Elke welgevormde haakuitdrukking H kan uitgedrukt worden als som van drie gewogen projectoren met cartesiaanse coëfficiënten.

We kiezen voor de vorm waarbij q in de projectoren niet aanwezig is.

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<p•q>•(<>⊕<p•r>)⊕p•q•(<>⊕<p•s>)⊕r•p•(<>⊕<r•s>)

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<r•q>•(<>⊕<p•r>)⊕s•q•(<>⊕<p•s>)⊕r•p•(<>⊕<r•s>)

We merken nu op dat de drie 2-vectoren, namelijk p•r, p•s, r•s met elkaar gerelateerd zijn, inderdaad: p•r•p•s=r•s, dus als we deze bivectoren in drie onderscheidingen uitdrukken kunnen we de hele uitdrukking in drie onderscheidingen voorstellen, bijvoorbeeld in de vertaling q↔<<>>, p↔c, r↔b, s↔a. Dus:

H=b⊕<b•c>⊕<c•a>⊕<a>=<c>•(<>⊕<c•b>)⊕c•(<>⊕<a•c>)⊕c•b•(<>⊕<b•a>)=<b>•(<>⊕<c•b>)⊕a•(<>⊕<a•c>)⊕c•b•(<>⊕<b•a>). De projectoren en de drie dimensies zijn dus (<>⊕<b•a>), (<>⊕<a•c>) en (<>⊕<c•b>). De drie projectoren noemen we drie ruimtelijke assen {(<>⊕<a•b>), (<>⊕<a•c>), (<>⊕<b•c>)} en de welgevormde haakuitdrukking H is op een unieke manier gegeven door de drie coëfficiënten {<a>, a, a•b} of {<b>, c, a•b}.

Het is snel te controleren dat H=<a>⊕b⊕<c•a>⊕<b•c>=(a⊗<b>)_c=(a⊗c•b)_c=(c•a⊗<b>)_c enz… H is dus uit te drukken in de basis van c als a•(<>⊕<c>)⊕<b>•(<>⊕c) en dus is H in de duale basis: c•(<a>⊕<b>)⊕<<>>•(<a>⊕b). In bitstring is H (+-+---++).

We berekenen de vectorproducten van de projectoren en bekomen telkens dezelfde uitdrukking:

(<>⊕<a•b>)•(<>⊕<a•c>)=<<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c

(<>⊕<a•b>)•(<>⊕<b•c>)=<<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c

(<>⊕<a•c>)•(<>⊕<b•c>)=<<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c

Dit is de projector van een welgevormde haakuitdrukking: <<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c=(<>⊕(<>⊕a•c⊕a•b⊕b•c)) met A₁=<>⊕a•c⊕a•b⊕b•c ∼ (-++++++-). A₁=<>⊕a•c⊕a•b⊕b•c is een atoom in een twee onderscheidingen universum: het universum opgespannen door twee van de welgevormde haakuitdrukkingen die de drie projectoren vormen. Immers A₁ is de welgevormde haakuitdrukking <<<a•c>><<a•b>>>, die niet te onderscheiden is van <<<a•c>><<b•c>>>, die niet te onderscheiden is van <<<a•b>><<b•c>>>. In bitstring zijn de assen {(+xx++xx+), (+x+xx+x+), (++xxxx++)}. Elke as is het supremum van een deelruimte. De assen zijn niet orthogonaal.

Noteer dat met zijn orthogonale involutie elke projector een voorbeeld is van een symmetrische 1-splitsing (zoals bijvoorbeeld (++xxxx++) of <>⊕<b•c>). Door de structuur te onderzoeken van de drie dimensionale ruimte onderzoeken we ook de structuren tussen 1-splitsingen die onderling gerelateerd zijn.

<>⊕A₁=<<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c is een projector voor de drie assen en gedraagt zich als een centraal punt, immers:

(<<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c)•(<>⊕<a•c>)=<>⊕<a•c>⊕<a•c>⊕<>⊕<a•b>⊕<b•c>⊕<b•c>⊕<a•b>=<<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c

(<<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c)•(<>⊕<b•c>)=<>⊕<b•c>⊕<a•c>⊕<a•b>⊕<a•b>⊕<a•c>⊕<b•c>⊕<>=<<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c

(<<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c)•(<>⊕<a•b>)=<>⊕<a•b>⊕<a•c>⊕<b•c>⊕<a•b>⊕<>⊕<b•c>⊕<a•c>=<<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c

