Een kracht, aantrekking of afstoting, hebben we gedefinieerd als evenredig met een veranderingsenergie, veranderingsenergie die op zijn beurt afgeleid werd van het verschil tussen twee schaalfactoren v₀₁ en v₁₂, een energie die niet anders blijkt te zijn dan ½(v₀₁²-v₁₂²). Dit is niet anders dan het gemiddeld verschil van twee kwadraten. We hebben aangetoond dat die schaalfactoren ook als vermogen kunnen geïnterpreteerd worden, niet enkel als snelheid dus maar ook als een energie per vrijheidsgraad (de abstractie van energie per seconde). We hebben krachten ook onderzocht in het geval van evenwicht tussen schaalfactoren. De som van de krachten in evenwicht is niet waarneembaar, ze “bevriezen” iets op een bepaald niveau dat dan als referentie kan genomen worden. Het is dat wat we energie noemen: de energie is dan wel aanwezig, beschikbaar maar niet betrokken in verandering en dus onwaarneembaar. Een invariant evenwicht is een focuspunt dat we meenemen maar dat geen rol speelt in de verandering. De som van de krachten ver van evenwicht verandert voortdurend en is dus waarneembaar.

Heel de afleiding is gebaseerd op simultaneïteitsintervallen en we hebben aangetoond dat deze intervallen altijd met dezelfde structuur (bijvoorbeeld hetzelfde getal) kunnen opgeteld worden zonder iets te wijzigen aan een evenwicht. Deze structuur hebben we gemodelleerd als m en we moesten aan m geen enkele beperking opleggen. Wanneer we verhoudingen van intervallen onderzoeken vinden we de Lorentz relaties op een nieuwe manier terug als het onvermijdelijk gevolg van het introduceren van schaalfactoren (die we bijvoorbeeld als klassieke snelheid, versnelling of vermogen kunnen herkennen) en m speelt dan een rol als Lorentz referentiepunt en dus een invariant. Deze m kan gelijk welke structuur zijn, gelijk welke eenheid met of zonder intensiteit, en die structuur (bijvoorbeeld als welgevormde haakuitdrukking en dus een som van vier eenheden) kan een evenwicht karakteriseren want enkel door de som van m met de intensiteit van elke toestand die nodig is om het evenwicht te modelleren zal de som van het verschil van toestanden gelijk aan nul kunnen zijn.

We onderzoeken nu wat een m verschillend van nul betekent voor de optredende kracht.

Veranderingsenergie met een Lorentz invariant

De veranderingsenergie met m=0 hebben we gemodelleerd als het product van een soort afstand s₀₂ en een soort versnelling a₀₂. We berekenen nu de veranderingsenergie (s_02+m)(a_02+m). Hierbij is s_02+m de simultaneïteitsafstand die berekenbaar is met m verschillend van nul. Dit is een interval te relateren aan het gemiddelde van twee opeenvolgende schaalfactoren, verhoudingen of snelheden, v_01+m en v_12+m en halen we uit de berekening van de gemiddelde verhouding ½(v_01+m+v_12+m)= ½(n₀-n₁)/(2m+n₀+n₁)+ ½(n₁-n₂)/(2m+n₁+n₂)= ½((2m+n₁+n₂)(n₀-n₁)+(2m+n₀+n₁)(n₁-n₂))/(2m+n₀+n₁)(2m+n₁+n₂). Dit is een uitdrukking waarbij de teller de ruimte-afstand geeft tussen de punten met intensiteit n₀ en n₂ door ook rekening te houden met n₁. Deze simultaneïteitsafstand (teller) is ½(2m+n₁+n₂)(n₀-n₁)+ ½(2m+n₀+n₁)(n₁-n₂)=½(n₀-n₂)(2m+2n₁)=(n₀-n₂)(m+n₁). We hebben al aangetoond dat deze n₁ een complex getal kan zijn (en dat is dan een minimale structuur) zelfs wanneer n₀ en n₂ gehele getallen zijn (sporen van een telling), en n₁ kan dan enkel berekend worden, kan niet geteld worden. Dat moet dan gelden voor elke n_i, behalve voor de eerste en de laatste die we kunnen tellen.

Hieruit volgt dat de veranderingsenergie gegeven wordt door het product van deze simultaneïteitsafstand met de versnelling: 2(n₀-n₂)(m+n₁)(mn₀-2mn₁+mn₂+n₀n₂-n₁²)/(2m+n₀+n₁)²(2m+n₁+n₂)².

Dit is een veranderingsenergie voor iets met een intensiteit 1, bijvoorbeeld voor een eenheidsmassa, dus M=1, of eenheidslading Q=1 of eventueel een lineaire combinatie van beide als we ervan uitgaan dat massa en lading onafhankelijk zijn van elkaar.

Deze veranderingsenergie is geen verschil van kwadraten zoals in het geval dat m=0.

De noemer (2m+n₀+n₁)²(2m+n₁+n₂)² wordt gelijk aan nul bij twee mogelijke keuzen van m: m=-½(n₀+n₁) en m=-½(n₁+n₂), dat zijn rekenkundige gemiddelden, keuzen die niet kunnen gemaakt worden zonder een zeer grote en onwaarneembaar grotere versnelling te bekomen (een versnelling buiten de waarnemingsresolutie). Wanneer n₁ een complex getal is, kan deze situatie enkel voorkomen als ook m een complex getal is.

Minkowski oppervlak

We merken op dat de ruimte-afstand tussen de punten met intensiteit n₀ en n₂ een meervoud is van (n₀-n₂), de factor (m+n₁) heeft het karakter van een tijd-afstand als m positief is, maar (n₀-n₂)(m+n₁) heeft het karakter van een ruimte-oppervlak als het getal m negatief is. Dit maakt duidelijk dat de (positieve versus negatieve) waarde van m zal bepalen of deze afstand het product is van een ruimte-afstand en een tijd-afstand (en dus voor te stellen als een oppervlak in de Minkowski ruimte met dimensie (meter)×(seconde)), of het product van ruimte-afstanden (en dus voor te stallen als een oppervlak met dimensie (meter)² in de driedimensionale ruimte).

