Om dynamiek te kunnen modelleren moeten we verandering modelleren. We kunnen veel soorten verandering onderscheiden (bijvoorbeeld verandering van schaal, verandering van resolutie, verandering van aantal onderscheidingen enz…) maar dynamiek verwijst naar een verandering die onvermijdelijk is, een verandering van de ene toestand naar de andere toestand, een verandering die plaatsvindt bij één stap in een proces. Een proces meemaken is onvermijdelijk, we ervaren altijd iets (het enige axioma), iets is altijd de disjunctie van een volledige tralie.

Dynamiek zullen we nu modelleren en ook kwantificeren door een nieuwe eenheid te introduceren: het verschil van twee toestanden die opeenvolgend ervaren worden. Dat is een unieke situatie: enkel twee toestanden kunnen tegengestelde waarde hebben (omdat er maar twee waarden beschikbaar zijn: “ja” ofwel “neen”) en dat maakt dus dynamiek uniek en agens-in-context gebonden. We kunnen dat ook anders formuleren: na het ervaren van een toestand (die dus een andere uitsluit) wordt onontkoombaar een andere toestand bereikt die van de eerste verschilt (anders zouden twee toestanden niet te onderscheiden zijn). Er is een niveau in een tralie te vinden dat als de invariante entiteit kan geïnterpreteerd worden die gerealiseerd wordt in elke beschouwde toestand en dat dus de disjunctie is van die toestanden. We zeggen dan dat de beschouwde toestanden xi met allemaal dezelfde waarde, varianten zijn (concrete realisaties) van die invariante entiteit die we “de toestand van de entiteit” noemen, en die entiteit is dus een proces. De toestand van de entiteit is dus een abstractie die in verschillende concrete realisaties kan herkend worden, abstractie omdat deze toestand in een kleiner universum kan beschreven worden, een universum met minder onderscheidingen dan de onderscheidingen die nodig zouden zijn om een concrete variant van de toestand uniek te markeren (met een laatst toegevoegde onderscheiding). Aan de toestand van de entiteit kunnen we dus minstens een intensiteit xi toekennen. In het meest eenvoudige geval is dat één getal, één spoor, maar dit is gemakkelijk uit te breiden naar meerdere getallen die aan één toestand gecorreleerd zijn wanneer meerdere getallen moeten gebruikt worden om het punt te beschrijven dat in een toestandsruimte ingenomen wordt in één bepaalde concreet gerealiseerde toestand.

We kunnen de verschillen berekenen van die intensiteiten en dus (mogelijks verschillende) eenheden (van de soort “verschil”) kwantificeren. Dat betekent dat we twee verschillende “momenten” of “stappen” in de ordeningsparameter moeten veronderstellen, stel het moment gemarkeerd met 1 en het moment gemarkeerd met 0. We berekenen dan (de intensiteit van) x1-x0, en dan ook misschien x2-x1, …, xi-xi-1, .... Het verschil is de nieuwe eenheid met die intensiteit. Het verschil is hoe dan ook een relatief verschil van iets. Inderdaad: de verschillen zijn niet anders als van elke intensiteit een zelfde getal g afgetrokken of opgeteld wordt, bijvoorbeeld x1-x0=(x1-g)-(x0-g). Met de expliciete vermelding van de eenheid e wordt dit dan (x1-x0)•e=(x1-g)•e-(x0-g)•e. Het is niet uit te sluiten dat g astronomisch groot of astronomisch klein zou zijn, dit maakt hoe dan ook geen verschil dat een verschil maakt voor dit relatief verschil. Een verschil maken impliceert een maximaal (of minimaal) verschil en zo is dynamiek gegrond in de onvermijdelijke erkenning dat toestanden (van een agens-in-context) elkaar uitsluiten en dat dit gemodelleerd wordt door een “waarnemingsresolutie”, een verschil dat een verschil maakt voor het agens-in-context (en dat dus niet afhankelijk is van g). Dit is de uitdrukking in de standaard taal van relativiteit en relevantie.

Iets een waarde geven (dus iets ervaren, ofwel “ja” ofwel “neen”) is onvermijdelijk. We beschouwen daarom (elkaar uitsluitende) toestanden (onmogelijk simultaan te ervaren) die elkaar opvolgen x0, x1, x2,… en daardoor sporen genereren die strikt geordend zijn. Dynamiek zullen we dus kwantificeren telkens met het verschil van twee opeenvolgende toestanden, dus (x1-x0), (x2-x1), …, (xi-xi-1). Bij het onvermijdelijk ervaren van deze potentiële toestanden hebben de toestanden een ervaringswaarde. Die is waar te nemen als een intensiteit van een eenheid, minimaal een ja voor iets maar soms ook het getal van het simultaneïteitsinterval met infimum de waargenomen toestand (<<>>⊕<xk>), dit is een verschil en is de uitdrukking voor een xk die niet verschillend is van <>. De toestanden kunnen gerelateerd zijn met (en gecorreleerd worden met) een voldoende blijvend spoor in een beschikbaar medium (onderscheidingen universum) dat de verandering waarneembaar maakt. De index markeert de verschillende “momenten in de tijd” (het zijn die toestanden die elkaar uitsluiten en geen andere, het begrip "tijd", het begrip "proces", het begrip "processtap" hebben enkel betekenis in die context). We kunnen dus ook aannemen dat de index ook de elkaar uitsluitende sporen markeert die waarneembaar zijn. Als toestanden elkaar uitsluiten is het onvermijdelijk dat er een laatst toegevoegde onderscheiding kan gevonden worden. We kunnen dit gebruiken in het creatief product en daarmee het simultaneïteitsinterval modelleren. Als we steeds dezelfde onderscheiding gebruiken is het (niet commutatief) creatief product associatief en is een invers gedefinieerd. Dat is dus het geval voor de hier gebruikte laatst toegevoegde onderscheiding.

