Als we willen tellen dan mogen we enkel aspecten die elkaar uitsluiten tellen, dan pas zijn we immers zeker dat ze niet simultaan zijn. Alhoewel we altijd iets ervaren kunnen we toch modelleren dat we “niets tellen”, en dus “nul tellen”. Dit is een gevolg van het feit dat we altijd een aantal toestanden kunnen tellen (zij sluiten elkaar uit) en als we getelde toestanden sommeren is het resultaat soms nul. Immers: het totaal aantal toestanden in één universum is altijd gelijk aan 2ⁿ voor een n onderscheidingen universum. Voor een oneven aantal onderscheidingen is dit niet anders dan (3-1)ⁿ, voor een even aantal onderscheidingen is dat niet anders dan (3+1)^n/2. Een overzicht volgt in de tabel:

Wanneer we de toestanden dan allemaal sommeren, dan geldt voor een oneven universum dat de som gelijk is aan nul, voor een even universum is de som van <<>> met de som van toestanden gelijk aan nul. Dit is snel in te zien in het binair model (de som van drie identieke bits is nul). We zullen interpreteren dat dit modelleert dat evenwicht bereikt is voor die keuze van aantal onderscheidingen, dit is een zicht op de werkelijkheid dat “een verschil maakt dat geen verschil maakt”.

Voor elke haakuitdrukking kan er dus een universum gecreëerd worden met één onderscheiding meer waarbij de haakuitdrukking één-op-één afgebeeld kan worden op een andersduale haakuitdrukking in dat grootste universum en deze haakuitdrukking is dan telbaar. Dit is de uitdrukking van een aantal onderscheidingen met dezelfde waarde, waarde die verder niet gekend moet zijn. Als men telt, dan telt men minimaal twee. Minimaal telt men dus twee aspecten die zich onderscheiden maar die eigenlijk unieke voorbeelden of unieke exemplaren zijn van iets dat dan de eenheid of de soort is die geteld wordt. Dat is bijvoorbeeld wanneer we onderscheidingen tellen, neem twee onderscheidingen a en b, beide zijn ze voorbeelden van de soort “onderscheiding” en ze zijn een referentiepunt voor elkaar. Wat we tellen is dan een nieuwe eenheid, een nieuwe soort, noem deze u. Telbare welgevormde haakuitdrukkingen zijn andersduaal en worden dus voorgesteld door de uitdrukking <x_i><<x>_i>∼<>∼<x_i>•<<x>_i>, of dus <<>>∼<x_i>•<x>_i met i gelijk aan een geheel getal. Telbare eenheden bevinden zich op de uiterste niveaus (niveau 0) en op alle even niveaus van gelijk welke tralie. Ook het centraal niveau is een even niveau. In een universum met een even aantal onderscheidingen bevindt het hoogste vectorproduct zich op centraal niveau en is daar andersduaal. Dit vectorproduct met een even aantal onderscheidingen kan dan de rol spelen van de eenheid die geteld wordt en die we aangeduid hebben met u in een universum met één onderscheiding meer en dus een oneven universum. Meer dan een vectorproduct van elkaar uitsluitende aspecten hebben we niet nodig om de basisvectoren van een universum op te spannen.

We zullen nu aantonen dat met eenheden die geteld kunnen worden tralies kunnen opgebouwd worden vanuit de basis van twee aspecten (onderscheidingen, tralies, ...) die niet onderscheiden worden. We zullen daarbij aantonen dat tralies ook door een oneven aantal onderscheidingen kunnen opgespannen worden als gevolg van een veronderstelling in tralies met een even aantal onderscheidingen.

Eén dimensie vanuit twee onderscheidingen

Een één onderscheiding universum wordt opgespannen door twee punten: <<>> en a.

Veronderstel nu een tweede één onderscheiding universum, opgespannen door <<>> en b.

Als a en b zich niet onderscheiden en dus symbolen zijn voor dezelfde onderscheiding, bijvoorbeeld u, dan geldt a=b, of a•b=<<>>. a•b is een andersduaal punt en dus een telbaar eenheid. Als we beide onderscheidingen veranderen door hun inbedding dan verandert de eenheid niet. De waardetoekenning <<>> drukt uit dat a en b dezelfde waarde hebben, waarde die niet moet gekend zijn, we hoeven geen keuze te maken (ofwel beide <<>>, ofwel beide <>). Hier kunnen we er nog eens aan herinneren dat deze eigenschap gelijkaardig is als voor elk kwadraat van een getal, of het getal nu positief is of negatief is, een kwadraat zal altijd ofwel positief zijn (reële getallen) ofwel negatief zijn (imaginaire getallen).

