De relaties die we kennen als de relaties tussen afstanden in een vlak kunnen we afleiden in een universum opgespannen door getallen die relatief priem zijn. Dit heeft als onmiddellijk gevolg dat we deze relaties als relaties in een tralie kunnen interpreteren. We geven hiervan eerst een aantal voorbeelden en zullen dan veralgemenen. We veronderstellen twee getallen die relatief priem zijn en nemen het eerste groter dan het tweede.
Neem het eenvoudigste voorbeeld: 2 en 1. Dan kunnen we ook verschil en som als gehele positieve getallen berekenen: 2-1=1 en 2+1=3. Hiermee construeren we drie andere getallen: 22-12, 2×(2×1), 22+12 of dus 3, 4, 5 en we stellen vast dat 32+42=52. Dat is niet zo verwonderlijk want dit zal altijd gelden, zelfs als de getallen niet relatief priem zijn. We bewijzen dat met x en y als willekeurige getallen: x2-y2, 2×(x×y), x2+y2 of dus eenvoudiger genoteerd: x2-y2, 2xy, x2+y2
(x2-y2)2=x4-2x2y2+y4
(2xy)2=4x2y2
Som van beide is x4+2x2y2+y4 en dus (x2+y2)2
x2-y2, 2xy, x2+y2 vormen dus in deze volgorde een Pythagoras drietal.
QED
Met de getallen 2 en 1 construeren we nu de volgende vier getallen: (2-1, 1, 2, 2+1) of dus (1, 1, 2, 3). Die getallen vormen een Fibonacci rij want 1+1=2 en 1+2=3.
Neem een volgende voorbeeld: 3 en 2. Hiermee construeren we drie andere getallen: 32-22, 2×(3×2), 32+22 of dus 5, 12, 13 en we stellen vast dat 52+122=132. We berekenen nu verschil en som: 3-2=1 en 3+2=5. We merken nu de volgende vier getallen op: (3-2=1, 2, 3, 2+3=5) of dus (1, 2, 3, 5). Die getallen vormen een Fibonacci rij die strikt stijgt en 5 is het volgende getal uit ook de vorige rij.
Neem een volgende voorbeeld: 5 en 2. Hiermee construeren we drie andere getallen: 52-22, 2×(5×2), 52+22 of dus 21, 20, 29 en we stellen vast dat 212+202=292. We berekenen nu verschil en som: 5-2=3 en 5+2=7. We merken nu de volgende vier getallen op: (5-2=3, 2, 5, 5+2=7) of dus (3, 2, 5, 7). Die getallen vormen een Fibonacci rij die niet strikt stijgt.
Neem een volgende voorbeeld om het relatieve te illustreren (het is dus niet nodig dat beide priemgetallen zijn): 7 en 4. Hiermee construeren we drie andere getallen: 72-42, 2×(7×4), 72+42 of dus 33, 56, 65 en we stellen vast dat 332+562=652. We berekenen nu verschil en som: 7-4=3 en 7+4=11. We merken nu de volgende vier getallen op: (7-4=3, 4, 7, 7+4=11) of dus (3, 4, 7, 11). Die getallen vormen een Fibonacci rij.
Het algemeen patroon van de Fibonacci rij is dus (n-m, m, n, n+m). Er geldt dus dat de som van de drie eerste getallen gelijk is aan (n-m)+m+n=2n en dat dit ook gelijk is aan de som van het eerste en het laatste getal (n-m)+(n+m)=2n. De som van drie opeenvolgende getallen is altijd even. We kunnen m en n beide oneven kiezen, of slechts één van beide even. We merken op dat dit ook geldt als we de rij beginnen met 0 en 1, dus (0, 1, 1, 2) kiezen en dus m=n=1 (het eerste Pythagoras drietal is dan (1, 1, 2) en dus 02+(2×(1×1))2=22.
De generende vergelijking voor de Gulden Snede verhouding (1+φ) construeren we door uit te drukken dat de drie eerste getallen met elkaar gerelateerd zijn als (n-m)2=nm.
