Entiteiten ontstaan als een coördinatie tussen aspecten persisteert en entiteiten verdwijnen als de coördinatie verdwijnt. Ontstaan en verdwijnen is een proces met een discontinuïteit. Entiteiten kunnen geteld worden juist als gevolg van die discontinuïteit en inzicht in discontinuïteit is dus belangrijk genoeg. Maar dat betekent ook dat, in het geval dat er twee entiteiten beschikbaar zijn, er potentieel een nieuwe soort entiteit kan ontstaan omdat er dan coördinatie kan herkend worden tussen die twee entiteiten voor bepaalde aspecten. We zullen dus enerzijds het ontstaan van coördinatie kunnen modelleren langs het ontstaan van nieuwe soorten als een causaal proces, anderzijds kunnen we ook de voorwaarden onderzoeken voor het ontstaan van discontinuïteit (en dus het beëindigen van een specifieke coördinatie en het ontstaan van een andere coördinatie). Beide manieren kunnen modelleren hoe en welke entiteiten kunnen ontstaan of verdwijnen. Dit is een belangrijk onderscheid omdat sommige entiteiten begerenswaardig zijn (en dan proberen we om ze te laten ontstaan) en dat andere entiteiten te vermijden zijn (dan proberen we dat iets anders dan die entiteit kan ontstaan). Het is daarenboven altijd gemakkelijker om een noodzakelijke voorwaarde voor ontstaan weg te nemen (“indien niet…, dan niet…”) dan een voldoende voorwaarde voor ontstaan te realiseren (“indien wel…, dan wel…”).

Een entiteit E kan verdwijnen wanneer de coördinatie tussen aspecten ervan onmogelijk wordt en dat merken we doordat er dan “plots” meerdere entiteiten van een andere soort ontstaan, een nieuwe soort discontinuïteit die elkaar uitsluitende toestanden oplevert. Daardoor kunnen die toestanden geteld worden. Die nieuwe soort is niet zomaar “een fractie” van de entiteit E. Het is immers helemaal niet duidelijk hoe een fractie van een entiteit kan waargenomen worden, een halvering is realiseerbaar voor sommige aantallen entiteiten (intensiteiten), voor een aantal waargenomen aspecten (intensiteiten), voor een aantal waargenomen deel-entiteiten (intensiteiten), maar voor andere aantallen is halvering niet realiseerbaar, wat we kunnen begrijpen als de mogelijkheid tot waarnemen van een entiteit E en niet van een halve entiteit (een halve koe is geen koe maar een kadaver, want als de coördinatie tussen aspecten van de koe verdwijnt begrijpen we dat ze dood is). Een entiteit E die verdwijnt doet dus andere entiteiten ontstaan en is er dus (causaal) een productieproces van. Het verdwijnen van coördinatie lijkt onvermijdelijk. Het ontstaan van coördinatie daarentegen blijkt niet evident te zijn. Entiteiten ontstaan door een productieproces dat de coördinatie tussen aspecten mogelijk maakt en dat proces kan behoorlijk ingewikkeld zijn (een kalfje ontstaat niet zomaar) maar het model hiervoor kan eenvoudig zijn: een intensiteit die toeneemt met een bepaalde eigenwaarde en zo na een aantal stappen een eenheid minstens verdubbelt.

We zullen nu de voorwaarden modelleren om coördinatie te doen verdwijnen. Vanuit het standpunt dat energie enkel kan getransformeerd worden, proberen we dit nu te modelleren met een overgang van continuïteit naar discontinuïteit. Dit is dus een noodzakelijke voorwaarde voor het ontstaan van een bepaald soort entiteit die zich onderscheidt van een andere soort. Of het een voldoende voorwaarde is kan enkel blijken in werkelijkheid en dan blijkt welke soorten entiteiten er ontstaan. Dus slechts achteraf kunnen we besluiten dat die voorwaarden voldoende waren. Die soorten entiteiten beschouwen we dan als “componenten” van de oorspronkelijke soort entiteit E die nu niet meer gecoördineerd zijn, maar “de koe is dan wel dood”. Als we dan de noodzakelijke voorwaarden voor het ontstaan van die soorten (die verschillen van E) herhaaldelijk realiseren, dan kunnen we uit de toevallige distributie van de aantallen in de verschillende soorten die door ons kunnen herkend worden, afleiden welke coördinaties kunnen onderscheiden worden als aspecten van E (en dus eventueel welke entiteiten we als “deelentiteiten” hadden kunnen herkennen indien we de koe niet hadden gedood). Die coördinaties interpreteren we dan als de noodzakelijke voorwaarden voor het kunnen voortbestaan van de entiteit E. Dat is natuurlijk wat we willen begrijpen omdat het persisteren van E ons dierbaar is en we <<noodzakelijke voorwaarden voor vernietiging>> altijd kunnen vermijden.

