Het klassieke energetisch vermogen is de energie die opgenomen wordt of afgegeven wordt per tijdseenheid. We hebben dat begrip kunnen modelleren als een van de mogelijke energiedensiteiten, de soort energie (die kan getransformeerd worden) per vrijheidsgraad. Voor de vrijheidsgraad hebben we dan het symbool T gebruikt, voor het vermogen het symbool V, voor de energie het symbool E en voor de densiteit van het vermogen A. Dit zijn rationale getallen omdat ze verhoudingen zijn. De T en E zijn een som van getallen en A en V zijn een verschil van getallen. We hebben dan een nieuwe verhouding 2EA berekend vanuit het product EA=½(V1+V2)T(V1-V2)/T=½(V12-V22) waarin de term T “verdween”. Dit betekent dat de waarde van 2EA niet afhangt van de eenheid waarmee V en A gemeten worden.
We moeten niet vergeten dat de vier symbolen T, E, A, V uitgedrukt worden in getallen van dezelfde soort ni die door één proces geordend zijn, bijvoorbeeld V1=(n0n1-n1n2)(2n0n2-2n12)/((n0+n1)3(n1+n2)3) en V1 wordt dus berekend uit de drie sporen n0, n1 en n2. V2 wordt dan niet vanuit diezelfde drie sporen berekend, tenzij in de evenwicht situatie waarin EA=0. Het is daartoe voldoende dat V2 berekend wordt op basis van één getal dat zich onderscheidt van de drie opeenvolgende sporen n0, n1 en n2, noem dit getal n3. We kunnen altijd dezelfde soort ordening in de getallen veronderstellen en we berekenen dan V2 met de opeenvolgende getallen n1, n2 en n3. De Vi getallen zijn dus duidelijk verschillend van de getallen waarvan alles vertrok, namelijk de ni, en ze zijn ook verschillend van de uit deze getallen geconstrueerde getallen (ni-ni+1) en (ni+ni+1) en hun ratio (ni-ni+1)/(ni+ni+1) die we de naam v(i)(i+1) (of snelheid) gegeven hebben. Een tabel met voorbeelden van opeenvolgende getallen, die door bekende processen gegenereerd worden, toont hun relatie. Het valt daarbij op dat enkel bij een proportionele cumulatie het vermogen gelijk is aan nul, bij elke andere cumulatie die toeneemt neemt het vermogen af.
Het vermogen is het product van de gemiddelde processnelheid met de procesversnelling. Daarom is het vermogen gedefinieerd tussen twee opeenvolgende snelheden (en dus drie opeenvolgende toestanden, versnelling is slechts definieerbaar vanaf drie toestanden).
Op basis van de geordende snelheden v01=(n0-n1)/(n0+n1) en v12=(n1-n2)/(n1+n2) noemen we dat vermogen V1.
V1=(n0n1-n1n2)(2n0n2-2n12)/((n0+n1)3(n1+n2)3) en hieruit volgt
E1=V1T1=(n0n1-n1n2)(2n0n2-2n12)/((n0+n1)2(n1+n2)2)=½(v012-v122)
A1=V1/T1=(n0n1-n1n2)(2n0n2-2n12)/((n0+n1)4(n1+n2)4)
E1A1=V12=(n0n1-n1n2)2(2n0n2-2n12)2/((n0+n1)6(n1+n2)6)
Op basis van de geordende snelheden v12=(n1-n2)/(n2+n3) en v23=(n2-n3)/(n2+n3) noemen we het vermogen V2.
V2=(n1n2-n2n3)(2n1n3-2n22)/((n1+n2)3(n2+n3)3) en hieruit volgt
E2=V2T2=(n1n2-n2n3)(2n1n3-2n22)/((n1+n2)2(n2+n3)2)=½(v122-v232)
A2=V2/T2=(n1n2-n2n3)(2n1n3-2n22)/((n1+n2)4(n2+n3)4)
E2A2=V22=(n1n2-n2n3)2(2n1n3-2n22)2/((n1+n2)6(n2+n3)6)
In totaal zijn er dus vier opeenvolgende toestanden betrokken die gekarakteriseerd worden door de getallen n0, n1, n2, n3. Hiermee definiëren we (2EA)12, gelijk aan -(2EA)21.