Kromming

Een oppervlak is een belangrijk begrip in het haakformalisme aangezien we aantoonden dat een simultaneïteitsafstand tussen twee willekeurige punten in het algemeen geval in twee dimensies te kwantificeren is, en oppervlakken zijn hoe dan ook gekromd. De kromming kunnen we kiezen, tussen de onvermijdelijk maximale kromming (“ja” of “neen”) en de onvermijdelijk minimale kromming (de grootte van het universum bepaald door de laatst toegevoegde onderscheiding).

Is m een negatief getal, dan is de veranderingsenergie groter dan in het geval m=0. Dit is onmiddellijk duidelijk uit de vergelijking voor de veranderingsenergie: 2(n₀-n₂)(m+n₁)(mn₀-2mn₁+mn₂+n₀n₂-n₁²)/(2m+n₀+n₁)²(2m+n₁+n₂)². Namelijk de noemer is kleiner dan in het geval dat m=0. Hoe meer negatief m is, hoe kleiner de noemer en dus hoe groter de kromming. Dit suggereert dat m de rol spelen kan van de eenheid van massa (de eenheid van de rustenergie uit de algemene relativiteitstheorie).

Positief getal m modelleert de Minkowski ruimte

Aangezien we verondersteld hebben dat alle n_i telbare, gehele positieve, getallen zijn is het onmogelijk door een keuze die niet een negatief getal m is om van de simultaneïteitsafstand een product te maken van tijdafstanden (en dus een oppervlak met dimensie (seconde)²). Dit maakt duidelijk dat het teken van m zin geeft aan een model zoals de Minkowski ruimte van de speciale relativiteitstheorie die we in het haakformalisme afgeleid hebben van de binaire metriek. Een oppervlakte in twee kwadranten van de Minkowski ruimte geeft het totaal aantal gebeurtenissen die simultaan zijn met een actuele gebeurtenis. Zo’n oppervlak kan aan nog bijkomende beperkingen onderhevig zijn (een beperking kan bijvoorbeeld vanaf een bepaalde tijd gedurende een zekere tijd invariant aanwezig zijn zodanig dat de gebeurtenissen enkel in die beperkte ruimte kunnen optreden en er dus in die beperkte ruimte al dan niet evenwicht mogelijk is, een voorbeeld daarvan is te zien in de wereldlijn van een logistisch proces). De oppervlakte geeft het aantal gebeurtenissen met een causaal verband met de gebeurtenis onder focus. In de ene richting de gebeurtenissen die noodzakelijk zijn voor de gebeurtenis onder focus, dit betekent de gebeurtenissen waarvoor de gebeurtenis onder focus een voldoende voorwaarde is. Dit noemen we de constructie van een mogelijk verleden dat de gebeurtenis onder focus kan verklaren. In de andere richting geeft de oppervlakte de gebeurtenissen waarvoor de gebeurtenis onder focus een noodzakelijke voorwaarde is. Dit noemen we de constructie van een mogelijke toekomst voor de gebeurtenis onder focus.

Negatief getal m modelleert de klassieke ruimte

Met een negatief getal m is een tijdafstand te construeren die overeenkomt met een afstand in de ruimte en zo een oppervlakte als eenheid vormt. Het is trouwens met de veronderstelling dat m een negatief getal is dat we de klassieke snelheid kunnen modelleren als een ruimte-afstand tot een tijd-afstand, tijd-afstand die in dat geval dan een tijdsverschil is met een willekeurig gekozen maar noodzakelijke “begintoestand” m als referentie. Een negatieve m, m is dus een getal, kan niet geteld worden zoals de getallen n_i, maar kan berekend worden als een telling die op een bepaald moment, het moment nu, nul bereikt. Dit kunnen we ons voorstellen als een hypothetisch proces (een potentieel proces), actief in een verleden, actief tot nu, en noodzakelijk voor de huidige toestand (indien het er niet was dan zou de huidige toestand er ook niet zijn, en, met de onvermijdelijke dualiteit, is onze “ja” nu een voldoende voorwaarde voor dat proces).

De interpretatie van m (die we de Lorentz invariant genoemd hebben) is een aantal toestanden die niet kunnen onderscheiden worden omdat ze allemaal dezelfde waarde hebben (en daardoor kunnen geteld worden), namelijk toestanden die een verschil maken dat geen verschil maakt in de gekozen dynamiek van verandering. Een bepaalde m selecteert een evenwicht: de toestanden in de processen die een evenwicht modelleren hebben hetzelfde aantal “gemeenschappelijke toestanden” (die dan geen verschil maken voor die processen), en dat is zo hoewel de intensiteiten van de andere toestanden allemaal veranderen. Die noemen we dan de relevante toestanden van de dynamiek. We kunnen dus een negatieve m gebruiken als modellering van de noodzakelijke voorwaarden voor een evenwicht dat in de toestand nu bereikt moet zijn door de interactie van sommige processen in het verleden. Tot die conclusie moeten we onvermijdelijk komen op het moment dat we geen verschil, geen verandering, meer waarnemen. Dus “in de toestand nu” tellen we iets en het verschil met de telling “in de volgende toestand nu” blijkt nul te zijn. Dit betekent dat de intensiteit die we tellen niet veranderd is. Dit interpreteren we als het noodzakelijk evenwicht dat nu bereikt moet zijn en sommige evenwichten zijn persistent en zullen we in een hypothetische toekomstige toestand kunnen herkennen.

In de klassieke ruimte zouden we m dus kunnen interpreteren als massa (massa die invariant is in een bepaald procesevenwicht of een bepaalde ruimtelijke verdeling van massa’s) en dat zou dan een berekende kwantificering zijn van gebeurtenissen “in het construeerbaar verleden van de gebeurtenis onder focus”. Hetzelfde geldt voor m als lading en een ruimtelijke verdeling van lading die invariant is voor een procesevenwicht en dat zou dan ook een berekende kwantificering zijn van gebeurtenissen “in het construeerbaar verleden van de gebeurtenis onder focus”. Lading is niet alleen elektrische lading, alle en enkel 2-vectoren staan voor lading (omdat ze, in tegenstelling met n-vectoren, gelijkwaardigheid versus tegengestelde waarde kunnen uitdrukken).

In het binair model van het haakformalisme kunnen we ons m voorstellen als een bitstring die deel is van de lineaire concatenatie van bits en invariant is voor een drievoud van bitstrings die met elkaar door sommatie interageren.

