De operatoren van het 2-splitsing universum zijn uit te drukken als een samenstelling van operatoren van het 1-splitsing universum. Om dat aan te tonen schrijven we een 2-splitsing (+h₁, +h₂, +h₃, +h₄) als een splitsing van twee 1-splitsingen zoals ((+h₁, +h₂), (+h₃, +h₄)). Dat kunnen we op twee verschillende manieren. Deze procedure noemen we nu “het nesten van splitsingen”.

Geneste 2-splitsing

De operatoren 1, e, f en g kunnen we dus uitdrukken in functie van de operatoren ε, υ, ν en νυ, en dat op verschillende manieren.

1(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=+ε(+ε(+h₁, +h₂), +ε(+h₃, +h₄))

e(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(-h₃, -h₄, +h₁, +h₂)=-νυ(+ε(+h₁, +h₂), +ε(+h₃, +h₄))

f(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(-h₄, +h₃, -h₂, +h₁)=+υ(-νυ(+h₁, +h₂), -νυ(+h₃, +h₄))=-νυ(-νυ(+h₁, +h₂), +νυ(+h₃, +h₄))

g(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(-h₂, +h₁, +h₄, -h₃)=+ν(-νυ(+h₁, +h₂), -νυ(+h₃, +h₄))=+ε(-νυ(+h₁, +h₂), +νυ(+h₃, +h₄))

Hierbij blijkt dat het mogelijk is om dezelfde operatie telkens op een koppel uit te voeren. Bijvoorbeeld voor g(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄): voer de operatie -νυ uit op het koppel gevormd door de eerste twee en de laatste twee, en voer op het resultaat dan operatie +ν uit.

Hetzelfde kan ook voor het alternatief 1, p, q, r

1(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=+ε(+ε(+h₁, +h₂), +ε(+h₃, +h₄))

p(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(+h₂, -h₁, +h₄, -h₃)=+ε(+νυ(+h₁, +h₂),+νυ(+h₃, +h₄))

q(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(+h₄, +h₃, -h₂, -h₁)=+νυ(+ε(+h₁, +h₂), +ε(+h₃, +h₄))

r(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(+h₃, -h₄, -h₁, +h₂)=-νυ(-ν(+h₁, +h₂), -ν(+h₃, +h₄))

Geneste 3-splitsing

Splitsingen kunnen we op verschillende manieren nesten voor een 3-splitsing. We expliciteren daar maar twee van om te kunnen wijzen op de noodzakelijke ordening in de procedure. Die ordening viel niet onmiddellijk op voor een 2-splitsing, maar is daar wel aanwezig in de koppels.

De operatoren e₀, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇ zullen we nu uitdrukken in functie van de operatoren 1, e, f en g en ε, υ, ν en νυ. We doen dat zodanig dat duidellijk wordt dat de volgorde belangrijk is. Voor de operatoren 1, p, q, r is dit analoog maar is hier nog niet uitgewerkt.

We werken eerst de variant uit waarin de 2 splitsing (dus 1, e, f of g) als laatste operatie uitgevoerd wordt:

e₀(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄, +h₅, +h₆, +h₇, +h₈)=(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄, +h₅, +h₆, +h₇, +h₈)=+1((+h₁, +h₂), (+h₃, +h₄), (+h₅, +h₆), (+h₇, +h₈))=+1(+ε(+h₁, +h₂), +ε(+h₃, +h₄), +ε(+h₅, +h₆), +ε(+h₇, +h₈))

e₁(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄, +h₅, +h₆, +h₇, +h₈)=(-h₈, -h₇, +h₆, +h₅, -h₄, -h₃, +h₂, +h₁)=+f((-h₂, -h₁), (-h₄, -h₃), (-h₆, -h₅), (-h₈, -h₇))=+f(-υ(+h₁, +h₂), -υ(+h₃, +h₄), -υ(+h₅, +h₆), -υ(+h₇, +h₈))

e₂(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄, +h₅, +h₆, +h₇, +h₈)=(-h₅, -h₆, -h₇, -h₈, +h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=+e((-h₁, -h₂), (-h₃, -h₄), (-h₅, -h₆), (-h₇, -h₈))=+e(-ε(+h₁, +h₂), -ε(+h₃, +h₄), -ε(+h₅, +h₆), -ε(+h₇, +h₈))

