Veronderstel een spontane evolutie die kan waargenomen worden (door een agens extern aan het proces) door sporen die afgescheiden worden. We veronderstellen nu ook dat we meerdere soorten sporen kunnen waarnemen die allemaal sporen zijn van hetzelfde proces. Dit betekent dat we kunnen veronderstellen dat de sporen het mogelijk maken om de evolutie van sommige metabolieten (dynamische entiteiten in hun dynamische context) te volgen, metabolieten die deel uitmaken van het proces maar waarvan de waarneming (van de sporen) de dynamiek van het proces niet beïnvloedt.

Om dit te modelleren starten we niet alleen van een n₀ als getal maar van een array (x₁, x₂, ..., x_i)₀ die de intensiteit als getal beschrijft van de toestand van i metabolieten die we als hypothese gekozen hebben bij de start van het proces en laten het proces lopen gedurende een tijd t₁. We tellen dus het aantal van de optredende metabolieten. Dus (x₁, x₂, ..., x_i)₀ is een klassieke enkelvoudige array (want het is een geordende lijst getallen). Elke component is een aantal en voldoet aan de veronderstellingen om te kunnen tellen. Deze getallen zijn sporen van het proces en zijn dus niet alleen afhankelijk van de dynamiek van het proces maar evenzeer van onze mogelijkheid om te tellen, bijvoorbeeld onze waarnemingsresolutie. Om de aandacht te richten hebben we bijvoorbeeld een warmtesensor die het aantal levende organismen telt maar geen uitsluitsel kan geven over hun soort, enkel over de hypothese dat de organismen zich zouden kunnen splitsen of samenvoegen waardoor er meer of minder zouden kunnen waargenomen worden. De codering die gebruikt wordt om te tellen karakteriseert de metaboliet dus niet, enkel zijn intensiteit en daarvoor gebruiken we getallen. De soort metaboliet (en dat is dus een hypothese) wordt hier dus gemodelleerd door een component van een klassieke array of vector.

Na verloop van tijd t₁ wordt de situatie (x₁, x₂, ..., x_i)₁ bereikt. De tijd t₁ is vrij te kiezen (we kunnen korter of langer wachten om een waarneming uit te voeren van een spontaan proces en dus kunnen we korter of langer wachten om het aantal entiteiten te tellen), dus (x₁, x₂, ..., x_i)₁ is “vrij te kiezen” als het gevolg ervan. Als er een verandering waarneembaar is, dan is minstens een van de getallen na verloop van tijd ofwel groter, ofwel kleiner geworden. Misschien zelfs zijn een aantal soorten metabolieten nu niet meer waargenomen (de intensiteit van een bepaalde component van de klassieke vector is dan nul) en andere, die eerst niet waarneembaar waren zijn nu wel waargenomen. Dit betekent dat we ze van meet af aan hadden moeten verwachten om ze te kunnen plaatsen in het model. Het is duidelijk dat dit bij de allereerste uitvoering van een spontaan proces niet mogelijk is, het ontstaan van sommige metabolieten zal ons soms verrassen, en zal ons aanzetten om het proces nog eens uit te voeren (waarbij de hypothese dan is dat “dit” mogelijk is en “iets” dus invariant is voor de actie van herhaling). De array die voorgesteld wordt door (x₁, x₂, ..., x_i) moet dus een unieke plaats reserveren voor elke waargenomen soort metaboliet zodanig dat men zich, door zich op die plaats te concentreren, kan concentreren op de veranderingen van intensiteit van één soort metaboliet. De array veronderstelt dus een isomorfisme tussen de plaatsen van (x₁, x₂, ..., x_i)₀ en (x₁, x₂, ..., x_i)₁. Dit maakt al duidelijk dat een eerste abstractie nodig is (de plaats in een array). De plaatsen sluiten elkaar uit: het zijn elkaar uitsluitende sporen van een proces, dit betekent dat een x_i0 en x_i1 elkaar uitsluiten. Ook dit laatste is weer een hypothese en zou uit correlatie onderzoek van de sporen moeten blijken (“indien a waargenomen wordt, wordt dan ook altijd b waargenomen?”).

