Een eigenwaarde k moet positief zijn om de eigenwaarde als entiteit te kunnen interpreteren (een entiteit is een eenheid die niet kan gehalveerd worden). Als k positief is en kleiner dan 1 is ook (1-k) positief en dus kunnen we deze eigenwaarde ook als entiteit interpreteren. We zullen dus 0<k<1 veronderstellen. Dat geldt dus ook voor een veranderende eigenwaarde kn die de rol kan spelen van een entiteit onder voorwaarde dat 0<kn<1: kn mag niet negatief zijn, niet gelijk aan nul en evenmin gelijk aan 1 en zo ook: 0<(1-kn)<1: (1-kn) mag niet negatief zijn, niet gelijk aan nul en evenmin gelijk aan 1. De eigenwaarden kn en 1-kn kunnen als verhouding een begrenzing uitdrukken tussen twee extreme getallen die nooit bereikt worden. Ze ontstaan wanneer we interactie van processen niet als som maar als een product modelleren en het product is niet gebonden aan een mogelijke ordening van elkaar uitsluitende stappen in het globale proces. De n van kn verwijst naar de niveaus die simultaan aanwezig zijn. Een product van getallen modelleert simultaneïteit in het getallendomein, wat we met de opbouw van een tralie met priemgetallen gedemonstreerd hebben. Dit heeft een belangrijk gevolg voor de interpretatie van de getallen: het getal ki dat verschilt van het getal ki+1 verwijst naar een ander niveau in een tralie, dus naar de ordening in een tralie, een ingebouwde orde. De parameter n verwijst niet naar een ordening die we verbinden met “tijd”, heeft dus niet als karakteristiek dat dit een ordening is die niet in een tralie ingebouwd wordt. Neem dus de entiteit ki, dan is dat een karakterisering van een niveau in een tralie en dan kan met die constante ki een cumulatie gemodelleerd worden (en dat is een tweede soort kwantificering) met een ordening in de tijd die sporen achterlaat en beschreven wordt met onderscheidingen die in de tralie niet ingebouwd worden. Dit is iets anders dan de simultane interactie (het product) van een proces met eigenwaarde kn en een proces met een “duale” eigenwaarde (1-kn) die met elkaar gerelateerd zijn door een eigenwaarde r: we veronderstelden dat dit proces de verandering tussen 0 en 1 van de eenheid zelf modelleert, eenheid die bij elke stap verandert en daarom kan geïnterpreteerd worden als een onderscheiding die telkens ingebouwd wordt, bij elke stap, in de relevante tralie en daardoor ook de suprema van een deeltralie verandert. Met deze veronderstellingen hebben we als eerste stap de vergelijking ((1-kn)/kn)(1±r)n=1 afgeleid. Karakteristiek is hierbij dat we een buigpunt vinden in de grafiek halverwege de twee limietwaarden 0 en 1. De eigenwaarde r kunnen we natuurlijk ook tot een strikte positieve feedback beperken en die eigenwaarde kan dan natuurlijk terug een eenheid modelleren met een nieuwe eigenwaarde enz.… Maar dit is niet erg relevant meer: het patroon van een negatieve r of positieve r is hetzelfde: de sigmoïde. Het verschil tussen positieve of negatieve feedback is er een van de zin van de sigmoïde ten opzichte van de ordening van n.
De eigenwaarde kn en de “duale” eigenwaarde (1-kn) kunnen we ook het getallendomein herkennen en genereert daar de quaternaliteit van kettingbreuken.
We zullen nu aantonen dat er door een andere keuze van eenheid in de vergelijking ((1-kn)/kn)(1±r)n=1, een nieuw patroon beschikbaar wordt. We hebben dat al aangegeven door de schaalfactor K die positief of negatief kon zijn en we zullen dit nu gedetailleerd modelleren en interpreteren.