Veranderingsenergie gelijk aan nul

We hebben een veranderingsenergie die rekening houdt met een Lorentz invariante m berekend als 2(n₀-n₂)(m+n₁)(mn₀-2mn₁+mn₂+n₀n₂-n₁²)/(2m+n₀+n₁)²(2m+n₁+n₂)².

De teller van deze verhouding is het product van een soort afstand s_02+m met een soort versnelling a_02+m. Deze veranderingsenergie is gelijk aan nul als minstens één van de drie haken in de teller gelijk is aan nul. Dat komt overeen met de disjunctie van afstand s_02+m gelijk aan nul met een versnelling a_02+m gelijk aan nul.

Maar die beide termen zijn ook een som van een term die afhankelijk is van m en een term die daar onafhankelijk van is.

s_02+m=(n₀-n₂)(m+n₁)=m(n₀-n₂)+n₁(n₀-n₂)

a_02+m=2(mn₀-2mn₁+mn₂+n₀n₂-n₁²)=2m(n₀-2n₁+n₂)+2(n₀n₂-n₁²)

Het product van beide elementen van de teller genereert dus een som met drie termen die afhankelijk zijn van m, en één term die onafhankelijk is van m. Dat herkennen we als het 3&1 patroon. We zullen nu al deze mogelijkheden onderzoeken.

Versnelling gelijk aan nul

We hebben al de versnelling berekend wanneer de toegevoegde m verschillend is van nul. We hebben aangetoond onder welk voorwaarden we ook geen kracht (een versnelling gelijk aan nul) kunnen modelleren voor twee op elkaar volgende schaalfactoren of snelheden v_01+m en v_12+m. We zullen deze versnelling nu opsplitsen in twee delen en voor de duidelijkheid herhalen we nog eens de afleiding.

Het verschil van v_01+m en v_12+m is:

(v_01+m-v_12+m)=(n₀-n₁)/(2m+n₀+n₁)-(n₁-n₂)/(2m+n₁+n₂)=((2m+n₁+n₂)(n₀-n₁)-(2m+n₀+n₁)(n₁-n₂))/(2m+n₀+n₁)(2m+n₁+n₂)=

(2m(n₀-2n₁+n₂)+2n₀n₂-2n₁²)/(2m+n₀+n₁)(2m+n₁+n₂).

De teller is (2m(n₀-2n₁+n₂)+2n₀n₂-2n₁²)=2(mn₀-2mn₁+mn₂+n₀n₂-n₁²). Dit heeft het karakter van een ruimte-afstand (een verschil van getallen, niet commutatief).

De noemer is (2m+n₀+n₁)(2m+n₁+n₂). Dit heeft het karakter van een tijd-afstand (een som van getallen, commutatief).

Gebaseerd op het verschil van v_01+m en v_12+m hebben we de versnelling dan gemodelleerd door het kwadrateren van de noemer. We hebben deze definitie niet zomaar aangenomen, maar afgeleid van de uitdrukking van een energie. De versnelling is dus 2(mn₀-2mn₁+mn₂+n₀n₂-n₁²)/(2m+n₀+n₁)²(2m+n₁+n₂)². Deze versnelling hebben we de naam a_02+m gegeven.

De versnelling is een som van twee componenten, een met teller afhankelijk van m en een met teller onafhankelijk van m (de noemer is steeds afhankelijk van m).

• De component met teller of ruimte-afstand afhankelijk van m: 2m(n₀-2n₁+n₂)/(2m+n₀+n₁)²(2m+n₁+n₂)². Dit is een component die gelijk wordt aan nul in twee gevallen: m=0 of n₁=(n₀+n₂)/2.

• De component met teller of ruimte-afstand onafhankelijk van m: 2(n₀n₂-n₁²)/(2m+n₀+n₁)²(2m+n₁+n₂)². De teller is niet verschillend van de teller in een eerder onderzochte geval. Is m=0 dan vinden we inderdaad de uitdrukking a₀₂ terug. Is n₁=(n₀+n₂)/2 dan wordt deze component -(n₀-n₂)²/2(2m+n₀+(n₀+n₂)/2)²(2m+n₂+(n₀+n₂)/2)². Dat is niet anders dan een negatief kwadraat.

De noemer kan voor een verhouding van getallen de rol innemen van een eenheid. Dus voor bepaalde keuzen van m zullen beide componenten van de versnelling als som interageren met dezelfde schaalfactor als eenheid en een specifiek evenwicht bereiken.

Simultaneïteitsafstand gelijk aan nul

De simultaneïteisafstand s_02+m hebben we berekend uit de gemiddelde snelheid van twee opeenvolgende schaalfactoren of snelheden v_01+m en v_12+m. Deze s_02+m is (n₀-n₂)(m+n₁). De veranderingsenergie is nul voor de simultaneïteitsafstand (n₀-n₂)(m+n₁) gelijk aan nul en we zullen dat nu in zijn algemeenheid onderzoeken en interpreteren want we kunnen een versnelling blijven berekenen zelfs als een simultaneïteitsafstand gelijk is aan nul. Enkel de veranderingsenergie is nul. We moeten dan twee mogelijkheden onderscheiden.

m=-n₁

Een simultaneïteitsafstand s_02+m=(n₀-n₂)(m+n₁) gelijk aan nul is te modelleren met de keuze m=-n₁ en dan wordt de versnelling -4n₁(n₂-n₁)/(n₂-n₁)⁴+ 2(n₂²-n₁²)/(n₂-n₁)⁴=2(n₂-n₁)²/(n₂-n₁)⁴=2/(n₂-n₁)². Dit is dus niet anders dan 2/(m+n₂)². In dit geval is de versnelling dus omgekeerd evenredig met het kwadraat van een ruimte-afstand die niet verschillend is van het kwadraat van een tijd-afstand. Een afstand in de ruimte is dan niet anders dan een afstand in de tijd. Dit modelleert dan de gravitatiekracht tussen twee massa’s of de aanstoting/afstotingskracht tussen twee elektrische ladingen, die beide omgekeerd evenredig zijn met het kwadraat van de afstand tussen de twee (massa of lading) middelpunten (de middelpunten zijn de punten die bekomen worden als resultaat van een gemiddelde, gemiddelde dat het aantal aspecten dat de variatie kan beschrijven reduceert tot één relevant aspect). Om van de noemer een ruimte-afstand te maken moeten we m kiezen als een negatief getal en in het geval m=-n₁ is de noemer onvermijdelijk ook een tijdafstand die kan geïnterpreteerd worden als “intensiteit in een richting die niet ervaren kan worden”, een berekening die een potentiële werkelijkheid beschrijft die onbereikbaar is, een potentiële werkelijkheid in een “tijdsduur die voorbij is”, maar die wel kan geconstrueerd worden omdat de gebeurtenis van evenwicht die onder focus is, een voldoende voorwaarde daarvoor moet zijn.