Het één onderscheiding universum is ook het enige waar de onderscheiding zich op atomair niveau bevinden en waarbij a•b∼<<>> kan geïnterpreteerd worden als een product van atomen.

Dit kan uitgebreid worden met hogere andersduale punten naar bijvoorbeeld de structuur {<<>>, a•b•c•d, <a•b•c•d>, <>}, {<<>>, a•b•c•d•e•f, <a•b•c•d•e•f>, <>}, enz… die niet verschillend is van {<<>>, u, <u>, <>}. De hoogste 2n-vector speelt hierbij een speciale rol: de waardetoekenning zorgt ervoor dat tellen van die eenheid mogelijk is. Dit maakt duidelijk dat we de soort u tellen als het aantal onderscheidingen die dezelfde waarde hebben. Dit moeten we contrasteren met de intensiteit van gelijk welke haakuitdrukking. Immers: in de disjunctie (of conjunctie) van a•b met een A zal A kunnen geïnterpreteerd worden als de intensiteit die invariant is voor de tralie. A staat dus in disjunctie (of conjunctie) relatie met elk punt van de tralie, tralie die slechts door één onderscheiding opgespannen wordt en dus voorgesteld wordt door de welgevormde haakuitdrukking a•b. De tralie is dus de structuur {<<>>, a•b, <a•b>, <>} en dit is dus niet anders dan {<<>>, u, <u>, <>}. Het krachtige van deze manier van benaderen is dat we expliciet erkennen dat een andersduaal punt in een ander universum kan voorgesteld worden als een zelfduaal punt. Dat zal een rol spelen als we universa gaan combineren met elkaar.

Drie dimensies vanuit vier onderscheidingen

Het twee onderscheidingen universum wordt opgespannen door twee onderscheidingen en de operatie van een vectorproduct, maar ook door vier basisvectoren en een som operatie of door vier atomen en hun vectorproducten. Het hoogste vectorproduct is een 2-vector, stel a•b en dus andersduaal.

We kunnen nu een tweede ruimte veronderstellen opgespannen door c en d. Het hoogste vectorproduct in die ruimte is een 2-vector, c•d. We beschikken nu over vier onderscheidingen en we zullen nu veronderstellen dat beide ruimtes andere symboliseringen zijn van hetzelfde (dus bijvoorbeeld: de zelfduale punten in de ene ruimte kunnen andersdualen zijn in de andere ruimte).

Andersduaal in de ene ruimte is zelfduaal in de andere ruimte: c•d niet te onderscheiden van a

Zelfdualen in de ene ruimte die niet verschillend zijn van andersdualen in de andere ruimte kunnen we uitdrukken door te veronderstellen dat c•d niet te onderscheiden is van a, dus a•c•d=<<>>. Aangezien a•c•d zich op centraal niveau bevindt kunnen we dus ook verwachten dat dit betekent dat we van de oorspronkelijke vier naar drie onderscheidingen gaan.

We veronderstellen dus vier vectoren en één waardetoekenning, a, b, c en d en c•d∼a. Dit laatste kunnen we ook schrijven als a•d∼c of a•c∼d. Met deze vier vectoren construeren we nu alle mogelijke n-vectoren die zich kunnen onderscheiden.

Tabelvorm

We maken eerst een tabel met enkel de vier 1-vectoren en de zes 2-vectoren. De dubbels geven we een achtergrondkleur.

Er zijn dus 7 cellen die zich onderscheiden: a, b, a•b, c, d, b•c, b•d is een mogelijke keuze maar c•d, b, a•b, a•c, a•d, b•c, b•d is een evenwaardige keuze, en zo kunnen nog combinaties gemaakt worden.

Elke vector is te vermenigvuldigen met <<>>, of met a•c•d, dit genereert een andere vorm van dezelfde basisvectoren. We illustreren dat in de kolommen in een nieuwe voorstelling van dezelfde tabel:

We kunnen beide tabellen nu samen voorstellen:

De opspannende vectoren kunnen we nu vinden door (een combinatie van) de twee manieren van uitdrukken en zijn dus onder andere:

<<>>, a, b, c, d, a•b, b•c, b•d

<<>>, c•d, a•b•c•d, a•d, a•c, b•c•d, a•b•d, a•b•c

<<>>, c•d, a•b•c•d, a•d, a•c, a•b, b•c, b•d en dit zijn allemaal telbare andersduale haakuitdrukkingen in een niet gecollapst universum van vier onderscheidingen.

