De fundamentele operatie in het getallendomein is het tellen: de gehele getallen kunnen gebruikt worden om de intensiteit van een eenheid voor te stellen. Tellen is een operatie die discontinu is, er wordt bij het tellen telkens dezelfde eenheid gesommeerd (afgetrokken). De eenheid stellen we voor als het getal 1. De eenheid wordt niet gewijzigd of getransformeerd, enkel de intensiteit wijzigt. Intensiteiten kunnen we verschalen en we kiezen een bepaalde schaal als we ratio meten. Met een verschaling kunnen we uitdrukken dat sommige eenheden invariant zijn voor wat betreft de operatie van het tellen. Alle schalen hebben dan dezelfde kwalitatieve waarde in de zin van “ja”: ze kunnen gebruikt worden zonder de eenheid in vraag te stellen. Als voorbeeld daarvan hebben we de afstand op een landkaart gebruikt: de afstand op de landkaart komt overeen met de afstand die in het landschap zelf kan gemeten worden en verschilt er enkel in waarde van (dat is de kwantitatieve waarde van de schaalfactor die de schaal zelf, de “ja”, kwantificeert). De kwalitatieve waarde is: “ja”, het is een afstand. De veronderstelling die getallen zinvol maakt is de keuze voor één eenheid en één schaal. Dit definieert de intensiteit van één simultaneïteitsinterval. Schaalfactoren zijn dus intensiteiten van een eenheid die staat voor het kleinste interval waarmee een simultaneïteitsinterval kan verdeeld worden in gelijke stukken. Maar we hebben vanuit het onderzoek naar tralies moeten besluiten dat we dan niet alle afstanden in een tralie kunnen voorstellen, we hebben onvermijdelijk een tweede dimensie nodig om een som of verschil van afstanden tussen twee toestanden (dit zijn twee verschillende eenheden) te kunnen uitdrukken. Enkel met een verschil kunnen we dynamiek modelleren. Daarenboven zijn we tot het besluit moeten komen dat daardoor alle afstanden gekromd zijn.

Schalen kunnen we vrij kiezen maar dan moeten we ook rekening houden met de operatie die we willen uitvoeren. Exponentiatie is niet commutatief, het getalproduct wel. Bij het getalproduct kunnen beide getallen de functie innemen van eenheid of van intensiteit. Bij exponentiatie is dat niet zo. In het getallendomein kunnen we enkel getallen hanteren, maar: om met getallen als eenheden tralies op te bouwen hebben we exponentiatie nodig. We tonen nu aan onder welke voorwaarden voor een n in een exponent (n is positief of negatief) we twee (!) schalen kunnen vinden zodanig dat het getal in de exponent zich voordoet als de intensiteit van de eenheid 1 als gewoon getalproduct, dat betekent dus dat gⁿ=ng of dus g^n-1=n, wat duidelijk maakt dat dit voor één (geheel) getal enkel geldt voor n=1. Maar als we g verschillend van 1 nemen, dus van het dubbelgetal type g=(1±k), dan kunnen we n ook als intensiteit beschouwen van g en niet enkel als eenheid. Dat betekent dus dat we kunnen veronderstellen dat we n in (gelijke) delen kunnen onderverdelen. Op die manier drukken we ook uit dat de priemgetallen de eenheden zijn van deze intensiteiten want enkel voor een priemgetal geldt dat het kan gedeeld worden door één getal verschillend van 1: het priemgetal zelf. Het resultaat van die deling functioneert dus als de eenheid van het priemgetal. Een product van verschillende priemgetallen modelleert dan simultaneïteit: dezelfde intensiteit voor meerdere eenheden is mogelijk. We kunnen dan veronderstellen dat er een zinvolle kleinste eenheid is van die intensiteit, stel 0<1/m<1 met m een positief getal. Dus dat n(1/m)=1 de intensiteit is van die kleinste eenheid (die a priori onbekend is maar verschillend van nul), en daarvan hebben we een onbeperkt aantal ter beschikking, inclusief alle mogelijke producten van priemgetallen die ook als eenheid kunnen gebruikt worden. We berekenen dan het verschil van gⁿ en ng, en we tonen de grafiek f(n)=gⁿ-ng en onderzoeken zijn nulpunten, dat zijn de punten waarbij gⁿ=ng.

Hieronder de grafiek tussen n=-10 en n=60 voor g=(1+0,6) in stappen van 0,1n (de intensiteit n van de zinvolle kleinere eenheid 1/2×1/5, dus m=10, een eenheid waar twee priemgetallen bij betrokken zijn). Voor n=0 is f(n) natuurlijk 1. Voor negatieve n is f(n) monotoon dalend naar 1. De twee intensiteiten waarbij de schaal gelijk is aan 1,6 zijn te vinden voor f(n)=0, namelijk n=10 (dus g^0,1×10-0,1×10g, wat de kleinste stap reflecteert) en een getal n met 38<n<39. In dit tweede geval geldt dan ook (in hybride notatie): g^38<n<39 =(38<n<39)g, en met een resolutie van 15 cijfers is dit n=38,9046357052191. We geven ook de best passende veelterm van graad vier, hoe groter de graad, hoe beter de passing. De passing is te zien aan de determinatiecoëfficiënt R².

De grafiek is afhankelijk van het getal g. We tonen nu ook de grafiek voor g=(1+0,5) in stappen van 0,1n tussen n=-10 en n=60. Voor n=0 is f(n) natuurlijk 1, en de twee intensiteiten waarbij de schaal gelijk is aan 1,5 zijn te vinden voor f(n)=0, namelijk n=10 en 49<n<50.

Dit illustreert een normalisatie die we kunnen doorvoeren door de schaal g aan te passen tussen intensiteit 38<n<39 of 49<n<50 afhankelijk van de waarde van k in g=(1+k) in stappen van 0,1n tussen n=-10 en n=60.

Onder de voorwaarde 0<k<1 zijn er steeds twee nulpunten voor f(n). Bij een k=1,5937435 is er geen negatieve waarde meer voor de functie en is er maar één nulpunt meer, voor een grotere k zijn er geen nulpunten.