Dus in de veronderstelling dat A₁ de waarde <<>> heeft (en dus a•c⊕a•b⊕b•c de waarde <> moet hebben en dus zeker verschillend moet zijn van de nulvector) is het centraal punt <<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c=(<>⊕(<>⊕a•c⊕a•b⊕b•c)) de nulvector en zijn de drie projectoren twee-aan-twee orthogonaal. <>⊕A₁=<<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c gedraagt zich als een centraal punt. Inderdaad (<>⊕<a•b>)•(<>⊕<a•c>)=<<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c=X enz… De coëfficiënten zijn dan cartesiaans. De conjunctie van de drie orthogonale projectoren is dan onmogelijk. Immers: de conjunctie van twee is <>⊕(<<>>⊕a•b)⊕(<<>>⊕a•c)⊕(<>⊕<a•b>)•(<>⊕<a•c>)=<>⊕(<<>>⊕a•b)⊕(<<>>⊕a•c)=<<>>⊕a•c⊕a•b=<b•c> (want <>⊕a•c⊕a•b⊕b•c=<<>> dus a•c⊕a•b=<>⊕<b•c> dus <<>>⊕a•c⊕a•b=<b•c>) en de conjunctie met de derde orthogonale projector (<>⊕<b•c>) is dan <>⊕(<<>>⊕b•c)⊕b•c⊕(<>⊕<b•c>)•<b•c>=<b•c>⊕b•c⊕<<>>=<<>>. De drie projectoren spannen dus een Euclidische ruimte op.

De veronderstelling dat A₁ de waarde <<>> heeft betekent dat a•c⊕a•b⊕b•c de waarde <> moet hebben en dus zeker verschillend moet zijn van de nulvector. Aangezien een som van welgevormde haakuitdrukkingen met dezelfde waarde gelijk is aan de nulvector, betekent dit dat de drie 2-vectoren een verschillende waarde moeten hebben en dat betekent dan weer dat de drie vectoren niet dezelfde waarde mogen hebben.

Indien het centraal standpunt A₁ niet onderscheiden is van <<>> dan noteren we dit ook als de projector (<>⊕<A₁>)=(<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>) ∼ (x++++++x) en dit is het supremum van een deelruimte met zes betekende bits. Deze is de orthogonale involutie van de deelruimte <<>>⊕b•a⊕c•a⊕c•b=(<>⊕A₁)=<>•(<<>>⊕<A₁>) ∼ (+xxxxxx+) met twee betekende bits.

In dat gecollapst universum zijn de drie assen (<>⊕<b•a>), (<>⊕<a•c>) en (<>⊕<c•b>) in bitstring {(xxx++xxx), (xx+xx+xx), (x+xxxx+x)} en zijn ze duidelijk orthogonaal. In haakuitdrukking zijn ze:

<<>>⊕b•a⊕<b•c>⊕<c•a>

<<>>⊕<b•a>⊕<b•c>⊕c•a

<<>>⊕<b•a>⊕b•c⊕<c•a>

De som van deze drie is niet anders dan <b•a>⊕<c•a>⊕<c•b> en in het gecollapste universum dat we veronderstellen is die niet verschillend van (x++++++x), dus <<>>, dus dit kan doorgaan voor een pseudoscalair, de projector van <A₁>, iets anders dan het centraal punt, het kwadraat van gelijk welk punt in die ruimte. De grootte van de som is gelijk aan de som van kwadraten van de drie projectoren.

De orthogonale ruimte van de oorspronkelijke assen worden bekomen door de drie sommen per twee te berekenen, bijvoorbeeld (<<>>⊕b•a⊕<b•c>⊕<c•a>)⊕(<<>>⊕<b•a>⊕<b•c>⊕c•a)=<>⊕b•c. Inderdaad: (<>⊕b•c) is orthogonaal met (<>⊕<b•c>). Het verschil is dan (<<>>⊕b•a⊕<b•c>⊕<c•a>)⊕(<>⊕b•a⊕b•c⊕<c•a>)=<b•a>⊕c•a. En voor elk tweetal assen, en dus tweedimensionale ruimte hebben we dan een orthogonale basis en zijn diagonale vorm. In dit geval dus {(<<>>⊕b•a⊕<b•c>⊕<c•a>); (<<>>⊕<b•a>⊕<b•c>⊕c•a)} versus {(<>⊕b•c); (<b•a>⊕c•a)}.

De drie assen {(<>⊕<a•b>), (<>⊕<a•c>), (<>⊕<b•c>)} hebben elk een orthogonale as namelijk {(<>⊕a•b), (<>⊕a•c), (<>⊕b•c)}. Met het eerste drietal assen hebben we assen geconstrueerd in een gecollapste ruimte gebaseerd op A₁, assen die onderling wel orthogonaal zijn, namelijk {(<<>>⊕b•a⊕<b•c>⊕<c•a>), (<<>>⊕<b•a>⊕<b•c>⊕c•a), (<<>>⊕<b•a>⊕b•c⊕<c•a>)}.Elk van die assen heeft terug een orthogonale as namelijk {(<<>>⊕<b•a>⊕b•c⊕c•a), (<<>>⊕b•a⊕b•c⊕<c•a>), (<<>>⊕b•a⊕<b•c>⊕c•a)}. Wanneer we nu onderzoeken of het nieuwe drietal {(<>⊕a•b), (<>⊕a•c), (<>⊕b•c)} orthogonaal kan gemaakt worden door de vectorproducten te berekenen, dan bekomen telkens een andere uitdrukking, en elke uitdrukking blijkt een as te zijn van A₁:

