Om een proces te modelleren gaan we uit van de opeenvolging van elkaar uitsluitende toestanden die het pad vormen in de toestandsruimte die doorlopen wordt in het proces. Dit betekent dat de conjunctie van de toestanden onmogelijk te ervaren is, en dus eveneens dat de disjunctie van de inbedding van de toestanden dan onvermijdelijk ervaren is. Eén stap hebben we al onderzocht en we hebben aangetoond dat er aan elke stap een snelheid kan toegewezen worden als de grootte van een projector die in drie orthogonale projector-dimensies kan beschreven worden. Dat geldt voor elk verschil dat we twee toestanden kunnen construeren, we hebben nog geen enkele andere veronderstelling gemaakt, bijvoorbeeld “het kleinste verschil” of “het grootste verschil”. Omdat te onderzoeken zullen we nu de waarneembare sporen van een proces modelleren. We kunnen dat omdat we aangetoond hebben dat één van de vier onderscheidingen die het patroon opspannen voor een welgevormde haakuitdrukking als creatief product q•r⊕<p•r>⊕<p•s>⊕<q•s> ∼ (p•r⊗q•s)r•s ∼ (p•r⊗q•s)<p•q> niet ingebouwd wordt in het drie onderscheidingen universum met het centraal punt dat de snelheid vertoont. Dit betekent dat de toegevoegde onderscheiding ℵ, die zowel als r•s of als <p•q> kan voorgesteld worden, ook een extern spoor kan voorstellen en we kunnen dus één van deze vier onderscheidingen daarvoor gebruiken. Voor één stap hebben we gekozen voor een p die niet ingebouwd wordt, maar nu zullen we kiezen voor een q die niet ingebouwd wordt en dat p, r en s de stabiele onderscheidingen zijn van het referentieframe. Dat betekent dat we het pad in de toestandsruimte kunnen volgen door de sporen te markeren als qi. Het enige dat we moeten veronderstellen is dat een welgevormde haakuitdrukking met een qi een andere uitsluit als de index niet dezelfde is. Dit is dus het a priori onbekend element “waardoor” verschillende toestanden elkaar uitsluiten. Die kunnen we dus de sporen (of output) noemen die door het proces gegenereerd worden. We kiezen voor de sporen qi die momentaan gegenereerd worden (waarneembaar zijn) in een bekend universum. Merk op dat we de sporen qi niet als een onderscheiding moeten beschouwen, we kiezen er eigenlijk voor dat minstens één van de onderscheidingen die deze sporen opspannen niet in het bekend universum ingebouwd worden (maar waarbij misschien onderliggende onderscheidingen aan die sporen wel ingebouwd zijn of worden). Zo'n onderscheiding “onderliggend aan qi” kunnen we altijd symboliseren door ℵ die slechts momentaan niet verschillend is van <p•qi>. Hierdoor sluiten de sporen elkaar uit.
De toestanden van het proces noemen we Hi. We merken op dat we voor elke qi een andere welgevormde haakuitdrukking Hi hebben die te schrijven is in een vorm waarin qi niet voorkomt in de projectoren die gegenereerd worden in een tralie opgespannen door de onderscheidingen p, r en s als volgt: Hi=r•qi⊕<p•r>⊕<p•s>⊕<s•qi>=<r•qi>•(<>⊕<p•r>)⊕s•qi•(<>⊕<p•s>)⊕p•r•(<>⊕<r•s>). In het drie onderscheidingen universum opgespannen door p, r en s, is dan altijd een centraal punt te karakteriseren door p•s⊕p•r⊕r•s=<> aan te nemen, waarmee dan een bepaald standpunt ingenomen wordt dat invariant is (de disjunctie van <p•s>⊕<p•r>⊕<r•s> met gelijk welke structuur zal deze structuur niet beïnvloeden). Dit is een waardetoekenning aan een atoom, simultaan in drie twee onderscheidingen universa, namelijk deze opgespannen door p•s en p•r, deze opgespannen door r•s en p•r als deze opgespannen door p•s en r•s. Merk op dat de qi enkel in de coëfficiënten van de projectoren van p•s en p•r voorkomen en dus zal het proces het “vlak” opgespannen door p•s en p•r niet verlaten. Dit kan een onderbouwing in het haakformalisme geven van het impulsmoment (hoekmoment) en de waarneming van het behoud ervan.
