Vanuit het inzicht dat het vermogen een processnelheid is hebben we twee verhoudingen afgeleid: ten eerste: het verschil van twee densiteiten van vermogen A=(V1-V2)/T=(V1/T)-(V2/T) en ten tweede het rekenkundig gemiddelde van twee energie intensiteiten: E=½(V1+V2)T=½(V1T+V2T). Hiermee hebben we de nieuwe verhouding berekend: EA=½(V1+V2)T(V1-V2)/T=½(V12-V22). Hierin is de term T “verdwenen” ondanks het feit dat we het vermogen V blijvend als een “densiteit” kunnen aangeven, namelijk een energiedensiteit E/T. We begrijpen dus dat T niet meer en niet minder is dan een schaalfactor die de schaal kwantificeert van het proces dat we modelleren, de ordening van het verschil dat een verschil maakt. De verhouding 2EA is dus niet anders dan het verschil (V12-V22) “per stap” want we kunnen T=1 veronderstellen (1 stap, “onafhankelijk van wat een stap ook zou blijken te zijn”) of T=T (T stappen, “onafhankelijk van wat een stap ook zou blijken te zijn”), dus gelijk welk ander getal, gelijk welk andere schaal, in gelijk welke interpretatie van eenheid, eenheid die we hier een “stap” in een proces noemen. Al deze getallen hebben “dezelfde waarde”, en hier gebruiken we de betekenis van “waarde” zoals ze gedefinieerd is in het haakformalisme, alle mogelijke schalen genereren “dezelfde ja”. De verhouding 2EA is dus niet meer en niet minder dan het verschil tussen twee getallen (V12 en V22) die beide (het kwadraat van) “een vermogen” kwantificeren als intensiteit van 1.
Dank zij de onderzoeken naar de verschillen van toestanden kunnen we het vermogen interpreteren als de intensiteit van één ervaren toestand. Dat is typisch het resultaat van één meting. In het binair model is dat dus de intensiteit van één bit. Dit getal is een kwadraat en als kwadraat is alle richting informatie verdwenen want (x-y)2 is niet anders dan (y-x)2. Deze getallen zijn niet anders dan de getallen die gedefinieerd worden in het model van discriminatie (dit is de transformatie in het model van relevantie, model dat het aantal relevante bits kan kwantificeren) en een som van kwadraten zal zich gedragen als een steeds en enkel toenemende ordening zoals tijd en zal dus als zodanig gebruikt kunnen worden. Het is de intensiteit van een bit want we hebben ½(V1+V2) nodig, en enkel van intensiteiten kunnen we een willekeurige fractie nemen (van eenheden niet, een halve koe is geen koe maar een kadaver). Het verschil is het relevante verschil voor het proces, het verschil dat een verschil maakt (een evenwicht van verschillen is onafhankelijk van het referentiepunt) en dat relevant verschil kunnen we interpreteren als de eenheid van de intensiteit. Die schaal is ook te interpreteren als de weerstand tussen de twee eenheden die we in het proces onderscheiden, weerstand die de kwantificering is van de fundamentele begrenzing van het proces.
We hebben hiermee een overzicht gegeven van enkele belangrijke vaststellingen die we nu willen toepassen op de stap T. T heeft een intensiteit van een stap, maar kunnen we wel de helft nemen van T? Kunnen we een derde nemen van T? Kunnen we een willekeurige fractie nemen van T? We hebben dat in zijn algemeenheid onderzocht en we besloten dat de priemgetallen de eenheden zijn van de intensiteiten van een stap, want enkel voor een priemgetal geldt dat het kan gedeeld worden door slechts één getal verschillend van 1: het priemgetal zelf. Als we dus die fractie gebruiken als eenheid, is er een intensiteit die exact de eenheid bereikt. Met die eenheden als atomen (priemgetallen of inverse priemgetallen) kunnen we altijd een tralie bouwen met alle mogelijke producten en de tralie structuur herkennen we ook in de structuur van kettingbreuken als dubbelgetallen. De stap is dus niet meer en niet minder dan de schaal waarmee we de exponent van een cumulatie gn kunnen kiezen waarbij g verschillend is van 1 en waarbij n de intensiteit geeft van de cumulatie. Als zodanig is het de schaal van een toestand die een andere uitsluit en daarom is het de schaal van “een lokale intensiteit”, de intensiteit van één toestand (de eenheid “stap”) en wordt voorgesteld door één rationaal getal dat we altijd kunnen voorstellen als een dubbelgetal, dus in het patroon van <<een getal dat afwijkt van 1>> dat we op twee manieren kunnen schrijven: (1-n)/(1+n) of (1-m)(1+m). We noemen dat “een lokale intensiteit” omdat dat ook de benaming is die gebruikt wordt in de kwantummechanica (waar het dubbelgetal als complex getal geïnterpreteerd wordt en de eenheid inderdaad niet het getal 1 is maar het getal 1+i).