Wat we dus nu gaan doen is heel formeel één stap in de dynamiek modelleren. Om de notaties eenvoudig te houden gebruiken we x en y in plaats van x0 en x1. Dus: (x0⊗x0)ℵ=x0, (x1⊗x1)ℵ=x1, (x0⊗x1)ℵ=h, (x1⊗x0)ℵ=h-1, … vervangen we door (x⊗x)ℵ=x, (y⊗y)ℵ=y, (x⊗y)ℵ=h, (y⊗x)ℵ=h-1.

Noodzakelijke voorwaarde voor verschillen

Het verschil van toestanden genereert dus niet enkel een verschillende intensiteit maar ook een nieuwe eenheid. Is er geen verschil, dan is er geen nieuwe toestand en in het ervaren van een toestand ervaart men altijd een verschil.

We bewijzen nu enerzijds dat het verschil van een toestand x met een andere toestand y, dus (<x>⊕y), een noodzakelijke voorwaarde is voor de toestand x en dus x een voldoende voorwaarde is voor (<x>⊕y). Anderzijds bewijzen we dat (<x>⊕y) een voldoende voorwaarde is voor <y> en dus <y> een noodzakelijke voorwaarde is voor (<x>⊕y).

We drukken eerst uit dat x en y elkaar uitsluiten, dus de conjunctie <>⊕<x>⊕<y>⊕x•y=<<>>. Dus er geldt: <x>⊕<y>⊕x•y=<>

We moeten dan eerst bewijzen dat de disjunctie van (<x>⊕y) en <x> niet verschillend is van <>.

We expliciteren daarom het patroon van de disjunctie als volgt: de disjunctie van (<x>⊕y) en <x> is <<>>⊕<(<x>⊕y)>⊕<<x>>⊕<(<x>⊕y)•<x>>

<<>>⊕x⊕<y>⊕x⊕<(<<>>⊕y•<x>)>

<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<>⊕y•x

<x>⊕<y>⊕y•x

<>

Deze laatste stap hebben we hierboven bewezen door te veronderstellen dat zowel x als y toestanden zijn.

QED

We moeten dan ook bewijzen dat de disjunctie van <(<x>⊕y)> en <y> niet verschillend is van <>.

De disjunctie van <(<x>⊕y)> en <y> is <<>>⊕(<x>⊕y)⊕y⊕<<(<x>⊕y)>•<y>>

<<>>⊕(<x>⊕y)⊕y⊕<(x⊕<y>)•<y>>

<<>>⊕<x>⊕<y>⊕<(<x•y>⊕<<>>)>

<<>>⊕<x>⊕<y>⊕x•y⊕<>

<x>⊕<y>⊕x•y

<>

QED

Dit betekent dus dat (<x>⊕y) zich bevindt in het simultaneïteitsinterval tussen x als supremum en <y> als infimum. Als x en y beide een AND-atoom zijn (en dus een toestand), dan is <y> een OR-atoom.

Dit bewijs is formeel heel helder maar intuïtief moeilijk met woorden af te leiden. Bijvoorbeeld als de klassieke uitspraak “indien x dan (<x>⊕y)”. Terwijl duidelijk is dat “indien we een toestand ervaren (noem deze x) er een toestand moet zijn (noem deze y) die niet ervaren is en dus een toestand die enkel kan gebeuren en dus waarde <<>> heeft, en dan zal de som van <x> en y de waarde <> hebben”.

Dynamiek kunnen we modelleren doordat het verschil van twee elkaar uitsluitende toestanden met een van de toestanden simultaan zal zijn, maar ook simultaan met de inbedding van de tweede toestand.

Eenheid van een verschil

Het verschil van twee toestanden is juist wat het begrip “dynamiek” uitdrukt en wordt dus rechtstreeks uit <<>> afgeleid (elkaar uitsluitende toestanden) en de som operatie zonder extra veronderstellingen. In het haakformalisme is het modelleren van dynamiek dus helemaal geen mysterie.

Om de notaties eenvoudig te houden schreven we de twee toestanden als x en y en zo één verschil als (<x>⊕y). We kunnen ons dan voorstellen dat een van beide een referentiefunctie vervult. Dat verschil is een origineel nieuwe onderscheiding, want noch met enkel toestand x (dus x0), noch met enkel toestand y (dus x1) is dat verschil beschikbaar, het is een relatie tussen toestanden en dus slechts beschikbaar als relatie tussen twee verschillende toestanden, als berekening vanuit twee verschillende toestanden, dus als berekening vanuit verschillende elkaar uitsluitende tijdstippen (als reconstructie gezien vanuit een later moment, of als anticipatie gezien vanuit een vroeger moment), berekening die uitgevoerd wordt met de intensiteiten van de eenheden x en y, eenheden die elkaar uitsluiten. De berekening geeft een waarde aan een nieuwe eenheid, namelijk (<x>⊕y).

