We vertrekken terug van één rij positieve gehele getallen: n₀, n₁, n₂, … die bijvoorbeeld sporen zijn (tellingen van de intensiteit) van toestanden T₀, T₁, .… Om geen verwarring mogelijk te maken voor deze veronderstelling kan een absolute waarde expliciet genoteerd worden zoals |n₀|, |n₁|, |n₂|, …

Verschil van verhoudingen

We hebben een eenheid vanuit het verschil van toestanden gemodelleerd in het haakformalisme, maar ook het verschil van het verschil van toestanden. Schaalfactoren, verhoudingen of processnelheden zijn rationale getallen en kunnen we ook van elkaar aftrekken en zo berekenen we het verschil van twee verhoudingen v₀₁=(n₀-n₁)/(n₀+n₁) en v₁₂=(n₁-n₂)/(n₁+n₂). Dit verschil is ((n₀-n₁)(n₁+n₂)-(n₁-n₂)(n₀+n₁))/(n₀+n₁)(n₁+n₂)=(2n₀n₂-2n₁²)/(n₀+n₁)(n₁+n₂).

Dit interpreteren we als de verhouding van een interval (2n₀n₂-2n₁²) dat kan toenemen of afnemen tot een interval (n₀+n₁)(n₁+n₂) dat alleen maar kan toenemen. De teller is verschillend van het verschil (n₀-n₁)-(n₁-n₂). De noemer (de factor die alleen maar kan toenemen) is dezelfde als voor een som van verhoudingen en geeft het tijdsinterval (die de abstractie is van “de tijd afstand”) voor de bewerking “som op snelheden”.

We kunnen dit tweede verschil ook een nieuwe symbolische notering geven, dus een notering voor verschillen van v_ij elementen: we gebruiken hiervoor drie indexen.

v₀₁₂=v₀₁-v₁₂=(n₀-n₁)/(n₀+n₁)-(n₁-n₂)/(n₁+n₂)=(n₀-n₁)(n₁+n₂)/(n₀+n₁)(n₁+n₂)-(n₀+n₁)(n₁-n₂)/(n₀+n₁)(n₁+n₂)

Teller: (n₀-n₁)(n₁+n₂)-(n₀+n₁)(n₁-n₂)=(n₀n₁+n₀n₂-n₁n₁-n₁n₂)-(n₀n₁-n₀n₂+n₁n₁-n₁n₂)=2n₀n₂-2n₁n₁

Dus v₀₁₂=(2n₀n₂-2n₁²)/(n₀+n₁)(n₁+n₂)

Gelijkaardig definiëren we ook:

v₁₂₀=(2n₁n₀-2n₂²)/(n₁+n₂)(n₂+n₀)

v₂₀₁=(2n₂n₁-2n₀²)/(n₂+n₀)(n₀+n₁)

Deze drie verschillen van verschillen hebben niet dezelfde noemer, maar we zijn in staat om hiermee producten te construeren die wel dezelfde noemer hebben als volgt:

v₂₀v₀₁₂=(n₂-n₀)(2n₀n₂-2n₁²)/(n₀+n₁)(n₁+n₂)(n₂+n₀)

v₀₁v₁₂₀=(n₀-n₁)(2n₁n₀-2n₂²)/(n₀+n₁)(n₁+n₂)(n₂+n₀)

v₁₂v₂₀₁=(n₁-n₂)(2n₂n₁-2n₀²)/(n₂+n₀)(n₀+n₁)(n₁+n₂)

De teller van de som is dus (n₂-n₀)(2n₀n₂-2n₁²)+(n₀-n₁)(2n₁n₀-2n₂²)+(n₁-n₂)(2n₂n₁-2n₀²)

We kunnen deze teller opsplitsen in een eerste som en een tweede som

De eerste term van de som in de teller is:

(n₂-n₀)(2n₀n₂)+(n₀-n₁)(2n₁n₀)+(n₁-n₂)(2n₂n₁)

2n₀n₂²-2n₀²n₂+2n₁n₀²-2n₁²n₀+2n₂n₁²-2n₂²n₁

2(n₀²(n₁-n₂)+n₀(n₂²-n₁²)+n₁²n₂-n₂²n₁) en dit beschouwen we als een vierkantsvergelijking in n₀.