(<>⊕a•b)•(<>⊕a•c)=<<>>⊕<a•c>⊕<a•b>⊕b•c

(<>⊕a•b)•(<>⊕b•c)=<<>>⊕<b•c>⊕<a•b>⊕a•c

(<>⊕a•c)•(<>⊕b•c)=<<>>⊕<b•c>⊕<a•c>⊕a•b

De voorwaarde voor orthogonaliteit wordt voldaan wanneer alle vectorproducten dezelfde waarde hebben en dus a•c⊕a•b⊕b•c=<a•c>⊕<a•b>⊕<b•c>=X en dat is onmogelijk te verenigen met de voorwaarde voor orthogonaliteit van het drietal {(<>⊕<a•b>), (<>⊕<a•c>), (<>⊕<b•c>)}, die namelijk vereist dat a•c⊕a•b⊕b•c de waarde <> moet hebben en dus zeker verschillend moet zijn van de nulvector.

Vier soorten centrale atomen

Elk van de orthogonale assen van A₁ is de projector van een ander centraal atoom:

<<>>⊕b•a⊕<b•c>⊕<c•a>=(<>⊕(<>⊕b•a⊕<b•c>⊕<c•a>))=(<>⊕A₄)

<<>>⊕<b•a>⊕<b•c>⊕c•a=(<>⊕(<>⊕<b•a>⊕<b•c>⊕c•a))=(<>⊕A₃)

<<>>⊕<b•a>⊕b•c⊕<c•a>=(<>⊕(<>⊕<b•a>⊕b•c⊕<c•a>))=(<>⊕A₂)

Zoals A₁ zijn er immers nog drie andere:

A₁=<>⊕a•c⊕a•b⊕b•c ∼ (-++++++-)

A₂=<>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕c•b ∼ (+-++++-+)

A₃=<>⊕<b•a>⊕c•a⊕<c•b> ∼ (++-++-++)

A₄=<>⊕b•a⊕<c•a>⊕<c•b> ∼ (+++--+++)

Ze transformeren in elkaar door twee 2-vectoren in te bedden en dus kunnen we nu verschillende sommen berekenen:

(<>⊕A₄)=<<>>⊕b•a⊕<b•c>⊕<c•a>

(<>⊕A₃)=<<>>⊕<b•a>⊕<b•c>⊕c•a

(<>⊕A₂)=<<>>⊕<b•a>⊕b•c⊕<c•a>

(<>⊕A₄)⊕(<>⊕A₃)⊕(<>⊕A₂)=(<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>)=(<>⊕<A₁>)

<(<>⊕A₄)>=<>⊕<b•a>⊕b•c⊕c•a

<(<>⊕A₃)>=<>⊕b•a⊕b•c⊕<c•a>

(<>⊕A₂)=<<>>⊕<b•a>⊕b•c⊕<c•a>

<(<>⊕A₄)>⊕<(<>⊕A₃)>⊕(<>⊕A₂)=<>⊕<b•a>⊕<c•a>=A₁^s3

(<>⊕A₄)=<<>>⊕b•a⊕<b•c>⊕<c•a>

<(<>⊕A₃)>=<>⊕b•a⊕b•c⊕<c•a>

<(<>⊕A₂)>=<>⊕b•a⊕<b•c>⊕c•a

(<>⊕A₄)⊕<(<>⊕A₃)>⊕<(<>⊕A₂)>=<>⊕<b•c>⊕<c•a>=A₁^s1

<(<>⊕A₄)>=<>⊕<b•a>⊕b•c⊕c•a

(<>⊕A₃)=<<>>⊕<b•a>⊕<b•c>⊕c•a

<(<>⊕A₂)>=<>⊕b•a⊕<b•c>⊕c•a

<(<>⊕A₄)>⊕(<>⊕A₃)⊕<(<>⊕A₂)>=<>⊕<b•a>⊕<b•c>=A₁^s2

De som (<>⊕<A₁>)⊕A₁^s1⊕A₁^s2⊕A₁^s3=X

We zullen nu het centraal atoom A_i beschouwen als een soort, immers deze welgevormde haakuitdrukking heeft alle karakteristieken van een telbare eenheid. Aangezien deze vier atoomburen zijn (en atomen niet telbaar zijn) is elke A_i ook een soort (telbare) toestand. We merken immers dat de conjunctie van twee A_i atomen <<>> oplevert, ze sluiten elkaar dus uit.

Het valt nu op dat wanneer a, b en c dezelfde waarde hebben (en dus a•c⊕a•b⊕b•c=X) dat A₁ dan niet verschillend is van <> en de drie andere niet verschillend van <<>>. Dit geldt op een analoge manier voor elk centraal atoom. Stel bijvoorbeeld dat a en b verschillende waarde hebben dan geldt terug dat er maar één uitdrukking waarde <> heeft en de andere drie waarde <<>>.