n₀=n₂

Een simultaneïteitsafstand gelijk aan nul is ook te modelleren met de keuze n₀=n₂ wat betekent dat twee toestanden niet te onderscheiden zijn, ze kunnen elkaar dus onmogelijk uitsluiten. Van de drie toestanden beschouwen we er slechts twee en ze worden voorgesteld door de getallen n₀=n₂ en n₁.

• dan wordt de component van de versnelling met ruimte-afstand afhankelijk van m gelijk aan 2m(n₂-2n₁+n₂)/(2m+n₂+n₁)²(2m+n₁+n₂)²=4m(n₂-n₁)/(2m+n₁+n₂)⁴.

• dan wordt de component van de versnelling met ruimte-afstand onafhankelijk van m gelijk aan 2(n₂n₂-n₁²)/(2m+n₂+n₁)²(2m+n₁+n₂)²=2(n₂²-n₁²)/(2m+n₁+n₂)⁴.

Dan is de som van beide componenten van de versnelling (4m(n₂-n₁)+2(n₂²-n₁²))/(2m+n₁+n₂)⁴=2(n₂-n₁)(2m+n₂+n₁)/(2m+n₁+n₂)⁴=2(n₂-n₁)/(2m+n₁+n₂)³. De kracht is hier evenredig met een derde macht en dat is een relatie die we ook vinden bij een dipool die aangetrokken wordt door een puntlading. De uitwerking hiervan met een kleine ε als afstand tussen de twee polen is zeer verhelderend omdat n₀=n₂ betekent dat n₀-n₂=0 en 0 staat voor zeer klein en onwaarneembaar kleiner (dus ε), de uitdrukking van een waarnemingsresolutie en impliciet ook een evenwicht. De veranderingsenergie is in dit geval dus gelijk aan nul.

Met drie toestanden en dus intensiteiten n₀, n₁, n₂ kan n₀=n₂ ook bereikt worden voor m=-n₁ en dan wordt 2(n₂-n₁)/(2m+n₁+n₂)³ niet verschillend van 2/(n₂-n₁)². Als n₂ het resultaat is van een telling en als n₁ een complex getal is verschillend van nul dan kan deze noemer nooit nul worden.

Het 3&1 patroon geeft nog een term gelijk aan nul

De som van de drie termen die afhankelijk zijn van m is m(n₀-n₂)(2m(n₀-2n₁+n₂)+2(n₀n₂-n₁²))+n₁(n₀-n₂)(2m(n₀-2n₁+n₂)). Gedeeld door (2m+n₀+n₁)²(2m+n₁+n₂)² noemen we dit nu de Lorentz m-variante intensiteit van de Lorentz invariante energie.

We kunnen de teller van de som van drie als volgt schrijven als een product:

m(n₀-n₂)(2m(n₀-2n₁+n₂)+2(n₀n₂-n₁²))+n₁(n₀-n₂)(2m(n₀-2n₁+n₂))

2m(n₀-n₂)(m(n₀-2n₁+n₂)+(n₀n₂-n₁²))+2m(n₀-n₂)n₁(n₀-2n₁+n₂)

2m(n₀-n₂){m(n₀-2n₁+n₂)+(n₀n₂-n₁²)+n₁(n₀-2n₁+n₂)}

2m(n₀-n₂){m(n₀-2n₁+n₂)+n₀n₂-3n₁²+n₁n₀+n₁n₂}

Dit toont dat we nu een extra voorwaarde kunnen vinden voor een veranderingsenergie gelijk aan nul: {m(n₀-2n₁+n₂)+n₀n₂-3n₁²+n₁n₀+n₁n₂}=0 of dus m=(3n₁²-n₀n₂-n₁n₀-n₁n₂)/(n₀-2n₁+n₂)

Dit is enkel de teller van de verhouding.

Dit maakt onmiddellijk duidelijk dat we voor een begrensde m moeten veronderstellen dat n₁ verschilt van het rekenkundig gemiddelde van n₀ en n₂.

Door de deling uit te voeren schrijven we dit als m=-(3/2)n₁(n₀-2n₁+n₂)+(1/2)n₀n₁+(1/2)n₁n₂-n₀n₂

Dit is een uitdrukking met vier termen waarvan maar één term onafhankelijk is van n₁. Terug een 3&1 patroon.

De rest van de deling is dus (1/2)n₀n₁+(1/2)n₁n₂-n₀n₂

De rest van de deling is dus gelijk aan nul wanneer n₁=2n₀n₂/(n₀+n₂) en dan is m te schrijven als een verhouding die als volgt te berekenen is: stel dat dit geldt dan is

m=-(3/2)(2n₀n₂/(n₀+n₂))(n₀+n₂-4n₀n₂/(n₀+n₂))

m=-(3n₀n₂/(n₀+n₂))(((n₀+n₂)²-4n₀n₂)/(n₀+n₂))

m=-(3n₀n₂)((n₀-n₂)²/(n₀+n₂)²)

We kunnen dit nu in functie van het kwadraat van de tijdrek γ₀₂γ₂₀ uitdrukken

Er geldt 1/γ₀₂γ₂₀=(1+v₀₂)(1+v₂₀)=(2n₀/(n₀+n₂))(2n₂/(n₀+n₂))=4n₀n₂/(n₀+n₂)²=(1-v²₀₂)=(1-v²₂₀)=(1+v₀₂)(1-v₀₂) en met de veronderstelling n₁=2n₀n₂/(n₀+n₂) is 1/γ₀₂γ₂₀=2n₁.

m=-(3/4)(1/γ₀₂γ₂₀)(n₀-n₂)²

Dit is enkel de teller. Gedeeld door (2m+n₀+n₁)²(2m+n₁+n₂)² is dit dus de voorwaarde voor een veranderingsenergie gelijk aan nul voor een m in de m-variante intensiteit van de Lorentz invariante energie. Dit is een negatief kwadraat dat kleiner is dan ½v_02+m² (verhouding die gelijk aan (n₀-n₂)²/2(2m+n₀+n₂)²).