De operatie die de verandering realiseert en dus (x₁, x₂, ..., x_i)₀ transformeert in (x₁, x₂, ..., x_i)₁ noemen we T₁. Zodanig dat we (x₁, x₂, ..., x_i)₁ ook kunnen noteren als (T₁(x₁), T₁(x₂), ..., T₁(x_i)). Deze transformatie levert een uniek resultaat op omdat elk moment in de tijd een ander moment uitsluit, dus deze transformatie wordt in het het haakformalisme gemodelleerd door een vectorvermenigvuldiging (formeel gedefinieerde transformatie). Dit is immers de meest minimale aanname want de alternatieve operaties, namelijk conjunctie of disjunctie, zouden veronderstellen dat een bepaalde richting in de evolutie verondersteld zou worden en dus simultaneïteit. We merken nu op dat voor deze arrays het vectorproduct niet verschillend is van een disjunctie (de plaatsen sluiten elkaar uit). Dit betekent ook dat deze operatie gemodelleerd wordt door een creatief product, het is inderdaad een <ℵ<p_i-1>>•<<ℵ><q_i-1>> met als momentane ℵ het spoor x_i. En dit geldt voor elke i. Dit spoor wordt dus afgescheiden als x_i, en p_i-1 en q_i-1 zijn de aspecten die wel stabiel blijven in het proces. Als gevolg van de veronderstelling dat we een array van getallen beschouwen geldt dat de soort die geteld wordt (de metaboliet) gegeven wordt door p_i-1•q_i-1. Deze soort is expliciet te schrijven als <x_I><<x>_I>. Hier verwijst I naar de opbouwende onderscheidingen, en zou <x_I> een andere naam zijn voor <p_i-1> en <<x>_I> zou een andere naam zijn voor <q_i-1>.

Dus (x₁, x₂, ..., x_i)₁ kunnen we expliciet schrijven als (<x_I<p_I-1>>•<<x_I1><q_I-1>>, <x_II1<p_II-1>>•<<x_II1><q_II-1>>, …,<x_III...1<p_III...-1>>•<<x_III...1><q_III...-1>>). Waarbij x_III...1 het afgescheiden spoor is.

We kunnen nu in de toestand (x₁, x₂, ..., x_i)₁ terug het proces laten lopen gedurende een tijd t₂ en dan wordt toestand (x₁, x₂, ..., x_i)₂ bereikt. De operatie die dit realiseert en dus van (x₁, x₂, ..., x_i)₁ naar (x₁, x₂, ..., x_i)₂ gaat noemen we T₂. Of we nu de metabolieten hadden waargenomen of niet doet er niet toe, het is een spontaan proces en het gaat door ook zonder onze waarneming, per definitie dus van een spontaan proces. Dus indien we het proces hadden laten lopen vanaf het willekeurig gekozen nulpunt (startpunt) in de tijd gedurende t₁+t₂ tijd, dan had hetzelfde resultaat moeten bekomen worden. Dus die potentialiteit uitdrukken vereist dat de som van tijden moet overeen komen met een product van operaties. We stellen dit voor als T₂⊙T₁. Wat we bereiken is dat het resultaat na die tweede transformatie dan kan genoteerd worden als (T₂⊙T₁(x₁), T₂⊙T₁(x₂), ..., T₂⊙T₁(x_i)).

Voor deze combinatie van operaties, voorgesteld met symbool ⊙ zijn er nu twee mogelijkheden voor welgevormde haakuitdrukkingen: het creatief product met ℵ, en het vectorproduct. In beide gevallen is het product van operaties associatief. Het verschil tussen beide is dat we in het eerste geval een spontane rotatie kunnen modelleren en dus een entiteit die stabiel blijft in het proces, en in het tweede geval een spontane degradatie (convergentie) naar een attractor en dus een entiteit die in het proces zelf verandert. Uiteraard kunnen beide simultaan gemodelleerd worden.