We noteren y-x∼(<x>⊕y)=<y>•(<>⊕x•y) en we merken op dat x•y de afgeleide is naar ℵ van (x⊗y)ℵ. We kunnen hetzelfde doen voor de projectoren van de toestanden, we noteren het verschil van projectoren dus (<>⊕y)⊕<(<>⊕x)>=<>⊕y⊕<<>>⊕<x>=(<x>⊕y)=<y>•(<>⊕x•y) en uiteraard is dat geen andere relatie dan bij het verschil van toestanden. Een verschil van projectoren van toestanden onderscheidt zich niet van een verschil van toestanden. Dit is niet anders dan het inzicht dat verschillen relatief zijn, bijvoorbeeld x1-x0=(x1-g)-(x0-g).

We merken ook op dat x•y telbaar is, dus dat het zin heeft een intensiteit aan de eenheid x•y te verbinden en deze dus te beschouwen als een entiteit. We merken ook op dat de operatie van het berekenen van een verschil een universele involutie is. We merken ook op dat het verschil van twee welgevormde haakuitdrukkingen die niet elkaars inbedding zijn onvermijdelijk een gecollapste haakuitdrukking genereert, die de interpretatie geeft dat er een gerelateerde welgevormde haakuitdrukking niet verschillend is van <>, en dus ervaren is, en ervaren is onvermijdelijk. Een gecollapste haakuitdrukking is altijd een ervaren haakuitdrukking die gewogen is met een welgevormde haakuitdrukking en kan dus de toestand die op dat moment ervaren is modelleren.

Eenheid van een verschil met zijn referentie

Met de eenheid van het verschil kunnen we duidelijk de fractaal structuur van een tralie demonsteren. Immers: het verschil (<x>⊕y), de gecollapste haakuitdrukking, laat altijd toe een nieuw simultaneïteitsinterval te construeren dat eveneens een gecollapste haakuitdrukking is. We construeren nu het simultaneïteitsinterval met de extrema x en (<x>⊕y) en beschouwen deze met de laatst toegevoegde onderscheiding ℵ, en we noemen dit interval A.

A=(x⊗(<x>⊕y))ℵ=(<y>•<x•y>⊗<y>•(<>⊕x•y))ℵ=<y>•(<x•y>⊗(<>⊕x•y))ℵ

Hierbij kunnen we vrij kiezen tussen <y> en (<x•y>⊗(<>⊕x•y))ℵ welk van beide we interpreteren als intensiteit en wat als eenheid want beide commuteren.

Gelijkaardig construeren we ook het simultaneïteitsinterval met de extrema <y> en (<x>⊕y) en beschouwen deze met de laatst toegevoegde onderscheiding ℵ, en we noemen dit interval B.

B=(<y>⊗(<x>⊕y))ℵ=(x•<x•y>⊗x•(<>⊕x•y))ℵ=x•(<x•y>⊗(<>⊕x•y))ℵ

Hierbij kunnen we vrij kiezen tussen x en (<x•y>⊗(<>⊕x•y))ℵ welk van beide we interpreteren als intensiteit en wat als eenheid want beide commuteren.

A en B hebben (<x•y>⊗(<>⊕x•y))ℵ gemeenschappelijk.

Het creatief product van een toestand en een verschil van toestanden is dus van het type gewogen (<H>⊗(<>⊕H))ℵ met H de afgeleide naar ℵ van het creatief product van de twee betrokken toestanden x en y. We merken op dat de afgeleide naar ℵ van het type (<H>⊗(<>⊕H))ℵ niet anders is dan <H>•(<>⊕H) en dit is niet anders dan (<>⊕H), een van de termen van het creatief product. Wanneer we als eenheid (<>⊕H) nemen dan kunnen we als intensiteit <H> nemen en vice versa. De afgeleide x•y van (x⊗y)ℵ is onafhankelijk van ℵ en de tweede afgeleide naar ℵ heeft dus de waarde <<>> en het is onvermijdelijk dat deze eenheidswaarde een intensiteit heeft die we kunnen interpreteren als een scalair en scalairen zijn de kwantificeringen die moeten gebruikt worden in het stappenmodel. Aangezien x en y elkaar uitsluitende toestanden zijn, is er een universum te creëren waarin x•y een atoombuur is. Met behulp van enkel gewogen atoomburen is gelijk welke welgevormde haakuitdrukking te construeren. Een voorbeeld van weging is <<disjunctie niet verschillend van exclusieve disjunctie>> met een intensiteit.

