Een qubit

De eenheid van kwantum informatie wordt een qubit (kwantum bit) genoemd. De informatica gemeenschap is blijkbaar tot de conclusie gekomen dat qubits nodig zijn, juist om het ervaren in een grootst mogelijk universum te kunnen modelleren. Het ervaren zelf moet immers ook altijd iets anders laten gebeuren, in kwantum termen betekent dit dat een meting altijd minimaal in twee categorieën zal gesplitst moeten worden: concreet betekent dit dat men slechts één klassieke bit informatie krijgt uit een qubit, en dit gebeurt juist door de qubit te meten.

We kunnen dit in het haakformalisme modelleren door het 1-splitsing universum, dat hierbij zijn volle kracht toont door de laatst toegevoegde onderscheiding als ℵ versus <ℵ> te gebruiken voor het modelleren van een meting (meting die altijd gebeurt in het hoogst mogelijke universum). We hebben hiervoor al drie modellen beschikbaar in het haakformalisme, drie tralies die kunnen afgebeeld worden op een één-onderscheiding universum, de tralie van de klassieke hypothese.

Het onderscheid met de tralie van de klassieke hypothese is subtiel maar belangrijk en wordt in de onderstaande modellen geëxpliciteerd door het gebruik van een vraagteken. In de klassieke hypothese heeft het supremum altijd de waarde <<>>, en dit per definitie, zoals overduidelijk blijkt door de modellering in het haakformalisme. In een test krijgt het infimum dan een ervaringswaarde, waarmee uitgedrukt wordt dat alle onderscheidingen dezelfde waarde hebben, wat die ook moge zijn. Het infimum wordt gerealiseerd door elk van beide atomen, maar het is irrelevant welk atoom dit is. In de kwantum hypothese, gemodelleerd door het meest primitieve model (de qubit), komt hier een hypothese bij: in een test krijgt het infimum waarde <>, waarbij dan verondersteld wordt dat een van de twee elkaar uitsluitende atomen van het 1-splitsing universum waarde <> heeft. Men veronderstelt wel dat een van de atomen waarde <> heeft, maar het kan niet geweten worden welke van de twee atomen dit wel is, hoewel dit een relevante vraag is omdat we daar een waarschijnlijkheid kunnen aan verbinden.

Bij de waarneming zal één van de twee mogelijke atomen niet kunnen onderscheiden worden van het ervaren, en uiteraard kan het andere atoom dan niet onderscheiden worden van het gebeuren.

We kunnen daarenboven de volgende afbeeldingen inzetten: de interpretatie van onderscheidingen als componenten van een golf, de hiermee compatibele modulo3 modellering met 1 en i, en het daaruit af te leiden operator en projector formalisme als een variant van het haakformalisme. De operatoren van het 1-splitsing universum kunnen als operatoren en projectoren met een ervaringswaarde afgeleid worden uit het operator formalisme.

Een qubit en de relatie van relevantie

Een qubit, zoals ze in de informatica gedefinieerd is, is blijkbaar een eenheidsvector in een twee dimensionale complexe vectorruimte. Conventioneel wordt hiervoor de basis genoteerd als {|0>, |1>} waarbij we de Bra/Ket notatie herkennen, die een korte notatie is voor de kolomvectoren {(1 0)^T, (0 1)^T}. De relatie met ℵ versus <ℵ> en het 1-splitsing universum is hiermee duidelijk. De toegevoegden van de basisvectoren zijn de overeenkomstige rijvectoren (1 0) en (0 1). De volgorde is de volgorde die conventioneel aangenomen wordt. Merk op dat 1 hier de getal-1 is en 0 hier de getal-0 is (dit wordt duidelijk wanneer het gebruik van inwendig product en uitwendig product in het formalisme onderzocht wordt). In het haakformalisme komt de getal nul of de don't care x enkel voor in gecollapste universa waarin enkel de relevante bits gemodelleerd worden en orthogonaliteit. Dus 1 en 0 die in deze kolomvectoren gebruikt worden mogen niet verward worden met de relatieve notering in het haakformalisme van <<>> versus <>, +1 versus -1 of + versus -. Structuurinformatie gaat dus verloren door een niet oordeelkundig gebruik van coëfficiënten van het getal 1. Er zal verder nog duidelijk worden dat dit zowel voordelen als nadelen heeft. Inwendige producten en uitwendige producten hebben we gedefinieerd met de 1+i modellering (complexe getallen) en we hebben aangetoond dat we evengoed de 1+j modellering (perplexe getallen) kunnen gebruiken.