De ene term uit het 3&1 patroon die onafhankelijk is van m is 2n₁(n₀-n₂)(n₀n₂-n₁²). Gedeeld door (2m+n₀+n₁)²(2m+n₁+n₂)² noemen we dit nu de Lorentz m-invariante intensiteit van de Lorentz invariante energie.

De component met teller of ruimte-afstand onafhankelijk van m: 2(n₀n₂-n₁²)/(2m+n₀+n₁)²(2m+n₁+n₂)². De teller is niet verschillend van de teller in een eerder onderzochte geval. Is m=0 dan vinden we inderdaad de uitdrukking a₀₂ terug. Is n₁=½(n₀+n₂) (en dan is m niet beperkt) dan wordt deze component gelijk aan -(n₀-n₂)²/2(2m+n₀+½(n₀+n₂))²(2m+n₂+½(n₀+n₂))². Dit is een negatief kwadraat dat kleiner is dan ½v_02+m² (verhouding die gelijk aan (n₀-n₂)²/2(2m+n₀+n₂)²).

Noteer dat v_02+m² niet anders is dan een tijdsinterval, het is immers niet verschillend van v_20+m². Hieruit blijkt hoe m en een tijdsinterval in de evenwichtssituatie niet te onderscheiden zijn.

De veranderingsenergie bij specifieke negatieve m

We hebben een voorbeeld gegeven van de veranderingsenergie, maar de voorwaarde voor evenwicht is volledig symmetrisch, er geldt: v_01+m+v_12+m+v_20+m=0. We kunnen daarom drie verschillende veronderstellingen maken over m:

Stel m=-n₀

De noemer van de versnelling wordt dan (-2n₀+n₀+n₁)²(-2n₀+n₁+n₂)²=(n₁-n₀)²(n₁-n₀+n₂-n₀)²

De teller van de versnelling is 2(mn₀-2mn₁+mn₂+n₀n₂-n₁²)=2(-n₀²+2n₀n₁-n₀n₂+n₀n₂-n₁²)=-2(n₀²-2n₀n₁+n₁²)=-2(n₀-n₁)²

De versnelling is dus -2/(n₁-n₀+n₂-n₀)², omgekeerd evenredig dus met het kwadraat van een som van ruimte-afstanden.

In dit geval is de simultaneïteitsafstand (n₀-n₂)(m+n₁) dan -(n₀-n₂)(n₀-n₁), een “negatieve oppervlakte”, een oppervlakte met een draaizin. Hieruit volgt de eenheid van veranderingsenergie als het product van simultaneïteitsafstand en versnelling: 2(n₀-n₂)(n₀-n₁)/(n₁-n₀+n₂-n₀)² en dit kunnen we ook schrijven in de meer symmetrische vorm 2(n₀-n₁)(n₀-n₂)/(n₀-n₁+n₀-n₂)².

Dit kunnen we interpreteren als evenredig met de verhouding van de ruimtelijke oppervlakte (n₀-n₁)(n₀-n₂) van een parallellogram tot zijn omtrek (n₀-n₁+n₀-n₂) in het kwadraat. Deze verhouding (het isoperimetrisch quotiënt) heeft een maximale waarde en dat kan modelleren dat in de werkelijkheid datgene dat kan gebeuren begrensd is, de veranderingsenergie is begrensd. Dit wordt veralgemeend naar een willekeurige veelhoek en er kan aangetoond worden dat bij een gekozen omtrek van een vlakke figuur de cirkel de vorm met grootste oppervlakte is. Dat oppervlak kunnen we waarnemen als ruimteoppervlak (n₀-n₁)(n₀-n₂) met een draairichting.

De veranderingsenergie 2(n₀-n₁)(n₀-n₂)/((n₀-n₁)+(n₀-n₂))² is niet anders dan 2(m+n₁)(m+n₂)/((m+n₁)+(m+n₂))². Hier zien we ook in de teller een tijd-oppervlak (m+n₁)(m+n₂). Deze uitdrukking kennen we natuurlijk: er geldt γ_12+m/γ_21+m=(m+n₂)/(m+n₁) en 1/γ_12+mγ_21+m=4(m+n₁)(m+n₂)/(2m+n₁+n₂)²=1-v²_12+m. We hebben dan kunnen stellen dat τ²_12+m=4(m+n₁)(m+n₂) en t²_12+m=(2m+n₁+n₂)². De veranderingsenergie is dus het dubbel van de verhouding van de eigen ij-tijd tot het tijdsinterval en, als verhouding van een product van getallen tot een som van getallen, is de veranderingsenergie begrensd. In dit concrete geval is er geen verschil met τ²_12+m=4(n₀-n₁)(n₀-n₂), een ruimteoppervlak en t²_12+m=(2n₀-n₁-n₂)², het kwadraat van een ruimte-afstand. Het kwadraat van de eigen ij-tijd is niet verschillend van een ruimte-oppervlak en het kwadraat van het tijdsinterval is niet verschillend van het kwadraat van een ruimte-afstand.

In geval van een lokaal evenwicht met n₁=n₂=n is de eenheid van veranderingsenergie 2(n₀-n)²/(2n₀-2n)²=2(m+n)²/(2m+2n)² =1/2 en dus een constante. Deze constante kan een intensiteit krijgen (bijvoorbeeld M voor massa of Q voor lading). In dat geval is τ²_12+m=4(m+n)² en t²_12+m=(2m+2n)² en dus γ_12+mγ_21+m=1.