Uitgaande van de toestanden x en y hebben we dus drie “tussenliggende uitdrukkingen” geconstrueerd waarvan er twee simultaneïteitsintervallen zijn met dezelfde eenheid maar verschillende intensiteit of dezelfde intensiteit maar verschillende eenheid. We krijgen dus vijf niveaus:

Niveau 0: supremum: x

Niveau 1: (x⊗(<x>⊕y))ℵ

Niveau 2: (<x>⊕y)

Niveau 3: (<y>⊗(<x>⊕y))ℵ

Niveau 4: infimum: <y>

Dit is een mooie illustratie van de fractaal structuur van de werkelijkheid: (<x>⊕y) bevindt zich tussen supremum x en infimum <y> en daartussen dan nog een niveau met enerzijds A=(x⊗(<x>⊕y))ℵ en anderzijds B=(<y>⊗(<x>⊕y))ℵ. Een uitdrukking met de laatst toegevoegde onderscheiding bevindt zich altijd tussen andere haakuitdrukkingen. We kunnen dat duidelijk zien door bijvoorbeeld enkel x de waarde <<>> te geven:

Niveau 0: supremum: <<>>

Niveau 1: (<<>>⊗(<>⊕y))ℵ

Niveau 2: (<>⊕y)

Niveau 3: (<y>⊗(<>⊕y))ℵ

Niveau 4: infimum: <y>

We zien dat ook wanneer we enkel y de waarde <<>> geven:

Niveau 0: supremum: x

Niveau 1: (x⊗(<x>⊕<<>>))ℵ

Niveau 2: (<x>⊕<<>>)

Niveau 3: (<>⊗(<x>⊕<<>>))ℵ

Niveau 4: infimum: <>

Uiteraard zien we dat ook wanneer we zowel x als y dezelfde waarde <<>> geven:

Niveau 0: supremum: <<>>

Niveau 1: (<<>>⊗X)ℵ

Niveau 2: X

Niveau 3: (<>⊗X)ℵ

Niveau 4: infimum: <>

Enkel projectoren zijn betrokken bij dynamiek

We geven de voorbeelden enkel met een van de intervallen, namelijk A.

We drukken A nu uit als een vectorsom. A=(x⊗(<x>⊕y))ℵ=<x>⊕<(<x>⊕y)>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•(<x>⊕y)=<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y.

We bewijzen dat A ook in een vorm kan geschreven worden met toevoeging van een projector:

(x⊗<y>))(<>⊕<ℵ>)=<x>⊕y⊕(<>⊕<ℵ>)•<x>⊕(<>⊕<ℵ>)•<y>=<x>⊕y⊕x⊕ℵ•x⊕y⊕ℵ•y=<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y=A.

QED

De afgeleide naar (<>⊕<ℵ>) is <x•y>.

Als gevolg van de distributiviteit van som ten opzichte van het creatief product geldt ook dat A⊕y=(x⊕y⊗(<x>⊕<y>))ℵ=ℵ•x⊕ℵ•y. Hierbij zien we het patroon verschijnen van (P⊗<P>)ℵ=ℵ•P. Dit volgt ook uit A=(x⊗(<x>⊕y))ℵ voor een y=X. De afgeleide naar ℵ van A⊕y is (x⊕y)•(<x>⊕<y>) en dus <>⊕<x•y>⊕<x•y>⊕<>=(<<>>⊕x•y) en aangezien de afgeleide op een factor na bepaald is, is dit ook te schrijven als (<>⊕<x•y>).

A=<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y is een som van drie welgevormde haakuitdrukkingen en dit is dus ook niet verschillend van (<>⊕<y>)⊕(<>⊕ℵ•x)⊕(<>⊕ℵ•y), een som van drie projectoren. Zo'n simultaneïteitsinterval kan dus ook in drie vectoriële dimensies voorgesteld worden. We merken op dat A een gecollapste haakuitdrukking is en dus hebben we nu een constructie in drie vectoriële dimensies zoals we ook bewezen dat elke welgevormde haakuitdrukking in drie vectoriële dimensies voorgesteld kan worden. We kunnen (<<>>, ℵ) begrijpen als de coëfficiënten in de basis gemaakt door som en verschil van de extrema <x> en x⊕<y>, inderdaad <y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y=<<>>•<y>⊕ℵ•(x⊕y)=<<>>•(<x>⊕(x⊕<y>)⊕ℵ•(x⊕y) maar de termen van A zijn ook de coëfficiënten in de basis van ℵ, inderdaad: de gecollapste haakuitdrukking <y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y kunnen we ook schrijven als (y⊕<x>)•(<>⊕ℵ)⊕x•(<>⊕<ℵ>) in de basis van ℵ. Dus is het simultaneïteitsinterval (x⊗(y⊕<x>))ℵ de 1-divergentie-splitsing (x, (y⊕<x>)).

De referentiefunctie die we voor y verondersteld hebben komt tot uitdrukking in het feit dat

A⊕y=<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y⊕y=ℵ•x⊕ℵ•y=ℵ•(x⊕y)

Uiteraard kan iets gelijkaardigs uitgewerkt worden voor B.