(2EA)12=2E1A1-2E2A2=V12-V22=(V1+V2)(V1-V2)=(n0n1-n1n2)2(2n0n2-2n12)2/((n0+n1)6(n1+n2)6)-(n1n2-n2n3)2(2n1n3-2n22)2/((n1+n2)6(n2+n3)6)
Dit expliciteert de getallen Vi die we vermogen noemen als we de getallen v(i)(i+1) een snelheid noemen. Dit geldt voor een versnelling als gevolg van een elektrisch potentiaalverschil of als gevolg van de aantrekkingsversnelling van een massa (typisch voor een eenheidsmassa). Vermogen en snelheid zijn beide voorbeelden van een processnelheid en een processnelheid is een interpretatie van een 1-splitsing (een dubbelgetal). Het onderzoek dat we nu zullen voeren is een patroononderzoek, uiteindelijk gebaseerd op de getallen ni waardoor ze betekenis krijgen: de ni zijn getallen die sporen zijn van de intensiteit van een toestand en een toestand is een relatief gegeven, het is een eenheid die een andere eenheid uitsluit. De relativiteit is dus bepaald door twee toestanden, onvermijdelijk de ene ten opzichte van de andere. Twee toestanden kunnen we op een ruimte-achtige manier met elkaar relateren (zoals twee toestanden “naast elkaar” op zelfde niveau in een tralie), maar twee toestanden kunnen we ook op een tijd-achtige manier met elkaar relateren (zoals twee opeenvolgende toestanden in een proces).
Dus op basis van vier opeenvolgende sporen (namelijk n0, n1, n2 en n3) berekenen we de geconstrueerde getallen Ti=tij, Ei, Ai en Vi. De geconstrueerde (2EA)ij is onafhankelijk van Ti=tij. Met de getallen Ei, Ai en Vi (met i=1, i=2) berekenen we nu weer een nieuwe verhouding, waarbij we Ti=tij niet meer nodig hebben: (2EA)12/(V1+V2)2=(V1+V2)(V1-V2)/(V1+V2)2=(V1-V2)/(V1+V2). Dat is niet anders dan een verschil ten opzichte van een som die in sommige gevallen alleen maar kan toenemen (als V1 en V2 geordend zijn door hetzelfde proces en hetzelfde teken hebben) en dat herkennen we: dat is een verhouding van intervallen, een schaalfactor waarmee we het patroon van een Lorentz boost kunnen construeren. De ordeningsparameter is hier dan een vermogen dat monotoon kan veranderen, een ordeningsparameter (V1+V2) die enkel toeneemt (of die enkel afneemt) en dat is niet anders dan het patroon van de tij getallen. We hebben inderdaad met een aantal voorbeelden aangetoond dat monotone cumulatie mogelijk is, we hebben daarbij zelfs vastgesteld dat een afname ook mogelijk is in het patroon van een gedempte trilling. Dat vermogen is dus een ordeningsparameter, “de stap in een proces”, die zich gedraagt zoals de tijd. Dat modelleerden we in het stappenmodel zonder a priori over tijd. Dat vermogen is een energiedensiteit die goed gedefinieerd is, ook met een eenheid die verschilt van de eenheid seconde. Als de eenheid van de energiedensiteit (de parameter T) kunnen we dus ook kiezen voor één bit, een betekende <<+1>> of een betekende <<-1>>, dit zijn eenheden die we kunnen concateneren waardoor we elk universum kunnen opspannen, zelfs met een ongekend aantal eenheden. Dat vermogen kiezen we dus als de energie per bit. Elke bit is een andere eenheid en elke bit kan een verschillende intensiteit hebben. Een welgevormde haakuitdrukking is dan het patroon van eenheden waarvan de intensiteiten gecoördineerd veranderen.
(2EA)12 is de naam voor een verschil van het kwadraat van vermogens, namelijk (2EA)12=V12-V22. We kunnen (2EA)12 nu een andere eenheid geven, we kiezen het kwadraat van (V1+V2) en (V1+V2) is een getal dat alleen maar toeneemt. Zo hebben we een nieuwe verhouding gecreëerd: (EA)12/(V1+V2)2=(V1-V2)/(V1+V2).