De generende vergelijking voor de Gulden Snede verhouding φ construeren we door uit te drukken dat de drie laatste getallen met elkaar gerelateerd zijn als m2=n(n+m).
De vier getallen zijn dus enkel van n en m afhankelijk en we nemen ze als relatief priem. De verhouding m/n is dus niet verder te vereenvoudigen. Dus geldt dat ook voor de verhouding (n-m)/(n+m) want dat is niet anders dan (1-m/n)/(1+m/n) en de andere verhoudingen zoals (n-m)/m enz… Dus de vier getallen zijn relatief priem en kunnen we afbeelden op de atomen van een twee onderscheidingen universum.
De producten van de elementen van de Fibonacci rij (die dus de kleinste gemene veelvouden zijn) kunnen we dus afbeelden op het centraal niveau van de tralie van twee onderscheidingen. Ze zijn natuurlijk niet relatief priem. Er zijn zes 2-producten: (n-m)m, (n-m)n, (n-m)(n+m), mn, m(n+m), n(n+m) en als we deze uitrekenen zien we de elementen ontstaan waarmee een Pythagoras drietal kan berekend worden: mn-m2, n2-mn, n2-m2, mn, mn+ m2, n2+mn, bijvoorbeeld door:
(mn-m2)+(n2-mn)=n2-m2
(n2+mn)-(mn-m2)=n2+m2
(n2+mn)-(n2-mn)=2mn
Dit genereert het algemeen Pythagoras drietal: n2-m2, 2nm, n2+m2. Er geldt dus de evenwichtsrelatie (n2-m2)2+(2nm)2-(n2+m2)2=0 en dit is niet anders dan het evenwicht in een driehoek.
Het is verhelderend om het algemeen patroon van de Fibonacci rij als de vier geordende toestanden uit te drukken, dus (n-m, m, n, n+m) is niet anders dan (T1, T2, T3, T4). De 2-producten zijn dan: T1T2=(n-m)m, T1T3=(n-m)n, T1T4=(n-m)(n+m), T2T3=mn, T2T4=m(n+m), T3T4=n(n+m) en dus:
T1T2+T1T3=(mn-m2)+(n2-mn)=n2-m2
T3T4-T1T2=(n2+mn)-(mn-m2)=n2+m2
T3T4-T1T3=(n2+mn)-(n2-mn)=2mn
Dit genereert het algemeen Pythagoras drietal:
(T1T2+T1T3)2+(T3T4-T1T3)2-(T3T4-T1T2)2=0 met dus enkel getallen. Dit leidt tot:
(T1T2)2+2(T1T2T1T3)+(T1T3)2+(T3T4)2-2(T3T4T1T3)+(T1T3)2-(T3T4)2+2(T3T4T1T2)-(T1T2)2=0
2(T1T2T1T3)+2(T1T3T1T3)-2(T3T4T1T3)+2(T3T4T1T2)=0
(T1T2T1T3)+(T1T3T1T3)-(T3T4T1T3)+(T3T4T1T2)=0 dit is een 3&1 som van enkel getallen.
We herschikken:
(T1T2T1T3)+(T3T4T1T2)+(T1T3T1T3)-(T3T4T1T3)=0
(T1T2T3)(T1+T4)+(T1T3T3)(T1-T4)=0
(T1T2T3)(T1+T4)=-(T1T3T3)(T1-T4)
(T1T2T3)/(T1T3T3)=-(T1-T4)/(T1+T4)
Als (in het algemeen geval) noch T1, noch T3 gelijk zijn aan nul kunnen we delen door T1T3
(T2)/(T3)=-(T1-T4)/(T1+T4)
We noteren dat:
(T1-T4)=(n-m)-(n+m)=-2m
(T1+T4)=(n-m)+(n+m)=2n
Inderdaad is m/n links van het gelijkheidsteken gelijk aan -(-2m/2n) rechts van het gelijkheidsteken.
Het Pythagoras drietal is dus niets anders dan een relatie tussen vier getallen met een verhouding m/n. Met m kleiner dan n is n-m een simultaneïteitsafstand in een tralie met n toestanden en is n+m de duale simultaneïteitsafstand in een tralie met één onderscheiding meer (en dus 2n toestanden).