We hebben dus bewezen dat een simultaneïteitsinterval dat in drie projector dimensies kan voorgesteld worden ook geconstrueerd wordt door de toevoeging van een projector in het creatief product:

(x⊗y)(<>⊕ℵ)=y⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y=(<>⊕y)⊕(<>⊕<ℵ•x>)⊕(<>⊕ℵ•y)

(y⊗x)(<>⊕ℵ)=x⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>=<>⊕x⊕<>⊕ℵ•x⊕<>⊕<ℵ•y>

[(x⊗y)(<>⊕ℵ), (y⊗x)(<>⊕ℵ)]=<x>⊕y⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>

Dus er geldt ook dat

(x⊗<y>)(<>⊕ℵ)=<y>⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y> en dit is niet anders dan ((<x>⊕y)⊗x)ℵ of dus A-1

(<y>⊗x)(<>⊕ℵ)=x⊕ℵ•x⊕ℵ•y en dat is niet anders dan ((<x>⊕y)⊗<y>)ℵ of dus B-1

[(x⊗<y>)(<>⊕ℵ), (<y>⊗x)(<>⊕ℵ)]=<x>⊕<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y en dit is niet anders dan [x, A]=[y, <B>]

Inversen in dynamiek en de rol van de commutator

Het invers van A ten opzichte van ℵ

Het invers van A ten opzichte van ℵ is A-1=((<x>⊕y)⊗x)ℵ=<(<x>⊕y)>⊕<x>⊕ℵ•(<y>⊕x)⊕ℵ•x=<y>⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y> en is dus eveneens een som van drie projectoren. Dezelfde termen commuteren nu in de basis van ℵ, inderdaad: <y>⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>=(<x>⊕y)•(<>⊕<ℵ>)⊕x•(<>⊕ℵ).

We kunnen dus ook de commutator A⊕<A-1>, die we noteren als [A, A-1], berekenen als <ℵ•x>⊕<ℵ•y> en zijn inbedding <A>⊕A-1 of dus [A-1, A] gelijk aan ℵ•x⊕ℵ•y. De constructie van een commutator scheidt op een éénduidige manier de laatst toegevoegde onderscheiding af, inderdaad [A, A-1]=<ℵ>•(x⊕y). Deze is niet anders dan de (inbedding van de) commutator van (x⊗<y>)ℵ. Inderdaad (x⊗<y>)ℵ=<x>⊕y⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y> en (<y>⊗x)ℵ=<x>⊕y⊕ℵ•x⊕ℵ•y en dus is het verschil van beide gelijk aan ℵ•x⊕ℵ•y. De commutator is dan ook gelijk aan A⊕y=A-1⊕y.

Aangezien x en y elkaar uitsluiten en dus <x>⊕<y>⊕x•y=<> is [A, A-1]=<ℵ•x>⊕<ℵ•y> ook niet anders dan ℵ•(<>⊕<x•y>). De ℵ in ℵ•(<>⊕<x•y>) geeft dus de intensiteit van een projector en die projector is een eenheid die in het universum opgespannen door x en y kan gevonden worden. Dus ℵ zullen we interpreteren als de intensiteit van de dynamiek met eenheid (<>⊕<x•y>).

Het invers van A ten opzichte van <>⊕ℵ

We hebben het invers van A berekend ten opzichte van ℵ. A kunnen we echter ook met een projector als toegevoegde laatste onderscheiding voorstellen:

A=(x⊗<y>))(<>⊕<ℵ>)=<x>⊕y⊕(<>⊕<ℵ>)•<x>⊕(<>⊕<ℵ>)•<y>=<x>⊕y⊕x⊕ℵ•x⊕y⊕ℵ•y=<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y

Het invers van A ten opzichte van (<>⊕<ℵ>) is nu een andere uitdrukking:

(<y>⊗x))(<>⊕<ℵ>)=y⊕<x>⊕(<>⊕<ℵ>)•y⊕(<>⊕<ℵ>)•x=y⊕<x>⊕<y>⊕<ℵ•y>⊕<x>⊕<ℵ•x>=x⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>.

Hiervoor moeten we dan een nieuw symbool kiezen, we kiezen voor A<>-1.

Dit leidt tot een andere commutator A⊕<A<>-1>, die we noteren als [A, A<>-1] en deze is <x>⊕<y>⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>.

Dit de gecollapste haakuitdrukking (x⊕y)•(<>⊕ℵ), een uitdrukking in een deel van de basis van ℵ.

Interpretatie van een commutator gelijk aan nul

We interpreteren de commutator niet verschillend van nul, of dus x=<y>, of dus <>⊕x•y=<<>>, nu als volgt: een model waarin de relaties associatief en commutatief zijn (de commutator is nul) is enkel mogelijk wanneer een projectieve eenheid, in dit geval dus (<>⊕x•y), niet verschillend van <<>> verondersteld wordt. In dat geval is er geen echt interval dat door een verschil van toestanden geconstrueerd wordt aangezien A=(x⊗(<x>⊕y))ℵ=<y>=x, dus “de extrema vallen samen”. Er is dus geen dynamiek. We kunnen A dan noteren als A=(x⊗<y>)ℵ=A=(<y>⊗x)ℵ=A=(x⊗x)ℵ=A=(<y>⊗<y>)ℵ en dit zijn welgevormde haakuitdrukkingen, geen projectoren dus enkel potentiële punten en geen ervaren punten. Dat betekent dus dat een model waarin de relaties associatief en commutatief zijn geen verandering modelleert, wat nu als volgt kan geïnterpreteerd worden: de “intensiteit van verandering” is niet waar te nemen, de projector <>⊕x•y heeft waarde <<>> en de intensiteit ervan verandert niet, de laatst toegevoegde onderscheiding speelt geen rol, het aantal onderscheidingen in het opgespannen universum verandert niet, er gaan geen onderscheidingen weg, er komen er geen bij, de laatst toegevoegde onderscheiding wordt niet ingebouwd. Die bepaalde “indien... dan...” constructie is immuun voor verandering, het is een stabiel deel van het groter geheel dat onvermijdelijk verandert maar nu niet gemodelleerd wordt, het is het deel dat invariant is voor de operatie van toevoeging van een onderscheiding (en dus ook een laatst toegevoegde ℵ) wat goed uitgedrukt wordt door de gelijkheid A=(x⊗x)ℵ=x. Er kan dan een symmetrie ten opzichte van de onvermijdelijke verandering waargenomen worden en dus een invariant.