Het onvermijdelijk ervaren van een soort toestand leidt tot nieuw te interpreteren relaties.

De conjuncties van twee projectoren

De conjuncties van twee niet orthogonale projectoren zijn niet anders dan de drie andere soorten.

<>⊕(<<>>⊕a•b)⊕(<<>>⊕a•c)⊕(<>⊕<a•b>)•(<>⊕<a•c>)=<>⊕(<<>>⊕a•b)⊕(<<>>⊕a•c)⊕<<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c=<>⊕<a•c>⊕<a•b>⊕b•c=A₂ ∼ (+-++++-+)

<>⊕(<<>>⊕a•c)⊕(<<>>⊕c•b)⊕(<>⊕<a•c>)•(<>⊕<c•b>)=<>⊕(<<>>⊕a•c)⊕(<<>>⊕c•b)⊕<<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c=<>⊕<a•c>⊕a•b⊕<b•c>=A₄ ∼ (+++--+++)

<>⊕(<<>>⊕a•b)⊕(<<>>⊕c•b)⊕(<>⊕<a•b>)•(<>⊕<c•b>)=<>⊕(<<>>⊕a•b)⊕(<<>>⊕c•b)⊕<<>>⊕a•c⊕a•b⊕b•c=<>⊕a•c⊕<a•b>⊕<b•c>=A₃ ∼ (++-++-++)

In het geval dat de projectoren orthogonaal zijn geldt dan dat de conjunctie niet verschillend is van de som van de projectoren:

<>⊕(<<>>⊕a•b)⊕(<<>>⊕a•c)⊕(<>⊕<a•b>)•(<>⊕<a•c>)=<>⊕(<<>>⊕a•b)⊕(<<>>⊕a•c)=<<>>⊕a•b⊕a•c=(<>⊕a•b)⊕(<>⊕a•c)

<>⊕(<<>>⊕a•c)⊕(<<>>⊕c•b)⊕(<>⊕<a•c>)•(<>⊕<c•b>)=<>⊕(<<>>⊕a•c)⊕(<<>>⊕c•b)=<<>>⊕a•c⊕c•b=(<>⊕a•c)⊕(<>⊕c•b)

<>⊕(<<>>⊕a•b)⊕(<<>>⊕c•b)⊕(<>⊕<a•b>)•(<>⊕<c•b>)=<>⊕(<<>>⊕a•b)⊕(<<>>⊕c•b)=<<>>⊕a•b⊕c•b=(<>⊕a•b)⊕(<>⊕c•b)

De ruimte die de orthogonale involutie is van elke soort

We zullen nu veronderstellen dat we de 256 punten van het drie onderscheidingen universum projecteren in de ruimte van een bepaalde soort. Voor de soort A₁ betekent dat dus dat we elk punt vermenigvuldigen met (<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>) ∼ x++++++x. Dit resulteert in een ruimte met 64 punten, waarvan er twee als waarde kunnen beschouwd worden (namelijk de eenheden x++++++x en x------x), waaruit volgt dat de ruimte 62 relaties uitdrukt die uniek gecodeerd worden door een bepaalde combinatie van hoogbits en laagbits. We zullen aantonen dat we hierin punten kunnen vinden die zich gedragen als onderscheidingen en die we daarom deelonderscheidingen kunnen noemen.

Vier tralies van 7 niveaus

Elke tralie van 64 punten van een bepaalde soort heeft 7 niveaus:

De ruimte opgespannen door zelfduale deelonderscheidingen: asymmetrische bitstrings

De ruimte voor A₁ is zeer bondig voor te stellen door zijn supremum: (<>⊕<A₁>)=(<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>) ∼ x++++++x. Dit supremum is het kwadraat van elk punt van de ruimte met zes betekende bits. Deze ruimte heeft een eigen structuur, we onderscheiden immers andersduale en zelfduale punten. Dat deze naamgeving kan gebruikt worden blijkt zowel uit de vectorsom als uit het karakter van de bitstring. Dit kan ingezien worden omdat de soorten in elkaar getransformeerd kunnen worden op twee manieren: een manier met even vectorproducten en een manier met oneven vectorproducten zoals <>⊕b•a⊕c•a⊕c•b=<b•a>•(b•a⊕<>⊕<c•b>⊕<c•a>), leidend tot andersduale punten versus <>⊕b•a⊕c•a⊕c•b=c•b•a•(<c•b•a>⊕c⊕b⊕a) of <>⊕b•a⊕c•a⊕c•b=a•(<a>⊕b⊕c⊕c•b•a), leidend tot zelfduale punten.