Er zijn vier 3-producten: (n-m)mn, (n-m)m(n+m), (n-m)n(n+m) en mn(n+m). Uiteraard zijn ze niet relatief priem maar als we ze delen door het 4-product dan worden de individuele getallen geproduceerd als hun reciproque want we kunnen de vier 3-producten op vier verschillende manier delen.
Neem (n-m) als gemeenschappelijk in de 3-producten
(n-m)mn, (n-m)m(n+m), (n-m)n(n+m)
Delen door het 4-product (n-m)mn(n+m) geneert
1/(n+m), 1/n, 1/m
Neem m als gemeenschappelijk in de 3-producten
(n-m)mn, (n-m)m(n+m), mn(n+m)
Delen door het 4-product (n-m)mn(n+m) geneert
1/(n+m), 1/n, 1/(n-m)
enz…
Het 4-product is de eenheid die ervoor kan zorgen dat een som van de reciproque kan berekend worden.
Er zijn nog andere varianten: (n-m, m, n, n+m) kunnen we nog delen door mn en dit levert ((1/m)-(1/n), 1/n, 1/m, (1/m)+(1/n)). Of (n-m, m, n, n+m) kunnen we nog delen door n en dit levert (1-(m/n), m/n, 1, 1+(m/n)) of anders genoteerd als (1-k, k, 1, 1+k).
Dubbelgetallen liggen aan de basis van deze eigenschappen. We demonstreren dat eerst met een voorbeeld dat we afleiden van de getallen 3 en 2. We berekenen verschil en som: 3-2=1 en 3+2=5 en we toonden hoger aan dat dit leidt tot een Fibonacci rij (1, 2, 3, 5). We nemen nu de verhouding (3-2)/(3+2). Dit is niet anders dan 1/5 en dit zijn de uiterste getallen in het Fibonacci viertal. We schrijven nu deze verhouding in het dubbelgetal patroon: (1-(2/3))/(1+(2/3)). Dit is het patroon van de verhouding (1-N)/(1+N), verhouding die we altijd kunnen voorstellen als het product (1-k)(1+k)=(1-k2) voor een k2=2N/(1+N). In dit voorbeeld is (1-k2)=1/5 en (1-k)(1+k)=(1-2/√5)(1+2/√5).
Dubbelgetallen met speciale eigenschappen construeren we uit een nieuw patroon voor twee gehele getallen r, s die relatief priem zijn: kies een t die relatief priem is en vorm de drie getallen (r+s, r+t, r+s+t). Merk op dat dit geen Fibonacci drietal is en ook niet daaruit kan afgeleid worden.
We vormen nu de dubbelgetallen
a=r+s
b=r+t
c=s+t
Kwadrateren levert:
a2=r2+2rs+s2
b2=r2+2rt+t2
c2=s2+2st+t2
We veronderstellen nu dat deze getallen een Pythagoras drietal moeten vormen, dus dat er moet gelden dat
r2+2rs+s2+r2+2rt+t2=s2+2st+t2
2r2+2rs+2rt=2st
r2+rs+rt=st
Deze voorwaarde voor een Pythagoras drietal is niet anders dan de verhouding r(r+s+t)=st of dus r/s=t/(r+s+t).
We merken nu op dat er ook geldt dat de getallen niet alleen een dubbelgetal zijn vanuit een som maar ook vanuit een verschil:
a=(r+s+t)-t
b=(r+s+t)-s
c=(r+s+t)-r
en (s+t-r, r, s+t, r+s+t) is een Fibonacci viertal dat dus vanuit een Pythagoras drietal geconstrueerd werd.
We kunnen a, b en c nog op een andere manier interpreteren. We beelden r, s, t en (r+s+t) daarom af op de vier AND-atomen van een twee onderscheidingen tralie en we nemen (r+s+t) als referentietoestand, dan zijn a, b en c de verschillen met de referentietoestand. De voorwaarde voor een Pythagoras drietal is de verhouding r(r+s+t)=st of dus de gelijkheid van twee atoomburen, die in dit geval punten zijn op centraal niveau. Met een canonieke representatie is dat a=b (namelijk <a•b> of a•b afhankelijk van de keuze van “ja”).
