Het creatief product heeft twee eenheden in het geval dat het associatief is. We hebben bewezen dat (x⊗y)_ℵ en (y⊗x)_ℵ elkaars invers zijn ten opzichte van de eenheid x en dat (y⊗x)_ℵ en (x⊗y)_ℵ elkaars invers zijn ten opzichte van de eenheid y voor dit associatief creatief product. We zullen nu aantonen dat dit associatief creatief product van de twee inversen als vectorsom een tralie opbouwt.

Als som gemodelleerd zijn dus de volgende uitdrukkingen elkaars invers:

Ten opzichte van x: (x⊗y)_ℵ=A=<x>⊕<y>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y en (y⊗x)_ℵ=A^-1=<x>⊕<y>⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>, we noteren: (A⊗A^-1)_ℵ=x

Ten opzichte van y: (y⊗x)_ℵ=A^-1=<x>⊕<y>⊕ℵ•x⊕<ℵ•y> en (x⊗y)_ℵ=A=<x>⊕<y>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y, we noteren: (A^-1⊗A)_ℵ=y

Aangezien al deze uitdrukkingen een creatief product zijn is de nevenschikking niet verschillend van het vectorproduct en zowel x, y als A en A^-1 zijn welgevormde haakuitdrukkingen. Het vectorproduct van beide inversen is x•y, wat gemakkelijk met een vermenigvuldigsgrit te controleren is.

Om de nevenschikking te berekenen hebben we dit vectorproduct nodig want het algemeen patroon van de disjunctie van a en b wordt gegeven door <a•b>⊕<a>⊕<b>⊕<<>>, dus hier concreet: <A•A^-1>⊕<A>⊕<A^-1>⊕<<>>=<x•y>⊕<x>⊕<y>⊕<<>> en we merken dat dit niet anders is dan de nevenschikking van x en y, namelijk xy. Als haakuitdrukking geldt dus dat (x⊗y)_ℵ(y⊗x)_ℵ niet anders is dan xy. Inderdaad <ℵ<x>><<ℵ><y>><ℵ<y>><<ℵ><x>> is <<<ℵ<x>><<ℵ><x>>>><<<<ℵ><y>><ℵ<y>>>> is <<x><<ℵ><<ℵ>>>><<y><<<ℵ>><ℵ>>> is <<x><<>>><<y><<>>> is xy.

Volledig analoog kunnen we dus alle mogelijke relaties tussen A en A^-1 berekenen en kunnen we dus de volledige tralie in (x⊗y)_ℵ en (y⊗x)_ℵ opbouwen gebaseerd op dezelfde toegevoegde onderscheiding, dat niet verschilt van de tralie in x en y, behalve door de punten op centraal niveau, die dus zijn: (x⊗y)_ℵ, (y⊗x)_ℵ, (<x>⊗<y>)_ℵ, (<y>⊗<x>)_ℵ, x•y, <x•y>.

Gevolg

Atomen als creatief invers

Er geldt: (x⊗y)_ℵ=A=<x>⊕<y>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y en (y⊗x)_ℵ=A^-1=<x>⊕<y>⊕ℵ•x⊕<ℵ•y> en dus (A⊗A^-1)_ℵ=x

We vervangen nu x door <<>>.

(<<>>⊗y)_ℵ=A=<>⊕<y>⊕<ℵ>⊕ℵ•y, dit is <<y><ℵ>> en (y⊗<<>>)_ℵ=A^-1=<>⊕<y>⊕ℵ⊕<ℵ•y>, dit is <<y>ℵ> en dus (A⊗A^-1)_ℵ=<<>> en de eenheid is <<>>. Met dezelfde redering, maar gecommuteerde creatieve producten, is de eenheid y.

De tralie is

Onder welke voorwaarde is er geen verschil tussen het creatief product en het vectorproduct

We drukken dus enerzijds de gelijkheid uit van (A⊗A^-1)_ℵ=x en A•A^-1=x•y, en anderzijds van (A^-1⊗A)_ℵ=y, en A•A^-1=x•y. Dus enerzijds geldt x•y=x en anderzijds geldt ook x•y=y. Dus door vectorvermenigvuldiging geldt ook x•x•y=x•x en dus y=<<>> en voor het tweede geval geldt op een analoge manier x=<<>>. Dus de twee eenheden hebben dezelfde waarde die gekend en toegewezen is, namelijk <<>>. In dat geval sluiten x en y elkaar ook uit, en de opgespannen tralie heeft enkel maar de punten <<>> en <>. Merk op dat <<>> expliciet is in de berekeningen en <> impliciet omdat <<>>•<<>> niet kan onderscheiden worden van <>•<>. We merken op dat de twee veronderstelling die we gemaakt hebben de veronderstelling van associativiteit van het creatief product is dat gebruikt wordt om het concept “invers ten opzichte van een eenheid” mogelijk te maken (zonder associativiteit is dit immers een zinloos begrip) en de veronderstelling dat er maar één vectorproduct bestaat. Eén vectorproduct en de associativiteit van het creatief product dus kan gebruikt worden om de enige (binaire) waarde in het haakformalisme te definiëren uitgaande van gelijk welke welgevormde haakuitdrukking.

x=y=<<>> betekent ook dat de eenheid van het associatief creatief product, die aanleiding geeft tot de definitie van een invers, ook de eenheid is van het vectorproduct waarbij elke welgevormde haakuitdrukking zijn eigen invers is.