T als rotatie

De evolutie als een spontaan proces waarin een entiteit als invariant een aantal toestanden van een aantal metabolieten doorloopt kan beschreven worden als een rotatie. Immers voor één positie van de array van de sporen die de metabolieten achterlaten kunnen we de dynamiek voorstellen als een opeenvolging van toestanden S_i. Als hypothese is S_i een welgevormde haakuitdrukking en S_i is in de basis van de laatst toegevoegde onderscheiding voor te stellen als s_i1•(<>⊕<ℵ>)⊕s_i2•(<>⊕ℵ) en als (creatief) product genoteerd is dat (s_i1⊗s_i2)_ℵ. Dus kunnen we het proces voor een specifieke i als volgt door een rotatie voorstellen (s_i1⊗s_i1)_ℵ→(s_i1⊗s_i2)_ℵ→(s_i1⊗s_i2⊗s_i3)_ℵ→...→(s_i1⊗s_i2⊗s_i3⊗s_i4⊗s_i5...⊗s_in)_ℵ en dit is dan de uitdrukking voor <ℵ<s_i1>><<ℵ><s_in>>. In deze sequentie is → geen operator maar een scheiding tussen de verschillende elkaar uitsluitende toestanden van het proces. De mogelijke eindtoestanden van dit proces zijn altijd een atoombuur <ℵ<s_i1>><<ℵ><s_in>>, behalve voor n=1, in de tralie die door de toestanden opgespannen wordt.

De entiteit S die invariant is in het proces evolueert (roteert) van toestand (van metabolieten) naar toestand (van metabolieten). Aangezien in de tralie die door de toestanden opgespannen wordt elke toestand een andere uitsluit moeten we de invariant als een nevenschikking met de toestanden modelleren, dus Ss_n of S(s_i1⊗s_in)_ℵ en dat voor elke n.

T als convergentie

Formeel schrijven we in het algemeen geval (met → als de scheiding tussen de verschillende elkaar uitsluitende toestanden van het proces) uitgaande van de atomen (of andere elkaar uitsluitende punten) a_i dat het spontane degradatieproces in het haakformalisme gemodelleerd wordt door a₁→a₁•a₂→a₁•a₂•a₃→ enz... Merk op dat XOR in dit geval niet verschillend is van OR. In dit proces ontstaat om de twee stappen een veranderde entiteit, namelijk pas om de twee stappen wordt er terug een punt bereikt dat op een lager-onderscheidingen universum kan afgebeeld worden, en dat telbaar is. We onderzoeken nu de vorm (als welgevormde haakuitdrukking) die die entiteiten of metabolieten hebben.