Veronderstel nu dat we een n-de deel (bijvoorbeeld de helft) kunnen nemen van een som van verhoudingen V, dan kunnen we die kiezen als T en gelijk welk verschil van kwadraten uitdrukken in termen van V want we kunnen altijd schrijven voor een willekeurige n dat n2(V1-V2)/(V1+V2)=n2(V1-V2)(V1+V2)/(V1+V2)2=n2V12/(V1+V2)2-n2V22/(V1+V2)2=(nV1/(V1+V2))2-(nV2/(V1+V2))2 en dit is een verschil van kwadraten met als noemer (V1+V2)/n, het n-de deel van de som, die we dus kunnen kiezen als stap T. Het n-de deel van de som is de enige mogelijkheid als (V1+V2)=n en n een priemgetal is. De priemgetallen zijn de eenheden van intensiteit. Bij (V1+V2)/n staat wat we tellen in de teller, wat de (reciproque) eenheid is staat in de noemer.
Met de veronderstelling van de fractie (bijvoorbeeld het rekenkundig gemiddelde) V12=(V02+V22)/n kunnen we dan altijd een fractie van het universeel patroon van niet commutatieve verhoudingen construeren (niet commutatief betekent dat ook de zin van een interval beschouwd wordt). Immers:
V12=(V02+V22)/n
(1-V12)=(1-(V02+V22)/n)
(1-V12)=((1-V02)-(1-V22))/n
Stel nu Vi2=2vi/(1+vi) dus 1-Vi2=1-2vi/(1+vi)=(1-vi)/(1+vi) en dat voor elke i (dat is altijd mogelijk behalve voor Vi2=2)
((1-v1)/(1+v1))=(((1-v0)/(1+v0))+((1-v2)/(1+v2)))/n
Dus (1-v1)/(1+v1) is de n-de fractie (bijvoorbeeld het rekenkundig gemiddelde) van de verhoudingen (1-v0)/(1+v0) en (1-v2)/(1+v2).
QED.
Een patroon dat evenwaardig is aan (1-n)/(1+n) is (1-m)(1+m). Uitgaande van gelijk welk getal V2 kunnen we gelijk welke intensiteit construeren en dat enkel vanuit de veronderstelling dat een intensiteit gekenmerkt wordt doordat we er een n-de deel (bijvoorbeeld de helft) kunnen van nemen. We tonen dat aan met drie kwadraten: V02, V12, V22, en we drukken effectief de helft van (V02+V22) uit, door inductie geldt dat ook voor het n-de deel.