Energie is een concept dat we niet a priori hebben verondersteld, maar dat we hebben afgeleid van een energiedensiteit (een vermogen). We hebben de eenheid van veranderingsenergie gedefinieerd als een specifiek product van een verschil van twee producten van intensiteiten n_i van toestanden (wat we een “afstand” noemden, een niet geometrisch verschil of <<een niet commutatief interval>>) met het verschil van schaalfactoren (wat we “een versnelling” noemden en dat is evenzeer <<een niet commutatief interval>>). We bewezen dat dit niet anders is dan het gemiddeld verschil van het kwadraat van de schaalfactoren, dus in formulevorm:

(v₀₁²-v₁₂²)=2(n₀n₁-n₁n₂)(n₀n₂-n₁²)/((n₀+n₁)²(n₁+n₂)²)=2n₁(n₀-n₂)(n₀n₂-n₁²)/((n₀+n₁)²(n₁+n₂)²).

We zien hier dus een verhouding die we kunnen interpreteren op twee manieren

• als een interval dat zich gedraagt als een verschil van “tijdsintervallen” (omdat (v₀₁²-v₁₂²) niet anders is dan bijvoorbeeld (v₁₀²-v₂₁²))

• als een intensiteit 2(n₀n₁-n₁n₂)(n₀n₂-n₁²) van de eenheid ((n₀+n₁)(n₁+n₂))^-2.

We beschouwen nu <<de niet commutatieve intervallen”>> v₀₁=(n₀-n₁)/(n₀+n₁) en v₁₂=(n₁-n₂)/(n₁+n₂). Dat zijn verschillen van verhoudingen van geordende intensiteiten van twee toestanden van dezelfde entiteit, genormaliseerd op een maximum interval dat enkel door die toestanden bepaald wordt. De verhoudingen zijn per definitie groter dan nul en kleiner dan 1. Veronderstel nu dat er geldt: (v₀₁²>v₁₂²), dan is de veranderingsenergie positief. Veronderstel nu dat er geldt: (v₀₁²<v₁₂²), dan is de veranderingsenergie negatief. Een veranderingsenergie gelijk aan nul geldt als <<n₀n₁=n₁n₂ of n₀n₂=n₁²>> en dus n₀=n₁=n₂. Drie toestanden zijn dan niet meer te onderscheiden. Dit is een interpretatie van evenwicht, dus (v₀₁²=v₁₂²=v₁₀²=v₂₁²) interpreteren we als de voorwaarde waarin evenwicht bereikt is en dan schiet er enkel nog een tijdsinterval over, een ordeningsparameter die onvermijdelijk steeds groter of kleiner wordt (maar dan buiten de waarnemingsresolutie).

• Is het tweede interval groter dan het eerste (v₀₁²<v₁₂²) dan kunnen we dat als volgt interpreteren: het intensiteitsverschil tussen toestanden van de entiteit kan zo groot zijn dat de entiteit zelf geen invariant meer kan zijn. Een negatieve veranderingsenergie kunnen we dan relateren met het verdwijnen van de entiteit. De energie(transformatie) wordt niet meer in de entiteit “gebufferd” omdat de entiteit niet beschikt over de onderscheidingen om dat interval in zijn eigen tralie “te bevatten” en te coördineren met behulp van een verandering in interne buffers. Dat kunnen we dan interpreteren dat er dan meer dan één andere entiteit kan gevonden worden die “daarvoor” een gecoördineerd gedrag vertoonde tussen sommige aspecten (“deelentiteiten” eventueel) en “daarna” geen gecoördineerd gedrag meer vertoont, die specifieke aspecten van coördinatie zijn dan onwaarneembaar, of anders gezegd: buiten de waarnemingsresolutie.