De vlakke geometrie komt niet enkel tot zijn recht in de rechthoekige driehoek maar ook als volgt.
De vier getallen (n-m, m, n, n+m) kunnen we kwadrateren en vermenigvuldigen met π. Dit levert de rij (π(n-m)2, πm2, πn2, π(n+m)2). Deze getallen zijn de oppervlakten van vier rakende cirkels die daardoor de materialisatie zijn van het 3&1 patroon: de drie kleinste cirkels liggen naast elkaar als hun centrum de hoekpunten zijn van de Pythagoras driehoek en liggen binnen de grootste cirkel met centrum de rechte hoek van de aanliggende Pythagoras rechthoekige driehoek met zelfde schuine zijde.
Voor deze laatste constructie: zie Pythagoras’ garden, revisited (2012), Frank R Bernhart, H Lee Price
De oppervlakten van de drie kleine cirkels kunnen we dus met elkaar optellen en als we deze som aftrekken van de oppervlakte van de grootste cirkel dan berekenen we hun duale oppervlakte. Dus 3 atomen hebben dezelfde waarde en het vierde atoom heeft een andere waarde, wat dus het 3&1 patroon illustreert en zijn relatie met complementariteit.
Het 3&1 patroon komt ook tot uiting in de speciale relatie tussen vier rakende cirkels die bewezen werd door Descartes door gebruik te maken van de kromming van de cirkels (de reciproque straal, dus een cirkel met kleine straal heeft een grotere kromming). Neem daartoe de vier getallen ((n-m)-1, m-1, n-1, (n+m)-1) en noem ze nu (k1, k2, k3, k4). Descartes bewees dat (k1+k2+k3+k4)2=2×(k12+k22+k32+k42) waaruit volgt dat k4=k1+k2+k3±2×(k1×k2+k1×k3+k2×k3)1/2. Deze som kan enkel berekend worden in een ruimte met infimum (k1×k2×k3). De twee mogelijke oplossingen illustreren het “anders zijn” in het 3&1 patroon. Merk op dat er rond een Pythagoras driehoek zowel een grotere rakende cirkel is (met de kleinste kromming, gevolg van het negatief teken van de wortel, namelijk k4=k1+k2+k3-2×(k1×k2+k1×k3+k2×k3)1/2) als een kleinere rakende cirkel (met de grootste kromming, gevolg van het positief teken van de wortel, namelijk k4=k1+k2+k3+2×(k1×k2+k1×k3+k2×k3)1/2).
Deze relatie is uit te breiden naar cirkels op een boloppervlak.
In 2010 is door Jerzy Kocik de aandacht gevestigd op de relatie van zeven (in het 3&1 patroon is dit: <<3+<<3+1>>) rakende cirkels met de Gulden Snede (hij noemt dit de “Golden Window”).
Het Fibonacci viertal (n-m, m, n, n+m) kunnen we ook afbeelden op een atoomniveau van de relatie van relevantie, namelijk de punten (.xxx),(x.xx),(xx.x),(xxx.). Dit is exact dezelfde afbeelding die ook mogelijk is met tweede generatie verschillen.
Dus (n-m, m, n, n+m) is niet anders dan (T1, T2, T3, T4) en is niet anders dan ((.xxx),(x.xx),(xx.x),(xxx.)). De 2-producten kunnen we dan ook afbeelden (bijvoorbeeld: het 2-product T2T3=mn beelden we dan af op het centraal niveau als het punt (x..x)). Het Pythagoras drietal krijgt dan een betekenis als “logische” relatie × van relevantie (is er minstens één bit relevant dan is a+b relevant, is er minstens één bit niet relevant dan is a×b niet relevant en: a+b is niet relevant slechts als beide bits niet relevant zijn, a×b is relevant slechts als beide bits relevant zijn).