Uitgedrukt in de sporen van toestanden (namelijk n0, n1, n2 en n3), is dit de volgende uitdrukking:
(V1-V2)=(n0n1-n1n2)(2n0n2-2n12)/((n0+n1)3(n1+n2)3)-(n1n2-n2n3)(2n1n3-2n22)/((n1+n2)3(n2+n3)3)
(V1+V2)=(n0n1-n1n2)(2n0n2-2n12)/((n0+n1)3(n1+n2)3)+(n1n2-n2n3)(2n1n3-2n22)/((n1+n2)3(n2+n3)3)
Teller en noemer brengen we op dezelfde eenheid:
(V1-V2)=((n0n1-n1n2)(2n0n2-2n12)(n2+n3)3-(n1n2-n2n3)(2n1n3-2n22)(n0+n1)3)/((n0+n1)3(n1+n2)3(n2+n3)3)
(V1+V2)=((n0n1-n1n2)(2n0n2-2n12)(n2+n3)3+(n1n2-n2n3)(2n1n3-2n22)(n0+n1)3)/((n0+n1)3(n1+n2)3(n2+n3)3)
De verhouding (V1-V2)/(V1+V2) is dus onafhankelijk van die eenheid.
(V1-V2)/(V1+V2)=((n0n1-n1n2)(2n0n2-2n12)(n2+n3)3-(n1n2-n2n3)(2n1n3-2n22)(n0+n1)3)/((n0n1-n1n2)(2n0n2-2n12)(n2+n3)3+(n1n2-n2n3)(2n1n3-2n22)(n0+n1)3).
(V1-V2)/(V1+V2) heeft het patroon van een dubbelgetal. De meest universele eenheid in de getallenwereld is juist dit patroon van een dubbelgetal. Het patroon (V1-V2)/(V1+V2) kunnen we door een geschikte transformatie van getallen voorstellen als de universele eenheid 1/(1±k), waarbij essentieel is dat de noemer verschilt van 1 en van 0.
We moeten daarbij twee richtingen onderscheiden, we noemen ze k1 en k2.
(V1-V2)(1±k2)=(V1+V2) en hieruit volgt: ±k2=2V2/(V1-V2)
(V2-V1)(1±k1)=(V1+V2) en hieruit volgt: ±k1=2V1/(V1-V2)
In de noemer van ki verschijnt nu een getal dat gelijk kan zijn aan nul. Dat verschilt fundamenteel van de factor 2ni/(ni+nj) die we de naam 1/γij gegeven hebben in het geval van de Lorentz transformatie.
Omdat een verschil zich nu in de eenheid bevindt, nemen we daarom de volgende hypothese aan: Vi=1/mi met mi verschillend van 1 en van 0. Hiermee drukken we ondubbelzinnig uit dat we een vermogen (een energiedensiteit) als eenheid beschouwen (niet als intensiteit van een eenheid, wat uiteraard ook mogelijk is), dat de variabiliteit van vermogen de variabiliteit van eenheden modelleert, een variabiliteit die zich onderscheidt van de variabiliteit van intensiteiten (van één eenheid). Als we dan als eenheden reciproque relatieve priemgetallen nemen (Vi=1/Pi), dan vormen deze getallen en hun producten een volledige tralie. We hebben ook al bewezen dat elk dubbelgetal, dat een eenheid is, zijn eigen schaal kan krijgen en hoe die kan berekend worden.
“Vermogen” (energiedensiteit) en “tijd” zijn dus concrete interpretaties van een abstracter begrip: een universele eenheid waarvan we een intensiteit kunnen meten. Beide zijn meetbaar als een meest primitieve cumulatie, een meest primitief dubbelgetal: voor vermogen is dit 1/(V1+V2)=m1m2/(m1+m2), voor tijd is dit 1/(n1+n2).
We gaan nu een “eigen vermogen” definiëren op een gelijkaardige manier zoals we een “eigen ij-tijd” τ12 gedefinieerd hebben. Op het eerste zicht brengt dit niets nieuws aan, een “eigen vermogen” zou monotoon kunnen toenemen of afnemen zoals de “eigen ij-tijd” monotoon toeneemt of monotoon afneemt. Maar het is verrassend en nuttig om expliciet de gevolgen te modelleren van de veronderstelling die we maken.
