Om een proces te modelleren moeten we dynamiek modelleren: de ordening van (minstens twee) opeenvolgende toestanden. Een proces hebben we ook een klok genoemd. Een klok produceert sporen als gevolg van interne dynamiek. Van een betrouwbare klok vereisen we impliciet dat deze spontane dynamiek niet beïnvloed wordt door externe factoren en dus blijft bestaan, bijvoorbeeld dat de productie van die sporen geen invloed heeft op de interne dynamiek en dat er dus geen terugkoppeling kan vastgesteld worden. Deze veronderstelling zullen we nu modelleren.

Een matrix A_ij modelleert als operator de causale koppeling van intensiteiten van “interne knooppunten” van een netwerk, dat zijn de knooppunten die zowel voldoende als noodzakelijke voorwaarden zijn voor andere knooppunten uit het netwerk en daardoor een gesloten geheel vormen. De knooppunten die een causaal gesloten geheel vormen zijn dus essentieel voor de dynamiek. De kwantiteiten in een m×m matrix A_ij modelleren de verdubbelingstijd van de m gekoppelde buffers (bijvoorbeeld metabolieten van een spontaan proces). Zelfs als we geen toegang hebben tot die buffers (en dus zelfs als dat proces geen praktisch ontworpen klok kan zijn), toch kunnen we met deze klok interageren door een mogelijke koppeling te zoeken met externe buffers. Dat zijn dus knooppunten die niet zowel noodzakelijk als voldoende zijn voor de dynamiek. Dat betekent dat ze enkel noodzakelijk of enkel voldoende zijn. Wat we dan kunnen modelleren is de productie van sporen op basis van de aanlevering van andere sporen en voor een betrouwbare klok mag de aanlevering en productie van sporen de interne dynamiek niet beïnvloeden. Die sporen moeten zich in de omgeving van de klok bevinden en niet in de klok zelf.

Dat kan op twee manieren, en dat zijn manieren die de causale koppeling met de omgeving waarneembaar maken.

• Ten eerste kunnen we onderzoeken of we door intensiteiten van buffers te veranderen het proces kunnen stoppen. Die buffers moeten dus toegankelijk zijn voor ons en dat maakt ze “extern”, we noemen ze input knooppunten van het proces. Als die buffers niet een bepaalde intensiteit hebben gaat het proces niet door. Dit is een noodzakelijke voorwaarde (“indien niet…, dan niet...”).

• Ten tweede kunnen we onderzoeken of er toegankelijke buffers zijn waar we intensiteit kunnen van aftappen zonder dat het proces stopt. Dat maakt dat ook deze buffers “extern” zijn, we noemen ze output knooppunten van het proces. Als die buffers wel een bepaalde intensiteit hebben gaat het proces wel door. De intensiteit van die buffers is een voldoende voorwaarde voor het doorgaan van het proces (“indien wel…, dan wel...”).

Meer dan dat hebben we niet nodig, hoe ingewikkeld ook de m gekoppelde buffers zouden kunnen zijn, of we ze nu gemodelleerd hebben of niet. Immers, een m×m matrix A_ij zullen we altijd kunnen schrijven als een som van matrices met op sommige plaatsen -∞ voor de operatie “maximum” (en gelijkaardig +∞ voor de operatie “minimum”) en elke individuele matrix uit de som kan een buffer modelleren. Door ±∞ op deze manier te gebruiken doen we niet anders dan idempotentie van eenheden modelleren en elke som kan staan voor een andere hypothese.

Veronderstel nu zo’n m×m matrix waarvan alle cellen gelijk zijn aan ±∞ die inwerkt op een vector met m componenten op stap n. We noemen die vector x_n noemen. Dan modelleren we dat het proces stopt want de operatie van de m×m matrix op x_n is dan niet anders dan een x_n+1 waarbij de m componenten gelijk zijn aan ±∞ en die dus buiten de waarnemingsresolutie vallen.

Veronderstel nu zo’n m×m matrix waarvan enkel (sommige) kwantiteiten op de hoofddiagonaal verschillend zijn van ±∞ (het teken is afhankelijk van de beslissing of we maximum of minimum modelleren, intensiteit van -∞ voor de operatie “maximum” en +∞ voor de operatie “minimum”) en die inwerkt op een vector x_n met m componenten. De resulterende vector zal enkel intensiteiten hebben die verschillen van ±∞ voor de componenten die overeenkomen met de beperkte intensiteiten op de hoofddiagonaal van de m×m matrix. Dit betekent dat zo’n matrix kan modelleren welke buffers noodzakelijke voorwaarden zijn voor het proces want enkel die knooppunten zullen een evolutie kunnen ondergaan bij de volgende stap. Noem deze m×m matrix B. B kan dus ook een som zijn van matrices. De maximale B heeft dan enkel op de hoofddiagonaal “verdubbelingstijden” die verschillen van ±∞. Dus de vector Bx_n is de vector die door de (“onbekende”, “ontoegankelijke”, “hypothetische”) matrix A zal veranderd worden in de vector van de volgende stap. We noemen deze “toegankelijke” vector op stap n y_n, dus y_n=Bx_n. Wat B dus modelleert zijn de buffers met hun beperkte intensiteit die noodzakelijk zijn om het proces te laten doorgaan.