We kunnen nu zeer eenvoudig beginnen met twee welgevormde haakuitdrukkingen H1 en H2. We veronderstellen dus dat ze deels op dezelfde manier opgebouwd zijn en dus dat we dezelfde projectoren kunnen gebruiken. Laten we de corresponderende opeenvolgende sporen q1 en q2 noemen. We kunnen spreken van een proces als we q1 en q2 kunnen onderscheiden. We gaan dus over van een <r•q1>•(<>⊕<p•r>)⊕s•q1•(<>⊕<p•s>)⊕p•r•(<>⊕<r•s>) naar een <r•q2>•(<>⊕<p•r>)⊕s•q2•(<>⊕<p•s>)⊕p•r•(<>⊕<r•s>). De conjunctie van beide moet, van uit de veronderstelling van uitsluitende punten die een pad in de toestandsruimte beschrijven, gelijk zijn aan <<>>. Om de conjunctie te berekenen, berekenen we eerst het vectorproduct. Dit betekent dat we de volgende welgevormde haakuitdrukking moeten berekenen: (<r•q1>•(<>⊕<p•r>)⊕s•q1•(<>⊕<p•s>)⊕p•r•(<>⊕<r•s>))•(<r•q2>•(<>⊕<p•r>)⊕s•q2•(<>⊕<p•s>)⊕p•r•(<>⊕<r•s>)) en in hybride welgevormde haakuitdrukking (met r•s als toegevoegde onderscheiding) is dit <<<r•s>><p•r>><<r•s><s•q1>>•<<<r•s>><p•r>><<r•s><s•q2>>. We zijn er ook van uit gegaan dat we een invariant standpunt kunnen innemen, dus dat we de p, s, r zo kiezen dat <<>>⊕p•s⊕p•r⊕r•s gelijk is aan de nulvector. Omdat <<>>⊕p•s⊕p•r⊕r•s dan de transformatie is van de projectoren twee aan twee, is het lokaal referentieframe met die projectoren orthogonaal. Onder deze voorwaarde geldt: p•s⊕p•r⊕r•s=<>. Dus de vermenigvuldiging van verschillende projectoren onderling is dan nul en enkel de kwadraten schieten over. Dit maakt de transformatie gelijk aan
<r•q1>•<r•q2>•(<>⊕<p•r>)⊕s•q1•s•q2•(<>⊕<p•s>)⊕p•q•r•s•(<>⊕<r•s>)
q1•q2•(<>⊕<p•r>)⊕q1q2•(<>⊕<p•s>)⊕<<>>•(<>⊕<r•s>)
q1•q2•(<>⊕<p•r>⊕<>⊕<p•s>)⊕<<>>•(<>⊕<r•s>)
q1•q2•(<<>>⊕<p•r>⊕<p•s>)⊕<<>>•(<>⊕<r•s>)
Met de veronderstelling dat p•s⊕p•r⊕r•s=<>, of dus <p•s>⊕<p•r>=<<>>⊕r•s, kunnen we nog de volgende reductie uitvoeren:
q1•q2•(<<>>⊕<<>>⊕r•s)⊕<<>>•(<>⊕<r•s>)
q1•q2•(<>⊕r•s)⊕<<>>•(<>⊕<r•s>)
Dit vectorproduct van twee elkaar uitsluitende toestanden kan dus als een 1-splitsing uitgedrukt worden waarin p niet meer voorkomt. Dit vectorproduct is <>⊕<q1•q2>⊕<r•s>⊕q1•q2•r•s en dus de conjunctie <<<q1•q2>><<r•s>>>. Dit vectorproduct is ook op een tweede manier te schrijven in een duale basis als r•s•(<>⊕q1•q2)⊕<<>>•(<>⊕<q1•q2>).
Dit vectorproduct is dus een van de termen van de conjunctie van de twee toestanden, en met de algemene formule berekenen we de conjunctie dus als:
<>⊕<r•q1>⊕p•r⊕p•s⊕s•q1⊕<r•q2>⊕p•r⊕p•s⊕s•q2⊕<>⊕<q1•q2>⊕<r•s>⊕q1•q2•r•s
<>⊕<r•q1>⊕<p•r>⊕<p•s>⊕s•q1⊕<r•q2>⊕s•q2⊕<>⊕<q1•q2>⊕<r•s>⊕q1•q2•r•s
Met <p•s>⊕<p•r>=<<>>⊕r•s is dit dus ook
<>⊕<r•q1>⊕<<>>⊕r•s⊕s•q1⊕<r•q2>⊕s•q2⊕<>⊕<q1•q2>⊕<r•s>⊕q1•q2•r•s
<>⊕<r•q1>⊕s•q1⊕<r•q2>⊕s•q2⊕<q1•q2>⊕q1•q2•r•s
Hierin komt p evenmin voor.
