De veronderstelling die we maken bij het modelleren van een proces met constante eigenwaarde k is dat we anticiperen dat de intensiteit (dus telbaar) verandert van het verschil dat een verschil maakt (de eenheid die dus zelf niet verandert) tussen twee toestanden, en dat de verandering gemodelleerd wordt met een factor k die een nieuwe constante is naast de constante (x-x₀). Maar daardoor hebben we een nieuwe entiteit gecreëerd, namelijk de soort k(x-x₀). Deze soort is immers terug telbaar en hierin is het product k(x-x₀) de factor die niet verandert en die dus de nieuwe entiteit karakteriseert. Op die manier hebben we dus een a priori onbeperkt aantal verschillende nieuwe entiteiten gecreëerd vanuit het niets, allemaal als een entiteit k_i(x-x₀), een commutatief getalproduct, die allemaal een intensiteit zouden kunnen krijgen die we als r_ik_i(x-x₀) zouden kunnen noteren. We moeten dat dus heel precies onderzoeken.

We merken nu op dat het aspect k(x-x₀) op een bepaalde stap kan geïnterpreteerd worden als “k van de constante (x-x₀)” maar evenzeer als “(x-x₀) van de constante k”, beide factoren, een verschil met nul en een verschil met x₀ kunnen dezelfde rol spelen (intensiteit of eenheid). Dit werd ook duidelijk bij het onderzoek naar processnelheid. De factor k kan immers geïnterpreteerd worden als de verhouding van de intensiteit (de coëfficiënt) van de projector (<>⊕<x>) tussen twee onderscheiden stappen en dat geldt dus voor elke x, een welgevormde haakuitdrukking in een en dezelfde tralie, x zal altijd in y in de tralie uitsluiten. De eigenwaarde kan groter of kleiner zijn, de stap kan groter of kleiner zijn. Die stap zullen we nu niet interpreteren als andere stappen uitsluitend (bijvoorbeeld in de tijd of in de ruimte) zoals we dat kunnen doen voor toestanden. De stap is een verschil tussen simultane eenheden in een tralie. Het is daardoor gerelateerd met een niveau van beschrijving (een “schaal”) zoals we dat gebruiken voor gelijk welke welgevormde haakuitdrukking H: deze is in één onderscheiding uit te drukken (H ten opzichte van <H>), of in twee onderscheidingen (H als een van de 16 welgevormde uitdrukking in a en b) enz… en de niveaus die hierdoor ontstaan zijn fractaal in elkaar genest (bijvoorbeeld: enkel bij de oneven niveaus in een tralie zijn alle onderscheidingen relevant die de tralie opspannen). We kunnen maar zoveel verschillen tussen niveaus maken als het aantal van de niveaus die er zijn (dat is niet anders dan hetzelfde aantal als de toestanden). Het verschil dat een verschil maakt kan dus een verschil zijn in de tralie, simultaan in plaats van een verschil tussen tralies, opeenvolgend. Het verschil is niet anders dan een verandering en dus een snelheid, die we voor alle duidelijkheid een processnelheid genoemd hebben. Merk op dat dit een logisch gevolg is van het ene axioma van het haakformalisme: de werkelijkheid is een potentiële constructie, maar wat waarneembaar is, is een onderscheiding (die we minimaal de waarde “ja” of “neen” geven) waarbij het onmogelijk is dat alles waargenomen wordt (er is voor elk waargenomen aspect een inbedding, en die is niet waargenomen, wat dus het begrip “elkaar uitsluiten” en dus onder andere tijd binnenbrengt, maar alleen voor het proces van waarnemen). De werkelijkheid kan dus op verschillende niveaus waargenomen worden als punten die zich onderscheiden van elkaar maar daarom niet elkaar uitsluiten terwijl ze andere punten wel uitsluiten.