Volledig gelijkaardig kunnen we nu ook inwendige producten berekenen met de basisvectoren maar dan met de interpretatie van 0 als de getal-nul. Zo is <0|0> = 1.1+0.0 = 1, <1|1> = 0.0+1.1 = 1, <0|1> = <1|0> =0.0+0.0 = 0. Beide basisvectoren zijn dus orthogonaal.

We kunnen ook uitwendige producten en dus projectoren berekenen:

De bekomen operatoren kunnen dan inwerken op basisvectoren. Merk op hoe de Bra-Ket notatie coherent is met de vector en operator notatie.

Operatoren kunnen samengesteld worden met coëfficiënten

|0><1|+|1><0| is een som van operatoren met coëfficiënt 1 en is dan in operator formaat en deze voert de operatie uit die de beide basisvectoren in elkaar omzet:

en

De coëfficiënten van een qubit zijn complexe getallen. De beide basisvectoren zijn eenheden en eenheden kunnen een intensiteit hebben. Vanuit het haakformalisme, zie bijvoorbeeld een concreet model, begrijpen we nu dat 1+i hiervan de structuurbasis is, en dat de gewoonte om zowel 1 als i een willekeurige coëfficiënt te geven juist die structuur verdoezelt, wat we zeer goed konden analyseren met de fourier benadering. Met de basisvectoren construeert men dan lineaire combinaties zoals bijvoorbeeld a|0> +b|1>, die als kolomvector dus genoteerd kan worden als (a b)^T, waarbij a en b complexe getallen zijn.

Als we nu qubits willen modelleren in het haakformalisme gaan we dus coëfficiënten van qubits moeten introduceren zonder ze op een andere manier operationeel te kunnen onderbouwen, tenzij als intensiteiten van een beschouwde entiteit. Hierbij moeten we niet vergeten dat sommige coëfficiënten met elkaar zullen gerelateerd zijn (zie de coëfficiënten van cos en sin in de fourier benadering). We zullen de coëfficiënten dus moeten onderzoeken en we zullen merken dat er inderdaad kwantum effecten optreden.

Meerdere qubits

Het tensorproduct (kronecker product) van de basisvectoren levert de basisvectoren op van een dimensie hoger. In het haakformalisme hebben we daarvoor het creatief kwadraat. Noteer dat het creatief product in staat is alle vectoren te genereren en niet enkel de basis (zoals het creatief kwadraat). Eén tensorproduct van basisvectoren genereert dan een twee onderscheidingen universum.

De overeenkomst met het genererende onderscheidingen universum is in de onderstaande tabel aangegeven waarbij de overeenkomst met de getalnul in beide formalisme duidelijk wordt (de relevante bits worden gemodelleerd):

De “korte notatie” codeert dus in twee binaire symbolen vier onderliggende binaire symbolen in het haakformalisme. We hebben daarvoor de notering met een typografisch punt (bijvoorbeeld voor de eerste rij is dit (. x x x)). De overeenkomst van de kolomvectoren en de korte notaties zijn in het kwantum formalisme een conventie. Conventioneel interpreteert men de korte notatie als de binaire codering van een getal en de positie van de 1 in de rijvector met vier plaatsen komt dan overeen met het gecodeerde getal. Laten we dit uitgebreid beschrijven: |00> verwijst naar een kolomvector die overeenkomt met een rijvector met een typografisch punt op de plaats 0+1 vanaf links geteld, |01> verwijst naar een kolomvector die overeenkomt met een rijvector met een typografisch punt op de plaats 1+1 vanaf links geteld, |10> verwijst naar een kolomvector die overeenkomt met een rijvector met een typografisch punt op de plaats 2+1 vanaf links geteld, |11> verwijst naar een kolomvector die overeenkomt met een rijvector met een typografisch punt op de plaats 3+1 vanaf links geteld.