Als conjunctie van welgevormde haakuitdrukkingen moet dit ook een welgevormde haakuitdrukking zijn. We herkennen het type <>⊕<b>⊕<c>⊕b•a⊕<b•c>⊕c•a⊕c•b•a of dus <a><cb> als we de volgende substituties uitvoeren:
<r•q1>=<b>
<r•q2>=<c>
<q1•q2>=<b•c>
s•q1=b•a dus s•q1=r•q1•a dus r•s=a
s•q2=c•a en dit is analoog
Dus de conjunctie is de welgevormde haakuitdrukking <r•s><<<r•q1>><<r•q2>>>. We zien dus een nevenschikking van twee universa die in r kunnen geprojecteerd worden waarbij <r•s> invariant is voor hoe <<<r•q1>><<r•q2>>> transformeert en waarbij <<<r•q1>><<r•q2>>> invariant is voor hoe <r•s> transformeert. Vanuit de veronderstelling dat dit de conjunctie is van twee elkaar uitsluitende punten in een toestandsruimte, moet deze uitdrukking gelijk zijn aan <<>> en aangezien dit een nevenschikking van twee termen is, zijn er dus twee voorwaarden vereist die simultaan moeten vervuld worden. Een eerste voorwaarde is dat r en s verschillende waarde moeten hebben, en een tweede voorwaarde kunnen we vinden door <<<r•q1>><<r•q2>>> als welgevormde haakuitdrukking te expliciteren. Voor de eenvoud berekenen we eerst de inbedding van die uitdrukking, namelijk <<r•q1>><<r•q2>>: <<r•q1>><<r•q2>> is een hybride notatie en is niet anders dan de even hybride notatie van een nevenschikking (r•q1)(r•q2). We expliciteren deze nevenschikking in de zuivere haakuitdrukking <r<q1>><<r>q1><r<q2>><<r>q2> en we gebruiken de stellingen om deze uitdrukking te vereenvoudigen:
<<<r<q1>><r<q2>>>><<<<r>q1><<r>q2>>>
<r<q1 q2 >><<r><<q1><q2>>>
<<r<r<q1 q2 >>><<q1><q2><r<q1 q2 >>>>
<<q1 q2 r><<q1><q2><r>>>
Dit is een uitdrukking van het type <<ai><<a>i>> en deze is enkel gelijk aan <> wanneer de drie welgevormde haakuitdrukkingen dezelfde waarde hebben. Dus de inbedding hiervan, en dit is <<<r•q1>><<r•q2>>> is gelijk aan <<>> wanneer q1, q2 en r dezelfde waarde hebben. Vanuit de eerste voorwaarde volgt dan dat s de tegengestelde waarde heeft.
Voor een aantal q gelijk aan i is de uitdrukking <<q1 q2 r><<q1><q2><r>>> natuurlijk uit te breiden tot <<qi r><<q>i<r>>>. Dit is een telbare uitdrukking waarin r een referentierol speelt.
Dus de conjunctie van toestanden gekarakteriseerd door sporen qi is de welgevormde haakuitdrukking <r•s><rqi><<r><q>i> die niet verschillend is van <<>>. Dus <<r•s><rqi><<r><q>i>> is niet verschillend van <>.
