We hebben met een constante eigenwaarde een cumulatie berekend van een eenheid. Een constante eigenwaarde is niet anders dan een constante verhouding van opeenvolgende intensiteiten in een proces. Cumulatie leidt tot het inzicht dat een proces een eigenwaarde kan hebben die ook berekend kan worden uit een soort tijd die we met een “eigen klok” van het proces de “eigen m-tijd” kunnen noemen, gemeten als het aantal stappen waarbij een ver-m-voudiging van de cumulatie optreedt, m kan hierbij groter of kleiner zijn dan 1. Het kleinste getal is m=2, wat leidt tot een verdubbeling enerzijds en een halvering anderzijds. Het getal m is een geheel getal omdat we eenheden tellen: tellen we 2 eenheden, dan is dat een verdubbeling van de eenheid. Berekenen we “½ eenheid” (we kunnen dan wel berekenen maar niet tellen), dan is dat de halvering van de intensiteit van de eenheid, want de eenheid zelf kan niet gehalveerd worden.

Vanuit de cumulatie die praktisch kan berekend worden, zowel door een fractie k te veronderstellen met 0<k<1, als door het aantal stappen te tellen waarbij een verdubbeling van de eenheid optreedt, hebben we ook een processnelheid gedefinieerd die enkel gebruik maakt van de intensiteiten die cumuleren, niet van hun eenheden. We kunnen dit doen door een verhouding te definiëren, waarbij de eenheid dezelfde is in teller en noemer. Op die manier “verdwijnt” de eenheid uit de berekening. Om de aandacht te richten gebruiken we de gelijkheid: (x-x₀)n/(x-x₀)m=n/m. We noteren de stappen in het proces door een index i voor de intensiteit n_i bij die stap i van een eenheid die niet meer relevant is voor de verhouding. Het zijn die intensiteiten die we gebruiken om de verhouding te berekenen. Die verhouding, die we snelheid noemen noteren we als v_i(i+1) voor een geordende stap van toestand_i naar toestand_i+1 en is de verhouding van een verschil tot een som: v_i(i+1)=(n_i-n_i+1)/(n_i+n_i+1). Doordat we twee opeenvolgende stappen nemen (i en i+1), en niet zomaar willekeurige stappen is dat een snelheid die eigen is aan de verandering zelf en die onafhankelijk is van de eenheid van de cumulerende intensiteiten. Merk op dat v_i(i+1) niet anders is dan een verschil, namelijk (n_i)/(n_i+n_i+1)-(n_i+1)/(n_i+n_i+1). Hierin is (n_i+n_i+1) als noemer de nieuwe eenheid.

De procedure van het berekenen van sommen en verschillen met intensiteiten kunnen we dan ook verder zetten door de reeds gedefinieerde en opeenvolgende snelheden op te tellen en af te trekken. Zo definiëren we ook een versnelling die eigen is aan het proces. Met snelheid en versnelling kunnen we dan een vermogen berekenen, ook weer enkel gebaseerd op de intensiteiten n_i. Dat zijn allemaal verhoudingen die onafhankelijk zijn van de eenheid waarin de intensiteiten uitgedrukt worden.

We kunnen nu verschillende processen onderzoeken die cumuleren. We geven verschillende voorbeelden. Die voorbeelden illustreren dat het basis proces een proportionele cumulatie is. Bij een proportionele cumulatie geldt bij stap i+1: n_i+1=n_i+kn_i, met k de constante eigenwaarde van het proces (de constante eigenwaarde van de dynamiek). Hieruit volgt:

v_i(i+1)=(n_i-(n_i+kn_i))/(n_i+(n_i+kn_i))=-(kn_i))/(2n_i+kn_i))=-k/(2+k).

Er geldt dus v_i(i+1)=-k/(2+k) en dus ook k=-2v_i(i+1)/(1+v_i(i+1)). Een constante k leidt dus tot een constante v_i(i+1) en omgekeerd. Een k=0 zorgt voor een processnelheid gelijk aan nul en dat interpreteren we als evenwicht: we merken geen verandering van de intensiteit van het spoor.