De intensiteit van dynamiek

We construeren nu drie voorbeelden van A=(x⊗(<x>⊕y))ℵ=<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y.

Stel y=<<>> dan wordt A=(x⊗(<x>⊕<<>>))ℵ=<>⊕ℵ•x⊕ℵ en dus A⊕<<>>=ℵ•(x⊕<<>>)

Stel y=<> dan wordt A=(x⊗(<x>⊕<>))ℵ=<<>>⊕ℵ•x⊕<ℵ> en dus A⊕<>=ℵ•(x⊕<>)

Stel y=ℵ dan wordt A=(x⊗(<x>⊕ℵ))ℵ=<ℵ>⊕ℵ•x⊕ℵ•ℵ en dus A⊕<>=ℵ•(x⊕<>)

De laatste veronderstellingen zijn niet verschillend van elkaar.

We interpreteren dit als volgt: de laatst toegevoegde onderscheiding geeft in het ervaren zelf een intensiteit aan een projector die hier als eenheid functioneert.

Met dezelfde onderscheidingen kunnen we ook het ander interval construeren.

We construeren nu drie voorbeelden van <B>=(y⊗(<y>⊕x))ℵ=<x>⊕ℵ•y⊕ℵ•x.

Stel x=<<>> dan wordt <B>=(y⊗(<y>⊕<<>>))ℵ=<>⊕ℵ•y⊕ℵ en dus <B>⊕<<>>=ℵ•(y⊕<<>>)

Stel x=<> dan wordt <B>=(y⊗(<y>⊕<>))ℵ=<<>>⊕ℵ•y⊕<ℵ> en dus <B>⊕<>=ℵ•(y⊕<>)

Stel x=ℵ dan wordt <B>=(y⊗(<y>⊕ℵ))ℵ=<ℵ>⊕ℵ•y⊕ℵ•ℵ en dus <B>⊕<>=ℵ•(y⊕<>)

De laatste veronderstellingen zijn niet verschillend van elkaar.

Twee referenties met zelfde dynamiek

Wat dit allemaal betekent wordt tastbaar met een voorbeeld in het drie onderscheidingen universum. Het drie onderscheidingen universum is voldoende omdat ℵ uiteindelijk het “grootste” universum bepaalt waarin x en y moeten uitgedrukt worden en we moeten het patroon niet ingewikkelder maken dan nodig. Stel x als 1100 en y als 0111, twee elkaar uitsluitende punten in het twee onderscheidingen universum die niet elkaars inbedding zijn (inderdaad, hun conjunctie is niet verschillend van 1111 en de inbedding van x is 0011 en dit is verschillend van 0111). Om zo algemeen mogelijk te blijven veronderstellen we ook niet dat ze punten zijn van hetzelfde niveau. Dus (<x>⊕y) is 0111⊕0011 en is dus 1x00.

We bewijzen nu op een alternatieve manier dat het verschil (<x>⊕y) een noodzakelijke voorwaarde is voor elke toestand x en dus x een voldoende voorwaarde is voor (<x>⊕y). Inderdaad: de conjunctie van x en (<x>⊕y) is de conjunctie van 1100 en 1x00 en dat is dus 1100 en dat is niet anders dan x, de disjunctie is 1x00 en dat is niet anders dan (<x>⊕y). Dus x en (<x>⊕y) zijn de extrema van het interval. Dat betekent dus dat (<x>⊕y) een noodzakelijke voorwaarde is voor x en dus x een voldoende voorwaarde is voor (<x>⊕y). QED.

We kiezen nu een punt uit een universum met één onderscheiding meer en genereren daarmee een interval en zijn invers in het hoogste universum. We geven daar twee voorbeelden van die dus aantonen dat hiermee het patroon ontstaat van een don’t care op een bepaalde positie en in een derde voorbeeld geven we ook aan dat we voor sommige keuzen geen punt in het hoogste universum bereiken, en wat daarvan de karakteristiek is.

Wanneer we kiezen voor de laatst toegevoegde onderscheiding als 11110000, dan bekomen we steeds als intervallen een punt in het drie onderscheidingen universum.

Aangezien <<A><A-1>> niet anders is dan x en AA-1 niet anders is dan (<x>⊕y) ontstaat er dus een 1-splitsing, bijvoorbeeld:


Nemen we y als referentie punt dan kunnen we elk punt sommeren met y en vinden we als 1-splitsing:


Als we de conventie volgen om het extremum met enkel hoogbits bovenaan te nemen dan schrijven we dat als:


Deze structuur is af te beelden op een één onderscheiding universum.