<<>>, a, b, c, d, a•b•c, a•b•d, b•c•d, en dit zijn, behalve <<>>, allemaal zelfduale haakuitdrukkingen in een niet gecollapst universum van vier onderscheidingen.

...

Die mogelijkheden zijn op de basisvectoren van drie onderscheidingen af te beelden, bijvoorbeeld <<>>, a, b, c, d∼a•c, a•b•c, a•b•d∼b•c, b•c•d∼a•b (een variant waarin d niet meer voorkomt). Aangezien er geldt dat c•d∼a of a•d∼c of a•c∼d kunnen we ook varianten maken waarin a of c niet meer voorkomt.

Vorm met een vaste keuze

Hetzelfde resultaat bereiken we dus ook wanneer we van de vier onderscheidingen vertrekken en 2-vectoren, 3-vectoren de 4-vector berekenen en dan onmiddellijk bijvoorbeeld d vervangen door a•c.

De 1-vectoren zijn: a, b, c en a•c en we zien dus 3 1-vectoren en 1 2-vector.

De 2-vectoren zijn: a•b∼a•b, a•c∼a•c, a•d∼a•a•c∼c, b•c∼b•c, b•d∼a•b•c, c•d∼a. Besluit: de zes 2-vectoren in vier onderscheidingen genereren de 3 2-vectoren van een drie onderscheidingen universum, 2 1-vectoren en 1 3-vector.

De 3-vectoren zijn: a•b•c∼a•b•c, a•b•d∼a•b•a•c∼b•c, a•c•d∼a•a∼<<>>, b•c•d∼a•b. Besluit: de vier 3-vectoren in vier onderscheidingen genereren <<>> en 2 2-vectoren van een drie onderscheidingen universum en de 3-vector. Die 2-vectoren en de 3-vector zijn dubbels.

De 4-vector is a•b•c•d∼a•b•a∼b. De ene 4-vector genereert 1 1-vector.

In totaal zijn er dus 8 unieke basisvectoren.

Andersduaal in de ene ruimte is andersduaal in de andere ruimte: c•d niet te onderscheiden van a•b

Zelfdualen in de ene ruimte die niet verschillend zijn van zelfdualen in de andere ruimte kunnen we uitdrukken door te veronderstellen dat c•d niet te onderscheiden is van a•b, het hoogste vectorproduct. Dat betekent ook dat a•d∼b•c en dat b•d∼a•c en a•b•c•d∼<<>>.

Tabelvorm

We kunnen deze structuur voorstellen in de onderstaande tabel met enkel de vier 1-vectoren en de zes 2-vectoren. De dubbels geven we een achtergrondkleur. Elke vector is te vermenigvuldigen met <<>>, of met a•b•c•d, dit genereert een andere vorm van dezelfde basisvectoren. De voorwaarde a•b•c•d∼<<>> drukt uit: alle onderscheidingen hebben dezelfde waarde, wat die ook moge zijn zonder dat we hierin een keuze moeten maken (ofwel allemaal <<>>, ofwel allemaal <>). We illustreren dat in de drie rechtse kolommen in de tabel:

Het valt op dat we nu niet meer een keuze van basisvectoren kunnen maken met enkel andersduale haakuitdrukkingen in een niet gecollapst universum.

Vorm met een vaste keuze

We kunnen ook de gelijkaardige constructie vanuit vier onderscheidingen onderzoeken. We veronderstellen dus vier vectoren, a, b, c en d en de beperking c•d∼a•b. We kunnen nu alle mogelijke vectorproducten met deze vier vectoren uitdrukken en onmiddellijk de beperking in een bepaalde zin realiseren.

De 1-vectoren: a, b, c en d

De 2-vectoren: a•b∼a•b, a•c∼a•a•b•d∼b•d, a•d∼a•a•b•c∼b•c, b•c, b•d∼a•c, c•d∼c•d∼c•a•b•c∼a•b. Besluit: de zes 2-vectoren in vier onderscheidingen genereren de drie 2-vectoren van een drie onderscheidingen universum.