• Is het tweede interval kleiner dan het eerste (v₀₁²>v₁₂²) dan kunnen we dat als volgt interpreteren: het intensiteitsverschil tussen toestanden van de entiteit is klein genoeg om het te beschouwen als het gedrag van de entiteit zelf, de entiteit is een invariant maar de relatie tussen “deelentiteiten” die we kunnen onderscheiden verandert: we stellen vast dat ze toch blijvend met elkaar gecoördineerd zijn. Dit betekent dat het geen entiteiten zijn maar aspecten, ze kunnen geen onafhankelijke verandering ondergaan, ze zijn zowel noodzakelijk als voldoende voor andere (wat we “interne buffers” genoemd hebben). De verandering is dan bijvoorbeeld merkbaar als een trilling van aspecten van de entiteit rond een lokaal evenwicht en het is die trilling die het aspect is dat onwaarneembaar werd in het geval van een negatieve veranderingsenergie (dit is wat we modelleerden in het eerste geval). De “invariantie” van de entiteit is dan een <<persistentie van gecoördineerd veranderende aspecten>> en die invariantie kunnen we voorstellen als een stabiel gesloten netwerk van feedbackrelaties.

Een voorbeeld maakt veel duidelijk. We gebruiken hiervoor een universum waarin we een geometrisch klassieke snelheid v_ij kunnen beschrijven (als een praktisch en gekend voorbeeld van een verhouding). Neem een materieel object dat kan weerstaan aan sommige soorten impact en dat door andere soorten impact vernietigd wordt en dat dan verspreid wordt als losse stukken (die dan begrepen worden als “componenten” die in een nieuw evenwicht gedwongen worden omdat hun oorspronkelijke coördinatie niet meer mogelijk is). Die stukken zijn natuurlijk andere entiteiten omdat de coördinatie, die oorspronkelijk waarneembaar was, niet niet meer waargenomen wordt (het zijn “losse” stukken geworden). Dat hebben we gemodelleerd in het eerste geval. We begrijpen dat in het tweede geval het object de impact opneemt (de entiteit verandert niet) en doorgeeft van ruimtelijke plaats naar een andere en van een tijdstip naar een ander tijdstip. Met een geschikte meetopstelling is dit proces te volgen. Dit zijn (in de klassieke beschrijving) “ruimte-tijd plaatsen van de entiteit” in een “niet commutatieve relatie” die gecoördineerd veranderen. Al deze “plaatsen” worden beschreven door een toestand in een bepaalde toestandsruimte en we zien dat we het ruimtelijk aspect door een schokgolf kunnen beschrijven met een bepaalde intensiteit en processnelheid. Die snelheid is een verhouding en blijkt onder andere materiaal afhankelijk te zijn en die schokgolf beschrijft het voorbijgaand en gecoördineerd gedrag van (aspecten van) de niet veranderende entiteit. Stel dat we het object op een harde ondergrond laten vallen en dus dat we op die manier de impact toedienen. Neem nu (n₀-n₁) als de maximale ruimtelijke afstand afgelegd door een schokgolf (in dat materiaal kan het niet sneller) en (n₁-n₂) als de verplaatsing die door de impact toegediend werd, impact die verantwoordelijk is voor de toegediende versnelling. Als de tweede verplaatsing groter is dan de eerste (“voor hetzelfde tijdverschil” als eenheid) dan verandert het materieel object irreversibel, de coördinatie is onmogelijk geworden. Dit is een voorbeeld met een negatieve versnelling maar dit zal evenzeer gelden bij een positieve versnelling (wat we bijvoorbeeld vaststellen bij de schokgolf die ontstaat bij een explosie: die schokgolf kan objecten uiteenrijten). Een meer ingewikkeld voorbeeld zou bijvoorbeeld een levende cel kunnen zijn: als we een molecule toedienen in de voeding van de cel (denk aan bewust toegediende medicatie of ongewild toegediende vervuiling), dan zou het gevolg kunnen zijn dat de cel ontbindt en dus sterft wanneer die voeding een blokkerende invloed heeft op het metabolisme van de cel.