Dit op zich creëert al mogelijke verwarring omdat een binaire codering in werkelijkheid een relatieve codering is (wordt immers operationeel gerealiseerd door het relatieve verschil tussen “hoogbit” en “laagbit”), terwijl er aan een getal-nul geen relatieve connotatie verbonden kan worden. Maar eens we de vooronderstelling duidelijk hebben kunnen aantonen met behulp van het haakformalisme hoeft dit niet meer tot verwarring te leiden: |00>, |01>, |10>, |11> verwijzen naar de enige signatuuratomen in twee onderscheidingen en de manier waarop die gedefinieerd zijn is zeer helder zonder dat er nieuwe symbolen nodig zijn.

Meerdere qubits kunnen entiteiten modelleren die interageren met elkaar op een manier die voorlopig enkel logisch te benaderen is met quantum gates, maar waarvoor het haakformalisme een meer fundamentele benadering biedt op het niveau van onderscheidingen. Veronderstel immers n entiteiten die waargenomen kunnen worden dank zij een laatst toegevoegde onderscheiding, zodanig dat ze elk in een twee onderscheidingen werkelijkheid met behulp van OFWEL een AND van onderscheidingen met een ℵ_n, OFWEL een AND van de inbedding van onderscheidingen met <ℵ_n> te beschrijven zijn (de eigen ℵ van elke entiteit wordt gecodeerd door de subscript). Klassiek gezien zijn ze dan in een toestandsruimte van 2n toestanden te beschrijven (toestanden die elkaar uitsluiten). Indien ℵ echter een gemeenschappelijke laatste onderscheiding is dan moeten ze in een toestandsruimte van 2ⁿ beschreven worden (toestanden die elkaar uitsluiten). Elk van die toestanden kan dan met een waarschijnlijkheid van waarnemen beschreven worden zoals geschetst in een voorbeeld voor drie toestanden die elk evenveel “onderliggende toestanden” kennen (in het voorbeeld elk twee). Deze nieuwe toestandsruimte wordt door het tensor product van de individuele ℵ bereikt.

Orthogonale kwantum toestanden

We kunnen het 1-splitsing universum inzetten met het M versus M^<> model. Elk atoom is uit te drukken in functie van een laatst toegevoegde onderscheiding. Deze onderscheiding ervaren (meten) heeft een collaps tot gevolg. De overblijvende toestand kan dan weer in functie van een onderscheiding uitgedrukt worden en deze dan meten heeft een nieuwe collaps tot gevolg en we kiezen voor dezelfde soort collaps (ofwel niet te onderscheiden van <>, ofwel niet te onderscheiden van <<>>). Opeenvolgend meten van onderscheidingen OP DEZELFDE MANIER reduceert dus de beschouwde toestand, telkens met een factor 2.

Neem nu een willekeurige 2-qubit toestand. De qubit hypothese is dat deze uit te drukken is als c₁|00>+c₂|01>+c₃|10>+c₄|11>. Hierin is c₁|00> niet anders dan een disjunctie van het complex getal c₁ en het atoom |00>, disjunctie die niet verschillend is van een vectorproduct (exclusieve disjunctie) want disjuncties zijn distributief met het creatief product. Die disjunctie is dus niet anders dan de getalvermenigvuldiging ×. Gelijkaardig voor de drie andere atomen. De vier mogelijke toestanden zijn paarsgewijs orthogonaal. Als we een meting zouden uitvoeren dan zouden we |00> vinden met waarschijnlijkheid |c₁|², |01> zouden we vinden met waarschijnlijkheid |c₂|², |10> zouden we vinden met waarschijnlijkheid |c₃|², |11> zouden we vinden met waarschijnlijkheid |c₄|², waarbij de som van de waarschijnlijkheden gelijk is aan 1. Er geldt dus |c₁|²+|c₂|²+|c₃|²+|c₄|²=1. We gebruiken hier het kwadraat van de absolute waarde (de modulus) van het complex getal en de reden hiervoor is de Born regel voor een willekeurig groot universum, of de waarschijnlijkheden IN een tralie.