De 3-vectoren: a•b•c∼a•b•a•b•d∼d, a•b•d∼a•b•a•b•c∼c, a•c•d∼a•a•b∼b, b•c•d∼b•a•b∼a. Besluit: de vier 3-vectoren in vier onderscheidingen genereren de vier vectoren van een drie onderscheidingen universum.

De 4-vector: a•b•c•d∼<<>>. De ene 4-vector genereert <<>>.

De tralie die hierdoor opgespannen wordt heeft dus 3+4+1 of dus 8 basisvectoren en is dus af te beelden op een drie onderscheidingen universum. We kunnen hiertoe 8 basisvectoren vrij kiezen, bijvoorbeeld <<>>, b•c•d, a•c•d, a•b•d, a•b, a•c, b•c, d maar geen met enkel andersduale haakvectoren in een niet gecollapst universum.

Dimensies vanuit zes onderscheidingen

We breiden het onderzoek nog een stap verder uit omdat we bij het onderzoek naar het 2-splitsing model een situatie konden veronderstellen waarbij er zes aspecten relevant zijn waarvan we er vier konden interpreteren als intensiteiten (dus coëfficiënten genoemd) van de basis in twee onderscheidingen. De basis in twee onderscheidingen is (<>, a, b, a•b), de coëfficiënten zijn {h₁, h₂, h₃, h₄} en het zijn die coëfficiënten die we terugvinden als we naar de basis van de toestanden overgaan, namelijk het viertal (<<a><b>>, <a<b>>, <<a>b>, <ab>). De transformatie is de Hadamard operator H₄. Het is duidelijk dat deze relatie het onvermijdelijk gevolg is van het feit dat een som van drie welgevormde haakuitdrukkingen met dezelfde waarde gelijk is aan nul. De welgevormde haakuitdrukkingen kunnen geïnterpreteerd worden als gedefinieerd in zes onderscheidingen: {h₁, h₂, h₃, h₄, a, b} waarbij {h₁, h₂, h₃, h₄} dezelfde waarde hebben en er dus geldt dat h₁•h₂•h₃•h₄=<<>> want de sommen die nul worden zijn dan enkel afhankelijk van a en b.

Wat we nu willen onderzoeken is wat de gevolgen zijn van een veronderstelling h₁•h₂•h₃=<<>>, want het blijkt dat we dan twee drie onderscheidingen universa krijgen die met elkaar gerelateerd zijn. We veronderstellen daartoe een ruimte opgebouwd met a, b en c, versus een ruimte opgebouwd met d, e, f.

Andersduaal in de ene ruimte is zelfduaal in de andere ruimte

Stel a•b∼d, a•c∼e, en b•c∼f (en dus a•b•c∼b•d•f∼b•e∼c•d∼a•f en d•e•f∼<<>>) en dat betekent dat we van zes naar drie onderscheidingen gaan (drie onafhankelijke waarde toekenningen).

We maken alle 2-vectoren naar analogie met de vorige tabellen en de dubbels geven we een achtergrondkleur:

De opspannende basisvectoren zijn dus bijvoorbeeld: <<>>, a, b, c, d, e, f, a•f

Maar ook kunnen we een keuze maken met enkel 2-vectoren: <<>>, b•d, a•d, a•e, a•b, a•c, b•c, a•f. Die zijn dus allemaal telbaar in een niet gecollapst universum van 6 onderscheidingen.

Uit de tabel blijkt dat er geen unieke 2-vectoren zijn bijvoorbeeld d kan voorgesteld worden door zowel a•b als e•f, enz...

De 15 mogelijke 2-vectoren herleiden tot 6 1-vectoren en 1 3-vector: a•b•c, samen 7. Behalve a•b•c blijken er ook geen andere 3-vectoren te zijn:

Van de 20 3-vectoren is er maar één uniek, er komen dus geen vectoren bij en het resultaat zijn bijvoorbeeld de 8 basisvectoren: <<>>, a, b, c, d, e, f, a•b•c en dat is af te beelden op drie onderscheidingen.