Daarenboven moeten we ons niet laten misleiden door de symbolen die gebruikt zijn: datgene dat we kunnen veronderstellen van bijvoorbeeld eenheden (x±1) kunnen we natuurlijk ook veronderstellen van eenheden (k±1), beide factoren van de vorm (x-x₀)(1±k)ⁿ kunnen immers dezelfde rol spelen weliswaar enerzijds met een gewaardeerde begintoestand (namelijk x₀ voor x en verschillend van 0) of met de begintoestand 0 voor k, waarbij we voor k en x hetzelfde symbool zouden kunnen inzetten. De mogelijke niveaus (de mogelijke schalen) die door k(x-x₀) zullen beschreven worden, kunnen we dus enerzijds onderscheiden door het veranderen van de waarde van (k-0), en dan zijn het dus mogelijke niveaus van één entiteit, maar anderzijds: de mogelijke niveaus die door k(x-x₀) zullen beschreven worden, kunnen we ook onderscheiden door het veranderen van de waarde van (x-x₀) en dan zijn het dus mogelijke niveaus van één eigenwaarde. Uiteraard kunnen we dan ook de gezamenlijke niveaus onderzoeken van interagerende “eenheden met intensiteit”.

(x-x₀)(1±k) is een commutatief product van twee termen, elk een som of verschil van een variabel getal en een vast getal. We gaan nu verder bestuderen hoe verdere producten ontstaan vanuit verschillen binnen één tralie en daartoe starten we terug met het aanleggen van een nieuwe tabel, gelijkaardig met de cumulatie tabel van de constante eigenwaarde. Het enige verschil is dat we nu de cumulatie interpreteren als een (proces)snelheid. We illustreren het nieuw onderzoek eerst met de cumulatie van positieve feedback, dan met de cumulatie van negatieve feedback.

Positieve feedback

De eerste kolom van de volgende tabel geeft de onderscheiden (niveau)stappen.

We beginnen de tabel niet bij nul maar we geven ook een aantal stappen weer waarop de intensiteit niet verandert (dit is volledig gelijkaardig als bij “de tijd interpretatie van uitsluiting”: vroeger dan de eerste verandering van intensiteit die waarneembaar werd en bepaald wordt door de waarnemingsresolutie). De reden is dat deze stappen de getalnul, die optreedt in de volgende kolommen, verantwoorden. De tweede kolom geeft de intensiteit van positieve feedback: bij elke stap verandert de intensiteit met een vaste waarde die een fractie is van de reeds beschikbare intensiteit op het moment van verandering. De fractie wordt gegeven door k, en dus veronderstellen we 0<k<1. De intensiteit op een bepaalde stap is dus niet anders dan een momentane intensiteit.

Die intensiteit interpreteren we nu niet als de intensiteit van een willekeurige meting in een toestand, maar we interpreteren die intensiteit als de momentane processnelheid van een verschil van metingen, namelijk (x-x₀)/1 omdat snelheid (en dit is een verhouding, elk getal kan als verhouding geschreven worden) een fundamenteel begrip is (ruimte of tijd zijn hiervan afgeleid). Hierin staan cumulaties (de som van een intensiteit plus een fractie van de intensiteit) en we kunnen weer het verschil maken tussen twee elkaar opvolgende stappen en zo berekenen we dus dat de snelheid van de processnelheid van de entiteit (x-x₀) momentaan verandert en dat noemen we een versnelling. Met andere woorden: een versnelling is de snelheid van <<de verandering van intensiteit>>, <<de verandering van intensiteit>> die zelf niet anders is dan een processnelheid. Dit is dus een versnelling die onvermijdelijk resulteert uit de snelheid die door k gekarakteriseerd wordt en deze intensiteit is uitgerekend in de derde kolom. Dat is een inherente versnelling want de eigenwaarde k is niet gewijzigd, het is dezelfde als bij de snelheid, er wordt enkel een ander verschil geconstrueerd en dat is slechts mogelijk vanaf een twee onderscheidingen universum. Een intensiteit is waarneembaar door een verandering ervan. Een processnelheid is waarneembaar door een verandering ervan maar meerdere verschillen tussen niveaus in dezelfde tralie zijn slechts mogelijk als er genoeg onderscheidingen zijn in de tralie. De verandering is dus te modelleren op verschillende schalen. Dat betekent ook dat we van een verandering van versnelling kunnen spreken als we de tralie voldoende groot veronderstellen en deze intensiteit is uitgerekend in de vierde kolom. De verandering van versnelling zullen we interpreteren als controle. Dit komt zeer goed overeen met de intuïtieve betekenis ervan: veronderstel een spontane beweging in een potentiaalveld (gravitatie, elektrisch potentiaal, magnetisch potentiaal, mechanische spanning, …). Wanneer we een doel willen bereiken dat anders is dan het doel dat we kunnen afleiden van de spontane beweging (de “spontane attractor” die bereikt wordt, de “spontane controle”), dan moeten we de spontane snelheid en zijn inherente versnelling (veroorzaakt door het potentiaalveld) veranderen, het proces sturen en dus controle uitvoeren. Daarvoor hebben we dus andere onderscheidingen nodig. Dit betekent dat we de schaal van beheersing (het relevante onderscheidingen universum) zullen veranderen met een laatst toegevoegde onderscheiding (we begrepen dat de tweede maal afleiden naar ℵ resulteert in <<>> en een derde maal afleiden naar ℵ kunnen we interpreteren als de verandering van de grootte van het universum door de invloed van ℵ, namelijk (<<>>⊗<<>>)_ℵ).