Persistentie zou dan betekenen (en nu terug geïnterpreteerd als abstracte verhouding, schaal, processnelheid, vermogen, energiedensiteit): (v₀₁²-v₁₂²)>0 en dus (n₀-n₁)²/(n₀+n₁)²>(n₁-n₂)²/(n₁+n₂)². Dit is een voorwaarde voor positieve getallen (kwadraten) als de maat voor het vermogen van de entiteit om te persisteren.

We merken nu op dat de noemer van een verhouding van getallen altijd de rol kan spelen van een entiteit, waarbij de teller dan de intensiteit van die eenheid geeft. De noemer is niet anders dan de uitdrukking van de maximale resolutie, dezelfde eenheid die een intervalmeting mogelijk maakt, namelijk het aantal atomen die elkaar uitsluiten (toestanden) en simultaan zijn zoals in een simultaneïteitsinterval. Dit is de eenheid van het maximale (minimale) verschil tussen toestanden. Dit is een abstractere definitie dan de eenheid van tijd en hebben we uitgebreid besproken als een vrijheidsgraad.

De n_i zijn tellingen, gehele getallen dus groter dan of gelijk aan nul. (n₀-n₁)²/(n₀+n₁)²>(n₁-n₂)²/(n₁+n₂)² betekent dan dat 2(n₀n₁-n₁n₂)(n₀n₂-n₁²) positief moet zijn en hiervoor is de conjunctie nodig van twee voorwaarden: zowel n₀>n₂ als n₀n₂>n₁². Dit betekent dat zowel n₀>n₂ moet gelden als n₀/n₁>n₁/n₂. Maar ook voldoet nog een andere conjunctie: zowel n₀<n₂ als n₀n₂<n₁² of dus zowel n₀<n₂ als n₀/n₁<n₁/n₂. Die disjunctie van een conjunctie van voorwaarden kunnen we als een nieuwe en meer toepasselijke formulering gebruiken voor continuïteit (een groter verschil impliceert een kleiner verschil): er moet een n₁ mogelijk zijn tussen n₀ en n₂ die daarenboven een bepaalde verhouding respecteert die een proces karakteriseert zodanig dat in het ene geval √n₀n₂>n₁ en in het andere geval √n₀n₂<n₁. Continuïteit is dan invariantie, beter uit te drukken als persistentie (wat betekent dat aspecten reversibel kunnen veranderen).

We kunnen persistentie visualiseren in de standaard geometrische taal door te zeggen dat er voor persistentie een oppervlakte (de intensiteit van <<een oppervlak>>) moet bestaan (het kwadraat van een “primitief verschil”, een “afstand”, (n₀-n₁)²) waardoor het mogelijk is een energie toe te voegen terwijl die energie door dat oppervlak terug kan afgegeven worden, “er is geen overdaad aan energie die het oppervlak kan vernietigen”. Hoe groter de oppervlakte (de intensiteit van <<het oppervlak>>), hoe meer energie kan doorgegeven worden, hoe meer energie kan getransformeerd worden, hoe meer soorten verbindingen tussen buffers, hoe meer energie kan doorgegeven worden, hoe groter het onderscheidingen universum, hoe meer verandering de entiteit kan “toestaan” zonder zelf te verdwijnen en dus hoe beter de entiteit kan persisteren.

Hier herkennen we ook de processnelheid van een veranderingsenergie als diffusie en convectie, of dissipatie van energie, proces dat louter als een verdeling van intensiteit over “ruimtelijke afstanden” te beschrijven is, waarbij één richting de rol inneemt van de steeds toenemende parameter die het mogelijk maakt om in die ruimte orde te definiëren. De mogelijkheid van entiteiten om transformaties mee te maken terwijl ze toch invariant blijven drukken we uit als “energie” die in de structuur van de entiteit kan gedissipeerd worden omdat hiervoor processen beschikbaar zijn (met de gepaste verhoudingen tussen de geordende toestanden en dus ook de opeenvolgende toestanden die de ordening respecteren). Die processen kunnen we karakteriseren op twee dimensies: zowel intensiteit (amplitude als resultaat van resonantie, coördinatie van golven) als de resonantie zelf (frequentie, het simultaan voorkomen van punten van maximale zekerheid) vallen binnen de onvermijdelijke grenzen van een interval dat voor de entiteit beschikbaar is (mogelijks te ervaren en mogelijks te gebeuren). De veranderingsenergie bepaalt welke twee entiteiten onvermijdelijk worden en wanneer.