e₃(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄, +h₅, +h₆, +h₇, +h₈)=(-h₇, +h₈, +h₅, -h₆, +h₃, -h₄, -h₁, +h₂)=+f((+h₁, -h₂), (+h₃, -h₄), (-h₅, +h₆), (-h₇, +h₈))=+f(-ν(+h₁, +h₂), -ν(+h₃, +h₄), -ν(+h₅, +h₆), -ν(+h₇, +h₈))

e₄(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄, +h₅, +h₆, +h₇, +h₈)=(-h₄, -h₃, +h₂, +h₁, +h₈, +h₇, -h₆, -h₅)=+g((+h₂, +h₁), (+h₄, +h₃), (+h₆, +h₅), (+h₈, +h₇))=+g(+υ(+h₁, +h₂), +υ(+h₃, +h₄), +υ(+h₅, +h₆), +υ(+h₇, +h₈))

e₅(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄, +h₅, +h₆, +h₇, +h₈)=(-h₃, +h₄, +h₁, -h₂, -h₇, +h₈, +h₅, -h₆)=+g((+h₁, -h₂), (+h₃, -h₄), (+h₅, -h₆), (+h₇, -h₈))=+g(+ν(+h₁, +h₂), +ν(+h₃, +h₄), +ν(+h₅, +h₆), +ν(+h₇, +h₈))

e₆(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄, +h₅, +h₆, +h₇, +h₈)=(-h₆, +h₅, -h₈, +h₇, -h₂, +h₁, -h₄, +h₃)=+f((+h₂, -h₁), (+h₄, -h₃), (+h₆, -h₅), (+h₈, -h₇))=+f(-νυ(+h₁, +h₂), -νυ(+h₃, +h₄), -νυ(+h₅, +h₆), -νυ(+h₇, +h₈))

e₇(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄, +h₅, +h₆, +h₇, +h₈)=(-h₂, +h₁, -h₄, +h₃, +h₆, -h₅, +h₈, -h₇)=+1((-h₂, +h₁), (-h₄, +h₃), (+h₆, -h₅), (+h₈, -h₇))=+1(-νυ(+h₁, +h₂), -νυ(+h₃, +h₄), +νυ(+h₅, +h₆), +νυ(+h₇, +h₈))

We merken dat dezelfde operatie op individuele koppels klaarblijkelijk voor e₇ niet mogelijk is: het patroon dat mogelijk was voor de andere operatoren kan voor e₇ niet gevolgd worden. Dit wijst erop dat de operaties een bepaalde volgorde moeten respecteren. Dit is gelijkaardig als de strikte verdubbeling van de bitstrings bij toevoegen (of wegnemen) van een onderscheiding. De laatste operatie moet dus een 1-splitsing zijn en niet een 2-splitsing. We expliciteren dat in verschillende stappen:

e₇(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄, +h₅, +h₆, +h₇, +h₈)=(-h₂, +h₁, -h₄, +h₃, +h₆, -h₅, +h₈, -h₇)

In tegenstelling met de procedure die we hoger volgden, namelijk de ordening interpreteren als ((-h₂, +h₁), (-h₄, +h₃), (+h₆, -h₅), (+h₈, -h₇)), interpreteren we die nu als het koppel ((-h₂, +h₁, -h₄, +h₃), (+h₆, -h₅, +h₈, -h₇)). Dit is niet anders dan ν((-h₂, +h₁, -h₄, +h₃), (-h₆, +h₅, -h₈, +h₇)).

Elk van de termen zien we nu terug als koppel, dus

(-h₂, +h₁, -h₄, +h₃)=((-h₂, +h₁), (-h₄, +h₃))=(-νυ(h₁, h₂), -νυ(h₃, h₄))

(-h₆, +h₅, -h₈, +h₇)=((-h₆, +h₅), (-h₈, +h₇))=(-νυ(h₅, h₆), -νυ(h₇, h₈))

Zodanig dat er geldt dat

e₇(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄, +h₅, +h₆, +h₇, +h₈)=ν((-νυ(h₁, h₂), -νυ(h₃, h₄)), (-νυ(h₅, h₆), -νυ(h₇, h₈)))

Dus de procedure is als volgt te beschrijven: voer de operatie -νυ uit op alle vier de koppels, en voer op het resultaat dan operatie +ν uit.

