Dat wat al eeuwen lang gekend is in het getallendomein zullen nu op een nieuwe manier interpreteren met de inzichten van het haakformalisme en we zullen dat terug stap voor stap opbouwen. We doen dat met een voorbeeld in vier priemgetallen omdat we die structuur goed kunnen voorstellen, maar het wordt duidelijk dat we gelijk welk aantal priemgetallen kunnen kiezen.

Simultaneïteitsintervallen in het getallendomein zijn zeer duidelijk en de metriek is goed gekend. Ook de structuur van een tralie vinden we terug in het getallendomein en dat is een fractaal structuur in twee metrische dimensies. Een tralie in het getallendomein is gebaseerd op priemgetallen. De rol van conjunctie en disjunctie in de partiële orderelatie van de tralie wordt dan vertaald als de grootste gemene deler en het kleinste gemene veelvoud van de getallen, waaruit dan nieuwe relaties zullen ontstaan.

Hieronder, in het formaat van een 4-hypercube de tralie van 16 punten gevormd door de vier priemgetallen 2, 3, 5 en 7 (die we dus afbeelden op de AND-atomen van een twee onderscheidingen universum), dus tussen 1 als het ene extremum en 2×3×5×7=210 als het andere extremum. Vier willekeurig andere priemgetallen zullen dezelfde structuur genereren en ook priemgetallen die enkel relatief priem zijn genereren dezelfde structuur. Het aantal priemgetallen beelden we dus af op het aantal toestanden van een onderscheidingen universum (een tralie). De andere punten zijn producten van deze, de punten op het centraal niveau zijn producten van twee priemgetallen, de punten op het niveau daaronder zijn producten van drie priemgetallen. We stellen een “niet gekwantificeerde” tralie voor, wat betekent dat geen van de punten een intensiteit heeft (de intensiteit is in dit geval een exponent, een aantal dat niet ingebouwd wordt in deze specifieke tralie), we kijken dus naar de relaties die 16 verschillende eenheden hebben met elkaar:

Hierbij meer gedetailleerd de vertaling van de 16 punten, verdeeld over de vier niveaus, in drie verschillende voorstellingswijzen: als welgevormde haakuitdrukking, als welgevormde haakvector en als getal.

Hierbij is 1 de grootste gemene deler van de getallen die afgebeeld worden op haakuitdrukkingen die elkaars inbedding zijn. Merk op dat dit geldt voor alle niveaus.

We kunnen ook onderliggende 1-onderscheidingen tralies onderscheiden (vier punten) voor alle punten die elkaar uitsluiten (ze zijn dus relatief priem). Een paar voorbeelden: (1, 3, 5, 15) met 2 punten van niveau 3; (1, 10, 21, 210) met 2 punten van niveau 2.

We hebben 4 priemgetallen gebruikt (2, 3, 5, 7) die een structuur opleveren die kan afgebeeld worden op een volledige tralie van onderscheidingen. Maar ook 3 of 2 priemgetallen zullen een tralie opspannen. Hieronder een voorbeeld met enkel de priemgetallen (2, 3 en 7) waarbij we de getallen die een vijfvoud zijn in een andere kleur aangeven omdat ze geen deel uitmaken van de gekozen tralie van drie priemgetallen en de 8 eenheden die hierdoor gegenereerd worden met extrema 1 en 42. Het is duidelijk dat we deze 8 punten nu als de hoekpunten van een kubus kunnen visualiseren.

Hiermee ontstaat dus een nieuwe interpretatie van inbedding, verschillend van de modulo2 en modulo3 interpretatie, inbedding die van toepassing is in het getallendomein en gebaseerd is op verhoudingen.

We geven hiervan een aantal voorbeelden die het patroon verduidelijken met expliciete notering van de extrema 1 en 2×3×5×7:

<<a><b>>∼(1×2) heeft als inbedding <a><b>∼105=(2×3×5×7)/(1×2)

a∼10=(2×5) heeft als inbedding <a>∼21=(2×3×5×7)/(2×5)

Met delingen kunnen we inderdaad een andere afbeelding construeren van inbeddingen in het getallendomein. Daartoe merken we eerst op dat er geen verschil is tussen de structuur van 16 punten met de structuur van de volgende tralie met getallen kleiner dan 1, maar dat beide voorstellingen natuurlijk niet zomaar met elkaar kunnen gemengd worden omdat we dan verschillende eenheden gaan sommeren met elkaar. De reciproque van een getal wordt soms de kromming genoemd, verwijzend naar de kromming van een cirkel: hoe groter de straal, hoe kleiner de kromming.