Persistentie als causale continuïteit

We zullen nu twee verschillende ordeningen onderscheiden van elkaar, een ordening die we als stappen in een proces kunnen onderscheiden en een ordening die we als een boloppervlak kunnen voorstellen. We bouwen daartoe een tralie met vier atomen in het getallendomein. We kiezen dan de vier AND-atomen (die toestanden zijn) als verschillende priemgetallen of inverse priemgetallen. Zij zijn door het feit dat ze verschillen, automatisch geordend maar we kunnen ze ook als punten op een boloppervlak voorstellen. Deze tralie heeft dan 16 eenheden die simultaan kunnen gebeuren in het ervaren zelf. We kiezen één van de toestanden als de momentane en dan zijn er drie verschillen te modelleren van de drie andere toestanden met de momentane toestand.

Dynamiek (de stappen in een proces) kunnen we modelleren door de intensiteit van elk van de vier atomen te volgen bij dezelfde stap in een proces. De atomen zijn aspecten van gedrag. Een dynamiek die de entiteit niet vernietigt kunnen we ons als volgt voorstellen: projecteer de potentiële tralie op een boloppervlak (of een gelijkaardige topologisch oppervlak) en beschouw dan een punt op het oppervlak als een atoom. Dat is altijd mogelijk door een geschikte rotatie uit te voeren. Dat oppervlak is geen geometrisch concept maar een concept met twee operationeel te definiëren metrieken die enkel afhangen van het aantal atomen. Als we verandering veronderstellen die de relatie tussen de punten niet verandert, dan is het volgende ervaren atoom van dezelfde entiteit gelegen op ofwel een grotere straal, ofwel een kleinere straal gedefinieerd in dit punt van de topologie waarbij de intensiteit gegeven wordt door een eigenwaarde en het proces een cumulatie (positieve feedback) of een decumulatie (negatieve feedback) is. In de ontwikkeling van deze dynamiek hebben we de toename of afname per stap een eigenwaarde genoemd en dit is een getal tussen 0 en 1 als we ook de eigenwaarde als entiteit willen interpreteren. Dat is niet anders dan een eigenschap van de verhouding v_ij=(n_i-n_j)/(n_i+n_j). Enkel inverse priemgetallen voldoen dus aan deze manier om dynamiek van toestanden voor te stellen. Zo beschouwen we de tralie als opgebouwd door vier inverse priemgetallen.

Neem nu n₀, n₁ en n₂ als inverse priemgetallen, ze zijn dan allemaal groter dan nul en kleiner dan 1 en kunnen de rol spelen van een eigenwaarde. Die eigenwaarde kan invariant zijn of kan veranderen bij elke stap en dat is wat we uitgebreid gemodelleerd hebben. Bij elke stap kunnen er dus andere priemgetallen betrokken zijn. In de dynamiek van één toestand zijn drie geordende getallen dus n₀, n₁ en n₂ bij de start (die drie toestanden gebeuren simultaan); (1±n₀)¹, (1±n₁)¹ en (1±n₂)¹ na de eerste stap. Na de eerste stap is de intensiteit van een van de vier toestanden de som van een constant getal (1) en een variabel getal (n_i) dat een invers priemgetal is en i is hierin een getal van 0 tot en met 3. In die tralie (na één stap) zijn er dus 4 eenheden van het getaltype 1+n_i. Maar nu moeten we voorzichtig zijn want de nieuwe potentiële eenheid die ontstaat moet terug kunnen geroteerd worden zoals de oorspronkelijke eenheid en we hebben de getalrelaties daarvan reeds gemodelleerd door gebruik te maken van een nieuw soort invers dat enkel gebaseerd is op priemgetallen (zie het voorbeeld: in een tralie met twee onderscheidingen a en b en atomen 2, 3, 5 en 7, heeft de volgende keuze voor a∼10=2×5 als inbedding en dus invers <a>∼21=2×3×5×7/2×5 en b∼6=2×3 als inbedding <b>∼35=2×3×5×7/2×3, de dualiteit met inverse priemgetallen is dus duidelijk een normaliserende factor). We hebben nu het getal 1 gebruikt (één entiteit) maar eigenlijk moeten we ons afvragen of er een aantal (een getal) G te vinden is dat (de)cumuleert en de toestanden zouden dan gegeven worden door de getallen (G±n₀)¹, (G±n₁)¹ en (G±n₂)¹ na de eerste stap, enzovoort voor alle volgende stappen; …; (G±n₀)^t, (G±n₁)^t en (G±n₂)^t na de t-de stap. De (de)cumulatie wordt door de exponent gegeven en dit is een bijectie. Dus voor elke exponent zal evenzeer de beginvoorwaarde gelden als deze al geldt voor de eerste stap.