De beide extrema zijn symmetrische uitdrukkingen en dit betekent dat x en y hetzelfde patroon vertonen, uitwisselbaar zijn. Wanneer we stellen dat A=(x⊗(<x>⊕y))ℵ=<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y, dan kunnen we ook een <B> onderscheiden met <B>=(y⊗(<y>⊕x))ℵ=<x>⊕ℵ•x⊕ℵ•y en dus kunnen we een tweede structuur maken met <x>⊕<y>, <B>⊕x, <B>-1⊕x en x⊕y met exact dezelfde ℵ. Namelijk A⊕y=<B>⊕x=ℵ•x⊕ℵ•y. We kunnen ook berekenen dat A⊕<B>=<x>⊕<y>⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>.

Dit betekent dat we exact hetzelfde patroon op twee manieren kunnen herkennen, een manier die we als A voorgesteld hebben en een manier die we als <B> voorstellen. Dit is uiteindelijk te herleiden tot een verschil van referentie: keuze van y leidt tot A, keuze van x leidt tot <B>. Het vectorproduct x•y kan voorstellen of beide referenties dezelfde waarde hebben of tegengestelde waarde en dat laatste is een unieke situatie.

We berekenen nu x•y: 01000100.

Dus x•y=<> is gegeven door 0x000x00. In dat geval hebben x en y tegengestelde waarde en dan is de commutator <ℵ•x>⊕<ℵ•y> gelijk aan nul.

In het andere extreem is x•y=<<>> gegeven door x1xxx1xx en we zien dus dat de twee uitersten voor de afgeleide een 1-splitsing uitvoeren. Dit is de 1-splitsing die overeenkomt met de orthogonale basis (<>⊕x•y) of 1x111x11 versus (<>⊕<x•y>) of x1xxx1xx. In het ene deel van de splitsing zijn er zes betekende bits, in het andere deel zijn er twee betekende bits. We zien dus onmiddellijk dat, als ℵ in een groter universum moet uitgedrukt worden, dat de 1-splitsing waarin we y als referentie in de som gebruikt hebben niet verschilt van de volgende 1-splitsing.


Deze structuur maakt duidelijk dat de 1-splitsing uitsluitend tot de dualiteit van ℵ versus <ℵ> te reduceren is, maar dat dynamiek op twee manieren zal kunnen voorgesteld worden, een manier met referentiekeuze x en een manier met referentiekeuze y.

Deze structuur is de structuur van een gecollapste atoombuur.

Kwantificering

Aangezien ℵ per definitie het grootste universum codeert waarin de welgevormde haakuitdrukkingen x en y moeten uitgedrukt worden is het, in dit geval, het verschil tussen twee en drie onderscheidingen. Dit verschil is 1 en dus 21 geeft het aantal waarmee het bit patroon in het universum van x•y moet vermenigvuldigd worden, inderdaad we hebben het patroon van x•y moeten verdubbelen om ook in het universum van ℵ te kunnen functioneren. Noteer dat de uitdrukking x•y ook in staat is een x en y te combineren die eventueel in een verschillend universum hun meest eenvoudig bitstring patroon kunnen hebben. Stel dat ℵ een vier onderscheidingen universum zou binnengebracht hebben dan zouden we als factor van vermenigvuldiging 22 of 4 gevonden hebben enz... Dit maakt duidelijk dat het verschil kwantitatief uit te drukken is: de afgeleide naar ℵ heeft de intensiteit van het universum dat in het ervaren nu in een 1-splitsing opgesplitst wordt. De tweede afgeleide naar ℵ heeft de intensiteit van <<>> en dus de intensiteit van het grootste universum dat in een 1-splitsing kan opgesplitst worden. Dat betekent dat een groter universum niet mogelijk is en met die intensiteit kunnen we dan normaliseren. Daarmee drukken we uit die intensiteit als eenheid gebruiken en dus dat een variabele ℵ altijd groter is dan nul en kleiner dan 1.

De opsplitsing wordt bepaald door x•y, en, indien we dat willen als een volgende stap in de abstractie, dan is het patroon te kwantificeren door een aantal bits.

We onderscheiden dus twee kwantificeringen. Enerzijds de kwantificering die niet ingebouwd wordt in de tralie en die we interpreteren als de intensiteit van de hele tralie, laten we dat de uitwendige kwantificering noemen. Anderzijds een kwantificering van de tralie zelf waarvoor we veel verschillende manieren kunnen bedenken die gebaseerd zijn op eigenschappen van de gekozen 1-splitsing en dus de tralie zelf, laten we dat de inwendige kwantificering noemen.

Uitwendige kwantificering

We werken het voorbeeld uit dat we hoger al gebruikt hebben. We hebben daar twee toestanden verondersteld (elkaar uitsluitende welgevormde haakuitdrukkingen) x als 1100 en y als 0111 (uitgedrukt in een twee onderscheidingen universum). Als laatst toegevoegde onderscheiding ℵ nemen we een vorm die slechts één onderscheiding bijvoegt, namelijk 11110000. Dus ℵ•x wordt uitgedrukt door 11000011 (en de bitstring van x moet daarvoor éénmaal herhaald worden). Dus (y⊕<x>) is 01110111⊕00110011 = 1x001x00.