Maar dat betekent ook dat een gelijkaardige m×m matrix (gelijkaardig omdat de componenten buiten de diagonaal niet anders zijn dan ±∞) kan modelleren dat de dynamiek te volgen is enkel door bepaalde buffers te volgen. De transformerende matrix beschouwen we dan als een som van twee matrices. We kunnen dan veronderstellen dat een van die matrices vectoren transformeert met een intensiteit die het proces niet beïnvloedt. We weten niet alleen dat we er in slagen om het proces te stoppen door een te lage of te hoge intensiteit van sommige buffers (gemodelleerd door B), maar ook dat we er in slagen om van sommige buffers sporen “af te tappen” zonder het proces te beïnvloeden, ze zijn dan geen noodzakelijke intensiteiten voor het proces en kunnen dus voorgesteld worden door een matrix die verschilt van A. Die sporen “verlaten” dan het netwerk zonder impact te hebben op het verloop van het proces. Dat betekent dat we in staat zouden zijn om de evolutie voor te stellen als het maximum (dit is voor de verdubbelingstijden een som operatie) van een a priori onbekende vector x_n met een bekende vector z_n die ons de sporen levert (bekend omdat het die buffers zijn en geen andere). Noem deze m×m matrix C, de maximale C heeft dan enkel op de hoofddiagonaal verdubbelingstijden die verschillen van ±∞. Dus wordt de volgende stap in het proces gegeven door de som van de (“onbekende, interne”) Ax_n met Cz_n. Dit is dus niet anders dan x_n+1 en dus geldt het systeem van twee simultane vergelijkingen:

y_n = Bx_n

x_n+1 = Ax_n + Cz_n

Dit zijn de twee manieren die de causale koppeling met de omgeving waarneembaar maken, omgezet in lineaire vergelijkingen.

Dit systeem drukt dus de twee manieren uit om te interageren met het netwerk: we kunnen de noodzakelijke voorwaarden voor het proces wegnemen om het proces te stoppen en als we dat niet doen, dan kunnen we sporen van het proces uit het proces “verwijderen” zonder dat dit impact heeft op het proces zelf dat spontaan doorgaat: het onderscheidingen universum is groter dan strikt noodzakelijk. Er zijn dus buffers die we als extern aan het proces kunnen beschouwen, de eerste (y_n) zijn de bronnen van het proces (“indien niet…, dan niet...”), de tweede (z_n) zijn de putten van het proces (“indien wel…, dan wel...”). Dualiteit herkennen we in gelijkwaardige interpretaties: “De knooppunten die enkel voldoende voorwaarden zijn voor knooppunten in het netwerk, modelleren putten in het netwerk. De knooppunten die enkel voldoende voorwaarden hebben in het netwerk, modelleren bronnen in het netwerk”. De resulterende vergelijkingen zijn exact dezelfde.

We kunnen hiervan een voorbeeld geven met slechts twee buffers, waarvan we er één gebruiken als bron en de andere als put. De vectoren zijn kolomvectoren (a_1i, a_2i)^T met i de stap. De totale relatie van simultaneïteit (voor drie 2×2 matrices A, B en C) wordt dus het systeem van twee vergelijkingen:

(y_1n, y_2n)^T=B(x_1n, x_2n)^T want enkel die componenten van de x vector zijn actief bij een volgende stap, in dit geval dus een van de twee.

(x_1(n+1), x_2(n+1))^T=A(x_1n, x_2n)^T + C(z_1n, z_2n)^T want sommige componenten van de z vector hebben geen invloed op het proces, in dit geval dus ook een van de twee.