We kunnen controleren of we geen voorwaarden over het hoofd zien door die conjunctie ook in welgevormde haakuitdrukking schrijven als de conjunctie van <<<r•s>><p•r>><<r•s><s•q1>> en <<<r•s>><p•r>><<r•s><s•q2>>, dus als <<<<<r•s>><p•r>><<r•s><s•q1>>><<<<r•s>><p•r>><<r•s><s•q2>>>> dus <<<r•s>><p•r>><<r•s><s•q1><r•s><s•q2>> of <<<r•s>><p•r>><<r•s><s•q1><s•q2>> en onder voorwaarde dat s en r tegengestelde waarde hebben is dit niet anders dan <<s•q1><s•q2>>. We kunnen dit ook als welgevormde haakuitdrukking uitschrijven als volgt:
<<<s<q1>><<s>q1>><<s<q2>><<s>q2>>>
<<<<<s<q2>><<s>q2>>s<q1>><<<s<q2>><<s>q2>><s>q1>>>
<<<<<<q2>><<>q2>>s<q1>><<<<><q2>><q2>><s>q1>>>
<<<<q2>s<q1>><q2<s>q1>>>
<<<s<q1><q2>><<s>q1q2>>>
<s<q1><q2>><<s>q1q2>
Dit is een uitdrukking van het type <ai><<a>i> en deze is enkel gelijk aan <<>> wanneer de drie onderscheidingen <q1> <q2> en s dezelfde waarde hebben, dus als q1 en q2 dezelfde waarde hebben dan moet s de andere waarde hebben. Dit is exact dezelfde voorwaarden die we hoger ook vonden en dus geen bijkomende voorwaarde. De constructie van conjuncties maakt daarenboven duidelijk dat de voorwaarde van uitsluiting probleemloos uit te breiden is naar de eis dat de uitdrukking <<<r•s>><p•r>><s<q>i><<s>qi>, voor i willekeurig groot, niet te onderscheiden is van <<>>. Dit impliceert dan dat de uitdrukking <s<q>i><<s>qi> de waarde <<>> moet hebben.
Een proces hebben we dus gemodelleerd door uit te drukken dat er toestanden zijn “van het proces” die elkaar uitsluiten. Dit betekent dat de conjunctie, namelijk de welgevormde haakuitdrukking <r•s><rqi><<r><q>i> niet te onderscheiden is van <<>>.
De vorm <r•s><rqi><<r><q>i> herkennen we als de vorm <z><xi><<x>i> die we afgeleid hebben toen we bewezen dat het altijd mogelijk is om te kiezen tussen een invariant en een intensiteit (in de standaard taal uitgedrukt: aan een invariant kan men altijd een telbare intensiteit toekennen). Het is dus de hypothese <r•s> die gerealiseerd wordt bij elke toestand die doorlopen wordt (en die dus een andere toestand uitsluit). Inderdaad, <r•s><rqi><<r><q>i> schrijven we als <r•s><<<rqi><<r><q>i>>>, en dit is een vorm die uitdrukt dat het realiseren van <<rqi><<r><q>i>> simultaan <r•s> realiseert, en dat is dus hier het geval aangezien <rqi><<r><q>i> niet te onderscheiden is van <<>>.
Op die manier hebben we ook het scalair product in het haakformalisme afgeleid, en dus betekenis gegeven aan een uitdrukking als α<r•s> waarbij α een getal is, waarbij we impliciet ook de keuzevrijheid voor de reciproque van het getal veronderstellen (alles wat we kunnen uitdrukken door de hypothese αz kunnen we ook uitdrukken door de hypothese α-1z, maar we moeten wel een beslissing nemen voor elk concreet geval). En uit de interpretatie van een spontaan proces begrijpen we dat het getal α kan afnemen wanneer er geen onderscheidingen bijkomen “in de input” (de klassieke hypothese), maar ook kan toenemen wanneer er wel onderscheidingen bijkomen “in de input” (de kwantum hypothese), wat natuurlijk ook betekent (als gevolg van de hypothese αz versus de hypothese α-1z) dat beide onvermijdelijk met elkaar verbonden zijn (neemt α toe dan neemt α-1 af).
Als we ons nu concentreren op één individuele toestand die gekarakteriseerd wordt door qk dan heeft deze de vorm r•qk⊕<p•r>⊕<p•s>⊕<s•qk> ∼ (p•r⊗s•qk)r•s. Hiermee zien we duidelijk dat de invariant <r•s> niet verschillend is van de toegevoegde onderscheiding van een creatief product, dus als een proces een veranderende intensiteit heeft dan is <r•s> niet verschillend van ℵ en het is die invariant die er dus voor zorgt dat het creatief product associatief is. Dus <rqi><<r><q>i><r•s> kunnen we ook voorstellen door αℵ. We kunnen ons dus afvragen wat de relatie is met κℵ die we afgeleid hebben bij de kwantificatie van het begrip “processnelheid”.