Dit maakt duidelijk dat 1/210 niet zomaar een product is maar ook de eenheid is van fracties van 1 die wel kunnen gesommeerd worden en die opgebouwd worden door de vier priemgetallen 2, 3, 5, 7, namelijk de atomen 2^-1, 3^-1, 5^-1, 7^-1. Hierin geldt:

<<a><b>>∼1/2 heeft als inbedding <a><b>∼1/105=2/2×3×5×7

a∼1/10=1/2×5 heeft als inbedding <a>∼1/21=2×5/2×3×5×7

Als we de atomen willen sommeren dan moeten we ze op dezelfde noemer brengen, dus: 2^-1+ 3^-1+ 5^-1+ 7^-1=3×5×7/2×3×5×7+2×5×7/2×3×5×7+2×3×7/2×3×5×7+2×3×5/2×3×5×7=(105+70+42+30)/210=(210+37)/210=1+37/210 en dit is een dubbelgetal waarvan de term die een verhouding is uitdrukt voor welke tralie deze som relevant is (210 is een voorbeeld van een product van vier priemgetallen).

Deze tweede vorm maakt duidelijk hoe de tralie die afgebeeld wordt op een bol kan geroteerd worden met een specifieke intensiteit voor alle eenheden van de hele tralie. Dit wordt duidelijk met een voorbeeld.

We nemen nu de afbeelding met de 16 punten de inverse getallen als eenheden. Indien de intensiteit van de eenheid gelijk is aan een van de 16 gehele getallen in de eerste afbeelding, dan ontstaat een 1 en ook andere gehele getallen in de tweede vorm. Dit heeft een duidelijke relatie met dubbelgetallen. Om dit te illustreren kiezen we een intensiteit van de volledige tralie overeenkomend met een OR-atoom, zoals de intensiteit 70.

We zien de dubbelgetallen duidelijk weergegeven, het tweede deel van het getal (de verhouding kleiner dan 1) kan met één priemgetal weergegeven worden.

We kiezen nu een intensiteit van de volledige tralie overeenkomend met het getal op centraal niveau, zoals de intensiteit 6.

We zien de dubbelgetallen duidelijk weergegeven als 1-1/7 en 1+1/5, de andere getallen kunnen we in dat formaat schrijven door nul te gebruiken. Een van de delen van het dubbelgetal is 1 of een natuurlijk getal groter dan 1. Het tweede deel van het getal is kleiner dan 1 en kan met één getal weergegeven worden die het product is van twee inverse priemgetallen. Bijvoorbeeld 1/7 is niet anders dan 5/35 en 2/5 is niet anders dan 14/35. Een van de getallen noteren we als 1-1/7 in plaats van 6/7, wat natuurlijk het modulo rekenen illustreert.

Dit maakt onmiddellijk duidelijk dat dit verder uit te breiden is. Als we een intensiteit kiezen overeenkomstig het getal dat een AND-atoom representeert, kan het tweede deel van het getal (kleiner dan 1) dan met één verhouding weergegeven worden waarvan de noemer het product is van drie inverse priemgetallen.

Al deze patronen zijn uiteraard naar hogere universa uit te breiden en we herkennen de rol van de priemgetallen en hun inversen als de constituerende eenheden die beide een rol spelen in de dubbelgetallen die een tralie kunnen voorstellen.

Dubbelgetallen en de grootse gemene deler als eenheid

We tonen nu aan dat de dubbelgetallen het gevolg zijn van een eigenschap van de grootste gemene deler als eenheid die een intensiteit kan krijgen. We brengen dat aan met een voorbeeld dat gemakkelijk te volgen is en waarvan de abstractie dan voor de hand ligt. Dit is niet anders dan de stelling van Bachet-Bézout die we uitbreiden naar reële en ook complexe getallen, waarbij we duidelijk een verschil zien tussen eenheid (begrensd en discontinu) en intensiteit (onbegrensd en continu).

We veronderstellen nu twee willekeurige getallen met grootste gemene deler het priemgetal 3, namelijk 3a en 3b. Dus 3 gedraagt zich zoals een gezamenlijke eenheid, vergelijkbaar met het getal 1 (en dus het supremum of infimum van een tralie).

We bewijzen nu dat er altijd een x en een y te vinden zijn met x(3a)+y(3b)=3 waarbij dus x de intensiteit is van de eerste eenheid en y de intensiteit is van de tweede eenheid die dan enkel 3 als gezamenlijke eenheid hebben. We kiezen nu a=10 en b=13 (beide zijn relatief priem) en dus 30x+69y=3.

We substitueren hierin x=x’-2y.

30(x’-2y)+69y=3

30x’-60y+69y=3

30x’+9y=3

Er zijn nu nog enkel drievouden over.

Nu voeren we een volgende substitutie door: y=y’-3x’

30x’+9(y’-3x’)=3

30x’+9y’-27x’=3

3x’+9y’=3

Nu volgt een laatste substitutie: x’=x”-3y’

3(x”-3y’)+9y’=3

3x”-9y’+9y’=3

3x”=3

Hieruit volgt

x”=1

We merken nu op dat per constructie y’ gelijk welke waarde kan hebben. We kiezen dus een y’ en berekenen de andere intensiteiten.

