We bewijzen dat gelijk welk getal of gelijk welke relatie tussen getallen, noem deze G, kan geschreven worden in het patroon (1-m)/(1+m) en dat is niet anders dan de verhouding van een verschil tot een som die in dezelfde eenheid uitgedrukt zijn, dus een relatieve verandering, dus een processnelheid.

Veronderstel G=(1-m)/(1+m). We zullen nu bewijzen dat m in functie van G in hetzelfde patroon kan geschreven worden.

G(1+m)=1-m

G(1+m)+m=1

G(1+m)+(1+m)=2

(G+1)(1+m)=2

(1+m)=2/(1+G)

m=(2/(1+G))-1

m=(2-G-1)/(1+G)

m=(1-G)/(1+G)

QED

De evidentie van een tautologie

G=(1-m)/(1+m)

G=(1-(1-G)/(1+G))/(1+(1-G)/(1+G))

G=(((1+G)-(1-G))/(1+G))/(((1+G)+(1-G))/(1+G))

G=((2G)/(1+G))/((2)/(1+G))

Nu zou men 1+G kunnen vervangen door een willekeurig ander getal H, maar dan zijn er al twee getallen en niet één. Twee getallen in dit patroon zouden dan moeten voldoen aan G=(n-m)/(n+m)=(1-m/n)/(1+m/n)

Verdere tautologieën

(1-m)/(1+m) is niet verschillend van (1/m-1)/(1/m+1) want zowel teller als noemer van (1-m)/(1+m) kunnen gedeeld worden door m zonder de verhouding te veranderen.

Een verhouding G=(1-m)/(1+m) kan geschreven worden als een product (1-n)(1+n)=1-n². Want veronderstel (1-m)/(1+m)=1-n². Hieruit berekenen we n als volgt:

1-(1-m)/(1+m)=n²

(1+m-1+m)/(1+m)=n²

2m/(1+m)=n²

Dit is een positief kwadraat.

Dit maakt onmiddellijk duidelijk dat een positief of negatief kwadraat het gevolg is van de keuze van de eenheid (de noemer) van de verhouding. Inderdaad: veronderstel (1+m)/(1-m)=1-n².

1-(1+m)/(1-m)=n²

(1-m-1-m)/(1-m)=n²

-2m/(1-m)=n²

Dit is een negatief kwadraat, iets waarvoor we conventioneel √-1 nodig hebben.

Beide mogelijkheden worden bereikbaar langs de dubbelgetal benadering van het haakformalisme.

Betekenis: een commutatieve en niet commutatieve vorm van eenheid met intensiteit

Het gevolg is dat we gelijk welk getal of gelijk welke relatie tussen getallen in een nieuwe eenheid kunnen uitdrukken, namelijk het dubbelgetal (1+m) of (1-m). De eenheid zien we in de noemer verschijnen: G=(1-m)/(1+m) of 1/G=(1+m)/(1-m). Maar aangezien ook geldt dat G=(1-m)/(1+m)=1-n²=(1+n)(1-n), kunnen we ook (1+n) of (1-n) kiezen als eenheid. Voor de variant “verhouding” is de eenheid niet commutatief met zijn intensiteit, voor de variant “product” is de eenheid wel commutatief met zijn intensiteit.

Dit zeer eenvoudig te begrijpen voorbeeld ligt aan de basis van het begrijpen van de wereld van de relativiteit en de kwantum mechanica.