Zelfduaal in de ene ruimte is zelfduaal in de andere ruimte: a•b•c niet onderscheiden van d•e•f

We veronderstellen een eerste ruimte met <<>>, a, b, c, a•b•c•a∼b•c, a•b•c•b∼a•c, a•b•c•c∼a•b, a•b•c, en een tweede ruimte opgespannen door d, e en f die een ander zicht geeft op hetzelfde universum, wat we uitdrukken door te veronderstellen dat d•e•f niet te onderscheiden is van a•b•c. De tweede ruimte is dus opgespannen door <<>>, d, e, f, d•e•f•d∼e•f, d•e•f•e∼d•f, d•e•f•f∼d•e, d•e•f. De voorwaarde is dus a•b•c•d•e•f∼<<>>. Aangezien a•b•c•d•e•f zich op centraal niveau bevindt kunnen we dus ook verwachten dat dit betekent dat we van 6 naar 5 onderscheidingen gaan. Dit is een volledig nieuwe situatie die zich onderscheidt van de interpretatie met 2, 3 of 4 onderscheidingen.

We kunnen beide ruimtes nu combineren met elkaar door alle vectoren met elkaar te vermenigvuldigen en te onderzoeken welke structuren daarmee gevormd worden.

Uit d•e•f∼a•b•c kunnen we volgende soorten 3-vectoren afleiden:

d•e•f•a•d∼a•b•c•a•d

a•e•f∼b•c•d

enz…

Zo zijn er maar 10 verschillende (in plaats van de potentieel mogelijke 20 in zes onderscheidingen), 9 ervan zijn een combinatie van vectoren uit de twee universa, 1 (namelijk d•e•f die niet verschillend is van a•b•c) is een combinatie van vectoren uit hetzelfde universum.

Het vectorproduct van sommige 3-vectoren van de eerste soort met elkaar is gelijk aan een 2-vector, bijvoorbeeld: er geldt dat (b•c•f)•(a•e•f)∼a•b•c•e∼d•e•f•e∼d•f maar aangezien er geldt dat b•c•d∼a•e•f, is dus (b•c•d)•(a•e•f)∼<<>> en dat is geen 2-vector. Dit betekent dat de 3-vectoren minstens een gemeenschappelijke onderscheiding moeten hebben om een 2-vector te kunnen vormen.

Er zijn 15 2-vectoren.

We kunnen dan ook 4-vectoren en 2-vectoren met elkaar verbinden. Hierin ontstaan er drie groepen: de 2-vectoren van het eerste universum, de 2-vectoren van het tweede universum en de 2-vectoren met een element van het eerste universum, en een van het tweede universum. Hiermee vormen we alle 2-vectoren, namelijk 3+3+3*3=15

c•<d•e•f>∼c•<a•b•c>

c•d•e•f∼a•b

d•<d•e•f>∼d•<a•b•c>

e•f∼a•b•c•d

a•b•f•<d•e•f>∼a•b•f•<a•b•c>

a•b•d•e∼c•f

a•c•f•<d•e•f>∼a•c•f•<a•b•c>

a•c•d•e∼b•f

enz...

Behalve de Klein viergroep die door de 2-vectoren uit elk universum gevormd wordt ontstaan ook drie gemengde Klein viergroepen met enkel andersduale componenten. Ook hier is <<>> niet anders dan het vectorproduct van de drie vectoren, namelijk a•b•c•d•e•f:

Er zijn dus 2+3=5 onderliggende twee onderscheidingen universa opgespannen door de drie 2-vectoren van elke Klein viergroep. Onderliggend zijn er dus ook 5 drie onderscheidingen universa. Dat is maar de helft van de 10 die men zou verwachten als 5 onderscheidingen niet met elkaar gerelateerd zijn.

We kunnen dit expliciet als volgt illustreren:

Neem bijvoorbeeld a•f, c•e en b•d en de 3-vector a•c•d, dan vormen de volgende drie de vectoren van een drie onderscheidingen universum: x∼a•f•a•c•d∼c•d•f, y∼c•e•a•c•d∼a•d•e en z∼b•d•a•c•d∼a•b•c, inderdaad x•y∼c•d•f•a•d•e∼a•c•e•f∼b•d, x•z∼c•d•f•a•b•c∼a•b•d•f∼c•e en y•z∼a•d•e•a•b•c∼b•c•d•e∼a•f.

Dit is niet verschillend van a•f, c•e en b•d en de 3-vector b•e•f, want: x∼a•f•b•e•f∼a•b•e, y∼c•e•b•e•f∼b•c•f en z∼b•d•b•e•f∼d•e•f, en x•y∼a•b•e•b•c•f∼a•c•e•f∼b•d, x•z∼a•b•e•d•e•f∼a•b•d•f∼c•e en y•z∼b•c•f•d•e•f∼b•c•d•e∼a•f.