De tweede term van de som in de teller is:

-2n₁²(n₂-n₀)-2n₂²(n₀-n₁)-2n₀²(n₁-n₂)

We schrijven dat als een vierkantsvergelijking in n₀

-2(n₀²(n₁-n₂)+n₀(n₂²-n₁²)+n₁²n₂-n₂²n₁)

Dat is exact dezelfde vergelijking als voor de eerste term, maar dan met een minteken. Er geldt dus v₂₀v₀₁₂+v₀₁v₁₂₀+v₁₂v₂₀₁=0.

Teller en noemer zijn daarenboven identiek met de berekening van de som van verhoudingen v₀₁+v₁₂+v₂₀=0.

Er geldt dus v₀₁+v₁₂+v₂₀=v₂₀v₀₁₂+v₀₁v₁₂₀+v₁₂v₂₀₁=0.

Versnelling als processnelheid

Wanneer we nu het verschil van twee verhoudingen, namelijk 2(n₀n₂-n₁²)/(n₀+n₁)(n₁+n₂), vermenigvuldigen met de som van twee verhoudingen, namelijk 2(n₀n₁-n₁n₂)/(n₀+n₁)(n₁+n₂), dan bekomen we een nieuwe relatie die ook alle karakteristieken vertoont van een processnelheid, namelijk 4(n₀n₂-n₁²)(n₀n₁-n₁n₂)/((n₀+n₁)(n₁+n₂))². De teller bestaat uit niet commutatieve termen, de noemer is het kwadraat van commutatieve termen. Dit kwadraat in de noemer genereert de mogelijkheid om “een meer abstracte versnelling” te definiëren als 2(n₀n₂-n₁²)/((n₀+n₁)²(n₁+n₂)²). Dit is een deel van de verhouding 4(n₀n₂-n₁²)(n₀n₁-n₁n₂)/((n₀+n₁)(n₁+n₂))². We kunnen dit deel de naam a₀₂ geven en we kunnen daar ook de helft van nemen, het is een intensiteit. Het tweede deel van de verhouding is dan 2(n₀n₁-n₁n₂) en dit is het dubbel van de meer abstracte gemiddelde afstand s₀₂ die berekenbaar is tussen de toename of afname van twee snelheden v₀₁ en v₁₂.