We stellen de tabel zo gedetailleerd mogelijk voor omdat hier in de vijfde kolom iets nieuws optreedt in de vorm van een product: we noemen dit de inherente procesaudit, de controle op de procescontrole. In stap 2 voor een positieve feedback komt dit ook overeen met een product van patronen van een negatieve feedback. Die betrokken intensiteit hebben we daarom in vet weergegeven.

Negatieve feedback

Ook in deze tabel stellen we vast dat in de vijfde kolom iets nieuws optreedt: de controle op de procescontrole in stap 2 voor een negatieve feedback komt overeen met een product van patronen van een positieve feedback. De betrokken intensiteit hebben we in vet weergegeven.

Inherente snelheid, versnelling, controle en audit

We hebben verondersteld dat (x-x₀) constant is, het is de entiteit die we waarnemen in n stappen van verandering van schaal zodanig dat het zin heeft te spreken over de intensiteit van de entiteit. De verandering van die intensiteit stelt ons dan in staat om te spreken over zijn “momentane snelheid”. Maar, op zijn beurt is dit terug een entiteit, namelijk k(x-x₀), aangezien we verondersteld hebben dat k constant is. En dus, zoals een mogelijke evolutie van de entiteit (x-x₀) gegeven wordt door (x-x₀)(1±k)ⁿ, zal ook een evolutie van de entiteit ±k(x-x₀) gegeven worden door ±k(x-x₀)(1±k)^m. In de tabellen zien we daar een voorbeeld van in de derde kolom met m=n-1. Hierbij ontstaan dus commutatieve getalproducten. Een constante eigenwaarde voor de snelheid van verandering leidt tot een eigenwaarde voor de versnelling van de verandering die vanuit dezelfde eigenwaarde berekend kan worden en daardoor een inherente versnelling is. Het enige verschil is het onderscheidingen universum waarin snelheid of versnelling beschreven worden. We zullen de inherente versnelling afzonderlijk onderzoeken in het geval van een specifieke cumulatie.

We kunnen dat als volgt interpreteren: veranderingen doen zich voor als stappen tussen niveaus n in een tralie, tot een bepaalde intensiteit m bereikt is waarop zich enkel nog elkaar uitsluitende toestanden kunnen bevinden van een tralie die enkel in de momentane waarneming door die éne entiteit met eigenwaarde k (agens-in-context) kan opgebouwd worden en daardoor de tralie is waarin de cumulatie te beschrijven is. De cumulatie is niet anders dan een voortzetting van een evolutie die vanuit verschillende niveaus, die simultaan aanwezig zijn in een tralie, kan geconstrueerd worden als die niveaus beschikbaar zijn. De manier waarop we dit herkennen is de manier waarop we verschillen kunnen herkennen die we dan snelheid, versnelling, controle, controle van controle enz… noemen en met een meer algemene term die de connotatie van “een overkoepelende tralie” weergeeft: coördinatie. Dat is dus de betekenis van een “eigen evolutie” zoals we dat hier gedocumenteerd hebben: enkel vanaf een zeker niveau van complexiteit kan “eigen evolutie” enkel als elkaar uitsluitende toestanden beschreven worden en dat is het gevolg van de veronderstelling van een constante eigenwaarde k.

