We kunnen een waarneming ook begrijpen als de constructie van een orthogonale involutie in een gegeven punt. Daartoe beschouwen we de haakvector vorm van het punt M•M^<> en zijn ruimere punten M en M^<>.

De welgevormde haakuitdrukking die we nu kiezen als het punt M•M^<> in een drie-onderscheidingen universum is in vectorformaat <<>>⊕<a>⊕<c>⊕<c•a>. Dus het lokaal orthogonaal ruimtenstelsel opgespannen met projectoren en dat overeenkomt met (<>⊕M•M^<>)•(<>⊕<M•M^<>>) is (<>⊕<<>>⊕<a>⊕<c>⊕<c•a>)•(<>⊕<>⊕<a>⊕<c>⊕<c•a>>) of dus (<a>⊕<c>⊕<c•a>)•(<<>>⊕a⊕c⊕c•a).

De projectoren (<>⊕M•M^<>) versus (<>⊕<M•M^<>>) genereren op basis van het punt M•M^<> twee tralies die elkaar aanvullen. Conventioneel zal men zeggen dat men nu beschikt over een “directe som” van twee vector ruimten, en elk van deze kan een “eigen basis” krijgen, waarbij dan kan gehoopt worden dat er een overkoepelende basis zal gevonden worden die ook voor de som-elementen basiseigenschappen zal hebben.

Dit geeft dan de mogelijkheid om in een gecollapste tralie ALTIJD twee punten te construeren die elkaar uitsluiten en als som een gemeenschappelijke term hebben en een term die de inbedding is van de andere. We geven hiervan het voorbeeld met de twee ruimere punten die elkaar uitsluiten: M versus M^<>.

M en M^<> zijn de som van een gemeenschappelijk vectordeel G en een vectordeel dat elkaars inbedding is: H versus <H>. Er geldt dus M=G⊕H en M^<>=G⊕<H>. Het gemeenschappelijk vectordeel G = <M•M^<>>⊕<>. Dit is een projector, namelijk in hybride notering: <ca>⊕<> met ca een welgevormde haakuitdrukking en heeft als gevolg daarvan in bitstring formaat enkel don't cares en één signatuursoort (G is namelijk(+x+xxxxx)). H is geen projector, maar de ruimte die door H versus <H> opgespannen wordt, wordt door een projector opgespannen.

Welke projectoren de ruimten opspannen wordt gegeven door M•M^<>, dit punt is immers de som van twee projectieruimten, wat niet verbazend is aangezien het een scalair product is en dus XOR: bits die gelijk zijn, zijn van een andere signatuur dan bits die verschillend zijn. Dit is snel in te zien door de volgende modulo3 som van M•M^<>:(+-+-----)=(+x+xxxxx)⊕(x-x-----)

We noemen nu de projectieruimten P₁ en P₂.

P₁ = (+x+xxxxx) en zijn inbedding (-x-xxxxx) bepalen samen een tralie van 2² punten, dit is de ruimte van P₁.

P₂ = (x+x+++++)en zijn inbedding (x-x-----)bepalen samen een tralie van 2⁶ punten, dit is de ruimte van P₂.

De projector is de identiteitstransformatie voor zijn ruimte. Bijvoorbeeld met een willekeurig punt uit de ruimte van P₂: (x-x-++++)•(x+x+++++)=(x-x-++++).

Al de punten van de projector P₁ behoren tot de “nulruimte” van de projector P₂ . Inderdaad neem een willekeurig punt (+x-xxxxx) uit de ruimte van P₁. De scalaire vermenigvuldiging van (+x-xxxxx) met (x+x+++++) geeft de nulvector als resultaat.

Wanneer we nu M•M^<>; M en M^<> met P₂ vermenigvuldigen dan worden ze op de ruimte van P₂ geprojecteerd. Dat is hieronder in de tabel gedaan.

Hieruit volgt dat de som van de projecties M_P2 en M^<>_P2 gelijk is aan de nulvector: in die ruimte zijn ze elkaars tegengestelden.

Translatie

Deze voorstellingswijze geeft de mogelijkheid om met behulp van een som (translatie) nieuwe welgevormde haakuitdrukkingen te bekomen, die we als volgt zullen aanduiden: (M•M^<>)_x die niet verschillend is van <> en (M)_x en (M^<>)_x. Deze drie punten kunnen we bereiken door bij de drie oorspronkelijke punten de gecollapste haakvector (<<>>⊕a⊕c⊕c•a) bij te voegen, zodanig dat (<<>>⊕<a>⊕<c>⊕<c•a>)⊕(<<>>⊕a⊕c⊕c•a) (dus de eerste rij) niet kan onderscheiden worden van <>. Inderdaad: (M•M^<>)_x = (<<>>⊕<a>⊕<c>⊕<c•a>)⊕(<<>>⊕a⊕c⊕c•a) = <>. Controle ook met bitstrings, bijvoorbeeld: <<>>⊕<a>⊕<c>⊕<c•a> is (+-+-----); <<>>⊕a⊕c⊕c•a is (+x+xxxxx); sommeer, en dit kan niet onderscheiden worden van <>.

Om dat duidelijk te maken stellen we in onderstaande tabel de punten met subscript x tegenover de punten zonder subscript.

Dit toont het volgende aan: M_x = <M^<>> en M^<>_x =<M>