We onderscheiden de volgende zelfduale deelonderscheidingen:

Met een conjunctie twee-aan-twee van deze vier (in de ruimte van de projector x++++++x) bereiken we de zes deelatomen van de deelruimte:

De deelonderscheidingen hebben hun inbedding en dit resulteert in dezelfde conjuncties:

We berekenen de zes vectorproducten van de deelonderscheidingen:

Zij zijn de inbeddingen van de AND-atomen en dus disjuncties. Hieruit volgt dat de vectorproducten niet verschillend zijn van de disjuncties (en de transformaties zijn dus niet anders dan de conjuncties). Dit herkennen we als karakteristiek voor een creatief product.

Deze ruimte is dus gesloten voor operaties vanuit het centraal niveau maar vormt geen volledige tralie.

De tralie die door de acht deelonderscheidingen opgespannen wordt is maar een deeltralie van de tralie van 64 punten. Het zijn dus niet de zelfduale deelonderscheidingen alleen die de 64 punten opspannen maar wel de atomen.

De zelfduale deelonderscheidingen kunnen als creatief product geschreven worden met als de toegevoegde onderscheiding een van de assen.

Het patroon is (x⊗y)_(<>⊕z)=y⊕<z•x>⊕z•y dus bijvoorbeeld

(a⊗<b>)_(<>⊕c•a)=<b>⊕<c•a•a>⊕<c•a•b>=(a⊗<c>)_(<>⊕b•a)=<c>⊕<b•a•a>⊕<c•b•a>=<c>⊕<b>⊕<c•b•a>

(c•b•a⊗<b>)_(<>⊕b•a)=<b>⊕<c•b•a•b•a>⊕<b•a•b>=<a>⊕<b>⊕<c>

De ruimte opgespannen door andersduale deelonderscheidingen: symmetrische bitstrings

Door een product met c•b•a is deze tabel gerelateerd met deze van de zelfduale deelonderscheidingen

In bitstring is duidelijk te zien dat de deelruimte de structuur genereert van een tralie van 8 uitdrukkingen zoals bij een creatief product kan geconstrueerd worden wanneer het vectorproduct niet verschillend is van de nevenschikking.

De drie punten op niveau 1 vormen een triade onder de transformatie. De drie punten op niveau 2 vormen een triade onder de ingebedde transformatie. De conjunctie (disjunctie) van twee symmetrische deelonderscheidingen is de inbedding van de derde. De vectorvermenigvuldiging van een symmetrische deelonderscheiding met de eenheid levert de symmetrische deelonderscheiding zelf. De vectorvermenigvuldiging van de drie symmetrische deelonderscheidingen levert de eenheid op van elke symmetrische deelonderscheiding. Deze ruimte is dus gesloten en vormt een tralie van 8 punten. Dit is slechts een deeltralie van de tralie van 64 punten die door 6 bits kan opgespannen worden.

We merken op dat elke deelonderscheiding als een som van projectoren kan geschreven worden:

<<>>⊕b•a⊕c•a∼(<>⊕b•a)⊕(<>⊕c•a)

<<>>⊕b•a⊕c•b∼(<>⊕b•a)⊕(<>⊕c•b)

<<>>⊕c•a⊕c•b∼(<>⊕c•a)⊕(<>⊕c•b)

Deze tralie kan opgespannen worden door het patroon (x⊗y)_(<>⊕z)=y⊕<z•x>⊕z•y=(x⊗(y⊕<x>)_z aangezien een som van een drievoud van dezelfde betekende bits een don’t care kan genereren. We rekenen eens het supremum en de punten op niveau 2 uit:

<>⊕<A₁>=<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>∼(<<>>⊗<b•a>)_(<>⊕c•a)∼(<<>>⊗<c•a>)_(<>⊕b•a)∼(<<>>⊗<c•b>)_(<>⊕c•a)∼(<<>>⊗<b•a>)_(<>⊕c•b)∼(<<>>⊗<c•b>)_(<>⊕b•a)∼(<<>>⊗<c•a>)_(<>⊕c•b)

<A₁^s3>=<<>>⊕b•a⊕c•a∼(<c•b>⊗<<>>)_(<>⊕c•a)∼(<c•b>⊗b•a)_(<>⊕b•a)∼(c•b⊗(<>⊕<c•b>))_c•a∼(<c•b>⊗(<>⊕c•a))_<b•a>

<A₁^s2>=<<>>⊕b•a⊕c•b∼(<a•c>⊗<<>>)_(<>⊕b•a)∼(<a•c>⊗c•b)_(<>⊕c•b)

<A₁^s1>=<<>>⊕c•a⊕c•b∼(<b•a>⊗<<>>)_(<>⊕c•a)∼(<b•a>⊗c•b)_(<>⊕c•b)

We merken nu het volgende op: stel dat men <<>> als referentiepunt beschouwt zodanig dat:

<>⊕<A₁^s3>=b•a⊕c•a=c•b•a•(c⊕b)=a•(b⊕c)

<>⊕<A₁^s2>= b•a⊕c•b=c•b•a•(c⊕a)=b•(a⊕c)

<>⊕<A₁^s1>= c•a⊕c•b=c•b•a•(b⊕a)=c•(a⊕b)

Dan kan men dit zo wel noteren maar noch c•b•a, a, b of c kunnen de rol spelen van een toegevoegde onderscheiding, terwijl dat 2-vectoren b•a, c•a en b•c dit wel kunnen.