Eén AND-atoom heeft, met de laatst toegevoegde onderscheiding ℵ, de vorm <ℵ<p₁>>. Eén atoombuur heeft de vorm <ℵ<p₁>>•<<ℵ><q₁>> dat is dus een vermenigvuldiging van contradualerende AND-atomen. We merken op dat p₁ en q₁ punten zijn die op een lager-onderscheidingen universum af te beelden zijn omdat hierin de laatst toegevoegde onderscheiding niet meer optreedt. Dit zijn dus de metabolieten of variabelen. Ook de telbare atoombuur <ℵ<p₁>>•<<ℵ><q₁>> is dus een metaboliet of variabele. Voor één positie van de array kunnen we het spontane degradatieproces dus als volgt voorstellen: <ℵ<p₁>>•<<ℵ><q₁>>→<ℵ<p₁>>•<<ℵ><q₁>>•<ℵ<p₂>>•<<ℵ><q₂>>→<ℵ<p₁>>•<<ℵ><q₁>>•<ℵ<p₂>>•<<ℵ><q₂>>•<ℵ<p₃>>•<<ℵ><q₃>>→ enz... want de laatst toegevoegde onderscheiding kan voor één (maar dan ook “maximaal complexe”) entiteit in zijn context, dus het éne proces, door hetzelfde symbool voorgesteld worden (is immers niet vrij te kiezen). We kunnen dit voor drie stappen ook anders schrijven als <ℵ<p₁•p₂•p₃>>•<<ℵ><q₁•q₂•q₃>> en voor een algemene metaboliet introduceren we dan een nieuwe notatie: <ℵ<p_•i>>•<<ℵ><q_•i>>, waarbij we onmiddellijk kunnen inzien dat deze overbodig is. Want we kunnen ook veronderstellen dat de p elkaar onderling uitsluiten als metabolieten en dat we dus elkaar uitsluitende metabolieten beschouwen (het zijn die, die we trouwens kunnen tellen bij het waarnemen ervan). Hetzelfde geldt voor de q die elkaar onderling uitsluiten, en dus ook elkaar uitsluitende metabolieten zijn. De twee blokken <ℵ<p_•i>> en <<ℵ><q_•i>> sluiten elkaar eveneens uit. Er is dus geen verschil met de volgende notatie: <ℵ<p_i>><<ℵ><q_i>> waarbij we de notatie gebruiken die we als patroon notatie geïntroduceerd hebben en een nieuwe notatie is dus niet nodig. Een metaboliet heeft dus de vorm <ℵ<p_i>><<ℵ><q_i>> en we tonen aan dat hierdoor de meest eenvoudige tralie opgespannen wordt.

De entiteit S die invariant is in het proces evolueert (convergeert) van toestand (metaboliet) naar toestand (metaboliet). Aangezien in de tralie die door de toestanden opgespannen wordt elke toestand een andere uitsluit moeten we de invariant als een nevenschikking met de toestanden modelleren, dus S<ℵ<s_n>> en dat voor elke n.

De volgende abstracties

We hebben aangetoond dat zowel rotaties als convergenties optreden. Divergentie is met de beschouwde type array niet uit te drukken, in deze veronderstelling gaan we er immers van uit dat alle plaatsen van de array (die dus voorzien zijn voor een bepaald soort metaboliet) vastliggen. De operaties die ageren op individuele componenten van de array zijn simultaan gerealiseerd. Dat is juist de betekenis van de tijd die doorlopen wordt door het waargenomen systeem en het relevant zijn van alle posities. Simultaneïteit is echter een volgende abstractie die eerst goed moet onderzocht worden zonder a priori. Het operationeel vaststellen van simultaneïteit betekent immers dat alle mogelijke waarnemingen, van (x₁, x₂, ..., x_i)₀ tot (x₁, x₂, ..., x_i)_n in hetzelfde onderscheidingen universum uitgedrukt worden (anders is “elkaar uitsluiten” niet formaliseerbaar, dat is trouwens de modellering van de verwachting (de plaats met daarenboven de intensiteit) van elke metaboliet en het aantal soorten metabolieten dat stabiel blijft). Inderdaad hebben we de invariante maar evoluerende entiteit als een blijvende keuzevrijheid (nevenschikking) moeten modelleren die niet uitgedrukt moet worden in de tralie die nodig en voldoende is om de metabolieten op te spannen. En ook dit is de uitdrukking van het vaststelling dat divergentie niet met de beschouwde type array uit te drukken is.

Om dat te kunnen modelleren moeten we dus overgaan van het waarnemen van (ten eerste): de (sporen van de intensiteit van de) entiteiten die we metabolieten genoemd hebben naar het waarnemen van (ten tweede): nieuwe entiteiten als “telbare variabelen”, dus entiteiten die alle waargenomen metabolieten, en de metabolieten die waargenomen hadden kunnen worden, kunnen opspannen en simultaneïteit zouden kunnen uitdrukken in het getallendomein naar (ten derde): een opspannend onderscheidingen universum. Dit betekent dus ook dat we op een bepaald moment moeten overgaan tot het waarnemen van een aantal onderscheidingen die enkel operationeel waarneembare ja-neen categorieën zijn en niet telbaar zijn.