Om snelheid te kunnen definiëren moeten we twee toestanden veronderstellen en hun verschil en het simultaneïteitsinterval construeren tussen een van de toestanden en het verschil. De afgeleide naar de laatst toegevoegde onderscheiding geeft aanleiding tot een projector die de snelheid modelleert. We veronderstellen daarom twee toestanden Hk en Hk+1. Het verschil van die twee elkaar uitsluitende toestanden r•qk⊕<p•r>⊕<p•s>⊕<s•qk> en r•qk+1⊕<p•r>⊕<p•s>⊕<s•qk+1> is van het type <x>⊕y, dus <r•qk⊕<p•r>⊕<p•s>⊕<s•qk>>⊕(r•qk+1⊕<p•r>⊕<p•s>⊕<s•qk+1>)=<r•qk>⊕s•qk⊕r•qk+1⊕<s•qk+1>. Dit verschil is onafhankelijk van p. De afgeleide is het vectorproduct van de twee toestanden onder voorwaarde dat p•s⊕p•r⊕r•s=<> en dat is (zie hoger): qk•qk+1•(<>⊕r•s)⊕<<>>•(<>⊕<r•s>) en dit is <>⊕<qk•qk+1>⊕<r•s>⊕qk•qk+1•r•s en dus de conjunctie <<<qk•qk+1>><<r•s>>>. De overeenkomstige projector is dus (<>⊕<<<qk•qk+1>><<r•s>>>). De intensiteit van de processnelheid zal dan gekarakteriseerd worden door een κ, zodanig dat de processnelheid gegeven wordt door κ(<>⊕<<<qk•qk+1>><<r•s>>>).
We hebben nu gezien dat de veronderstelling dat de toestanden elkaar uitsluiten uitdrukt dat de conjunctie van de twee toestanden, namelijk <r•s><<<r•qk>><<r•qk+1>>> de waarde <<>> heeft. We merken nu op dat dit betekent dat de conjunctie <<<qk•qk+1>><<r•s>>> simultaan de waarde <<>> moet hebben, inderdaad er geldt dat <<<<qk•qk+1>><<r•s>>>><r•s><<<r•qk>><<r•qk+1>>> niet verschillend is van <>. Dus het vectorproduct van beide toestanden heeft waarde <<>> en dan is de projector (<>⊕<<<qk•qk+1>><<r•s>>>) niet verschillend van de nulvector. Daarvoor het dus voldoende dat minstens een van beide termen, <qk•qk+1> of <r•s>, de waarde <> heeft. Zoals we hoger aantoonden moeten q en r dezelfde waarde hebben en r en s tegengestelde waarde, dus <r•s> heeft nooit de waarde <>. <qk•qk+1> met waarde <> en dus qken qk+1 hebben dezelfde waarde definieert dus de snelheid gelijk aan nul zodanig dat de projector (<>⊕<<<qk•qk+1>><<r•s>>>) een eenheid van snelheid construeert die alle nodige wiskundige eigenschappen vertoont, want het ander extreem is wanneer <<<qk•qk+1>><<r•s>>> gelijk is aan <> en dus zowel <qk•qk+1> als <r•s> de waarde <> moeten hebben, dus qk en qk+1 dezelfde waarde moeten hebben en r en s dezelfde moeten waarde hebben. Dat extreem is niet realiseerbaar omdat we aantoonden dat r en s tegengestelde waarde hebben.
De processnelheid wordt dus κ(<>⊕<<>>) en dus niet verschillend van de nulvector voor <r•s> niet verschillend van ℵ. Maar dat is niet de enige uitdrukking voor een laatst toegevoegde onderscheiding want (p•r⊗q•s)r•s ∼ (p•r⊗q•s)<p•q>. Inderdaad, elke toestand van het proces kunnen we als de welgevormde H=r•qk⊕<p•r>⊕<p•s>⊕<s•qk>. Dit schrijven we evenzeer als (p•r⊗s•qk)r•s en als (p•r⊗s•qk)<p•qk>. Deze schrijfwijze maakt duidelijk dat dit een interval is voor de relatie van simultaneïteit: zowel r•s als <p•qk> bevinden zich in de relatie van simultaneïteit tussen <p•r> en s•qk, en dat voor elke qk. Hierin is <p•r> het supremum van het interval en dit is dus invariant voor alle intervallen en s•qk het infimum van het interval. Dit kunnen we als volgt interpreteren.