Stel m=-n₁

De noemer van de versnelling is (-2n₁+n₀+n₁)²(-2n₁+n₁+n₂)²=(n₀-n₁)²(n₂-n₁)²

De teller van de versnelling is 2(mn₀-2mn₁+mn₂+n₀n₂-n₁²)=2(-n₁n₀+2n₁²-n₁n₂+n₀n₂-n₁²)=2(-n₁n₀+n₁²-n₁n₂+n₀n₂)=2(n₀-n₁)(n₂-n₁)

De versnelling is 2/(n₀-n₁)(n₂-n₁) en dus omgekeerd evenredig met het ruimteoppervlak (n₀-n₁)(n₂-n₁) dat niet verschillend is van een tijdoppervlak (n₀+m)(n₂+m).

In dit geval (m=-n₁) is de simultaneïteitsafstand (n₀-n₂)(m+n₁) niet verschillend van nul en dan is ook de eenheid van veranderingsenergie gelijk nul. De veranderingsenergie voor een eenheid van massa of lading is dus nul, waarneembaar klein en onwaarneembaar nog kleiner. We vinden als versnelling dus een meetbare schaalfactor die zich voordoet als het invers van een oppervlak waarbij ruimte en tijd niet kan onderscheiden worden. Er kan dus versnelling waargenomen worden maar dat is niet gerelateerd met een verandering van simultaneïteitsafstand (n₀-n₂)(m+n₁), want die is nul (operationeel betekent dit: zeer klein en onwaarneembaar kleiner, dus buiten de waarnemingsresolutie). Dus kan er geen veranderingsenergie waargenomen worden. Dit kan paradoxaal lijken maar dat is enkel paradoxaal in de interpretatie van een schaalfactor als een snelheid. De veranderingsenergie voor een eenheidsmassa (of eenheidslading) gelijk aan nul betekent in de hypothese van behoud van energie dat alle energievormen elkaar opheffen. We zullen dit preciezer onderzoeken en een kinetische energie (als veranderingsenergie) onderscheiden van een potentiële energie (als veranderingsenergie).

Stel m=-n₂

De noemer van de versnelling is (-2n₂+n₀+n₁)²(-2n₂+n₁+n₂)²=(n₀-n₂+n₁-n₂)²(n₁-n₂)²

De teller van de versnelling is 2(mn₀-2mn₁+mn₂+n₀n₂-n₁²)=2(-n₂n₀+2n₂n₁-n₂²+n₀n₂-n₁²)=2(n₂n₁-n₂²-n₁²)=-2(n₂-n₁)²

De versnelling is -2/(n₀-n₂+n₁-n₂)² en dus omgekeerd evenredig met het kwadraat van een som van ruimteafstanden.

In dit geval is de simultaneïteitsafstand (n₀-n₂)(m+n₁) dan (n₂-n₀)(n₂-n₁). Deze “afstand” is dus eigenlijk een oppervlak en is niet te onderscheiden van het tijd-oppervlak (m+n₀)(m+n₁). Hieruit volgt de eenheid van veranderingsenergie -2(n₂-n₀)(n₂-n₁)/(n₀-n₂+n₁-n₂)²=-2(n₂-n₀)(n₂-n₁)/(n₂-n₀+n₂-n₁)².

Dit is volledig gelijkaardig met wat we berekenden met m=-n₀.

Lokaal evenwicht

Zoals we m vrij kunnen kiezen kunnen we ook een lokaal evenwicht vrij kiezen. We hebben drie mogelijkheden en we kiezen de situatie waarin (n₁-n₂) gelijk is aan nul, dus n₂=n₁=n en dit is verschillend van n₀. Het is een lokaal evenwicht omdat het verschil van de schaalfactoren dan verdwijnt. Inderdaad: (v_01+m-v_12+m)=(n₀-n₁)/(2m+n₀+n₁)-(n₁-n₂)/(2m+n₁+n₂)=(n₀-n₁)/(2m+n₀+n₁)=v_01+m=(n₀-n₂)/(2m+n₀+n₂)=v_02+m en er is dus geen verschil van schaalfactor. De betekenis hiervan is helder in het haakformalisme: dit geldt in een universum waarin n₂=n₁=n (die beide noodzakelijk zijn voor v_12+m) ook een rol speelt in de noemer. We zien dat als volgt: wanneer we in (2m(n₀-2n₁+n₂)+2n₀n₂-2n₁²)/(2m+n₀+n₁)²(2m+n₁+n₂)² nu stellen dat n₂=n₁=n dan wordt de versnelling, de verhouding die een som is van de twee componenten, niet anders dan (2m(n₀-n)+2n₀n-2n²)/(2m+n₀+n)²(2m+2n)². Dit kunnen we anders schrijven als (2m+2n)(n₀-n)/(2m+n₀+n)²(2m+2n)² en dus (n₀-n)/(2m+n₀+n)²(2m+2n). De teller is onafhankelijk van m en heeft ook het karakter van een ruimteafstand, niet anders dan (n₀-n₁), niet anders dan (n₀-n₂). De noemer is een functie van tijdafstanden en m. De teller is niet anders dan deze van v_01+m of van v_02+m maar de noemer is groter (of kleiner), het onderscheidingen universum is groter (of kleiner). Het veronderstelde lokaal evenwicht is een evenwicht in een groter of kleiner universum met een aantal toestanden m.

Een evenwichtssituatie met een veranderingsenergie verschillend van nul is dus te modelleren met n₁=n₂.

De veranderingsenergie 2(n₀-n₂)(m+n₁)(mn₀-2mn₁+mn₂+n₀n₂-n₁²)/(2m+n₀+n₁)²(2m+n₁+n₂)² wordt dan

2(n₀-n₂)(m+n₂)(mn₀-2mn₂+mn₂+n₀n₂-n₂²)/(2m+n₀+n₂)²(2m+n₂+n₂)²=

2(n₀-n₂)(m+n₂)(m(n₀-n₂)+n₂(n₀-n₂))/(2m+n₀+n₂)²(2m+2n₂)²=

2(n₀-n₂)²(m+n₂)²/4(2m+n₀+n₂)²(m+n₂)²=

(n₀-n₂)²/2(2m+n₀+n₂)²

Dit is niet anders dan ½v_02+m²

We hebben gezien dat de voorwaarde om een rekenkundig gemiddelde voor de toenemende parameter te kunnen berekenen uitgedrukt wordt door de eis dat (n₀+n₂)=(n₀+n₁)(n₁+n₂) en als we die keuze willen maken dan wordt evenwicht gegeven door n₁=n₂=½.