We kunnen nu onderzoeken wat een versnelling gelijk aan nul betekent. Uiteraard geldt dit voor n₀=n₁=n₂. Dit modelleert een evenwicht waarbij er geen verschil meer waarneembaar is (het aantal termen in de rij n_i neemt toe maar de getallen zijn allemaal dezelfde, de x_ij term is altijd nul en de t_ij term blijft toenemen). Een tweede mogelijkheid om een versnelling gelijk aan nul te modelleren is in het geval dat er geldt: n₁²=n₀n₂. Enkel in het geval dat n₀ en n₂ kwadraten zijn levert dit geen probleem op voor commensurabiliteit en dan kunnen we veronderstellen dat de n_i in dezelfde eenheid uitgedrukt worden. Exact dit bekomen we ook als we getallen modulo 4 als eenheden inzetten: alle getallen die eenheden kunnen voorstellen kunnen als som of verschil van kwadraten geschreven worden. Als we n₁²=n₀n₂ nu schrijven als n₁/n₀=n₂/n₁ is het duidelijk dat een versnelling gelijk aan nul in dit geval overeenkomt met een gelijkheid van de verhouding van opeenvolgende getallen. Als we deze verhouding k noemen dan geldt voor een versnelling gelijk aan nul dat n_i+1/n_i=k. Deze k is een rationaal positief getal dat we kunnen veronderstellen als verschillend van nul (als k gelijk zou zijn aan nul, dan zijn alle getallen n_i gelijk aan nul) en verschillend van 1 (want een k=1 modelleert het evenwicht n_i=n_i+1=n_i+2=...). Dat betekent dat we voor n₀ een getal verschillend van nul moeten kiezen. Dit getal kan de functie van de eenheid op zich nemen en de getallen zijn dan de exponentiële getallen n₀(k)ⁱ want n₀(k)ⁱ⁺¹/n₀(k)ⁱ = k. Voor een k met 0<k<1 worden de getallen in de rij n_i steeds kleiner en zijn fracties van de eenheid. Voor een k>1 worden de getallen in de rij n_i steeds groter en zijn veelvouden van de eenheid. Dat patroon hebben we onderzocht als het proces met constante eigenwaarde k’ met 0<k’<1. Voor positieve feedback stellen we k=1+k’. Voor negatieve feedback stellen we k=1-k’. Een constante eigenwaarde komt dus overeen met een abstracte versnelling gelijk aan nul. Dan zijn twee van de drie snelheden gelijk want met n_i+1/n_i=k is v₀₁=(1-k)/(1+k) en v₀₂=(1-k²)/(1+k²) en v₁₂=(k-k²)/(k+k²) en deze laatste verhouding (voor k verschillend van nul) is niet anders dan k(1-k)/k(1+k)=v₀₁. Dus v₀₁=v₁₂. Dus de snelheid van 0 naar 1 is ook de snelheid van 1 naar 2 maar is verschillend van de snelheid van 0 naar 2. De onderscheiding die we kunnen maken door van een punt 1 te spreken “tussen 0 en 2” is een bijkomende onderscheiding die grote gevolgen heeft: het verandert het simultaneïteitsinterval. We zouden dit de veronderstelling van continuïteit kunnen noemen (een groter verschil impliceert een kleiner verschil): er is altijd een punt te vinden tussen twee andere in het interval en dit betekent dat we impliciet veronderstellen dat de fractaal structuur van de werkelijkheid geen bovengrens heeft voor het aantal onderscheidingen. We kunnen hiervoor een voorbeeld construeren met de reciproque machten van 2. Het gevolg hiervan is ook dat er geen evenwicht meer mogelijk is met drie schaalfactoren want er zijn maar twee schaalfactoren meer die zich onderscheiden (in dit geval dus v₀₁ en v₀₂ waarbij evenwicht dus zal uitgedrukt worden door v₀₁=v₂₀).

Een versnelling gelijk aan nul en een constante snelheid voor de drie verhoudingen kan enkel voor k=0 want veronderstel (1-k)/(1+k)=(1-k²)/(1+k²)=(1-k)(1+k)/(1+k²). Dit is niet anders dan 1/(1+k)=(1+k)/(1+k²) voor k verschillend van 1 en dus 1=(1+k)²/(1+k²) en (1+k²)=(1+k)²=(1+2k+k²) waaruit volgt dat dit enkel kan voor k=0 en dus n_i=0.

Een veranderende eigenwaarde zal dan een versnelling kwantificeren die verschilt van nul.

Evenwicht

De voorwaarde (n₀+n₂)=(n₀+n₁)(n₁+n₂) die we nodig hebben om een rekenkundig gemiddelde te kunnen definiëren (n₁=n₂=½ ) impliceert dan een eenheid en het bereiken van een evenwicht want als n₁²=n₀n₂ geldt dan moet ook gelden dat n₀=½ en dat modelleert ook een k=1 en elke snelheid is gelijk aan nul en dus een k’=0 zowel voor positieve feedback (k=1+k’) als voor negatieve feedback (k=1-k’). Dit laatste zorgt ervoor dat er noch positieve feedback, noch negatieve feedback is. Dit demonstreert nogmaals de veronderstelling van de klassieke hypothese van de werkelijkheid: er worden intensiteiten gemodelleerd, geen eenheden.