Dit is niet verschillend van a•f, c•e en b•d en de 3-vector a•b•c, want: x∼a•f•a•b•c∼b•c•f, y∼c•e•a•b•c∼a•b•e en z∼b•d•a•b•c∼a•c•d, en x•y∼b•c•f•a•b•e∼a•c•e•f∼b•d, x•z∼b•c•f•a•c•d∼a•b•d•f∼c•e en y•z∼a•b•e•a•c•d∼b•c•d•e∼a•f.

Uiteindelijk kunnen we 5-vectoren verbinden met elke vector, bijvoorbeeld: a•b•c•d•f∼e. Dus vijf vectoren zijn voldoende om alle basisvectoren te kunnen vormen.

a•d•f∼(b•c•d•e•f)•(a•b•c•e•f)•(a•b•c•d•e)∼b•c•e

enz...

Dit onderzoek toont aan dat er één gesloten universum te vormen is met a, b, c, d, e, f onder de voorwaarde a•b•c•d•e•f∼<<>>. Het universum wordt opgespannen door <<>>, 6 vectoren, 15 2-vectoren en 10 3-vectoren want de 4-vectoren zijn niet verschillend van de 2-vectoren en de 5-vectoren zijn niet verschillend van de vectoren. In totaal dus 32 welgevormde haakuitdrukkingen, en dit komt overeen met het aantal basis vectoren van een vijf onderscheidingen universum, waarbij een van de vectoren als 5-vector genomen wordt.

Het vijf onderscheidingen universum kan daarenboven ook afgebeeld worden op een universum met 6 atomen (die elkaar dus uitsluiten), 15 atoomburen, 10 punten op centraal niveau en de 10 inbeddingen daarvan (die zich ook op centraal niveau bevinden), 15 ingebedde atoomburen en 6 ingebedde atomen (die elkaar insluiten). In totaal dus 64∼2⁶ welgevormde haakuitdrukkingen. Dit is dan weer op een gecollapst drie onderscheidingen universum af te beelden. Het is belangrijk om dit in te zien, want wat hier gebeurt is dat de inbedding in de eenheden gemodelleerd wordt in plaats van in de coëfficiënten van die eenheden. Structuur informatie bevindt zich dus op de plaats waar ze thuishoort en wordt niet in coëfficiënten verborgen.

In dit vijf onderscheidingen universum nemen <<>> en a•b•c∼d•e•f een speciale plaats in. De 30 overige kunnen we in tabel vorm als volgt voorstellen, waarbij we de speciale rol van a•b•c∼d•e•f beklemtonen in de drie meest rechtse kolommen:

De uiteindelijke lijst van de basisvectoren is dan met f∼a•b•c•d•e, behalve <<>> en a•b•c, ook de 30 volgende

Dat zijn <<>> en 5 1-vectoren, 10 2-vectoren, 10 3-vectoren, 5 4-vectoren, 1 5-vector of een structuur (1, 5, 10, 10, 5, 1).

De vectoren a, d, a•d, b•d, c•d (eerste kolom) zijn mogelijke basisvectoren van een vier onderscheidingen universum, inderdaad: b wordt gevormd door (d)•(b•d), c wordt gevormd door (d)•(c•d), a•b wordt gevormd door (a•d)•(b•d), a•c wordt gevormd door (a•d)•(c•d), b•c wordt gevormd door (b•d)•(c•d), a•b•c wordt gevormd door (a)•(b•d)•(c•d), a•c•d wordt gevormd door (a)•(c•d), b•c•d wordt gevormd door (d)•(b•d)•(c•d) en uiteindelijk: a•b•c•d wordt gevormd door (a•d)•(b•d)•(c•d). Dit geldt voor de drie eerste kolommen die dus ook onderliggend drie vier onderscheidingen universa geven in het vijf onderscheidingen universum. Ze zijn (a, b, c, d), (a, b, c, e), (a, b, c, a•b•c•d•e). Er zijn in het vijf onderscheidingen universum vijf vier onderscheidingen onderliggend, de twee die we nog niet gehad hebben zijn (b, c, d, e) en (b, c, d, a•b•c•d•e).

Als we dit willen uitbreiden naar de vijf basisvectoren, dan is het voldoende om bijvoorbeeld a te vervangen door e en te nemen: e, d, a•d, b•d, c•d, of een andere combinatie van basisvectoren te zoeken.