Relaties binnen één soort

<A₁^a1•A₁^a2•A₁^a3•A₁^a4> of in bitstring (x------x) is het infimum van de tralie van 64 punten en in staat elke ruimte in zijn inbedding te veranderen. Voorbeeld: stel dat men de ruimte (x--++--x) in zijn inbedding wil omzetten, dan kan dat door de bewerking (x--++--x)•(x------x).

De vier asymmetrische gecollapste haakvectoren geven aanleiding tot zes relaties die door een van de drie symmetrische deelonderscheidingen voorgesteld wordt.

(<b>⊕<c>⊕<c•b•a>)•(<a>⊕<c>⊕<c•b•a>)∼(x-+-+-+x)•(x+--++-x)=(x--++--x) is dus ook (<>⊕<c•a>⊕<c•b>)=A₁^s1

(<b>⊕<c>⊕<c•b•a>)•(<a>⊕<b>⊕<c•b•a>)∼(x-+-+-+x)•(x+++---x)=(x-+--+-x) is dus ook (<>⊕<b•a>⊕<c•b>)=A₁^s2

(<b>⊕<c>⊕<c•b•a>)•(<a>⊕<b>⊕<c>)∼(x-+-+-+x)•(x--+-++x)=(x+----+x) is dus ook (<>⊕<b•a>⊕<c•a>)=A₁^s3

(<a>⊕<c>⊕<c•b•a>)•(<a>⊕<b>⊕<c•b•a>)∼(x+--++-x)•(x+++---x)=(x+----+x) is dus ook (<>⊕<b•a>⊕<c•a>)=A₁^s3

(<a>⊕<c>⊕<c•b•a>)•(<a>⊕<b>⊕<c>)∼(x+--++-x)•(x--+-++x)=(x-+--+-x) is dus ook (<>⊕<b•a>⊕<c•b>)=A₁^s2

(<a>⊕<b>⊕<c•b•a>)•(<a>⊕<b>⊕<c>)∼(x+++---x)•(x--+-++x)=(x--++--x) is dus ook (<>⊕<c•a>⊕<c•b>)=A₁^s1

Dit maakt ook duidelijk dat een combinatie van twee vector vermenigvuldigingen in staat is om een deelonderscheiding in een andere te transformeren, bijvoorbeeld: (<>⊕<c•a>⊕<c•b>) zal met (<a>⊕<b>⊕<c>) transformeren naar (<a>⊕<b>⊕<c•b•a>) die op zijn beurt met (<b>⊕<c>⊕<c•b•a>) zal transformeren naar (<>⊕<b•a>⊕<c•b>).

De structuur die met de symmetrische deelonderscheidingen naar voor komt is de viergroep van Klein, (<>⊕<A₁>) vervult hier de functie van eenheid.

De viergroep van Klein wordt gedefinieerd als de structuur met I²=J²=(IJ)²=1 (of alternatief door (IJ)=K te stellen: I²=J²=K²=1), met als klassiek voorbeeld: voor I de rotatie over π rond de ruimtelijke x-as, voor J de rotatie over π rond de ruimtelijke y-as, voor K de rotatie over π rond de ruimtelijke z-as. Bijvoorbeeld neem als start: (+x₁)•A₁^s1⊕(+x₂)•A₁^s2⊕(+x₃)•A₁^s3. Rotatie over π rond de A₁^s1 as: (+x₁)•A₁^s1⊕(-x₂)•A₁^s2⊕(-x₃)•A₁^s3. Rotatie over π rond de A₁^s2 as: (-x₁)•A₁^s1⊕(-x₂)•A₁^s2⊕(+x₃)•A₁^s3. Rotatie over π rond de A₁^s3 as: (+x₁)•A₁^s1⊕(+x₂)•A₁^s2⊕(+x₃)•A₁^s3 wat niet kan onderscheiden worden van de startuitdrukking.

Met de asymmetrische deelonderscheidingen erbij krijgen we een acht groep.

Relaties tussen de soorten

We kunnen van de ene naar de andere soort overgaan door sommen te nemen van de projectoren van dezelfde soort.

A₁=<>⊕a•c⊕a•b⊕b•c ∼ (-++++++-)

A₂=<>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕c•b ∼ (+-++++-+)

A₃=<>⊕<b•a>⊕c•a⊕<c•b> ∼ (++-++-++)

A₄=<>⊕b•a⊕<c•a>⊕<c•b> ∼ (+++--+++)

De projectoren voor A₁ zijn (<>⊕<b•a>), (<>⊕<a•c>) en (<>⊕<c•b>).

De drie sommen zijn (<<>>⊕<b•a>⊕<a•c>), (<<>>⊕<b•a>⊕<c•b>) en (<<>>⊕<a•c>⊕<c•b>).