Elke eenheid kan een intensiteit krijgen door cumulatie, de verhouding van die intensiteiten zullen we ook hier zien in de intensiteit van 1, zoals duidelijk wordt met de vergelijking ((1-kn)/kn)(1±r)n=1. Immers met intensiteiten K1 en K2 wordt dit (K1(1-kn)/K2kn)(1±r)n=K1/K2(1). Dus ook (1±r)n=Rn kunnen we interpreteren als een schaalfactor die een functie is van n. Er geldt dan voor elke n: kn=(1-kn)Rn. Dat zijn drie getallen, kn, (1-kn) en Rn, die met elkaar gerelateerd zijn zoals bij elke schaal. Hieruit volgt dan
((1-kn)/kn)(1±r)n=1
(1-kn)/kn=(1±r)-n
(1-kn)=kn(1±r)-n
1=kn+kn(1±r)-n
kn(1+(1±r)-n)=1
kn=1/(1+(1±r)-n)
Dit is niet anders dan
((-1+kn)/kn)(1±r)n=-1
(-1+kn)/kn=-(1±r)-n
(-1+kn)=-kn(1±r)-n
-1=-kn-kn(1±r)-n
kn(1+(1±r)-n)=1
kn=1/(1+(1±r)-n)
De schaalfactor komt van de intensiteiten (cumulaties) van de eenheden kn en (1-kn). Een willekeurig proces zal ofwel een intensiteit (van een eenheid) exponentieel doen toenemen of exponentieel doen afnemen. Wanneer we een begrensd proces willen modelleren hebben we daarom twee simultane processen nodig en die interactie moet gemodelleerd worden door een product en genereert dus onvermijdelijk een schaal. Wanneer de interactie als een beperking moet gemodelleerd worden (omdat een beperking effectief vastgesteld wordt), moet ook de schaal beperkt worden, dus als de intensiteit van de eenheid in het ene proces toeneemt, dan moet de intensiteit in het tweede proces ook toenemen, en omgekeerd. Dat is de betekenis dat de twee eenheden door een constante schaalfactor met elkaar verbonden zijn. Maar de twee eenheden zijn ook door een som met elkaar verbonden. De som kn+(1-kn) modelleert 1 en 1 wordt ook door de verhouding ((1-kn)/kn)(1±r)n=1 gemodelleerd. We kennen dat model als de relatie die bestaat tussen een punt uit een eerste generatie verschil (verschil tussen twee toestanden) en een tweede generatie verschil (verschil tussen twee verschillen van toestanden). De som van beide verschillen is een welgevormde haakuitdrukking die een intensiteit kan hebben (eenheid die enkel als een 3&1 som te modelleren is), het product van beide verschillen is een ervaren toestand die een intensiteit kan hebben (en de rol speelt van een effectief waargenomen spoor) en die we gemodelleerd hebben als de intensiteit van één bit.
De som van een eerste generatie verschil en een tweede generatieverschil is dus de eenheid van een onderscheiding H in het getallendomein (de som kn+(1-kn) modelleert 1).
Het product van een eerste generatie verschil en een tweede generatieverschil is dus de eenheid van een projector (<>⊕T), een dubbelgetal in het getallendomein (het product ((1-kn)/kn)(1±r)n modelleert ook 1).
Dat zijn twee verschillende eenheden omdat ze invariant zijn onder verschillende operaties
Het eerste generatie verschil en het tweede generatieverschil zijn hiermee de twee verschillende maar fundamentele en abstracte “onderliggende” eenheden van het patroon (<>⊕T), een ervaren toestand. Dat is het patroon van de eenheid van een processnelheid. Op basis van die “onderliggende” eenheden kan gelijk welke werkelijkheid opgespannen worden die dat soort sporen achterlaat. We hebben daarenboven aangetoond dat ze als “snelheid” en “versnelling” kunnen geïnterpreteerd worden, maar ook als “stroom” en “spanning”, maar nog fundamenteler als “energiedensiteit” en “vermogendensiteit”.