Als we de oorspronkelijke entiteit willen behouden dan zijn er hiervoor twee mogelijkheden: ofwel zowel (G±n₀)<(G±n₂) als (G±n₀)(G±n₂)<(G±n₁)² ofwel zowel (G±n₀)>(G±n₂) als (G±n₀)(G±n₂)>(G±n₁)².

We onderzoeken daarom het verschil (G±n₁)²-(G±n₀)(G±n₂). Als dit positief is, geldt (G±n₀)(G±n₂)<(G±n₁)², als dit negatief is geldt (G±n₀)(G±n₂)>(G±n₁)².

Deze modellering is gemakkelijker te volgen als we priemgetallen beschouwen in plaats van inverse priemgetallen. Beide modellen zijn elkaars duaal omdat we een nieuw invers hebben gedefinieerd, waarbij het product van priemgetallen een normaliserende rol speelt.

We nemen nu de startsituatie (dus n₀, n₁ en n₂) als geordende priemgetallen. We zoeken nu priemgetallen waarvoor geldt dat zowel n₀<n₂ als n₀n₂<n₁². Uiteraard is de tweede voorwaarde niet een voorwaarde voor priemgetallen maar een voorwaarde voor semipriemgetallen. Dan komt ook de totient functie in beeld maar dat is nu niet de focus.

We geven nu voorbeelden met geordende priemgetallen bij de start:

n₀=2, n₁=3 en n₂ =5 voldoen niet als priemgetallen aangezien 2*5=10>3²=9, dus hun inversen voldoen aan de duale relatie.

n₀=3, n₁=5 en n₂ =7 voldoen als priemgetallen aangezien 3*7=21<5²=25, dus hun inversen voldoen niet aan de duale relatie.

n₀=5, n₁=7 en n₂ =11 voldoen niet als priemgetallen aangezien 5*11=55>7²=49, dus hun inversen voldoen aan de duale relatie.

n₀=7, n₁=11 en n₂ =13 voldoen als priemgetallen aangezien 7*13=91<11²=121 enz…

Het is duidelijk dat het onmogelijk is dat n₀n₂₌n₁². Er geldt altijd een strikte ordening voor priemgetallen en geen enkel priemgetal is een getalproduct. Maar dat geldt natuurlijk niet voor verschillen van priemgetallen (de “gaten” tussen priemgetallen), en we merken op dat het onvermijdelijk verschillen zijn die we waarnemen. De tabel hieronder geeft alle priemgetallen kleiner dan 60, geordend per grootte en hun onderlinge verschillen. Enkel tussen 2 en 3 is het verschil gelijk aan 1, alle andere verschillen zijn even. Dit maakt duidelijk dat we altijd priemgetallen kunnen kiezen die exact hetzelfde getal verschillen van elkaar.

Het gevolg hiervan is dat we voor sommige keuzen van priemgetallen een willekeurige ±G kunnen vinden zodanig dat (±G±n₀)(±G±n₂)+constante=(±G±n₁)². Dan geldt dat de constante gelijk is aan het verschil (±G±n₁)²-(±G±n₀)(±G±n₂). We moeten daartoe drie opeenvolgende priemgetallen gebruiken die evenveel verschillen van elkaar en dat gaan we nu illustreren.