Dus v_i(i+1) is niet anders dan een niet lineaire transformatie van k, onafhankelijk dus van de intensiteiten n_i.

Een processnelheid -k/(2+k) kan altijd geschreven worden als (1-k’)/(1+k’) voor k’=1+k. Dit is een verhouding van dubbelgetallen.

Hieronder een voorbeeld van -k/(2+k) (vierkant datapunt) en (1-k)/(1+k) (ruit datapunt) voor een 0<k<1 in 50 stappen, de best passende veelterm van graad 2 en zijn determinatiecoëfficiënt. De grafiek met het ruit datapunt geeft voor een lineaire k tussen 0 en 1 de kwadratische relatie tussen 1 en 0.

Stel dat we een variabele v_i(i+1) vaststellen in het proces van cumulatie, zoals dat in de meeste voorbeelden gemodelleerd wordt, dan kunnen we daaruit een variabele eigenwaarde k_i berekenen en dus ook een variabele “eigen m-tijd”. We kunnen dat ook als volgt interpreteren: een snelheid berekenen we door aan elke stap zijn eigen normalisatie te geven, zodanig dat de eenheid van de cumulatie bij elke stap geen rol meer speelt. Immers: elke stap in het proces kan zijn eigen schaal definiëren door dubbelgetallen te gebruiken als eenheden. Die schaal stelt de niet commutatieve cumulatie gⁿ (het product van n maal g) gelijk aan de “klassieke cumulatie ng” (de som van n maal g) die wel commutatief is. Wanneer we een dubbelgetal kiezen als g dan is er een gebied waarin f(n)=gⁿ-ng twee oplossingen heeft zoals we kunnen zien op de grafiek voor g=(1+0,6) in stappen van 0,1n waarbij we ook n negatief kunnen veronderstellen.

De grafiek is afhankelijk van het getal g. De twee keuzen voor n waarbij gⁿ-ng=0 geven dan, naast het getal 1, ook een tweede mogelijkheid tot normalisatie bij elke stap in een proces waarin we de intensiteit van de eenheid kunnen modelleren als (1±k)ⁿ.

Kiezen we eigenwaarde k negatief, dan is f(n) monotoon dalend. Voor een positieve k kleiner dan 1 heeft f(n) twee mogelijke waarden: ofwel positief, ofwel negatief. Bij een eigenwaarde k=1,5937435 is er geen negatieve waarde meer voor de functie en is er maar één nulpunt meer, voor een grotere k zijn er geen nulpunten. Maar dat k dan groter is dan 1 betekent dat na één processtap al meer dan een verdubbeling van de gekozen eenheid optreedt. Hiermee wordt een fluctuatie rond 1 gemodelleerd die we ook kunnen begrijpen als een trilling die spontaan ontstaat en in fase is met de toenemende stappen, die op een andere schaal (met een andere keuze van k) niet waarneembaar is. Trillingen leiden tot resonantie en dus waarneembaarheid als gevolg van een keuze voor trillingen die in fase zijn en daardoor de amplitude van de trilling in een waarneembaar venster brengen.

A fortiori is dit dus ook voor g gelijk aan de constante e van Euler (e=g=2,71828182845904) en dan heeft f(n)=gⁿ-ng geen nulpunt. Dan is de waarde van f(n) altijd positief. Als n groter is dan 1 en bij elke stap groter gekozen wordt, dan is de waarde (1+1/n)ⁿ een steeds betere benadering van het getal e. Door de constante e te gebruiken als grondtal voor exponenten benaderen we dus de werkelijkheid zonder rekening te kunnen (of moeten) houden met schaaleffecten als gevolg van duale (positief versus negatief) relaties. Wanneer we eⁿ schrijven als (1+k)ⁿ, dan is duidelijk dat k=1,71828182845904 en dus is k groter dan 1 en dus worden voor de keuze van e ook fluctuaties gemodelleerd.