Het eenvoudigste voorbeeld is y’=0

Met x’=x”-3y’ volgt x’=1

Met y=y’-3x’ volgt y=-3

Met x=x’-2y volgt x=1+6=7

Dus de twee intensiteiten zijn 30(7)+69(-3)=3

Kiezen we nu y’=1

Met x’=x”-3y’ volgt x’=1-3=-2

Met y=y’-3x’ volgt y=1+6=7

Met x=x’-2y volgt x=-2-14=-16

Dus de twee intensiteiten zijn 30(-16)+69(7)=3

Kiezen we nu y’=1/11

Met x’=x”-3y’ volgt x’=1-3/11=8/11

Met y=y’-3x’ volgt y=1/11-24/11=-23/11

Met x=x’-2y volgt x=8/11+46/11=54/11

Dus de twee intensiteiten zijn 30(54/11)+69(-23/11)=3

We merken nu op dat met z gelijk welk getal (z)30x+(z)69y=(z)3 dus dit bewijst het universele van deze dubbelgetal constructie, inclusief dus getallen waarvoor we niet kunnen kiezen zoals π of ook complexe getallen met i=√-1 en nog andere getalconstructies (denk aan quaternionen enz...).

We kunnen met een voorbeeld zien waarom dit mogelijk is. “Kiezen we nu” y’=π (of y’=√-1, enz...) dan gelden:

Met x’=x”-3y’ volgt x’=1-3π

Met y=y’-3x’ volgt y=π-3+9π=-3+10π

Met x=x’-2y volgt x=1-3π+6-20π=7-23π

Dus de twee intensiteiten zijn 30(7-23π)+69(-3+10π)=3. De term met π (of √-1, enz…) speelt geen rol meer.

Twee getallen die relatief priem zijn spannen een dubbelgetal op dat als eenheid kan gebruikt worden. Neem als voorbeeld (z)30x+(z)69y=(z)3 en deel door (z)3, er geldt 10x+13y=1 en 10 en 13 zijn relatief priem, aan x en y zijn geen eisen gesteld, ze kunnen reëel zijn, complex, quaternion enz… We zien dus duidelijk het verschil tussen een eenheid en zijn intensiteit. Een rationaal getal is dus niet eenduidig bepaald, neem de verhouding van twee eenheden p/q dan kunnen we dat evenzeer schrijven als zp/zq waarbij z gelijk welk getal kan zijn, een geheel, reëel, dubbelgetal enz...

Dubbelgetallen in het patroon x±x^-1

We onderzoeken eerst onder welke voorwaarden een getal g te schrijven is in het dubbelgetal patroon x+x^-1 met x een reëel getal. Dit is niet anders dan x+x^-1=g en dus x²+1=gx. Dat zijn dus de voorwaarden waaronder x²-gx+1=0 reële oplossingen heeft. De discriminant moet positief zijn en dus moet g²≥4. Dat betekent dat elk getal g dat in absolute waarde groter is dan 2 in het dubbelgetal patroon x+x^-1 kan geschreven worden met x een reëel getal. We merken dan op dat er altijd geldt dat x²-gx-1=0 twee reële oplossingen heeft: 2x=g+(g²+4)^1/2 en 2x=g-(g²+4)^1/2. De vergelijking x²-gx-1=0 delen door een x verschillend van nul is natuurlijk niet anders dan x-x^-1=g. We hebben dus de voorwaarden gevonden waaronder een getal te schrijven is in het dubbelgetal patroon x±x^-1.

Het patroon p±p^-1 en de structuur van een tralie

A fortiori geldt dat dus dat we ook met priemgetallen getallen kunnen construeren in de vorm p±p^-1. Een priemgetal p wordt gekenmerkt doordat de grootste gemene deler met gelijk welk ander getal het getal 1 is. Volgens de stelling van Bachet-Bézout zijn er dus altijd twee intensiteiten x en y te vinden zodanig dat (1)x+(p)y=1 en dus ook (1/p)x+(1)y=1/p.

Dus voor eenheid p is de intensiteit y en er geldt dat (p)y=(1)(1-x) en voor eenheid (1/p) is de intensiteit (x-1) en er geldt dat (1)y=(1/p)(1-x)

Dus 1, p en 1/p zijn als extrema met elkaar gerelateerd en spannen een tralie op van één onderscheiding. Aangezien een willekeurig natuurlijk getal als een product van priemgetallen kan voorgesteld worden geldt dat dus voor alle rationale getallen.

Eenheid, tralie en rationale getallen zijn dus onlosmakelijk met elkaar verbonden en zijn een afbeelding van de fundamentele structuur van een onderscheidingen universum. Rotaties zijn geselecteerde intensiteiten van tralies. Elk van de 2EXP2ⁿ punten van de tralie is een eenheid en die eenheden zijn onvermijdelijk door de traliestructuur met elkaar verbonden.