Het betekent ook dat het associatief creatief product waarbij een eenheid gedefinieerd is die de eenheid is van het vectorproduct commutatief is en dus voorgesteld kan worden als (<<>>⊗<<>>)_ℵ=<<>> of duaal (<>⊗<>)_ℵ=<> of (<<>>⊗<<>>)_<<>>=<<>> of duaal (<>⊗<>)_<<>>=<>. Dit is de waarde toekenning van het algemene geval (x⊗x)_ℵ=x als een welgevormde haakuitdrukking die nog geen waarde toegekend kreeg: de enige onderscheiding in een één onderscheiding universum. Dit is dus ook de waarde toekenning aan de vaststelling dat elke welgevormde haakuitdrukking zijn eigen eenheid is en zijn eigen invers voor het (niet noodzakelijk associatief) creatief product.

x=<<>> betekent ook dat <x>=<> en dus dat het vector kwadraat x•x of <x>•<x> nooit de waarde <> kan hebben, wat we in het bitstring model konden modelleren als de nulvector en wat we verder kunnen modelleren als een infinitesimaal. x=<<>> betekent ook dat <x>⊕<>=<<>> en dus is de projector <x>⊕<> eveneens een infinitesimaal.

Commutator

We bestuderen nu een aantal uitdrukkingen in A en A^-1.

A⊕A^-1=x⊕y

A⊕<A^-1>=ℵ•(x⊕<y>)

<A>⊕A^-1=ℵ•(<x>⊕y)

A⊕<A^-1>=<<A>⊕A^-1>

(A⊕A^-1)•(A⊕<A^-1>)=(x⊕y)•ℵ•(x⊕<y>)=X

(A⊕A^-1)(A⊕<A^-1>)=(A⊕<A^-1>)(A⊕A^-1)=(x⊕y)(ℵ•(x⊕<y>))=X⊕(<x>⊕<y>)⊕<ℵ>•(x⊕<y>)⊕<<>>

(A⊕A^-1)•(A⊕A^-1)=(A^-1⊕A)•(A^-1⊕A)=<>⊕<A•A^-1>=<>⊕<x•y>

(A⊕<A^-1>)•(A⊕<A^-1>)=(<A^-1>⊕A)•(<A^-1>⊕A)=<>⊕A•A^-1=<>⊕x•y

(A⊕A^-1)(A⊕A^-1)=(A^-1⊕A)(A^-1⊕A)=(<<>>⊕x•y)⊕<x>⊕<y>⊕<x>⊕<y>⊕<<>>=x•y⊕x⊕y⊕<> en dit is de conjunctie van <x> en <y>.

(A⊕<A^-1>)(A⊕<A^-1>)=(<A^-1>⊕A)(<A^-1>⊕A)=(<<>>⊕<x•y>)⊕<ℵ>•(x⊕<y>)⊕<ℵ>•(x⊕<y>)⊕<<>>=<x•y>⊕ℵ•(x⊕<y>)⊕<>

Enkel de uitdrukkingen A⊕<A^-1> en <A>⊕A^-1, hun disjunctie en conjunctie zijn dus afhankelijk van ℵ, de welgevormde haakuitdrukking die de associativiteit van het creatief product mogelijk maakt.

We merken op dat de uitdrukkingen ℵ•(x⊕<y>) en ℵ•(<x>⊕y) de structuur hebben van een projector, namelijk ℵ•(x⊕<y>) kan ook geschreven worden als ℵ•y•(x•y⊕<>), maar ook als <ℵ•x>•(x•y⊕<>) en ℵ•(<x>⊕y) is niet anders dan <ℵ•y>•(x•y⊕<>), maar ook ℵ•x•(x•y⊕<>). Dit betekent dat de kwadraten van deze uitdrukkingen gegeven zijn door (x•y⊕<>), een uitdrukking waarin ℵ geen rol meer speelt. In de collaps staat hier dan ofwel x⊕<>, ofwel y⊕<>.

We geven nu beide uitdrukkingen A⊕<A^-1> en <A>⊕A^-1 met A⊕<A^-1>=<<A>⊕A^-1> de naam “commutator” (en zijn inbedding) omdat het creatief product commutatief is wanneer deze uitdrukking niet onderscheiden is van de nulvector en dus x=y en dus A=<x>⊕<y>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y=x=y. Merk op dat x=y niet veronderstelt dat we een waarde moeten toegekend hebben aan een van de termen van de vergelijking.

De som van de commutator ℵ•(x⊕<y>) en zijn inbedding ℵ•(<x>⊕y) is de nulvector, de som van de commutator en de inbedding van de inbedding is de ingebedde commutator, immers ℵ•(x⊕<y>)⊕ℵ•(x⊕<y>)=ℵ•(<x>⊕y).

Neem nu A=((r⊕p)⊗(r⊕q))_ℵ=r⊕(p⊗q)_ℵ en zijn invers A^-1=((r⊕q)⊗(r⊕p))_ℵ=r⊕(q⊗p)_ℵ. We hebben een commutator gedefinieerd als de som van A en <A^-1>, dus r⊕(p⊗q)_ℵ⊕<r>⊕<(q⊗p)_ℵ> en we stellen vast dat dit niet anders is dan de commutator van de punten waarbij de gemeenschappelijk term weggelaten werd, namelijk (p⊗q)_ℵ⊕<(q⊗p)_ℵ>. Wanneer we dus een commutator gebruiken dan kunnen we altijd veronderstellen dat hiermee een deel van een groter geheel (grotere tralie) gemodelleerd wordt, namelijk het deel dat enkel van de laatst toegevoegde onderscheiding afhankelijk is.