Met behulp van de symmetrische deelonderscheidingen zien we dat

In de uiterst rechtse kolom zien we dat we de ruimte van elk van de drie andere atoomburen bereiken.

Als voorbeeld geven we de drie symmetrische deelonderscheidingen van een andere atoombuur.

De deelonderscheidingen genereren een van de projectoren van H:

A₁^s1•A₂^s1=(<>⊕<c•a>⊕<c•b>)•(<>⊕b•a⊕<c•b>)=<>⊕c•b ∼ (++xxxx++)

Dit is snel met de volgende vermenigvuldigingsgrit te zien:

Analoog geldt:

A₁^s2•A₂^s2=(<>⊕<b•a>⊕<c•b>)•(<>⊕c•a⊕<c•b>)=<>⊕c•b

A₁^s3•A₂^s3=(<>⊕<b•a>⊕<c•a>)•(<>⊕b•a⊕c•a)=<>⊕c•b

De eenheden vermenigvuldigen levert eveneens dit gezamenlijk punt op

(<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>)•(b•a⊕c•a⊕<c•b>)=<>⊕c•b

De opbouw van symmetrische en asymmetrische deelruimten

Elke symmetrische deelonderscheiding kan beschouwd worden als een som van drie symmetrische deelassen, die we s₁ s₂ en s₃ noemen.

Merk op dat (<>⊕<A₁>) gegenereerd wordt door de som <s₁>⊕<s₂>⊕<s₃>.

Elke asymmetrische deelonderscheiding kan beschouwd worden als een som van drie asymmetrische deelassen, die we t₁ t₂ en t₃ noemen.

Hieruit volgt dat

A₁^a1⊕A₁^a2⊕A₁^a4=<A₁^a3>

Hieruit volgt ook dat elke deelas (s of t soort) orthogonaal is met twee van de andere soort en hun som. Bijvoorbeeld:

s₁∼(x-xxxx-x)∼<>⊕b•a⊕<b•c>⊕c•a is orthogonaal met zowel t₂∼(xx-xx+xx)∼<a>⊕b⊕<c>⊕c•b•a als met t₃∼(xxx-+xxx)∼a⊕b⊕<c>⊕<c•b•a> en de som (xx--++xx)∼<b>⊕c.

De relatie tussen de elementen is als volgt:

t₁•t₁=<s₁>; t₂•t₂=<s₂>; t₃•t₃=<s₃> en

Merk op

• zowel de symmetrische deelassen en asymmetrische deelassen zijn onderling euclidisch orthogonaal

• het kwadraat van elke symmetrische deelas (die dus een eenheidsfunctie voor de as vervult) is de inbedding van de deelas

• het kwadraat van elke asymmetrische deelas is de eenheid van de overeenkomstige symmetrische deelas

• elke deelas van de ene soort is orthogonaal met twee deelassen van de andere soort

• elke deelas is op een atoom in een twee onderscheidingen universum af te beelden, de asymmetrische assen op een factor na

De som van een s_i en een overeenkomstige t_i of zijn inbedding genereert de idempotente projector van een AND-atoom.

s₁⊕t₁=(<>⊕b•a⊕<b•c>⊕c•a)⊕(a⊕<b>⊕<c>⊕c•b•a)=<>⊕(a⊕<b>⊕<c>⊕b•a⊕<b•c>⊕c•a⊕c•b•a)=<>⊕<cb<a>>=x+xxxxxx

s₁⊕<t₁>=(<>⊕b•a⊕<b•c>⊕c•a)⊕(<a>⊕b⊕c⊕<c•b•a>)=<>⊕(<a>⊕b⊕c⊕b•a⊕<b•c>⊕c•a⊕<c•b•a>)=<>⊕<<c><b>a>=xxxxxx+x

s₂⊕t₂=(<>⊕b•a⊕b•c⊕<c•a>)⊕(<a>⊕b⊕<c>⊕c•b•a)=<>⊕(<a>⊕b⊕<c>⊕b•a⊕b•c⊕<c•a>⊕c•b•a)=<>⊕<c<b>a>=xx+xxxxx

s₂⊕<t₂>=(<>⊕b•a⊕b•c⊕<c•a>)⊕(a⊕<b>⊕c⊕<c•b•a>)=<>⊕(a⊕<b>⊕c⊕b•a⊕b•c⊕<c•a>⊕<c•b•a>)=<>⊕<<c>b<a>>=xxxxx+xx

s₃⊕t₃=(<>⊕<b•a>⊕b•c⊕c•a)⊕(a⊕b⊕<c>⊕<c•b•a>)=<>⊕(a⊕b⊕<c>⊕<b•a>⊕b•c⊕c•a⊕<c•b•a>)=<>⊕<c<b><a>>=xxx+xxxx

s₃⊕<t₃>=(<>⊕<b•a>⊕b•c⊕c•a)⊕(<a>⊕<b>⊕c⊕c•b•a)=<>⊕(<a>⊕<b>⊕c⊕<b•a>⊕b•c⊕c•a ⊕c•b•a)=<>⊕<<c>ba>=xxxx+xxx

De inbeddingen van deze zes genereren de anderspotente projectoren van een OR-atoom.