We berekenen eerst 1+(EA)12/(V1+V2)2=1+(V1-V2)/(V1+V2)=2V1/(V1+V2). Dit noemen we nu 1/ε12. We berekenen ook 1-(EA)12/(V1+V2)2=1-(V1-V2)/(V1+V2)=2V2/(V1+V2). Dit noemen we nu 1/ε21. We gebruiken hiervoor de Griekse epsilon want deze getallen volgen het patroon van de Griekse gamma factoren van de Lorentz transformatie. We kunnen inderdaad de volgende definities hanteren, die het patroon duidelijk maken. Let op de positieve en negatieve exponenten.
We kennen reeds de volgende relaties:
γ12=(n1+n2)/2n1
γ21=(n1+n2)/2n2
We definieerden dan ook de volgende relaties (met de veronderstelling Vi=1/mi):
ε12=(V1+V2)/2V1=(m-11+m-12)/2m-11=((m1+m2)/m1m2)/(2/m1)=(m1+m2)/2m2
ε21=(V1+V2)/2V2=(m-11+m-12)/2m-12=((m1+m2)/m1m2)/(2/m2)=(m1+m2)/2m1
Wanneer de getallen ni en mj in absolute waarde groter zijn dan 1 (het zijn dan tellingen waarmee we berekeningen uitvoeren), dan zijn de inversen kleiner dan 1.
Er geldt: 1/γ12γ21=4n1n2/(n1+n2)2=τ212/t212. We hebben de factor τ12 een “eigen ij-tijd” genoemd van het simultaneïteitsinterval tussen toestanden T1 en T2. τ212 is niet anders dan (n1+n2)2-(n1-n2)2. De naamgeving komt van het feit dat τ212 niet anders is dan t212 op voorwaarde dat n1=n2 en dus er dus een lokaal (momentaan) evenwicht gemodelleerd wordt dank zij een intensiteit die niet verandert. Teller en noemer nemen toe bij elke stap en de verhouding 1/γ12γ21 blijft positief en wordt nooit groter dan 1 want de noemer is groter dan de teller. Eens evenwicht bereikt is zijn alle getallen dezelfde, noem deze n, en de verhouding van twee opeenvolgende getallen 1/γ12γ21 blijft 1.
We bekijken nu
1/ε12ε21=4m-11m-12/(m-11+m-12)2
De teller van de breuk is een product van twee getallen kleiner dan 1 en dus kleiner dan elk van de getallen, de noemer is een som van twee getallen kleiner dan 1 en dus groter dan elk van de getallen. Het zal misschien verbazen dat 1/ε12ε21=4m-11m-12/(m-11+m-12)2=(4/m1m2)/((m1+m2)/m1m2)2=4m1m2/(m1+m2)2 en hierin is de noemer ook altijd groter dan de teller.
We definiëren nu een nieuw getal: 4V1V2=4m-11m-12=ω212. Deze ω212 is niet anders dan (m-11+m-12)2-(m-11-m-12)2. De term (m-11+m-12)2 nemen we dan als de definitie van nog een nieuw getal: een kwadraat van een vermogen: w212. Inderdaad: w12=(m-11+m-12) en een som van vermogens is een vermogen (vermogens kunnen cumuleren). Dat betekent dus dat er geldt: 1/ε12ε21=ω212/w212. We zullen de factor ω12 een “eigen vermogen” noemen, of een “eigen energiedensiteit” van een specifiek simultaneïteitsinterval tussen toestanden T1 en T2. We hebben verondersteld dat alle getallen mi in absolute waarde groter zijn dan 1. Het eigen vermogen 4V1V2=4m-11m-12=ω212 neemt dus bij elke stap af, of de getallen nu positief of negatief zijn. Dit interpreteren we nu als het onvermijdelijk toenemen van de entropie (en afname van de mogelijkheid om energie te transformeren) waardoor we de entropie in een proces definiëren als mimj/4 met i en j opeenvolgende toestanden, bijvoorbeeld i=i en j=i+1. In de evenwichtssituatie is m-1=m-11=m-12 zodanig dat het eigen vermogen gelijk wordt aan 4/m2. Het verschil van m-1i+1 en m-1i is dan nul, onwaarneembaar dus en dat interpreteren we als evenwicht. Het “vermogen op dat moment” bij het bereiken van de evenwichtssituatie is dan 4/m2 =w212=(m-11+m-12)2 met m-1=m-11=m-12. Bij elke stap na het bereiken van evenwicht is de verhouding van twee opeenvolgende getallen 1/εijεji gelijk aan 1.