We veronderstellen dat er geldt dat V12=(V02+V22)/2. Dus een van de getallen is het rekenkundig gemiddelde van de twee andere. Hiervan leiden we af:
2V12=(V02+V22)
V12+V12=V02+V22
V12-V02=V22-V12
(V1-V0)(V1+V0)=(V2-V1)(V2+V1)
We introduceren nu twee ratio’s R10 en R21 met de notering die we introduceerden om de richting van een interval aan te geven:
R10=(V1-V0)/(V1+V0)=X10/T10
R21=(V2-V1)/(V2+V1)=X21/T21
Hierbij gebruiken we X voor een niet commutatief interval, dus waarbij geldt dat X10=-X01, en we gebruiken T voor een commutatief interval, dus waarbij geldt dat T10=T01
We berekenen de som
R10+R21=(V1-V0)/(V1+V0)+(V2-V1)/(V2+V1)
R10+R21=((V1-V0)(V2+V1)+(V2-V1)(V1+V0))/(V1+V0)(V2+V1)
We berekenen het product
R10R21=(V1-V0)(V2-V1)/(V1+V0)(V2+V1)
Som en product, dus R10+R21 en R10R21, hebben dezelfde noemer dus
(R10+R21)/R10R21=((V1-V0)(V2+V1)+(V2-V1)(V1+V0))/(V1-V0)(V2-V1)
(R10+R21)/R10R21=((V2+V1)/(V2-V1))+((V1+V0)/(V1-V0))=(1/R21)+(1/R10)
Dus R10R21/(R10+R21)=1/((1/R21)+(1/R10)) en dit is het patroon van het harmonisch gemiddelde van twee verhoudingen op een factor 2 na. Welke voorwaarden genereren dan dit harmonisch gemiddelde? We kunnen de voorwaarden als volgt construeren:
Per definitie geldt: T10R10=(V1-V0)=X10 en T21R21=(V2-V1)=X21
Veronderstel dat beide gelijk zijn aan elkaar, dus X10=X21 geldt. Hieruit volgt T21=X10/R21
We berekenen nu X10+X21=T10R10+T21R21=T10R10+X10=2T10R10
We berekenen nu T10+T21=T10+X10/R21=T10+T10R10/R21=T10(1+R10/R21)
We berekenen nu de verhouding (X10+X21)/(T10+T21)=2T10R10/T10(1+R10/R21)=2R10/(1+R10/R21)=2R10/((R21+R10)/R21)=2R10R21/(R21+R10).
Dit betekent dat de voorwaarde X10=X21 exact het harmonisch gemiddelde genereert van de niet commutatieve verhoudingen R10 en R21, namelijk 2/((1/R21)+(1/R10)).
Dit is allemaal niet zo verwonderlijk want we reconstrueren hiermee een bekend inzicht: als we Xij als afstand interpreteren en Tij als tijd, dan geeft het harmonisch gemiddelde de gemiddelde snelheid van de verplaatsing over de totale afstand wanneer twee identieke deelafstanden met constante maar verschillende snelheid afgelegd worden. Snelheid is een “afstand densiteit”.
We veronderstellen nu terug één rij positieve gehele getallen: n0, n1, n2, … die sporen zijn van metingen met toestanden T0, T1, T2, .… De verhouding v01=(n0-n1)/(n0+n1) met de intensiteit (n0-n1) van de eenheid (n0+n1) blijkt het enige te zijn dat nodig is om spontaan gedrag te kunnen modelleren van een van de toestanden en dit is onafhankelijk van de interpretatie van de verhouding. Het is verhelderend dit eens helemaal uit te schrijven.
We vermenigvuldigen teller en noemer van v01 met de eenheid (“de stap T”) en daardoor verandert v01 niet: er geldt dan v01=(n0-n1)(n0+n1)/(n0+n1)2=(n02-n12)/(n0+n1)2
Door kwadrateren van de verhouding v01 geldt er ook de volgende gelijkheid: v012=(n0-n1)2/(n0+n1)2=(n02-2n0n1+n12)/(n0+n1)2
Beide verhoudingen hebben dezelfde noemer (dezelfde eenheid, dezelfde steeds toenemende parameter) en dus kunnen ze gesommeerd worden. Met een speciale som kunnen we daarmee de twee genererende vergelijkingen van de Gulden Snede verhouding bekomen. Dit doen we omdat we hebben aangetoond dat hiermee spontane verandering kan gemodelleerd worden. Deze twee genererende vergelijkingen zijn: n2-nm-m2=0 en n2+nm-m2=0. We kiezen nu n=vij en m=1 en met deze keuze worden dat de specifieke Gulden Snede vergelijkingen v012+v01-1=0 en v012-v01-1=0.
