ⁿ)^-1/2

sinθ = ±((x-x₀)(1+k)ⁿ + (x-x₀)(1+k)^m)^1/2(2(x-x₀)(1+k)ⁿ)^-1/2

En dus:

cosθ = ±((1+k)ⁿ – (1+k)^m)^1/2(2(1+k)ⁿ)^-1/2

sinθ = ±((1+k)ⁿ + (1+k)^m)^1/2(2(1+k)ⁿ)^-1/2

Dit maakt duidelijk dat dit patroon onafhankelijk is van meetmethode (x-x₀) en zijn inherente resolutie.

Verdere uitbreidingen zijn ook mogelijk.

Is de coëfficiënt een exponent, dan moet de voorwaarde gelden voor de som en dat is wat cos²θ en sin²θ modelleren.

Bijvoorbeeld:

u=cos²θ = (2ⁿ-2^m)¹(2ⁿ⁺¹)^-1

v=sin²θ = (2ⁿ+2^m)¹(2ⁿ⁺¹)^-1

Dus de ene coëfficiënt is bijvoorbeeld n^u en de andere is n^v. Is n=2 dan zien we het patroon van het totaal aantal punten in een tralie, namelijk 2EXP2^m.

Een genormaliseerd complex getal kan ook weergegeven worden als een exponent, namelijk e^2πim/n = e^iα=cosα+isinα.