Dezelfde tabel kan ook als volgt opgebouwd worden met in de drie meest linkse kolommen enkel andersduale punten in een niet gecollapst universum van 6 onderscheidingen:

Gevolg

Een drie onderscheidingen universum wordt opgespannen door 8 basisvectoren of 8 elkaar uitsluitende atomen. De som van de bits van elke basisvector is gelijk aan nul (50% hoogbits en 50% laagbits). Hetzelfde geldt voor de atomen in drie onderscheidingen: het is een som van 6 identieke bits (dus gelijk aan nul) en twee tegengestelde bits (en dus ook gelijk aan nul). Hetzelfde geldt voor de atomen in vijf onderscheidingen: het is een som van 30 identieke bits (dus gelijk aan nul) en twee tegengestelde bits (en dus ook gelijk aan nul) en elk universum met een oneven aantal onderscheidingen.

Het is intrigerend wat er zou kunnen besloten worden uit de hypothese a•b•c•d•e•f∼<<>> wanneer we een 6-vector maken als een mengeling van basisvectoren en atomen.

De structuur met enkel atomen

We onderzoeken eerst het patroon van zes AND atomen, dit is mogelijk door maar zes bits te beschouwen:

a: 011111

b: 101111

c: 110111

d: 111011

e: 111101

f: 111110

a•b∼001111

a•c∼010111

b•c∼100111

We merken op, dank zij de bitstrings, dat het onmogelijk is om op deze manier drie andersdualen te maken.

(a•b)•(a•c)•(b•c)∼111111 supremum en ze vormen een Klein viergroep.

a•b•c∼000111 infimum van drie atomen

(d•e)•(d•f)•(e•f)∼111111 supremum en ze vormen een Klein viergroep.

d•e•f∼111000 infimum van de drie andere atomen en verschillend van a•b•c

Met de hypothese a•b•c•d•e•f∼<<>> gaan we nu zoeken onder welke voorwaarde d•e•f∼000111. We laten d en e ongemoeid en passen enkel f aan, dus d•e•f moet gelijk zijn aan (111001)•f∼000111 waaruit f∼000001 dus de inbedding van een atoom. Dus als f∼000001 dan is d•e•f∼000111 en niet verschillend van a•b•c

Dus de finale zes atomen zijn:

a: 011111

b: 101111

c: 110111

d: 111011

e: 111101

f: 000001

Hieruit volgt:

d•e∼111001

d•f∼000101

e•f∼000011

(d•e)•(d•f)•(e•f)∼111111 supremum dus ze sluiten elkaar per drie uit en ze vormen een Klein viergroep.

d•e•f∼000111 infimum

Besluit: het patroon van zes atomen voldoet aan de voorwaarde a•b•c•d•e•f∼<<>> wanneer een van de atomen de inbedding is van de andere. Aangezien we enkel vectorproducten als operatie gebruikt hebben kunnen we dat patroon aanvullen met twee hoogbits tot 8 bits zonder de conclusie te veranderen en zo uitgaan van

a∼10111111

b∼11011111

c∼11101111

d∼11110111

e∼11111011

f∼10000011

De som van de 6 welgevormde haakuitdrukkingen is x00000xx en hierin zijn maar 5 betekende bits

a•b∼10011111

a•c∼10101111

b•c∼11001111

d•e∼11110011

d•f∼10001011

e•f∼10000111

a•b•c∼10001111

d•e•f∼10001111

Geen van deze structuren is andersduaal en dus telbaar.

De structuur met atomen en onderscheidingen

Er is ook een structuur met atomen, onderscheidingen en telbare componenten te construeren.

We veronderstellen dat d∼01111111 en e∼11111110 en dus d•e wordt voorgesteld door 01111110 en is andersduaal en telbaar. Als d•e niet verschillend is van <<>> dan geldt x111111x en dit supremum wordt uitputtend gemodelleerd door enkel de onderling orthogonale vectoren die gebaseerd zijn op a, b, c te gebruiken. Er is dus een zicht vanuit de atomen (d en e) en een vanuit de onderscheidingen (a, b, c). We kunnen de inzichten dus vertalen door gebruik te maken van de volledige lijst van welgevormde haakvectoren in drie onderscheidingen. We kunnen nu verschillende systemen opbouwen met een aantal telbare uitdrukkingen, aantal dat we zo groot mogelijk maken.

