We bewijzen dat gelijk welk getal of gelijk welke relatie tussen getallen, noem deze G, kan geschreven worden in het patroon (1-m)/(1+m) of (m-1)/(m+1). Dat is niet anders dan de verhouding van een verschil tot een som die in dezelfde eenheid uitgedrukt zijn waarbij de eenheid expliciet vermeld wordt. Deze verhouding is schaalinvariant.
Veronderstel eerst G=(1-m)/(1+m). We zullen bewijzen dat m in functie van G in hetzelfde patroon kan geschreven worden.
G(1+m)=1-m
G(1+m)+m=1
G(1+m)+(1+m)=2
(G+1)(1+m)=2
(1+m)=2/(1+G)
m=(2/(1+G))-1
m=(2-G-1)/(1+G)
m=(1-G)/(1+G)
QED
Veronderstel nu G=(m-1)/(m+1). We zullen bewijzen dat (-1/m) in functie van G in hetzelfde patroon kan geschreven worden.
G(m+1)=m-1
Gm+G=m-1
Gm-m=-G-1
m(G-1)=-(G+1)
-1/m=(G-1)/(G+1)
QED
Beide zijn varianten van hetzelfde patroon want (1-m)/(1+m) is niet verschillend van (1/m-1)/(1/m+1) want zowel teller als noemer van (1-m)/(1+m) kunnen gedeeld worden door m zonder de verhouding te veranderen.
Veronderstel G=(1-m)/(1+m)
G=(1-(1-G)/(1+G))/(1+(1-G)/(1+G))
G=(((1+G)-(1-G))/(1+G))/(((1+G)+(1-G))/(1+G))
G=((2G)/(1+G))/((2)/(1+G))
In deze tautologie speelt (1+G) de rol van eenheid voor zowel de teller ((2G)/(1+G)) als de noemer ((2)/(1+G)).
(1+G) toont de schaalinvariantie van de verhouding: men zou (1+G) kunnen vervangen door een willekeurig ander getal H, maar dan zijn er al twee getallen verschillend van 1, en niet één. Twee getallen in dit patroon zouden dan moeten voldoen aan G=(n-m)/(n+m)=(1-m/n)/(1+m/n), waarbij we dan impliciet een van beide als eenheid gebruiken (in dit geval is dit n, maar we hadden ook kunnen kiezen voor m).
Elk getal kunnen we dus schrijven in een vorm die expliciet de gekozen eenheid toont.
Voor positieve m geldt dat -1<(1-m)/(1+m)<+1 en ook -1<(m-1)/(m+1)<+1. Gelijkheid met één van de extremen is enkel mogelijk voor m=0. Er is dus altijd een hoek θ te vinden en dan kunnen we een keuze maken tussen vier basisvormen: ofwel <<sinθ=(1-m)/(1+m) ofwel cosθ=(1-m)/(1+m)>> ofwel <<sinθ=(m-1)/(m+1) ofwel cosθ=(m-1)/(m+1)>>.
We geven hiervan een voorbeeld met een positieve m tussen 0 en groter met dezelfde resolutie van 1/7. De verhouding (m-1)/(m+1) noemen we V(m) en dus is de verhouding (1-m)/(1+m)=-V(m). We zien dat V(m) (en dus het getal G) de exponent kan zijn van het getal van Euler. Dit betekent uiteraard niet dat we het getal van Euler als eenheid moeten kiezen voor G, we kunnen gelijk welk dubbelgetal kiezen.
We tonen eerst de grafiek voor V(m) (vierkant datapunt) en de boogcosinus ervan (ruit datapunt) en dan de grafiek voor -V(m) en de boogcosinus ervan. V(m) is begrensd tussen -1 en +1 en de hoek is begrensd tussen π en 0. -V(m) is begrensd tussen +1 en -1 en de hoek is begrensd tussen 0 en π.
Voor positieve m geldt dat -1<(1-m)/(1+m)<+1 en ook -1<(m-1)/(m+1)<+1.
Voor positieve n en m geldt evenzeer dat -1<(n-m)/(n+m)<+1 en ook -1<(m-n)/(m+n)<+1.
Voor positieve n en m geldt dat -n<n(1-m)/(1+m)<+n en ook -n<n(m-1)/(m+1)<+n. Hierin is n de intensiteit van de eenheid 1.
Een verhouding G=(1-m)/(1+m) kan geschreven worden als een product (1-n)(1+n)=1-n2. Want veronderstel (1-m)/(1+m)=1-n2. Hieruit berekenen we n als volgt:
1-(1-m)/(1+m)=n2
(1+m-1+m)/(1+m)=n2
2m/(1+m)=n2
Dit is een positief kwadraat.
Dit maakt onmiddellijk duidelijk dat een positief of negatief kwadraat het gevolg is van de keuze van de eenheid (de noemer) van de verhouding. Inderdaad: veronderstel (1+m)/(1-m)=1-n2.
1-(1+m)/(1-m)=n2
(1-m-1-m)/(1-m)=n2
-2m/(1-m)=n2
Dit is een negatief kwadraat, iets waarvoor we conventioneel √-1 nodig hebben.
Beide mogelijkheden worden bereikbaar langs de dubbelgetal benadering van het haakformalisme die dus duidelijk fundamenteler is dan de complexe getallen alleen. Die worden dikwijls onbegrepen en zomaar aangenomen.
Gelijkaardig geldt dit voor G=(m-1)/(m+1).
Het gevolg is dat we gelijk welk getal of gelijk welke relatie tussen getallen in een nieuwe eenheid kunnen uitdrukken, namelijk het dubbelgetal (1+m) of (1-m). Dat dubbelgetal is een universele eenheid in het getallendomein. De eenheid zien we in de noemer verschijnen: G=(1-m)/(1+m) of 1/G=(1+m)/(1-m). Maar aangezien ook geldt dat G=(1-m)/(1+m)=1-n2=(1+n)(1-n), kunnen we ook (1+n) of (1-n) kiezen als eenheid. Voor de operatie “verhouding” is de eenheid niet commutatief met zijn intensiteit, voor de operatie “product” is de eenheid wel commutatief met zijn intensiteit.
Dit zeer eenvoudig te begrijpen voorbeeld ligt aan de basis van het begrijpen van de wereld van de relativiteit en de kwantum mechanica als we ze willen uitdrukken met symbolen uit het getallendomein. Die verhouding (of het getransformeerd product) noemen we een processnelheid, een begrip dat zijn oorsprong vindt in het onderzoeken van dynamiek in het domein van de cybernetica.