De schaal die we verbinden aan die twee eenheden die met elkaar verbonden zijn in die interpretatie noemen we in de standaard taal een weerstand. De schaalfactor Rn zullen we dus een weerstand kunnen noemen. De weerstand is de verhouding tussen de twee eenheden en is dus de onvermijdelijk derde eenheid. Voorbeelden zijn een elektrische weerstand (kwantificeert de schaal tussen stroom en spanning), een schokdemper (kwantificeert de schaal tussen kracht en snelheid), wrijving tussen twee oppervlakken (we onderscheiden een statische wrijving en een kleinere dynamische wrijving, kwantificeert de schaal tussen kracht en snelheid), visceuze wrijving (afschuiving in vloeistoffen, kwantificeert de schaal tussen kracht en snelheid), bulkviscositeit (bij vervormbare gassen en vloeistoffen onderscheiden we een statische viscositeit en een kleinere dynamische viscositeit, kwantificeert de schaal tussen druk en debiet).
Het hele onderzoek is het gevolg van de hypothese dat een eigenwaarde k een entiteit kan zijn en dus positief moet zijn en kleiner dan 1. Deze entiteit kan wel een intensiteit hebben en deze kan gelijk zijn aan 1 of groter dan 1 en die intensiteit kan toenemen of afnemen in een cumulatie. Exact hetzelfde geldt voor de eigenwaarde (1-k). Dit leidt tot de onvermijdelijke conclusie dat die intensiteit enkel een schaalfactor kan zijn, een schaalfactor die zichtbaar wordt in de verhouding (1-kn)/kn, verhouding die de schaalfactor Rn bepaalt die, evenals kn, een proces kan karakteriseren. Maar we moeten het verschil tussen kn en Rn goed begrijpen: beide zijn ze variabel, maar verschillen in wat ze modelleren: kn karakteriseert een niveau in een tralie, en elke mogelijke kn kunnen we gebruiken als eigenwaarde van een proces met een verdubbelingstijd of halveringstijd van een cumulatie die de intensiteit karakteriseert van de eenheid die de cumulatie, namelijk het gedrag van dezelfde eenheid, meemaakt. Exact hetzelfde geldt voor de eigenwaarde (1-kn). Rn karakteriseert de onvermijdelijke relatie tussen de twee deel-eenheden van de eenheid ((1-kn)/kn). Deze relatie is Rn=kn/(1-kn). Zowel kn als (1-kn) modelleren de interactie van twee processen van positieve feedback omdat we daarmee eenheden kunnen modelleren (die niet kunnen gehalveerd worden). Maar positieve feedback processen hebben ook een richting: naar meer positief ofwel naar meer negatief. Enkel wanneer beide processen in dezelfde zin toenemen (beide in de positieve zin of beide in de negatieve zin) ontstaat een positieve Rn als verhouding. Een negatieve Rn ontstaat als de zinnen van de positieve feedback tegengesteld zijn. Aangezien het positieve feedback processen moeten zijn, zijn we met zowel kn als (1-kn) entiteiten aan het modelleren. Dat betekent dat, voor één bepaalde kn, het aantal soorten die elkaar uitsluiten (en dan als toestanden kunnen gemodelleerd worden) niet verandert, de intensiteit van die toestanden wel (er zijn meerdere “individuen” of “realisaties” van dezelfde toestand mogelijk, toestand die de entiteit is). Daarom kunnen we ook een negatieve Rn veronderstellen om te modelleren dat zowel kn als (1-kn) positieve feedback processen karakteriseren, maar in tegengestelde zin.
De relatie ((1-kn)/kn)Rn=1 is niet anders dan ((1-kn)/kn)(1±r)n=1 en hieruit hebben we kn=1/(1+(1±r)-n) afgeleid. Hieruit volgt dat 1-kn=1-1/(1+(1±r)-n)=((1+(1±r)-n)-1)/(1+(1±r)-n)=((1±r)-n)/(1+(1±r)-n)=1/(1+(1±r)n). Wanneer Rn=(1±r)n positief is, is ook Rn-1=(1±r)-n positief. Dus (1-kn) en kn zijn beide positief of beide negatief. Het eerste geval begrenst kn want vereist dat 0<kn<1. Het tweede geval (beide negatief) is onmogelijk want als kn<0 dan kan het niet dat (1-kn)<0, (1-kn) is dan altijd een positief getal.
Een negatieve Rn kunnen we wel construeren uit ((1-kn)/kn)(1±r)n=-1, of dus ((-1+kn)/kn)(1±r)n=+1. Dit modelleert dat, wanneer (1-kn) en kn beide positief zijn, dan -(1-kn) en kn tegengesteld teken hebben. Beide zijn positieve feedback processen maar dan in tegengestelde richting.