Wanneer we, zoals bij deze modellering, een proces voorstellen in een universum dat opgespannen wordt door drie projectoren (en dus ook door minimaal drie onderscheidingen) dan komt het spoor qk niet voor in de projectoren. Maar dan zal de beslissing dat er een centraal punt is in dat universum (namelijk de beslissing p•s⊕p•r⊕r•s=<>) als gevolg hebben dat p niet meer voorkomt in de modellering van het proces als de noodzakelijke eis dat de toestanden van het proces elkaar moeten uitsluiten, namelijk <r•s><rqi><<r><q>i>↔<<>>. Dus p is vrij te kiezen en de toegevoegde <p•qk> in het simultaneïteitsinterval (p•r⊗s•qk)<p•qk> betekent dat dit gerelateerd is aan het supremum <p•r>, het ervaren van <p•r> realiseert eveneens het ervaren van <p•qk>. De conjunctie van alle <p•qi> is niet anders dan de atoombuur <pqi><<p><q>i> in het universum opgespannen door p en de qi, want de vorm <xi><<x>i> is een nevenschikking: <xi><<x>i>, voor i van 1 tot n. Diezelfde vorm kan ook als inbedding van een nevenschikking van inbeddingen voorgesteld worden als: <<<x1•xi+1>>i> voor i van 1 tot n-1, waarbij de rol van de referentie duidelijk naar voor komt en die in het huidig voorbeeld niet anders is dan p, en we dus <<<p•qi+1>>i> schrijven. Deze vorm heeft enkel de waarde <> wanneer p en alle qi dezelfde waarde hebben, in alle andere gevallen heeft deze de waarde <<>>, dan zijn de <p•qi> dus punten die elkaar uitsluiten en dat is nu juist wat we veronderstellen. Er is dus een vrij te kiezen welgevormde haakuitdrukking p die geen invloed heeft op het feit dat de toestanden van een proces elkaar moeten uitsluiten. Een eenvoudig fysisch voorbeeld hiervan is een elektrische lading die al dan niet kan toegevoegd worden aan een driedimensionale toestand, maar uiteraard zijn er nog veel andere vrij te kiezen onderscheidingen te bedenken.
De processnelheid κ(<>⊕<<<qk•qk+1>><<r•s>>>) kunnen we dus ook voorstellen als κ(<>⊕<<<qk•qk+1>><p•qk>>). We tonen nu aan dat p•qk door p•qk+1 kan vervangen worden en breiden dit dan onmiddellijk uit. We expliciteren daarom <<<qk•qk+1>><p•qk>> als welgevormde haakuitdrukking en transformeren deze tot een andere welgevormde haakuitdrukking die het punt aantoont dat we willen bewijzen.
<<<qk•qk+1>><p•qk>>
<<<<qk<qk+1>><<qk>qk+1>>><<p<qk>><<p>qk>>>
<<qk<qk+1>><<qk>qk+1><<p<qk>><<p>qk>>>
<<<p<qk><qk<qk+1>><<qk>qk+1>><<p>qk<qk<qk+1>><<qk>qk+1>>>>
<<<p<qk><qk+1>><<p>qkqk+1 >>>
Dit is symmetrisch in qk en qk+1, dus <<<qk•qk+1>><p•qk+1>> geeft hetzelfde resultaat.
QED
Voor een aantal q gelijk aan i is de uitdrukking natuurlijk uit te breiden tot <<p<q>i><<p>qi >>. Dit is een telbare uitdrukking waarin <p> een referentierol speelt.
De processnelheid kunnen we dus ook voorstellen als κ(<>⊕<<p<q>i><<p>qi >>). Hierin is <p> een referentie voor de sporen qi, <p•qi> is dan ℵ.
De hele constructie maakt duidelijk dat een proces altijd in drie orthogonale dimensies te modelleren is. Dit leidt altijd tot het ontstaan van sporen (hier qi) die dezelfde waarde moeten hebben als een onderscheiding waarmee het proces gemodelleerd wordt (hier r) en tegengestelde waarde van een andere onderscheiding waarmee het proces gemodelleerd wordt (hier s). Er is dan altijd een derde onderscheiding (hier p) die willekeurig kan toegevoegd worden en geen verdere eisen stelt aan de sporen (bijvoorbeeld in het spontaan proces van het samenklitten van materie zou p waarneembaar zijn als een elektrische lading).