Versnelling in evenwicht

Aangezien we geen eisen stelden aan m maken we nu een specifieke keuze voor m en stellen m+n=n₀-n en dus de verhouding (n₀-n)/(m+n)=1. Dit kunnen we altijd veronderstellen, maar als we m=n₀ kiezen, dan moet ook n=0 gekozen worden.

Stel dat we m als een getal beschouwen, de intensiteit van een toestand, intensiteit verschillend van n₀. Dit betekent dat we de “tijdafstand” (m+n) gelijk nemen aan de “ruimteafstand” (n₀-n) in de evenwicht situatie. Dit betekent dat we niet kunnen kiezen voor een schaalfactor (n₀-n)/(n₀+n) tenzij we n=0 nemen en de schaalfactor dus gelijk is aan 1.

Uit de veronderstelling m+n=n₀-n volgt dus m=n₀-2n en (2m+n₀+n)=3(n₀-n) en dus (2m+n₀+n)²=9(n₀-n)². Dus de versnelling (n₀-n)/(2m+n₀+n)²(2m+2n) is voor die keuze niet anders dan (n₀-n)/(18(n₀-n)³)=1/(18(n₀-n)²), wat we ook kunnen schrijven als 1/(18(m+n)²). Deze versnelling is omgekeerd evenredig met het kwadraat van een ruimteafstand (n₀-n) en een tijdafstand (m+n) die niet te onderscheiden zijn. Voor n=0 (dus ook m=n₀ en dus ook “geen afstand”, “geen verschil”) is dat niet anders dan (18m)^-2 of (18n₀)^-2 en dus een constante. De constante is zoals een eenheid met een intensiteit 1, bijvoorbeeld voor een massa M of lading Q.

De veronderstelling m+n=n₀-n is te veralgemenen door te stellen: cm+cn=n₀-n met c een willekeurige constante die positief of negatief kan zijn maar verschillend van nul. We kiezen dus voor een verhouding c=(n₀-n)/(m+n) van een “ruimte-afstand” tot een “tijd-afstand”. Dit kunnen we dan interpreteren als een willekeurige snelheid of “ruimte-afstand die in een tijd-afstand afgelegd wordt”.

m+n=(n₀-n)/c

m=n₀/c-n/c-n

2m=2n₀/c-2n/c-2n

2m+n₀+n=2n₀/c-2n/c-2n+n₀+n=n₀(2/c+1)-n(2/c+1)=(2/c+1)(n₀-n)

(2m+n₀+n)²=(2/c+1)²(n₀-n)²

En dus geldt voor de versnelling: (n₀-n)/(2m+n₀+n)²(2m+2n)=(n₀-n)c/(2/c+1)²(n₀-n)²2(n₀-n)=c/(2/c+1)²(n₀-n)²2=c/(2/c+c/c)²(n₀-n)²2=c³/2(2+c)²(n₀-n)², wat we ook kunnen schrijven als c³/2(2+c)²(m+n)².

De versnelling bij een lokaal evenwicht in n₀ kan dus een intensiteit hebben die een veelvoud is van een invers kwadraat. Hierin zijn de variabelen niet anders dan intensiteiten van toestanden. Ze zijn verschillend van elkaar maar dit geldt uiteraard ook onder de voorwaarde dat we een gemiddelde snelheid kunnen modelleren in evenwicht, namelijk (n₀+n₂) = (n₀+n₁)(n₁+n₂) en n=n₂=n₁=½ die dus een waarde toekent aan n.

Hiermee modelleren we een positieve of negatieve versnelling (afhankelijk van de keuze voor c) die omgekeerd evenredig is met een positief kwadraat.

Energie in evenwicht

De afstand die berekenbaar is tussen de toename of afname van twee snelheden v_01+m en v_12+m halen we uit de gemiddelde snelheid ½(v_01+m+v_12+m)= ½(n₀-n₁)/(2m+n₀+n₁)+ ½(n₁-n₂)/(2m+n₁+n₂)= ½((2m+n₁+n₂)(n₀-n₁)+(2m+n₀+n₁)(n₁-n₂))/(2m+n₀+n₁)(2m+n₁+n₂). Dit is een uitdrukking waarbij de teller de ruimteafstand geeft tussen de punten met intensiteit n₀ en n₂ rekening houdend met n₁. Deze ruimteafstand is ½(2m+n₁+n₂)(n₀-n₁)+ ½(2m+n₀+n₁)(n₁-n₂)). In geval van n₁=n₂=n is dit ½(2m+2n)(n₀-n)=(m+n)(n₀-n)=(n₀-n)²=(m+n)².

De ruimteafstand bij evenwicht die rekening houdt met die speciaal gekozen referentie m blijkt evenzeer een tijdafstand te zijn. Die afstand is een kwadraat en dus een oppervlakte. Als we aanvaarden dat het patroon van een product van de berekende versnelling 1/(18(m+n)²) en de berekende afstand (m+n)² nog steeds “de energie” geeft dan is deze dus 1/18 en dus een constante.

De constante is enkel afhankelijk van de keuze die we maakten om een ruimteafstand en een tijdafstand aan elkaar te relateren. Inderdaad: met de veronderstelling m+n=(n₀-n)/c is de versnelling c³/2(2+c)²(m+n)² en de berekende afstand (m+n)² en de energie is nog steeds een constante, namelijk c³/2(2+c)².

Het lokaal evenwicht (v_ij=0) laat zich dus niet alleen door een invariante m karakteriseren maar ook door een getal dat niet afhankelijk is van een proces met drie verschillende componenten maar door een simultaneïteitsinterval, één component verschillend van nul. Dat getal is dus iets dat niet verandert in het evenwicht en herkennen we als een energie: de eenheid van intensiteit van een toestand.

Met drie toestanden en dus intensiteiten n₀, n₁, n₂, waarbij er twee aan elkaar gelijk zijn (de uitdrukking van evenwicht) en dus niet kunnen onderscheiden worden, zijn er drie mogelijkheden waarvan er maar twee verschillend zijn van nul:

• m=-n₂ en n₀=n₁=n (en dus v₀₁ gelijk aan nul) geeft dit het product (n₀-n₂)(m+n₁)=(n-n₂)(-n₂+n)=(n-n₂)²=(m+n)². Het resultaat is een positief kwadraat. Het resultaat is dus (het kwadraat van) een tijd-afstand die niet verschillend is van (het kwadraat van) een ruimte-afstand, de verhouding van de twee afstanden is dus 1, de enige schaalfactor.