We leiden dan af:
((-1+kn)/kn)(1±r)n=1
(-1+kn)/kn=(1±r)-n
(-1+kn)=kn(1±r)-n
-1=-kn+kn(1±r)-n
1=kn-kn(1±r)-n
kn(1-(1±r)-n)=1
kn=1/(1-(1±r)-n). De noemer zal nu negatief kunnen zijn, nul of positief.
Uit kn=1/(1-(1±r)-n) leiden we dan af:
1-kn=1-1/(1-(1±r)-n)=((1-(1±r)-n)-1)/(1-(1±r)-n)=(-(1±r)-n)/(1-(1±r)-n)=-1/(1-(1±r)n)
Dus -1+kn=1/(1-(1±r)n). Ook deze noemer zal negatief kunnen zijn, nul of positief.
Dus een 1-Rn of 1-Rn-1 die negatief, nul of positief kan zijn, zal een discontinuïteit veroorzaken wanneer de waarde van de noemer van kn=±1/(1-(1±r)-n) en -1+kn=1/(1-(1±r)n) zich rond de nul bevindt en dat is voor de waarde van n=0. Dat is dezelfde waarde voor kn als voor 1-kn. De discontinuïteit kan de waarnemingsresolutie modelleren van de eenheid kn en onrechtstreeks dan ook van de eenheid (1-kn). De nul is te interpreteren als de overgang van een negatieve naar een positieve 1-Rn en modelleert dan een situatie waarin de weerstand minimaal is (zeer klein en onwaarneembaar kleiner), de grens van de waarnemingsresolutie.
Hetzelfde patroon, maar met tegengesteld teken kunnen we afleiden als volgt uit een vorm met (1+kn) in plaats van (1-kn):
(1+kn)/kn=(1±r)-n
(1+kn)=kn(1±r)-n
1=-kn+kn(1±r)-n
-1=kn-kn(1±r)-n
kn(1-(1±r)-n)=-1
kn=-1/(1-(1±r)-n). Voor een positieve Rn is deze kn altijd negatief.
Hieruit volgt dan:
1+kn=1+(-1/(1-(1±r)-n))=(1-(1±r)-n)-1)/(1-(1±r)-n)=1/(1-(1±r)n)
Een globaal overzicht met Rn=(1±0,2)n is te geven in de tabel waarbij we ook de curven ofwel exponentieel of als veelterm benaderen met de overeenkomstige determinatiecoëfficiënt. Een veelterm van graad 4 blijkt reeds een goede benadering te zijn en betere benaderingen zijn te bekomen voor een veelterm van een nog hogere graad.
kn |
Vierkant: kn voor n van 0 tot 30 Ruit: -1+kn voor n van 0 tot 30 |
kn voor n van 0 tot 15 |
kn voor n van 15 tot 30 |
Vierkant: -(1-kn)/kn voor n van 0 tot 30 Ruit: 1-Rn voor n van 0 tot 30 |
1/(1-(1+0,2)-(n-15)) |
|
|
|
|
1/(1-(1-0,2)-(n-15)) |
|
|
|
|
Dit geeft de mogelijkheid om een andere interpretatie te geven aan het Bose-Einstein model. Zoals bekend is de Bose-Einstein verdeling niet begrensd. De Bose-Einstein verdeling vinden we terug als we enkel sommen zouden nemen in de verhouding, niet de verhouding van een verschil ten opzichte van een som, dus als vergelijking bijvoorbeeld: ((1+kn)/kn)(1±r)n=1, in tegenstelling met ((1-kn)/kn)(1±r)n=1. We hebben dan het volgende afgeleid: kn=-1/(1-(1±r)-n). Deze vergelijking is gekend als de beschrijving van de Bose-Einstein verdeling.