We kunnen nu elke basisvector als een tensorproduct uitdrukken van basisvectoren van een lager universum en gebruiken hiervoor de eerste qubit (de gecollapste onderscheiding b bijvoorbeeld, namelijk (. . x x)). Dus de 2-qubit toestand wordt |0>⊗(c₁|0>+c₂|1>)+|1>⊗(c₃|0>+c₄|1>). Dat is zo omdat de disjuncties distributief zijn, als we de getalvermenigvuldiging expliciet vermelden als × staat hier dus 1×|0>⊗(c₁×|0>+c₂×|1>)+1×|1>⊗(c₃×|0>+c₄×|1>), een som die niet anders is dan 1×c₁×|00>+1×c₂×|01>+1×c₃×|10>+1×c₄×|11>.

We merken nu op dat de toestanden |0>⊗(c₁|0>+c₂|1>) en |1>⊗(c₃|0>+c₄|1>) evenzeer orthogonaal zijn, als gecollapste bits zijn dit (. . x x), b bijvoorbeeld versus (x x . .), <b> bijvoorbeeld. Wat is nu de waarschijnlijkheid om de toestand |0> te vinden? We zullen nu de kracht inzetten van de mogelijkheid die complexe bits ons bieden doordat hun inversen gedefinieerd zijn als de genormaliseerde toegevoegde van het complex getal. Op die manier kunnen we een som van meerdere toestanden als nieuwe eenheid creëren. We “delen” dus door een vector om dat in het qubit formalisme te kunnen uitdrukken! De som van de twee bits in (c₁|0>+c₂|1>) moet dus gelijk zijn aan 1=|c₁|²+|c₂|² versus 1=|c₃|²+|c₄|² in het andere geval. De intensiteit van die twee nieuwe eenheden kunnen we dan voorstellen als de getallen b versus b^<> waarvan de som het nieuw complexe getal b+b^<>i is. De waarschijnlijkheid om de toestand |0> te vinden zal dan |b|²/(|c₁|²+|c₂|²) zijn, de waarschijnlijkheid om de toestand |1> te vinden zal dan |b^<>|²/(|c₁|²+|c₂|²) zijn.

We hadden ook de tweede qubit kunnen gebruiken (de onderscheiding a bijvoorbeeld). De 2-qubit toestand wordt |0>⊗(c₁|0>+c₃|1>)+|1>⊗(c₂|0>+c₄|1>). Ook beide nieuwe toestanden zijn orthogonaal. De sommen worden genormaliseerd door de modulus van de complexe getallen, enerzijds c₁±c₃i (of c₃±c₁i), namelijk 1=|c₁|²+|c₃|², anderzijds c₂±c₄i (of c₄±c₂i), namelijk 1=|c₂|²+|c₄|² in het andere geval. De verdere uitwerking is dan volledig gelijkaardig. De waarschijnlijkheid om de toestand |0> te vinden zal dan |a|²/(|c₁|²+|c₃|²) zijn, de waarschijnlijkheid om de toestand |1> te vinden zal dan |a^<>|²/( |c₂|²+|c₄|²) zijn.

Bij elke stap moeten we dus een normalisering uitvoeren van de eenheid op basis van de intensiteiten die gekend zijn in het grotere universum. Merk op dat dit niet anders is dan de coherente berekening van interne discriminaties, berekeningen waarvan we aantoonden dat die onvermijdelijk alle priemgetallen zullen genereren. Op hun beurt zijn priemgetallen structurerende elementen van tralies.