• m=-n₀ en n₁=n₂=n (en dus v₁₂ gelijk aan nul) geeft dit het product (n₀-n₂)(m+n₁)=(n₀-n)(-n₀+n)=-(n₀-n)²=-(-n₀+n)²=-(m+n)². Het resultaat is dus een negatief kwadraat, iets waarvoor we conventioneel √-1 nodig hebben. Het resultaat is dus (het kwadraat van) een tijd-afstand die niet verschillend is van (het kwadraat van) een ruimte-afstand, de verhouding van de twee afstanden is eveneens 1, de enige schaalfactor.

• m=-n₁ en n₀=n₂=n (en dus v₀₂ gelijk aan nul) geeft dit het product (n₀-n₂)(m+n₁)=0.

Bespreking

De intensiteit van m

Aangezien m vrij kan gekozen worden hebben we onderzocht hoe specifieke keuzen leiden tot een versnelling die omgekeerd evenredig is met het kwadraat van een ruimte-afstand. We hebben aangetoond dat dit dan onvermijdelijk met zich meebrengt dat er geen verschil is tussen een ruimte-afstand en een tijd-afstand.

Twee van de eerste drie onderzochte mogelijkheden modelleren de veranderingsenergie die mogelijk is door samenspel van ruimte-intervallen (intervallen die in twee richtingen kunnen gaan) en een interval dat maar in één richting gaat en de basis is van ordening voor de andere intervallen. We hebben ook bekeken wat de veranderingsenergie wordt in een evenwicht situatie waarin één van de schaalfactoren gelijk is aan nul. De twee overblijvende schaalfactoren kunnen dan twee krachten modelleren die in evenwicht zijn en aangezien er maar twee krachten overblijven moeten ze wel in dezelfde richting maar in tegengestelde zin gericht zijn.

In de evenwichtssituatie geldt n₁=n₂=n en de tabel wordt

Evenwicht in het geval m=-n₀ is te schrijven als v_01+m+v_12+m+v_20+m=0 en dit is niet anders dan (n₀-n₁)/(-2n₀+n₀+n₁)+(n₁-n₂)/(-2n₀+n₁+n₂)+(n₂-n₀)/(-2n₀+n₂+n₀)=(n₀-n₁)/(-n₀+n₁)+(n₁-n₂)/(-2n₀+n₁+n₂)+(n₂-n₀)/(-n₀+n₂)=(-1)+(n₁-n₂)/(-2n₀+n₁+n₂)+(+1)=(n₁-n₂)/(-2n₀+n₁+n₂)=0 en dus v_12+m=0 en dus v_01+m+v_20+m=0 en dus v_01+m=v_02+m. Beide hebben dus dezelfde schaalfactor en deze is gelijk aan 1. De kracht is evenredig met de versnelling die in dit geval dan gelijk is aan -2/(-2n₀+n₁+n₂)² dus omgekeerd met het kwadraat van de som van ruimteafstanden n₁-n₀ en n₂-n₀ (die even groot zijn). Dit is niet anders dan de som van tijdafstanden n₁+m en n₂+m en m is de Lorentz invariant. Dus:

γ_12+m/γ_21+m=(m+n)/(m+n)=1

1/γ_12+mγ_21+m=4(m+n)(m+n)/(2m+2n)²=1

τ²_12+m=4(m+n)²

t²_12+m=(2m+2n)²=τ²_12+m

Evenwicht in het geval m=-n₂ is te schrijven als v_01+m+v_12+m+v_20+m=0 en dit is niet anders dan (n₀-n₁)/(-2n₂+n₀+n₁)+(n₁-n₂)/(-2n₂+n₁+n₂)+(n₂-n₀)/(-2n₂+n₂+n₀)=(n₀-n₁)/(-2n₂+n₀+n₁)+(n₁-n₂)/(n₁-n₂)+(n₂-n₀)/(n₀-n₂)=(n₀-n₁)/(-2n₂+n₀+n₁)+1-1=(n₀-n₁)/(-2n₂+n₀+n₁)=0 en dus v_01+m=0. Dat kan alleen maar betekenen dat n₀=n₁=n₂. Er is dus helemaal geen intensiteit van een toestand, er is dus geen proces. Dat betekent dat enkel de eerste lijn in de tabel van de evenwichtssituatie relevant is.

Lokaal evenwicht

Voor een lokaal evenwicht hebben we gesteld dat n₂=n₁=n. We genereren dan een versnelling (n₀-n)/(2m+n₀+n)²(2m+2n). We bewezen dat dan voor een keuze m=-n₀ altijd een versnelling -1/2(n-n₀)²=-1/2(n+m)² gegenereerd wordt en een veranderingsenergie die constant is. De versnelling is een constante, namelijk -1/2m², als er geen afstand bij betrokken is (n=0). Dit hebben we ontdekt als een speciaal geval. We kunnen immers in een lokaal evenwicht altijd een m kiezen zodanig dat m+n=n₀-n. Dit kunnen we altijd veronderstellen behalve voor m=0. Deze m (zoals n₀ en n) is een willekeurig getal. Voor elke keuze die afwijkt van m=0 genereren we een versnelling 1/(18(n₀-n)²)=1/(18(m+n)²) en die is een constante, namelijk 1/18m², als er geen afstand bij betrokken is (n=0).

Maar m moet geen getal zijn en kan dus ook een structuur zijn en dus een invariant zoals we die in het haakformalisme definieerden (bijvoorbeeld een heel universum dat als tralie gestructureerd is).

We modelleren dus met behulp van de Lorentz invariant m de onvermijdelijkheid van een of ander soort versneld proces. Wanneer we m nemen als een getal dan kunnen we m ook interpreteren als de onvermijdelijke schaalfactor van een simultaneïteitsinterval. We hebben reeds begrepen dat m onafhankelijk kan gekozen worden van de massa M en we kunnen expliciteren wat dat betekent voor iets als “rustenergie” zoals Einstein dat definieerde.