Het is nuttig om het patroon nog eens te expliciteren door de berekeningen onder elkaar te plaatsen.
ω212 /w212=1/ε12ε21=4m-11m-12/(m-11+m-12)2=(4/m1m2)/((m1+m2)/m1m2)2=4m1m2/(m1+m2)2
τ212/t212=1/γ12γ21=4n1n2/(n1+n2)2
Het patroon is exact hetzelfde en het is een verhouding van getallen, het enige verschil is de interpretatie van de getallen ni en mi. Beide verhoudingen kunnen we in elkaar vertalen door de veronderstelling dat n1=1/m1 en n2=1/m2 of door een gelijkaardige lineaire transformatie. De ene verhouding hebben we geïnterpreteerd als een verhouding in het domein van “tijd”, domein dat we kunnen veralgemenen naar gelijk welke <<enkel toenemende parameter T>> (bijvoorbeeld het toenemend aantal bits in een onderscheidingen universum). De andere verhouding hebben geïnterpreteerd als een verhouding in het domein van “energiedensiteit”, densiteit die we veralgemeend hebben naar <<energie>> ten opzichte van gelijk welke <<enkel toenemende parameter T>>.
Dit patroon kunnen we interpreteren als de verhouding van de oppervlakte van een ruimtelijke rechthoek met zijden a en b (namelijk ab) tot het kwadraat van de helft van omtrek (namelijk (a+b)/2). Deze verhouding is evenredig (met factor π) met het isoperimetrisch quotiënt. Deze verhouding heeft dus een begrensde waarde en dat kan modelleren dat in een driedimensionale werkelijkheid (het twee onderscheidingen universum) datgene dat kan gebeuren begrensd is, de veranderingsenergie per stap en dus het vermogen is begrensd ondanks het feit dat de stap vrij kan gekozen worden. Begrensde processen hebben we gemodelleerd door een normalisatie die de eenheid op elke stap i in het proces herdefinieert. We hebben dat gemodelleerd met de verhouding (1-ki)/ki, een verhouding die voor gelijk welk vermogen (of energiedensiteit, energie per parameter T) geschreven kan worden als (V1-V2)/(V1+V2) door de transformatie (1+V2/V1)=2ki. De begrenzing is niet anders dan de begrenzing van een boloppervlak.
We hebben een kwalitatief verschil gevonden tussen de situaties met <<“eigen ij-tijd”-en-tijd>> en met <<“eigen vermogen”-en-vermogen>>. Vermogen en tijd nemen altijd toe, “eigen ij-tijd” neemt altijd toe, “eigen vermogen” neemt altijd af. Vermogen is een energiedensiteit en in de hypothese dat energie niet kan toenemen noch afnemen, moet de variabiliteit van vermogen het gevolg zijn van de variabiliteit van de noemer van de energiedensiteit: de eenheid T die beschouwd wordt en alleen maar toeneemt. Die eenheid is wat we een onderscheidingen universum noemen dat alleen maar toeneemt (er is altijd een “laatst toegevoegde onderscheiding”). Die eenheid is ook gerelateerd met een entropie. De variabiliteit van eenheden hebben we dus al gekwantificeerd en geïllustreerd door entropie te kwantificeren op een nieuwe manier die duidelijk gerelateerd is aan de traliestructuur.
Het steeds toenemend vermogen interpreteren we nu als de potentieel toenemende creativiteit die gebruik maakt van de laatst toegevoegde onderscheiding en ons in staat stelt de toenemende entropie tegen te werken door het onderscheidingen universum aan te passen. Een concreet voorbeeld van creativiteit (en een laatst toegevoegde onderscheiding) is te vinden in het experiment met het werpen van een dobbelsteen.