We kunnen nu die vergelijking transformeren naar vergelijkingen in enkel de onbekenden ni. Er gelden dan:
v012+v01=(2n02-2n0n1)/(n0+n1)2
v012-v01=(2n12-2n0n1)/(n0+n1)2
En dus:
v012+v01-1=(2n02-2n0n1)/(n0+n1)2-(n02+2n0n1+n12)/(n0+n1)2=(n02-4n0n1-n12)/(n0+n1)2=(n0+(2+√5)n1)(n0+(2-√5)n1)/(n0+n1)2
v012-v01-1=(2n12-2n0n1)/(n0+n1)2-(n02+2n0n1+n12)/(n0+n1)2=(n12-4n0n1-n02)/(n0+n1)2=(n1+(2+√5)n0)(n1+(2-√5)n0)/(n0+n1)2
Het rechter lid is dus een product van getallen (ni+(2±√5)nj)/(ni+nj), (ni+nj) is (een functie van) de stap en dit is een dubbelgetal, de lineaire transformatie gebeurt enkel met de tellers en dus de intensiteiten. Indien we dat willen kunnen we de Gulden Snede φ als volgt in de transformatie herkennen: (2+√5)=(1+2φ)=φ3 en (2-√5)=(3-2φ)=-φ-3. De symmetrie voor de disjunctie <<v012+v01-1>><<v012-v01-1>> is maximaal en drukt relativiteit uit: of we nu n0 of n1 kiezen, de intensiteit van het andere getal (n0 of n1) is te vermenigvuldigen met φ3 of -φ-3.
Hieruit volgt dat zowel met gelijk welke verhouding vij of met getallen ni en nj hetzelfde spontaan gedrag kan gemodelleerd worden, het enige dat moet gebeuren is eenheden en intensiteiten aanpassen aan het gekozen onderscheidingen universum. Spontaan gedrag kost geen energie of levert geen energie, het enige wat het doet is energie transformeren (voorbeeld: potentiële energie naar kinetische energie of omgekeerd). Voorwaarde is dat we de gepaste eenheid moeten “kiezen” gerelateerd tot zijn intensiteit die ons in staat stellen de werkelijkheid met gelijkwaardige tralies te modelleren.
Een spontaan proces met enkel getallen, als voorbeeld van een proces dat geen evenwicht bereikt, hebben we gemodelleerd met de rij van Fibonacci. De rij van Fibonacci vertoont enkele typische karakteristieken van het haakformalisme. Enkel minimaal twee verschillende spontane processen kunnen een evenwicht bereiken.
We kunnen ook een proces met enkel getallen modelleren dat wel evenwicht bereikt. We zien dat in als volgt: we hebben in de modellering het kwadraat van een verhouding nodig. In 2EA=(V12-V22) kan Vi2 geïnterpreteerd worden als de discriminatie van een toestand (één ervaren atoom) in een onderscheidingen universum. Als kwadraat of verschil van kwadraten is dit rechtstreeks af te leiden van de inwendige discriminatie van relevante toestanden in een universum en een veranderend vermogen (een “versnelling” als we tijd nemen als parameter) is dus te modelleren in een minimaal twee onderscheidingen universum waarin T de laatst toegevoegde onderscheiding levert die we niet a priori moeten interpreteren. Enkel gehele getallen zijn betrokken bij de kwantificering van discriminatie (geen sommen, geen structuren). En met enkel gehele getallen (als intensiteiten van 1) kunnen we een spontaan proces construeren dat wel altijd na een aantal stappen een evenwicht bereikt: de iteratie van Collatz die we in het haakformalisme modelleren. Dit is een onvermijdelijk evenwicht dat we bewezen hebben enkel door toepassing van eigenschappen van priemgetallen.
Dat we nu enkel getallen V2 manipuleren kunnen we ook geometrisch interpreteren. Voor de verhouding 2EA geldt 2EA=(V12-V22) en dit is een verschil van kwadraten. Een verschil van kwadraten is in het algemeen verschillend van een kwadraat. Gelijkheid aan een kwadraat noemen we de stelling van Pythagoras in het domein van de geometrie. Stel namelijk V12-V22=V32 dus V12=V22+V32. Deze laatste vergelijking drukt de relatie uit tussen de zijden van een rechthoekige driehoek, de eenheid die gemodelleerd wordt en bestaat uit twee orthogonale eenheden. We hebben deze relatie kunnen afleiden uit eigenschappen van een tralie opgespannen door getallen die relatief priem zijn, geometrische inzichten zijn daar niet voor nodig, hetzelfde hebben we gedaan voor het begrip “hoek” dat we evenmin geometrisch moeten interpreteren. Voor reële getallen zien we kwadraten opduiken als cos2 en sin2. Dit is ook niet anders dan wat we bij de klassieke snelheid hebben vastgesteld: een andere eenheid is betrokken wanneer men het onderscheid wil maken tussen kinetische en potentiële energie.