We kunnen dat onmiddellijk uitbreiden naar hogere machten van k en telkens zullen we dus vier niveaus kunnen onderscheiden: snelheid, versnelling, controle en audit. Dus de evolutie van de entiteit ±k(x-x₀) zal gegeven worden door ±k(x-x₀)(1±k)^p en de evolutie van de entiteit +k²(x-x₀) zal gegeven worden door k²(x-x₀)(1±k)^q. We merken dan op dat de eigenwaarde van de verhouding tussen de kolommen steeds dezelfde is en van het dubbelgetal type ±1±κ:

(x-x₀)(1±k)ⁿ/±k(x-x₀)(1±k)^n-1=±(1±k)/k=±1±1/k

±k(x-x₀)(1±k)^n-1/k²(x-x₀)(1±k)^n-2=±(1±k)/k=±1±1/k

Dit dubbelgetal kunnen we dan ook interpreteren als de intensiteit van één bit in een mogelijke beschrijving van de werkelijkheid die we langs kwadraten kunnen modelleren. Dit maakt duidelijk dat de intensiteiten van toestanden het extremum is van deze beschrijving.

Dit dubbelgetal ±(1±k)/k kunnen we ook herkennen in de nieuwe en speciale entiteiten die vanaf stap 2 ontstaan. Het speciale aan die entiteiten is dat ze bestaan uit drie elementen die elkaars functie (eenheid of intensiteit) van elkaar kunnen overnemen. Voor de termen die een exponent hebben (bijvoorbeeld k² of (k-1)^m) is dit niet het geval.

De entiteit ±k(1+k)(x±x₀) is een commutatieve variant in de variabele k. De entiteit ±k(1-k)(x±x₀) is een niet commutatieve variant in de variabele k (want ±k(1-k)(x±x₀) is niet anders dan ∓k(k-1)(x±x₀) en zullen we afzonderlijk bestuderen). We zullen veronderstellen dat deze eigenwaarde een “eigen”, afzonderlijke, eigenwaarde kan hebben en dan zullen we de evolutie van een k_n, en dus simultaan (1-k_n), bestuderen. De karakteristieke factor k_n of (1-k_n) met 0<k_n<1 kunnen we ook voorstellen door m_n^-1 met 0<m_n<∞ en de m_n gehele getallen. De priemgetallen die de soorten getallen zijn zullen hier dus ook een rol spelen om de relaties te onderzoeken tussen de nieuwe entiteiten die door m_n^-1 gekarakteriseerd worden. Met m_n^-1 kunnen we ook een tralie opspannen en producten m_n krijgen daarin de betekenis van een simultaneïteit (ze bevinden zich op een ander niveau in de tralie).

We kunnen k_n en (1-k_n) met 0<k_n<1 ook beschouwen als complementaire waarschijnlijkheden (denk aan de kansfunctie van een Bernouilli proces) en die vinden we terug bij de studie van de entropie als maat voor relevantie.

De eigenwaarde k_n en de “duale” eigenwaarde (1-k_n) kunnen we ook het getallendomein herkennen en genereert daar de quaternaliteit van kettingbreuken.

We kunnen de inzichten ook uitbreiden door verschillende eigenwaarden k_n(x-x₀) te beschouwen met 0<k_n<1, als karakterisering van verschillende agentia waarvoor hetzelfde verschil (x-x₀) een verschil maakt en die dus in het systeem kunnen interageren, en te onderzoeken hoe een overkoepelend gedrag kan beschreven worden door coördinatie van die agentia in een overkoepelende tralie en wat dat betekent voor de chronologie van een proces. We zouden daarbij ook nog kunnen veronderstellen dat som (elkaar uitsluitende k_n) of product (simultane k_n) van alle k_n gelijk is aan 1. Daarmee geven we dan een grondige basis aan de algemene beschrijving van interagerende processen, dus zowel met toestanden (die elkaar uitsluiten) als met entiteiten die simultaan zijn met dezelfde toestand(en).