De som met de referentie toestand levert de volgende tralie op:


Dit is een gecollapste tralie van één onderscheiding (slechts twee betekende bits op dezelfde positie). Dit is de tralie die nu ervaren is. Dit is in termen van de projector (<>⊕x•y) (som van de elkaar uitsluitende toestanden) niet anders dan


De simultaneïteit van (<>⊕x•y) en dus ook (<<>>⊕<x•y>) is duidelijk te zien. Centraal zien we ℵ•(<>⊕x•y) en <ℵ>•(<>⊕x•y). Dit is niet anders dan ((<>⊕x•y)⊗(<<>>⊕<x•y>))ℵ en ((<<>>⊕<x•y>)⊗(<>⊕x•y))ℵ.

We veronderstellen dat we normaliseren met de intensiteit van het grootst mogelijke universum, zodanig dat ℵ altijd kleiner is dan 1. Dus de kwantificering met 0<ℵ<1 enerzijds en -1<ℵ<0 anderzijds is een invariant voor de tralie die enkel opgespannen wordt door de twee punten (<>⊕x•y) en (<<>>⊕<x•y>).

De uitwendige kwantificering is de intensiteit van de eenheid “tralie”.

Inwendige kwantificering

We hebben een 1-splitsing gemaakt met twee willekeurig gekozen welgevormde haakuitdrukkingen x en y. We kunnen ze nu op verschillende manieren kwantitatief met elkaar vergelijken waarmee we een getal kunnen bekomen (de inwendige kwantificering) dat we als de invariante eenheid gaan gebruiken die we zouden kunnen kwantificeren met een uitwendige kwantificering. Dat getal is dus ingebouwd in de tralie.

Voor dat getal kunnen we bijvoorbeeld kiezen voor het inwendig product van het verschil van x en y (dus het aantal verschillende bits, in het geval x als 1100 en y als 0111 is dit getal 1), of we kunnen kiezen voor de verhouding die het aantal gelijke ten opzichte van verschillende bits geeft voor x en y (in dit geval dus 1 gelijk en 3 verschillend, dus een verhouding van 1/3). Een ander voorbeeld zou een som van kwadraten zijn, het getal van de inwendige discriminatie.

Dus een genormaliseerde ℵ kwantificeert dan de factor (de intensiteit van de eenheid 1) waarmee dit inwendig product of deze verhouding vermenigvuldigd wordt. Stel dat het grootste universum dat mogelijk is 2n bits heeft en kies voor de verhouding 1/3. Dan is de genormaliseerde factor voor een momenteel universum dat slechts 1 onderscheiding meer heeft 21(1/3)/2n, voor 2 extra onderscheidingen is dit 22(1/3)/2n, …, voor het grootste universum dat n onderscheidingen meer heeft is dit 2n(1/3)/2n.

Laten we ook eens de inwendige discriminatie van elk knooppunt illustreren in zijn meest eenvoudige vorm.


De vier knooppunten hebben zes invariante bits en de twee punten op centraal niveau hebben maar één don’t care. We kunnen dus een kwantificering uitrekenen (die een functie is van het aantal bits van de tralie opgespannen door x, (y⊕<x>), A en A-1) met behulp van de inwendige discriminatie intensiteit van elk van deze vier punten met zichzelf.

<x|x>=p28+p27+p26+p25+p24+p23+p22+p21

<A|A>=p28+p27+p26+p25+p24+0+p22+p21

<A-1|A-1>=p28+0+p26+p25+p24+p23+p22+p21

<y⊕<x>|y⊕<x>>=p28+0+p26+p25+p24+0+p22+p21

Dit zijn 4 vergelijkingen met 3 onbekenden, namelijk de som van de zes invarianten: p28+p26+p25+p24+p22+p21, en de intensiteiten p27 en p23. Van de vier intensiteiten zijn <A|A>, <A-1|A-1> en <y⊕<x>|y⊕<x>> intensiteiten in een ervaren standpunt. De intensiteit van <x|x> kunnen we natuurlijk gebruiken als normalisatie zodanig dat deze intensiteit gelijk is aan 1. De genormaliseerde intensiteiten <A|A>/<x|x>, <A-1|A-1>/<x|x> en <y⊕<x>|y⊕<x>>/<x|x> zijn dan fracties van 1 en elk kunnen we dan gebruiken als een inwendige kwantificering.

We kunnen nu ook eens een voorbeeld geven van een laatst toegevoegde onderscheiding die in een groter universum moet uitgedrukt worden. We nemen daarom als laatst toegevoegde onderscheiding 1111111100000000 dan is duidelijk dat de 1-splitsing ook de volgende simultaneïteitsrelatie kent:


De sommen worden nu wat uitgebreider, maar het patroon is hetzelfde. In principe zouden beide kwantificeringen dezelfde informatie coderen. Dit moet nog uitgewerkt worden.

De inwendige kwantificering is de intensiteit van een eenheid waarmee de tralie opgebouwd is.

Het enige wat we doen is verschillende eenheden gebruiken, ze hebben allemaal dezelfde (uitwendige) intensiteit.