Indien “tijd” toeneemt, dan neemt “eigen tijd” toe, de relatie is er een van positieve feedback. Indien “vermogen” toeneemt, dan neemt “eigen vermogen” af, de relatie is er een van negatieve feedback. Op die manier geformuleerd is duidelijk hoe dit niet alleen de entropie grondt maar ook de cybernetica. Als we nu beklemtonen dat deze “indien…, dan…” eigenlijk overbodig is omdat de voorwaarde onvermijdelijk vervuld is wanneer we iets willen ordenen, dan kunnen we hiermee de essentie van ervaren illustreren: we ervaren altijd iets, we nemen altijd iets waar, we meten altijd iets. Dat is op zijn beurt dan het inzicht dat we nodig hebben om de paradoxale metingen in de kwantummechanica te begrijpen, en het experiment met het werpen van een dobbelsteen demonstreert dan hoe dan waarschijnlijkheden kunnen berekend worden.
Het eigen vermogen is gemodelleerd als een verhouding van getallen tussen 0 en 1, opgebouwd als product van inverse priemgetallen. Verhoudingen zijn rationale getallen, dus getallen waarvoor we kunnen kiezen. Als we verhoudingen kiezen (als waarnemingseenheid) zal blijken dat er ook iets anders zal gebeuren waarvoor we niet kunnen kiezen en dat kunnen we dan modelleren met irrationale getallen (en de laatst toegevoegde onderscheiding). Ook dat wordt geïllustreerd met het experiment van het werpen van een dobbelsteen.
Rationale getallen zijn altijd te schrijven als dubbelgetal, namelijk de som van een geheel getal en een getal kleiner dan 1. Bij de bespreking van een Lorentz invariant hebben we een getal m geïntroduceerd, getal dat het aantal toestanden kwantificeert die gemeenschappelijk zijn aan een evenwicht en die een proces kunnen karakteriseren. Dat getal bleek geen invloed te hebben op de intensiteit van een verhouding, maar wel op de eenheid ervan. Aan die getallen hebben we geen eisen moeten stellen, en dat betekent dat m=0 ook kan verondersteld worden. Onder andere kunnen we veronderstellen dat m een positief of negatief getal is, verschillend van nul, zodanig dat 1/m in absolute waarde kleiner is dan 1. In dat geval kunnen we m of 1/m ook als schaalfactor gebruiken en als eenheid. Dus we kunnen als m positieve of negatieve getallen gebruiken met positieve exponent en positieve of negatieve getallen met negatieve exponent. De patronen in de berekeningen onderscheiden zich niet en toch is er een verschil omdat m een invloed heeft in de eenheid. Een Lorentz invariant, een getal dat een bepaald soort evenwicht kan beschrijven, is dus altijd te schrijven als een dubbelgetal, geïnterpreteerd als de som van een eigen ij-tijd (groter dan 1) en een eigen vermogen (kleiner dan 1). Een dubbelgetal met verschillend teken voor de beide termen modelleert de klassieke ruimte, een dubbelgetal met gelijk teken voor de beide termen modelleert de Minkowski ruimte.
De eigen ij-tijd τ12 neemt altijd toe zoals de tijd t12 (=n1+n2) altijd toeneemt. Het eigen vermogen ω12 neemt altijd af terwijl het vermogen w12 (=V1+V2) daarentegen altijd toeneemt zoals de entropie die steeds toeneemt. Het vermogen (de energiedensiteit) kunnen we meten aan de steeds groter wordende golflengte (de steeds kleiner wordende frequentie van (on)zekerheid, de roodverschuiving) die we nodig hebben om een groter universum van onderscheidingen op te spannen (de laatst toegevoegde onderscheiding heeft altijd de laagste frequentie van (on)zekerheid). Dit verklaart dan ook het verband tussen tijdrek en roodverschuiving: een onderscheidingen universum neemt steeds toe en we kunnen altijd een laatst toegevoegde onderscheiding veronderstellen.
Meer dan dubbelgetallen hebben we niet nodig om eenheden (die een intensiteit kunnen hebben) te modelleren. Ondanks de fundamentele beperking die we kunnen interpreteren als de beperking van een minimaal volume dat door een boloppervlak gegenereerd wordt (en dus een maximale kromming), toch is de vrije keuze van de parameter T onaangetast in een evenwicht. Welke T we beschouwen hangt enkel af van onze creativiteit.