Quantum gates zijn operatoren die kwantum toestanden als kolomvectoren transformeren in een nieuwe kwantum toestand op een reversibele manier. Dit betekent dat de omgekeerde transformatie uitgevoerd moet worden door de transpose van de operator, waardoor dus de vermenigvuldiging van de beide operatoren de eenheidsoperator geeft. Bij de drie voorbeelden die hieronder gegeven worden (CNOT, CCNOT en CSWAP) zijn de operatoren en hun transpose zelfs identiek en er kan gecontroleerd worden dat het kwadraat van de operatoren gelijk is aan de eenheidsoperator.

De laatst toegevoegde onderscheiding ℵ wordt bij kwantum gates gemodelleerd door wat men een “control bit” noemt. Het is die qubit die gemeten wordt en bij de meting de bedoelde collaps realiseert.

CNOT gate

De CNOT gate is de operator

Inwerkend op de basisvectoren van het twee-qubit universum wordt de volgende transformatie uitgevoerd:

Noemen we de eerste qubit b₁ en de tweede qubit b₂, waarbij we |b₁b₂> vormen, dan kunnen we ook de tabel opbouwen

De CNOT gate gaat dus |b₁b₂> transformeren in |b₁(b₁XORb₂)>

De kolomvectoren b₁ en b₂ worden beschouwd als input, de kolomvectoren b₂ en b₁XORb₂ worden beschouwd als output. De CNOT gate wordt als volgt geïnterpreteerd: in het geval dat b₁ niet kan onderscheiden worden van 1 is de output de negatie van b₂. Wat in de gereduceerde tabel als volgt kan getoond worden:

We zullen nu onderzoeken vanuit welke welgevormde haakuitdrukkingen deze collaps kan afgeleid worden. We vertalen daartoe het bitmodel in het haakmodel (OR en AND worden omgewisseld en XOR en XNOR worden omgewisseld). Dus b₁XORb₂ wordt vertaald als <<b₁<b₂>><<b₁>b₂>> in welgevormde uitdrukking en we stellen vast dat <<b₁<b₂>><<b₁>b₂>> overeenkomt met een output van de CNOT operator op voorwaarde dat de andere output b₁↔<<>>.

Dus b₁ controleert. Heeft b₁ waarde <>, dan is de output b₂, heeft b₁ waarde <<>>, dan is de output <b₂>. Dat is eenduidig en reversibel. <<b₁<b₂>><<b₁>b₂>> kunnen we ook schrijven als <b₁b₂><<b₁><b₂>> en dit is niet anders dan het creatief product (<b₂>⊗b₂)_b1.

CCNOT gate (Toffoli gate)

De CCNOT gate is de operator

Inwerkend op de basisvectoren van het drie-qubit universum wordt de volgende transformatie uitgevoerd:

Noemen we de eerste bit b₁, de tweede bit b₂, de derde bit b₃ waarbij we |b₁b₂b₃> vormen, dan kunnen we ook de tabel opbouwen

De CCNOT gate gaat dus |b₁b₂b₃> transformeren in |b₁b₂((b₁ANDb₂)XORb₃)>

We zullen nu onderzoeken vanuit welke welgevormde haakuitdrukkingen deze collaps kan afgeleid worden. We vertalen daartoe het bitmodel in het haakmodel (OR en AND worden omgewisseld en XOR en XNOR worden omgewisseld). Dus (b₁ANDb₂)XORb₃ wordt vertaald als <<b₁b₂<b₃>><<b₁b₂>b₃>> in welgevormde uitdrukking en we stellen vast dat <<b₁b₂<b₃>><<b₁b₂>b₃>> overeenkomt met de CCNOT operator wanneer zowel b₁ ↔<<>> als b₂ ↔<<>> zoals in de tabel hieronder bewezen wordt.

Dus b₁b₂ controleert. Heeft b₁b₂ waarde <>, dan is de output b₃, heeft b₁b₂ waarde <<>>, dan is de output <b₃>. Dat is eenduidig en reversibel. <<b₁b₂<b₃>><<b₁b₂>b₃>> kunnen we ook schrijven als <b₁b₂b₃><<b₁b₂><b₃>> en dit is niet anders dan het creatief product (<b₃>⊗b₃)_b1b2.

CSWAP gate (Fredkin gate)

De CSWAP gate is de operator

Inwerkend op de basisvectoren van het drie-qubit universum wordt de volgende transformatie uitgevoerd:

Noemen we de eerste bit b₁, de tweede bit b₂, de derde bit b₃ waarbij we |b₁b₂b₃> vormen, dan kunnen we ook de tabel opbouwen

De CSWAP gate gaat dus |b₁b₂b₃> transformeren in |b₁((NOTb₁ANDb₂)XOR(b₁ANDb₃))((b₁ANDb₂)XOR(NOTb₁ANDb₃))>

We zullen nu onderzoeken vanuit welke welgevormde haakuitdrukkingen deze beide outputs kunnen afgeleid worden. We vertalen daartoe het bitmodel in het haakmodel (OR en AND worden omgewisseld en XOR en XNOR worden omgewisseld, merk op dat in dit geval XOR niet verschillend is van OR en dus XNOR evenmin verschillend is van AND)

Een volledige constructie van de tabel toont aan dat de collaps van b₁ ↔<<>> inderdaad een swap van de waarden van b₂ en b₃ uitvoert.

<<<b₁>b₂><b₁b₃>> schrijven we als <b₁<b₃>><<b₁><b₂>> en dus het creatief product (b₃⊗b₂)_b1. Heeft b₁ waarde <> dan heeft (b₃⊗b₂)_b1 waarde van b₂. Heeft b₁ waarde <<>> dan heeft (b₃⊗b₂)_b1 waarde van b₃.

<<b₁b₂><<b₁>b₃>> schrijven we als <b₁<b₂>><<b₁><b₃>> en dus het creatief product (b₂⊗b₃)_b1. Heeft b₁ waarde <> dan heeft (b₂⊗b₃)_b1 waarde van b₃. Heeft b₁ waarde <<>> dan heeft (b₂⊗b₃)_b1 waarde van b₂.

Het belang van quantum gates

Er werd aangetoond dat het inzetten van de CNOT en CCNOT, ofwel het inzetten van de CNOT en CSWAP voldoende is om alle bekende klassieke berekeningen in het kwantum formalisme te realiseren.

Maar zoals in het haakformalisme duidelijk wordt: dit heeft alles te maken met de reversibiliteit van het creatief product. Dit is niet exclusief verbonden aan de fysische realisatie ervan.