De discontinuïteit die we konden modelleren maakt de volgende interpretatie mogelijk: <<de reductie en beperking (0<Rn<...) van de weerstand van processen>> en <<het ontstaan van nieuwe entiteiten>> zijn onlosmakelijk verbonden met elkaar. Dit betekent niet dat er geen extra voorwaarden nodig zijn om entiteiten te laten ontstaan. Maar als we erin slagen om nieuwe entiteiten te herkennen dan zullen we er ook in slagen om de weerstand van processen te verminderen, en als we de weerstand van processen verminderen, dan zullen we ook kunnen zien dat nieuwe entiteiten ontstaan. We merken dat processen die gecoördineerd verlopen (al dan niet bewust gestuurd daartoe) altijd meer performant zijn dan willekeurige interagerende processen. Coördinatie reduceert weerstand, wat we duidelijk kunnen waarnemen bij diffusie en convectie: wanneer deeltjes gecoördineerd bewegen is er ook minder weerstand tegen beweging. De toename van entiteiten zien we in de toename van het aantal onderscheidingen die we nodig hebben om coördinatie te beschrijven.
In de context van het begrip “weerstand” spreekt men eerder van resonantie in plaats van coördinatie. We illustreren dat met een voorbeeld.
De wrijving tussen tektonische platen die, als de energie vrij komt, een onheilspellend geruis produceert vinden we ook als de wrijving tussen spanten, wrijving die ook geluid produceert. Dit geluid is betekenisvol zoals men vroeger wist: “zolang je het (houten) schip ritmisch hoort kraken, is er geen probleem”. De analogie met wrijving kan nog verder doorgetrokken worden want bijvoorbeeld de wrijving tussen snaar en strijkstok geneert muziek. Weerstand en wrijving is onvermijdelijk en kwantificeert de relatie tussen twee eenheden. Resonantie is onvermijdelijk omdat een verhouding (en dus een schaal) ook altijd een hoek (en dus een fase) genereert. Om de energie die vrijkomt te kunnen waarnemen moet men op zoek gaan naar de meest gepaste schaal en dan zouden we kunnen spreken van een grondtoon en boventonen. Misschien moeten we op zoek gaan naar de grondtonen in de meest langdurende processen (dus in een ecologie), grondtonen die gegenereerd worden door wrijving maar die als harmonisch kunnen ervaren worden door sommige agentia-in-context. “Zolang je een ecologisch geheel ritmisch hoort kraken, is er geen probleem”.
In de praktijk merken we dat weerstand en warmte(straling) onlosmakelijk verbonden zijn met elkaar, dus: zolang er geen nieuwe entiteiten ontstaan zullen processen warmte genereren. Wanneer we de productie van warmte willen beperken zullen nieuwe entiteiten moeten kunnen ontstaan. In de praktijk merken we dat de productie van warmte en de irreversibiliteit van processen onlosmakelijk verbonden zijn met elkaar, dus: processen kunnen reversibel gemaakt worden door entiteiten te laten ontstaan en te laten verdwijnen (hun intensiteit buiten de waarnemingsgrens te krijgen) in telkens weer andere configuraties (coördinaties) van deelprocessen met telkens een andere eigenwaarde kleiner dan 1.
Processen met een eigenwaarde k groter dan 1 (en dus wanneer vanaf de eerste stap al iets meer dan één eenheid of meerdere eenheden kunnen ontstaan), modelleren “meer dan spontane (k=1) processen”. We tonen aan dat dit onvermijdelijk verbonden is met het ontstaan van chaos. Warmte begrijpen we als een chaotische dynamiek. De tweede wet van de thermodynamica die zegt dat entropie alleen maar kan toenemen is dus alleen maar geldig als er geen nieuwe persistente entiteiten ontstaan die bestendigd worden door negatieve feedback. Een warmtebad is noodzakelijk en maakt sommige entiteiten mogelijk. Een warmtebad is niet voldoende om die entiteiten te laten ontstaan en ze een rol te geven in een spontaan proces dat met andere processen kan interageren. Het creëren van nieuwe entiteiten is een voldoende voorwaarde om de aspecten die dit in het verleden mogelijk gemaakt hebben te (re)construeren. We kunnen dit enkel maar proberen en achteraf vaststellen dat het gelukt is, als we er ook zouden in slagen om die entiteiten voldoende persistent te maken.