Eerste mogelijkheid

We lijsten eerst alle aspecten op waarbij we voor a, b en c telbare haakuitdrukkingen gebruiken en ze coderen als a’, b’, c’.

a’∼10111101 is <>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕c•b is <<c•a><<c•b>>>

b’∼11011011 is <>⊕<b•a>⊕c•a⊕<c•b> is <<<c•a>><c•b>>

c’∼11100111 is <>⊕b•a⊕<c•a>⊕<c•b> is <<c•a><c•b>>

d∼01111111 is <a>⊕<b>⊕<c>⊕<b•a>⊕<b•c>⊕<c•a>⊕<c•b•a> is <cba>

e∼11111110 is a⊕b⊕c⊕<b•a>⊕<b•c>⊕<c•a> ⊕c•b•a is <<c><b><a>>

d•e∼01111110 is <>⊕b•a⊕c•a⊕c•b is <<<c•a>><<c•b>>>

a’•b’•c’∼10000001 is <<>>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b> is <<c•a>><<c•b>>

d•e•f∼10000001 moet gelden dus f∼00000000 is <> en f is, zoals ook d•e, telbaar.

a’•b’∼10011001 is b•a het vectorproduct van de atoomburen is niet verschillend van het vectorproduct van de onderscheidingen.

a’•c’∼10100101 is c•a

b’•c’∼11000011 is c•b

d•f∼<d>∼10000000 is a⊕b⊕c⊕b•a⊕b•c⊕c•a⊕c•b•a is cba

e•f∼<e>∼00000001 is <a>⊕<b>⊕<c>⊕b•a⊕b•c⊕c•a⊕<c•b•a> is <c><b><a>

a’•f∼<a’>

b’•f∼<b’>

c’•f∼<c’>

a’•d•e∼00111100 is <c•b>

b’•d•e∼01011010 is <c•a>

c’•d•e∼01100110 is <b•a>

a’⊕b’⊕c’ is x000000x

(a’⊕b’⊕c’)•f is x111111x

d⊕e is x000000x

a’⊕b’⊕c’⊕<d>⊕<e> is xxxxxxxx

Tweede mogelijkheid

a’∼10011001 is b•a

b’∼10100101 is c•a

c’∼11000011 is c•b

a’⊕b’⊕c’ is x000000x

a’•b’•c’∼11111111

<d>∼10000000

<e>∼00000001

a’⊕b’⊕c’⊕<d>⊕<e>∼xxxxxxxx

Met d•e∼01111110 wordt d•e•f∼01111110•f∼11111111 dus f∼01111110∼d•e

a•b•d•e∼00011000

a•c•d•e∼00100100

b•c•d•e∼01000010

Dus ook:

a•b•d•e⊕a•c•d•e⊕b•c•d•e⊕<d>⊕<e>∼xxxxxxxx

Derde mogelijkheid

a’∼01100110 is <b•a>

b’∼01011010 is <c•a>

c’∼00111100 is <c•b>

a’⊕b’⊕c’ is x111111x

a’•b’•c’∼00000000

d∼01111111

e∼11111110

a’⊕b’⊕c’⊕d⊕e∼xxxxxxxx

Met d•e∼01111110 wordt d•e•f∼01111110•f∼00000000 dus f∼10000001∼<d•e>

<a•b•d•e>∼11100111

<a•c•d•e>∼11011011

<b•c•d•e>∼10111101

Dus ook:

<a•b•d•e>⊕<a•c•d•e>⊕<b•c•d•e>⊕d⊕e∼xxxxxxxx

Vierde mogelijkheid

a’∼01100110 is <b•a>

b’∼01011010 is <c•a>

c’∼00111100 is <c•b>

a’⊕b’⊕c’ is x111111x

a’•b’•c’∼00000000

<d>∼10000000

e∼11111110

d⊕e∼x000000x

a’⊕b’⊕c’⊕d⊕e∼xxxxxxxx

Met <d>•e∼10000001 wordt d•e•f∼10000001•f∼00000000 dus f∼01111110∼d•e

<a•b>•<d•e>∼00011000

<a•c>•<d•e>∼00100100

<b•c>•<d•e>∼01000010

Dus ook:

a•b•d•e⊕a•c•d•e⊕b•c•d•e⊕<d>⊕e•d•e•f∼a•b•d•e⊕a•c•d•e⊕b•c•d•e⊕<d>⊕<e>∼xxxxxxxx