Negatieve feedback

Uit de veronderstelling k=1-k’ leiden we het volgende af:

1-k=k’

1+k=2-k’

1-k²=k’(2-k’)=2k’-k’²

k²=1-2k’+k’²=(1-k’)²

1+k²=1+(1-k’)²

Aangezien geldt dat v₀₁=v₁₂=(1-k)/(1+k) en v₀₂=(1-k²)/(1+k²) gelden met de nieuwe eigenwaarde: v₀₁=v₁₂=k’/(2-k’) en v₀₂=(2k’-k’²)/(1+(1-k’)²)=(1-(1-k’)²)/(1+(1-k’)²)

Positieve feedback

Uit de veronderstelling k=1+k’ leiden we het volgende af:

1-k=-k’

1+k=2+k’

1-k²=-k’(2+k’)=-2k’-k’²

k²=(1+k’)²

1+k²=1+(1+k’)²

Aangezien geldt dat v₀₁=v₁₂=(1-k)/(1+k) en v₀₂=(1-k²)/(1+k²) gelden met de nieuwe eigenwaarde: v₀₁=v₁₂=-k’/(2+k’) en v₀₂=(1-(1+k’)²)/(1+(1-k’)²)

Tweede fundamentele eenheden

Versnelling (dus een component die nul kan zijn van een verschil van snelheden die verhoudingen zijn) is een fundamenteel begrip zoals ook snelheid dat is. De modellering van versnelling vereist enkel minstens twee onderscheidingen. Beide begrippen kunnen op een transparante manier afgeleid worden van de momentane intensiteit van een (ervaren) toestand (verschil dat uitdrukt dat deze toestand een andere toestand uitsluit). Een kwantitatief te modelleren structuur van de werkelijkheid (die altijd in twee onderscheidingen uit te drukken is) heeft maar die beide begrippen nodig: snelheid en versnelling. Want beide zijn (doordat ze een verschil zijn) de uitdrukking van de inherente beperkingen van een agens in zijn context. Andere begrippen moeten dan daarvan afgeleid worden. Dit betekent dat we gaan rekening houden met onze eigen beperkingen zonder onze eigen beperkingen op te leggen aan alle andere agentia die spontaan andere processen doorlopen met een eigen verdubbelingstijd of halveringstijd. Dit laatste wordt (helaas impliciet) gedaan in een wetenschap die gebouwd is vanuit de klassieke werkelijkheid en door dit te modelleren in het haakformalisme wordt dit expliciet en bespreekbaar.

Voor de praktijk heeft dat belangrijke gevolgen en één ervan hebben we al aangestipt: ervaren toestanden sluiten elkaar uit en dat is de noodzakelijke voorwaarde om de intensiteit van eenheden te mogen optellen. Als we als stappen dan de ordening van de tijd gebruiken, dan betekent dit dat sommige processen onmiddellijk waargenomen worden door een agens. Dat betekent echter ook dat een agens voor sommige processen lang genoeg moet wachten voordat een verschil waarneembaar wordt, het proces moet ver genoeg gevorderd zijn om mogelijk te maken dat de cumulatie in een buffer de waarnemingsdrempel bereikt. Dat moeten we nu expliciet modelleren en niet meer uit de weg gaan. Bijvoorbeeld: een afstand is een cumulatie die berekenbaar is uitgaande van een ervaren snelheid, een impuls is een cumulatie die berekenbaar is uitgaande van een ervaren versnelling, een volume is een cumulatie die berekenbaar is uitgaande van een ervaren debiet, een lading is een cumulatie die berekenbaar is uitgaande van een ervaren elektrische stroom. Dit komt erop neer in de praktijk dat we vertrekken van de waarneming van de eigenwaarde van processen, processen die interageren en op sommige niveaus evenwicht zouden kunnen bereiken zonder ze ooit effectief te moeten bereiken. Dit betekent ook, zo we willen, dat we dit afleiden van de verdubbelingstijd of halveringstijd van buffers die waarneembaar zijn, zelfs al zijn we niet in staat de “onderliggende processen” waar te nemen omdat ze buiten onze waarnemingsresolutie vallen (ze gaan bijvoorbeeld te snel of te traag).

De twee fundamentele eenheden versnelling en snelheid genereren een derde eenheid en dat is het product ervan, namelijk vermogen. De klassieke methodiek die hier het dichtst bij komt is de bondgraaf methodiek die we daarom ook in het haakformalisme kunnen modelleren.