Kwantumverstrengeling

Wat in de kwantummechanica bedoeld wordt met kwantumverstrengeling kan als volgt gemodelleerd worden.

De toestand |00>+|11> is verstrengeld omdat deze niet als een tensorproduct van qubits uit een lager universum kan geschreven worden. We kunnen dat als volgt demonstreren: vorm het tensorproduct (a₁|0>+b₁|1>)⊗(a₂|0>+b₂|1>)=a₁a₂|00>+a₁b₂|01>+b₁a₂|10>+b₁b₂|11> Als dit gelijk zou moeten zijn aan |00>+|11> dan zou zowel a₁b₂ als b₁a₂ gelijk aan nul moeten zijn, wat impliceert dat ook een van de coëfficiënten van |00> of |11> nul zou moeten worden, zodanig dat dit nooit gelijk kan zijn aan de coëfficiënten 1 die verschijnen in |00>+|11>.

Daarentegen zijn |00>+|01>; |10>+|11>; |01>+|01> en |01>+|11> niet verstrengeld zoals hierboven gedemonstreerd werd.

Ook met dit voorbeeld zien we dat kwantumverstrengeling van entiteiten het gevolg is van een gebruik van coëfficiënten op een manier die wiskundig zinvol lijkt bij de benadering van toestanden als lineaire som van orthogonale vectoren, maar die niet operationeel te onderbouwen is omdat ze niet op onderscheidingen gebaseerd is.

We kunnen dus begrijpen dat de coëfficiënten van de basisvectoren van het kwantum universum met elkaar zullen verbonden zijn op een manier die in de vorige paragraaf geëxpliciteerd kon worden. Hiervoor is inzicht in het haakformalisme onontbeerlijk en het haakformalisme geeft als alternatief voor de qubit symboliek ook een coherente symboliek die nog verschillende andere symbolieken kan unificeren maar die, op de eerste plaats, niet meer voor verwarring zorgt.

Uitbreiden en inkrimpen van universa met de laatst toegevoegde onderscheiding

Het uitbreiden en inkrimpen van universa moet strikt gebeuren op basis van de meest primitieve qubit (het 1-splitsing universum) die vernest zit in een grotere structuur, wat we heel precies kunnen demonstreren door de uitbreiding of inkrimping te vergelijken met een 2-splitsing. Dit is niet anders dan de vernesting die het gevolg is van één laatst toegevoegde onderscheiding.

Op die manier kunnen we de evolutie op Aarde op een nieuwe manier modelleren. Met het qubit model kunnen we de Aarde immers modelleren als een gigantische computer die reversibele berekeningen (kwantum berekeningen) uitvoert op kamertemperatuur. De structuur die beschikbaar is op dit moment is het resultaat van het inbouwen van onderscheiding na onderscheiding in een reeds bestaande structuur. Op elk moment kan dit proces weer gestart worden omdat de inbouwende structuur een beschermende omgeving is, met andere woorden: de onderscheidingen liggen niet vast, het zijn niet de onderscheidingen die zouden kunnen waargenomen worden in de context toen ze voor het eerst konden ingebouwd worden. De dynamiek van evolutie ervaren we bij de verbazende snelheid waarmee een embryo groeit en processen doorloopt die misschien wel miljoenen jaren nodig hadden om ingebouwd te geraken, wat we nu toewijzen aan de actie van genen. Die dynamiek ervaren we als “een geheugen”: het embryo schijnt over de informatie te beschikken van wat het moet doen in een bepaalde context. Embryo’s worden volwassen en wanneer ze nieuwe embryo’s genereren blijft die informatie beschikbaar ook in een nieuwe omgeving. De actie van genen (de eenheden van erfelijke informatie) is een hypothese uit de genetica. Reversibele processen worden dan bestudeerd in de epigenetica. Genen begrijpen we nu als elementen van een grotere structuur (het DNA). De qubit als eenheid van erfelijke informatie is een fundamenteel ander inzicht dan de hypothese van de genetica (Mendel), de natuurlijke selectie (Darwin) of de "biogenetische wet" (Haeckel).