Een eerste voorbeeld voor een geordend drietal is (3, 5, 7). De drie opeenvolgende priemgetallen verschillen 2 met elkaar. We kunnen ook de priemgetallen verder uit elkaar nemen, zo is 8 het verschil tussen (3, 11, 19), 10 is het verschil tussen (3, 13, 23), 14 is het verschil tussen (3, 17, 31) en 20 is het verschil tussen (3, 23, 43). Het verschil 6 komt in alle strikt opeenvolgende drietallen van priemgetallen veel voor. Ook het verschil 12 komt voor bij drie strikt opeenvolgende priemgetallen kleiner dan 1000 en er is bewezen dat veelvouden van 6 oneindig veel voorkomen.

Laten we dat eens volledig uitschrijven.

(n₀, n₁, n₂) als (3, 5, 7) in het patroon n₀n₂=n₁²-2²

Het verschil is telkens 2. Dus 3=5-2 en 7=5+2 en dus 3*7=(5-2)*(5+2)=5²-2². Er geldt dan ook 3+7=2*5.

Maar hier volgt onmiddellijk uit dat dezelfde relatie geldt voor gelijk welke som of verschil van n_i met hetzelfde getal.

Vervang 3 door 4, 5 door 6 en 7 door 8, dan geldt 4=6-2 en 8=6+2 en dus 4*8=(6-2)*(6+2)=6²-2²

Vervang 3 door 1, 5 door 3 en 7 door 5, dan geldt 1=3-2 en 5=3+2 en dus 1*5=(3-2)*(3+2)=3²-2²

Vervang 3 door 0, 5 door 2 en 7 door 4, dan geldt 0=2-0 en 4=2+2 en dus 0*4=(2-2)*(2+2)=2²-2²

Vervang 3 door -1, 5 door 1 en 7 door 3, dan geldt (-1)=1-2 en 3=1+2 en dus (-1)*3=(1-2)*(1+2)=1²-2²

Vervang 3 door -2, 5 door 0 en 7 door 2, dan geldt (-2)=0-2 en 0=0+2 en dus (-2)*2=(0-2)*(0+2)=0²-2²

De relatie blijft ook gelden voor sommen of verschillen van reële getallen of andere meer complexe getallen. We geven een voorbeeld voor een som met √2:

Vervang 3 door 3+√2, 5 door 5+√2 en 7 door 7+√2, dan geldt 3+√2=5+√2-2 en 7+√2=5+√2+2 en dus (3+√2)*(7+√2)=((5+√2)-2)*((5+√2)+2)=(5+√2)²-2² en dat is terug het patroon n₀n₂=n₁²-2².

Dat betekent dat het patroon van een dubbelgetal essentieel blijkt te zijn.

(n₀, n₁, n₂) als (3, 11, 19) in het patroon n₀n₂=n₁²-8²

Het verschil is telkens 8. Dus 3=11-8 en 19=11+8 en dus 3*19=(11-8)*(11+8)=11²-8². Er geldt dan ook 3+19=2*11.

We kunnen bij de drie getallen n_i een willekeurig getal optellen of aftrekken zonder dat het patroon verandert.

(n₀, n₁, n₂) als (3, 13, 23) in het patroon n₀n₂=n₁²-10²

Het verschil is telkens 10. Dus 3=13-10 en 23=13+10 en dus 3*23=(13-10)*(13+10)=13²-10². Er geldt dan ook 3+23=2*13.

We kunnen bij de drie getallen n_i een willekeurig getal optellen of aftrekken zonder dat het patroon verandert.

(n₀, n₁, n₂) als (47, 53, 59) in het patroon n₀n₂=n₁²-6²

Het verschil is telkens 6. Dus 47=53-6 en 59=53+6 en dus 47*59=(53-6)*(53+6)=53²-6². Er geldt dan ook 47+59=2*53.

We kunnen bij de drie getallen n_i een willekeurig getal optellen of aftrekken zonder dat het patroon verandert.