In het algemeen zullen drie verschillende operaties moeten uitgevoerd worden. We illustreren dat met e₁.

e₁(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄, +h₅, +h₆, +h₇, +h₈)=(-h₈, -h₇, +h₆, +h₅, -h₄, -h₃, +h₂, +h₁)

We beschouwen dit nu als de volgende “inbedding” van koppels: (((-h₈, -h₇), (+h₆, +h₅)), ((-h₄, -h₃), (+h₂, +h₁))).

We gaan dat construeren door drie operaties uit te voeren op (((+h₁, +h₂), (+h₃, +h₄)), ((+h₅, +h₆), (+h₇, +h₈))).

We passen eerst een patroon toe op de diepste koppels, namelijk υ(h₁, h₂) is niet te onderscheiden van (h₂, h₁)

Dus we nemen (((+h₁, +h₂), (+h₃, +h₄)), ((+h₅, +h₆), (+h₇, +h₈))) en vormen (υ(+h₁, +h₂), υ(+h₃, +h₄)), (υ(+h₅, +h₆), υ(+h₇, +h₈)). Het resultaat is (((+h₂, +h₁), (+h₄, +h₃)), ((+h₆, +h₅), (+h₈, +h₇))).

We passen nu een patroon toe op de twee hogere koppels, namelijk νυ(h₁, h₂) is niet te onderscheiden van (+h₂, -h₁).

Dus we nemen (((+h₂, +h₁), (+h₄, +h₃)), ((+h₆, +h₅), (+h₈, +h₇))) en vormen (νυ((+h₂, +h₁), (+h₄, +h₃)), νυ((+h₆, +h₅), (+h₈, +h₇))). Het resultaat is (((+h₄, +h₃), (-h₂, -h₁)), ((+h₈, +h₇), (-h₆, -h₅))).

We passen nu een patroon toe op het hoogste koppel, namelijk -υ(h₁, h₂) is niet te onderscheiden van (-h₂, -h₁).

Dus we nemen (((+h₄, +h₃), (-h₂, -h₁)), ((+h₈, +h₇), (-h₆, -h₅))) en vormen -υ(((+h₄, +h₃), (-h₂, -h₁)), ((+h₈, +h₇), (-h₆, -h₅))). Het resultaat is (((-h₈, -h₇), (+h₆, +h₅)), ((-h₄, -h₃), (+h₂, +h₁))).

We hebben dus bewezen dat -υ(νυ(υ(+h₁, +h₂), υ(+h₃, +h₄)), νυ(υ(+h₅, +h₆), υ(+h₇, +h₈)))=(-h₈, -h₇, +h₆, +h₅, -h₄, -h₃, +h₂, +h₁)

Na deze drie transformaties hebben we (+h₁, +h₂, +h₃, +h₄, +h₅, +h₆, +h₇, +h₈) getransformeerd in (-h₈, -h₇, +h₆, +h₅, -h₄, -h₃, +h₂, +h₁), en dat is exact wat e₁ doet.

Alle splitsingen en dus alle haakuitdrukkingen kunnen dus gegenereerd worden vanuit de meest primitieve ordening van twee onbekenden. We hebben aangetoond dat het de ordening is die de toegevoegde onderscheiding modelleert. Nemen we hiervoor de laatst toegevoegde onderscheiding ℵ, dan kunnen we veronderstellen dat dit de impliciete toevoeging is aan alle koppels, dus dat alle koppels deel uitmaken van dezelfde dynamiek “op hetzelfde moment”, bijvoorbeeld in het model van <b> wordt de relatie tussen die koppels gemodelleerd als -υ(νυ(υ(+h₁, +h₂), υ(+h₃, +h₄)), νυ(υ(+h₅, +h₆), υ(+h₇, +h₈))).

Dit inzicht formuleren we nu nog anders: in een 2-splitsing zou men kunnen vermoeden dat er twee onderscheidingen “laatst toegevoegd werden”. Dit blijkt nu een niet toepasselijke interpretatie te zijn, er is immers altijd maar één laatst toegevoegde onderscheiding (die uiteraard dezelfde waarde kan hebben van de andere onderscheidingen).