We kunnen nu drie mogelijkheden onderscheiden voor de sporen qi:
de sporen qi worden, behalve minimaal één onderscheiding door dezelfde a priori bekende onderscheidingen opgebouwd, bekend dus in de relevante tralie opgespannen door p, r en s. Er is dus output (die dus niet ingebouwd wordt) maar geen input die anders is dan de reeds bestaande input.
de sporen qi worden deels door a priori onbekende onderscheidingen opgebouwd, onbekend dus in de relevante tralie, er is dus output (die dus niet ingebouwd wordt) maar ook nieuwe input (die dus wel ingebouwd wordt in de relevante tralie opgespannen door p, r en s).
de sporen qi worden niet door r of door s opgebouwd, er is dus output (die niet ingebouwd wordt) en ook geen input (die wel zou ingebouwd zijn of ingebouwd zou worden), dit kan alleen maar betekenen dat het proces niet meer gevolgd (waargenomen) kan worden. Vanuit het standpunt van het centraal punt zou het proces dan stoppen of nooit starten.
Het eerste geval betekent, met de veronderstelling dat de qi sporen zijn die elkaar uitsluiten in een bepaald medium, dat de evolutie in de richting gaat van het centraal niveau van de onderscheidingen die de sporen qi opspannen. Dit noemden we een spontane evolutie. Dit betekent dat het spontane proces onvermijdelijk in de richting gaat van minder karakteriserende onderscheidingen. Inderdaad, stel dat we een hoofdletter gebruiken om elkaar uitsluitende punten (bijvoorbeeld atomen) aan te duiden, dan is Ai een disjunctie van atomen. Stel dat er minstens twee OR-atomen zijn dan is deze term niet verschillend van <>. Dus de term <<Ai><<A>i>> wordt dan <<<>><<A>i>> of dus <A>i. Dit is de disjunctie van de overeenkomstig AND-atomen (de inbedding van de OR-atomen), en deze disjunctie is dan een punt in de tralie op een diepte gegeven door het getal i en op sommige dieptes (de structuur is immers fractaal) kan dit, mits een gepaste transformatie, door minder onderscheidingen beschreven worden. Uiteraard gaat de duale redenering evenzeer op. QED.
Het aantal relevante onderscheidingen convergeert dus naar een kleiner aantal, uiteindelijk wordt een punt bereikt dat zich op centraal niveau in de tralie bevindt en dit wordt in het binair model gekenmerkt doordat er evenveel hoogbits als laagbits zijn. Voor de volledigheid kunnen we dan ook aanstippen dat de som van de projectoren van de atomen niet verschillend is van de projector van het punt op diepte i in de tralie dat gegeven wordt door het vectorproduct van die atomen (dat, ter herinnering, niet verschillend is van de nevenschikking). Deze uitgangspunten zullen we bestuderen als de klassieke hypothese.
Het tweede geval betekent dat (onvermijdelijk a posteriori) zal blijken dat de relevante tralie door meer karakteriserende onderscheidingen moet opgespannen worden. Het aantal relevante onderscheidingen divergeert dus naar een groter aantal. Maar dit heeft ook als gevolg dat de spontane verandering ingrijpt in het p, r en s universum (vanuit het standpunt p•s⊕p•r⊕r•s=<>). Dus het p, r en s universum moet ook opnieuw beschreven worden door meerdere onderscheidingen te introduceren. Dit is waarneembaar omdat we dan spreken van een “gedwongen” verandering in een bestaand universum in plaats van een spontane verandering en dan kunnen we op zoek gaan naar een relatie en een entiteit (die noemen we dan een kracht, of iets “dat de kracht uitoefent”) die ons daartoe dwingt. Deze uitgangspunten zullen we verder bestuderen als de kwantum hypothese. Maar merk op dat, eens de hypothese van “een kracht” geïntroduceerd wordt en gemodelleerd wordt, een mogelijke herhaling van dit proces zich klassiek zal gedragen: alle relevante onderscheidingen zijn dan a priori gekend en worden als input van het proces meegenomen en er zal enkel een spontaan proces van convergentie naar minder onderscheidingen over blijven.
Het derde geval betekent het proces niet (meer) waargenomen kan worden, dus dat constructie (of reconstructie zo men wil) van het pad dat doorlopen wordt in de toestandsruimte niet mogelijk is. We kunnen wel veronderstellen dat er “iets” blijft evolueren in “een proces” maar noch “het iets”, noch “het proces” is waarneembaar.
Een ongekende intensiteit kan gemodelleerd worden als (y⊗y)x waarbij x staat voor de ongekende lengte van het repeteren van een ongekende bitstring y. Als het creatief product r•q⊕<p•r>⊕<p•s>⊕<s•q> ∼ (p•r⊗s•q)r•s ∼ (p•r⊗s•q)<p•q> veronderstellen we dan dat p•r en s•q dezelfde waarde hebben, dus <p•q•r•s> niet verschillend van <> (en dat is de afgeleide naar r•s en ook de afgeleide naar p•q). Dus r•s en ook <p•q> kunnen dan voorgesteld worden door getallen (intensiteiten).