We kunnen ook volgende sommen maken:

s₁⊕s₂⊕s₃=(x-xxxx-x)⊕(xx-xx-xx)⊕(xxx--xxx)=(x------x)=<(<>⊕<A₁>)>

<s₁>⊕<s₂>⊕s₃=(x+xxxx+x)⊕(xx+xx+xx)⊕(xxx--xxx)=(x++--++x)=<A₁^s1>

s₁⊕<s₂>⊕<s₃>=(x-xxxx-x)⊕(xx+xx+xx)⊕(xxx++xxx)=(x-++++-x)=<A₁^s3>

<s₁>⊕s₂⊕<s₃>=(x+xxxx+x)⊕(xx-xx-xx)⊕(xxx++xxx)=(x+-++-+x)=<A₁^s2>

De inbeddingen van de producten van deze sommen (en dus de operatie van transformeren op deze sommen) genereren een Klein viergroep want

(s₁⊕s₂⊕s₃)•(s₁⊕s₂⊕s₃)=(x------x)•(x------x)=(x++++++x)=(<>⊕<A₁>)

(<s₁>⊕<s₂>⊕s₃)•(s₁⊕<s₂>⊕<s₃>)=(x++--++x)•(x-++++-x)=(x-+--+-x)=<<s₁>⊕s₂⊕<s₃>>=A₁^s2

(<s₁>⊕<s₂>⊕s₃)•(<s₁>⊕s₂⊕<s₃>)=(x++--++x)•(x+-++-+x)=(x+----+x)=<s₁⊕<s₂>⊕<s₃>>=A₁^s3

(s₁⊕<s₂>⊕<s₃>)•(<s₁>⊕s₂⊕<s₃>)=(x-++++-x)•(x+-++-+x)=(x--++--x)=<<s₁>⊕<s₂>⊕s₃>=A₁^s1

We kunnen dus de volgende tabel construeren:

Aangezien de termen van elk product sommen van drie termen zijn gelden dezelfde relaties ook wanneer we elke som sommeren met (+xxxxxx+) en zo de volgende welgevormde haakuitdrukkingen vormen:

(+------+)•(+------+)=(++++++++)=(<<>>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>)•(<<>>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>)=<<>>

(+++--+++)•(+-++++-+)=(+-+--+-+)=(<>⊕b•a⊕<c•a>⊕<c•b>)•(<>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕c•b)=c•a

(+++--+++)•(++-++-++)=(++----++)=(<>⊕b•a⊕<c•a>⊕<c•b>)•(<>⊕<b•a>⊕c•a⊕<c•b>)=c•b

(+-++++-+)•(++-++-++)=(+--++--+)=(<>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕c•b)•(<>⊕<b•a>⊕c•a⊕<c•b>)=b•a

Dit is geen Klein viergroep meer alhoewel <<>>, c•a, c•b, b•a een Klein viergroep vormen onder de operatie vectorproduct.

Hetzelfde geldt voor de asymmetrische deelassen aangezien dat er geldt dat s₁=<c•b•a>•t₁; s₂=<c•b•a>•t₂; s₃=c•b•a•t₃. Dus

s₁⊕s₂⊕s₃=c•b•a•(<t₁>⊕<t₂>⊕t₃)

<s₁>⊕<s₂>⊕s₃=c•b•a•(t₁⊕t₂⊕<t₃>)

s₁⊕<s₂>⊕<s₃>=c•b•a•(<t₁>⊕t₂⊕t₃)

<s₁>⊕s₂⊕<s₃>=c•b•a•(t₁⊕<t₂>⊕<t₃>)

De tralie van 64, verdere exploraties

Deze tralie is te beschouwen als een directe som van twee orthogonale tralies met elk drie betekende bits, een van de 20 mogelijkheden is hieronder gegeven:

En

Uiteraard kunnen we dan ook drie orthogonale tralies construeren enz...

Laten we nu eens één atoom bekijken

Dit is de som van

De conjunctie van de drie is (x-++xxxx) en dat is niets anders dan de disjunctie van de drie.

We kunnen de ene tralie in de andere omzetten door de volgende operatie:

Sommeer twee atomen, bijvoorbeeld(x-++xxxx)⊕(xxxx++-x)=(x-++++-x)

Beide leden vermenigvuldingen met het supremum van een van de tralies geeft het atoom

(x+++xxxx)•(x-++xxxx)⊕(x+++xxxx)•(xxxx++-x)=(x+++xxxx)•(x-++++-x)

(x-++xxxx)⊕X=(x-++xxxx)

Het supremum is niet anders dan de som van de atomen.

En ook: (x-++xxxx)=(x-++++-x)⊕(xxxx--+x)