Maar met 2EA alleen kunnen we ook altijd een Pythagorees drietal construeren: we berekenen (2EA)2=4E2A2 en (E2-A2)2=E4-2E2A2+A4 en dus: (E2-A2)2+(2EA)2=(E2+A2)2, en dit expliciteert het drietal: (E2-A2), (2EA), (E2+A2). Dit patroon kennen we en dus kunnen we de vier getallen met het algemeen patroon van de Fibonacci rij hiervan afleiden en daarmee vier toestanden karakteriseren: (E-A, A, E, E+A) is niet anders dan (T1, T2, T3, T4) en de verhouding (T4-T1)/(T4+T1) is niet anders dan de verhouding A/E of dus T2/T3. Dit zijn identieke schaalfactoren. Aangezien E=VT en A=V/T waarbij T een vrij te kiezen parameter is, in het patroon van de Fibonacci rij ook te schrijven als V(T-1/T, 1/T, T, T+1/T). De schaalfactor A/E is dan 1/T2.
Als al deze relaties gelden dan is het onvermijdelijk dat E een dubbelgetal moet zijn. We kunnen dat zien door de reeks (E-A, A, E, E+A) of (T1, T2, T3, T4) te schrijven als het Fibonacci viertal (s+t-r, r, s+t, r+s+t) waarin (r+s+t) de referentietoestand voorstelt waaruit getallen a, b en c kunnen berekend worden als Pythagorees drietal. Namelijk a=(r+s+t)-t; b=(r+s+t)-s; c=(r+s+t)-r. Hier moet E dus als het dubbelgetal (s+t) voorgesteld worden. Daar is een vrije keuze in, alle getallen s en t die voldoen aan s+t=p kunnen gekozen worden aangezien ook (p-r, r, p, p+r) een Fibonacci viertal is. Hierbij is p dan een globale schaalfactor want p.(1-r/p, r/p, 1, 1+r/p) is ook een Fibonacci viertal.
Hiermee maken we duidelijk dat geometrie een interpretatie is van fundamentele inzichten wat betreft processnelheid, schaalfactor of densiteit. Er zijn in het haakformalisme geen geometrische axioma’s nodig. Geometrie leiden we af uit evenwicht en leiden we ook af uit de structuur van de tralie van priemgetallen.
Uiteraard kunnen we ook een voorbeeld geven van een energiedensiteit E/T met T de monotoon toenemende parameter die we “tijd” noemen, gemeten met een willekeurige klok. Daartoe moeten we enkel maar inzien dat de meest algemene operatie in het getallendomein het machtsverheffen (de exponentiatie) is, en dat elk getal geschreven kan worden als het exponentieel getal e tot een zekere exponent. Maar hetzelfde geldt ook voor gelijk welk grondtal (elk getal kan geschreven worden als het gekozen grondtal tot een zekere exponent). A fortiori geldt dit ook ook voor priemgetallen (dat zijn sommige getallen van het type “dubbelgetal” 1+x) of hun inversen als grondtal. Die grondtallen gelden dan als eenheden. Er geldt dan eveneens dat elke vierkante matrix kan geschreven worden als het exponentieel getal e tot een zekere exponent A die een vierkante matrix is. Vierkante matrices kunnen de eigenschap hebben van idempotentie of nilpotentie zodanig dat met matrices ook een verschil kan gemaakt worden tussen eenheden en intensiteiten. Een voorbeeld hiervan is de Schrödinger vergelijking en zijn relatie met rotaties. Doordat elke welgevormde haakuitdrukking in het 3&1 patroon kan geschreven worden, zal dit altijd leiden tot een interpretatie in drie dimensies waarvan de energiedensiteit verandert in de loop van de tijd. Het is een vrije keuze om die dimensies als geometrisch te interpreteren of niet. Zo’n matrix kan dus ook geïnterpreteerd worden als een Hamiltoniaan (wat leidt tot de operator van een harmonische oscillator in drie dimensies), wat zijn relatie met sommige meetbare soorten energie E duidelijk maakt.