Persistentie is altijd mogelijk

Een meting of een waarneming kunnen we altijd modelleren als een verschil. Een verschil is niet commutatief. We kunnen verschillen maken van verschillen. We hebben aangetoond dat sommige verschillen die zo geconstrueerd worden, kunnen geïnterpreteerd worden als de eenheid van een toestand. In het binair model herkennen we dat als één bit. Voor die ene bit kunnen we een intensiteit veronderstellen (waarmee we de bit modelleren als een soort). We hebben dan op het meest primitieve niveau de dynamiek onderzocht van een verschil, de meest primitieve eenheid. We hebben een tralie opgebouwd met enkel priemgetallen of inverse priemgetallen en met hun verschillen hebben we niet commutatieve verhoudingen v₀₁=(n₀-n₁)/(n₀+n₁) en v₁₂=(n₁-n₂)/(n₁+n₂) geconstrueerd. Wanneer we dan kiezen voor een ordening van de priemgetallen van klein naar groot, dan geldt (G±n₀)<(G±n₂), en voor de mogelijke waarneming van persistentie moet dan gelden dat (G±n₀)(G±n₂)<(G±n₁)². Dit betekent dat het verschil (G±n₁)²-(G±n₀)(G±n₂) positief moet zijn. We hebben bewezen dat we een keuze kunnen maken voor priemgetallen zodanig dat dit verschil altijd positief is (aangezien het een kwadraat is) en dat we ook G gelijk aan nul kunnen veronderstellen. Dus de modellering met goed gekozen priemgetallen maakt het altijd mogelijk om zowel geen als een onbeperkt aantal persistente entiteiten in een tralie voor te stellen. Het verbazende is misschien dan dat G geen telling moet zijn maar gelijk welk soort getal.

Onze zoektocht naar priemgetallen waarvoor geldt dat zowel n₀<n₂ als n₀n₂<n₁² wordt bepaald door de priemgetallen zelf die een constant kwadraat genereren waarbij n₀n₂=n₁²-e². Het kleinste getal voor e is 2 en e zal altijd even zijn, de enige uitzondering is het speciaal geval van drie priemgetallen 1, 2, 3 die 1 van elkaar verschillen, maar dat modelleert een één onderscheiding universum (aangezien de grootste gemene deler van 2 en 3 gelijk is aan 1). We kunnen gemakkelijk berekenen dat (1, 2, 3) kan geschreven worden in het patroon n₀n₂=n₁²-1². Immers 1*3=(2-1)*(2+1)=2²-1². En ook voor een één-onderscheiding universum is er dan altijd een keuze te maken van een getal ±G dat kan gesommeerd worden met elk priemgetal om dezelfde persistentie en hetzelfde evenwicht te kunnen uitdrukken.

Persistentie en Lorentz invariantie

Een getal G dat we bij elk getal kunnen optellen dat een atoom representeert kunnen we interpreteren als een Lorentz invariant. Dit maken we als volgt duidelijk: we hebben een tralie opgebouwd die de dynamiek uitdrukt van drie verschillen van toestanden die simultaan kunnen gebeuren bij de start naar een tralie met drie toestanden die simultaan gebeuren bij de processtappen t. De eenheid van de verschillen van toestanden hebben we gekozen met vier verschillende priemgetallen (of inverse priemgetallen) die daardoor onvermijdelijk ook strikt geordend zijn. We hebben bewezen dat er een keuze te maken is die de situatie van evenwicht (geen verandering in de dynamiek) kan modelleren voor een willekeurig getal m dat we zouden optellen of aftrekken van de vier toestanden. Hiermee kunnen we dus de stappen in de dynamiek beschrijven en dat is het helderst te zien met behulp van inverse priemgetallen, ze zijn dan allemaal groter dan nul en kleiner dan 1 en kunnen de rol spelen van een eigenwaarde. In de dynamiek van één toestand zijn drie (onvermijdelijk geordende) getallen dus n₀, n₁ en n₂ bij de start; (m±n₀)¹, (m±n₁)¹ en (m±n₂)¹ na de eerste stap; …; (m±n₀)^t, (m±n₁)^t en (m±n₂)^t na de t-de stap. Het getal m kan nul zijn en zo’n getal hebben we een Lorentz nulpunt genoemd en Lorentz invariant. Dit is een abstractie van de klassieke Lorentz invarianten (lichtsnelheid, ruimte-tijd afstand, rustmassa, elektrische lading), een abstractie van potentieel vermogen, te interpreteren als de grootte van het potentieel onderscheidingen universum dat, dank zij zijn potentialiteit, geen singulariteit kent.