In de veronderstelling van een centraal punt geldt p•s⊕p•r⊕r•s=<> en dan moet ook de conjunctie van p•s⊕p•r⊕r•s en <p•q•r•s> gelijk zijn aan <>.
<>⊕<p•s>⊕<p•r>⊕<r•s>⊕p•q•r•s⊕(p•s⊕p•r⊕r•s)•<p•q•r•s>=<>
<>⊕<p•s>⊕<p•r>⊕<r•s>⊕p•q•r•s⊕<r•q>⊕<s•q>⊕<p•q>=<>
<p•s>⊕<p•r>⊕<r•s>⊕p•q•r•s⊕<r•q>⊕<s•q>⊕<p•q>=X
<p•s>⊕<p•r>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>⊕<r•q>⊕<s•q>⊕<p•q>=p•q•r•s
p•s⊕p•r⊕r•s⊕p•q•r•s⊕r•q⊕s•q⊕p•q=<p•q•r•s>
We kunnen dat als volgt vereenvoudigen:
Stel a=p•s; b=p•r; c=p•q, dus b•a=r•s; c•a=s•q; b•c=r•q; c•b•a=p•q•r•s
Dus
p•s⊕p•r⊕p•q⊕r•s⊕r•q⊕s•q⊕p•q•r•s wordt dan a⊕b⊕c⊕b•a⊕b•c⊕c•a⊕c•b•a. Het rechterlid van deze vergelijking is de vectoruitdrukking van de welgevormde haakuitdrukking cba.
<p•q•r•s> wordt dan <c•b•a>.
Dus de conjunctie is de beslissing dat cba niet kan onderscheiden worden van <c•b•a>, of dus cba↔<c•b•a>.
Om dit te interpreteren kunnen we beter overgaan naar het binair model van het haakformalisme. We drukken daarin uit dat cba, dus 10000000, niet kan onderscheiden worden van <c•b•a>, dus 01101001. Dat geldt dus in de collaps xxx0x00x. Door die beslissing is de tralie die opgespannen is door de vier onderscheidingen p, q, r en s gecollapst naar drie betekende bits. Een invariant zal aan alle drie de bits dezelfde intensiteit toewijzen. Dit interpreteren we als de lengte van een toestand, maar aangezien drie bits door de som van drie atomaire projectoren kunnen geconstrueerd worden (in dit geval dus xxx0xxxx of <>↔<c<b><a>>; xxxxx0xx of <>↔<<c>b<a>> en xxxxxx0x of <>↔<<c><b>a> ) zien we de lengte van een toestand verschijnen als de lengte van een driedimensionale vector in een ruimte opgespannen door drie gecollapste atomen.
Vanuit het onderzoek van invariantie in het bitmodel moeten we nu kunnen veronderstellen dat elke betekende bit van de projectoren een invariante intensiteit kan hebben, stel I11, I12 en I13, zodanig dat cba↔<c•b•a> modelleert dat het kwadraat van de lengte gegeven wordt door de som van het kwadraat van de intensiteiten en dus het getal I112+I122+I132. De minimale invariant is 1, de maximale invariant k is a priori niet bepaald en moet voor elk proces in werkelijkheid blijken. Volledig duaal is de minimale invariant 1/k en de maximale 1.
Merk op dat we de intensiteit van een toestand intuïtief interpreteren als een tijdsduur, maar dat we dit operationeel niet anders kunnen begrijpen als een diagonale vector in een driedimensionaal volume. Dit maakt duidelijk dat de laatst toegevoegde onderscheiding voor een proces dat vanuit een centraal punt kan begrepen worden (we veronderstelden namelijk p•s⊕p•r⊕r•s=<>) en niet ingrijpt op de tralie die vanuit dat centraal punt kan geconstrueerd worden onvermijdelijk ook de maat of intensiteit van een volume geeft. Dit impliceert dan ook weer dat de intensiteit van een toestand niets zegt over de vorm van dat volume, namelijk vanuit het centraal punt kunnen de drie dimensies op een willekeurige manier veranderen en vanuit het spoor q dat niet in het universum van p, r en s ingebouwd wordt kan elke dimensie ééndimensionaal beschreven worden in die verandering.