We geven hiervan een voorbeeld met getallen: we veronderstellen terug dat we tijd meten met dezelfde 2×2 matrix A als (1, 8; 2, 3) die inwerkt op een vector x, genoteerd als kolomvector waarbij we de evolutie starten bij x(0)=(1, 0)^T. Met die matrix konden we het aantal stappen modelleren waarbij ver-m-voudiging optreedt. We construeren nu de matrices B en C met enkel relevante waarden op de hoofddiagonaal: B met een hoofddiagonaal als (-∞, -∞, -∞, 20) en C met een hoofddiagonaal als (100, -∞, -∞, -∞). We kiezen de getallen zodanig dat we beide intensiteiten in de grafiek heel duidelijk kunnen onderscheiden.

De intensiteiten van de bron buffer B (driehoek op de kop) en de put buffer C (driehoek op de basis) hebben exact hetzelfde verloop als de intensiteiten van de (ontoegankelijke) interne knooppunten (vierkant en ruit), het enige verschil is de waarde van de intensiteit (gemakkelijk te zien bij het startpunt, het snijpunt met de ordinaat). De verhouding van de toename op de y-as (de intensiteit van de buffers) tot de toename op de x-as (de processtappen) is constant en gelijk aan 5.

Dit illustreert duidelijk wat we nu bereikt hebben in het model: een verschaling van de waarden die we veronderstelden in de oorspronkelijke klok. Het is een verschaling van intensiteit want we moeten beseffen dat deze intensiteiten exponenten zijn van eenheden die a priori onbekend zijn met daarenboven causale relaties die onbekend zijn en enkel verklaard worden door de praktisch beschikbare input en output. De oorspronkelijke klok mogen we dus vergeten (de klok is een hypothese en geen praktische klok) en we werken nu enkel met de sporen die beschikbaar zijn in de externe buffers: input en output. Dat is dus onze praktische klok die we van nabij kunnen onderzoeken. Het is aan ons om experimenten uit te voeren met input en output en om dan met lineaire operatoren (matrices of verneste matrices, tensors) een hypothetische klok te modelleren.

Verschaling kwantificeren

Een m×m matrix A modelleert maximaal m buffers. Die m buffers met elk hun intensiteit kunnen we nu interpreteren als de simultane intensiteit van m toestanden van het proces. Niet alle toestanden kunnen op hetzelfde niveau staan, er zijn een beperkt aantal toestanden waar we toegang toe hebben. We kunnen nu op verschillende manieren de verschaling kwantificeren die ervoor zorgt dat de sporen van het onbekende proces binnen onze eigen waarnemingsresoluties vallen.

Verschillen

We veronderstelden een 2×2 matrix A gelijk aan (1, 8; 2, 3), die inwerkt op een vector x_n, genoteerd als kolomvector waarbij we de evolutie starten bij x₀=(1, 0)^T. Dus bij het begin (stap 0) is het verschil van beide intensiteiten van de buffers gelijk aan 1. We hebben berekend dat bij de volgende stap het verschil 5 is en bij de stap daarna is het weer 1. In de tabel vergelijken we nu de interne en externe buffers.

Het is duidelijk dat het verschil (namelijk 80) waarmee gestart werd in het geval van input en output in de loop van de stappen behouden wordt. Dit is verantwoordelijk voor het behoud van het verschil tussen het verschil van de intensiteit van opeenvolgende stappen en dus de richtingscoëfficiënt. We zien dat (Δ_int)₀-(Δ_int)₁=-4 en (Δ_int)₁-(Δ_int)₂=+4 enz… en dit is exact hetzelfde als voor (Δ_ext)₀-(Δ_ext)₁=-4 en (Δ_ext)₁-(Δ_ext)₂=+4 enz…. Δ_ext kan willekeurig gekozen worden zolang het getal groter is dan of gelijk aan Δ_int.

De verschillen modelleren de repetitiviteit van de klok en de verschaling geeft hier een getrouwe weergave van. De “eigenwaarde posities” (de cellen van de matrix A) die de relatie karakteriseren zijn dezelfde. Per stap meten we gewoon een groter getal, de veelvuldigheid per stap (de densiteit) is groter maar het verschil per stap is hetzelfde. Verschillen modelleren richting maar geven maar een deel van de informatie.

Sommen

Er zijn getallen die alleen in de som voorkomen. Dit wordt duidelijk in de volgende tabel die de eerste 10 stappen geeft en het verschil tussen verschillen en sommen. We tonen nu enkel de lijst van de externe buffers en zien dat bij elke stap de som toeneemt met 10, zowel voor de inputbuffers als de outputbuffers. Het verschil tussen beide sommen blijft constant en is in dit geval 166=2(80)+6 en die 6 is de som van de (ontoegankelijke) interne buffers (bij elke stap is dit 1+5).

Het repetitief patroon waarmee we de klok herkennen is duidelijk en dit geldt voor zowel de input als de output. De verschillen oscilleren, de sommen nemen toe. Doordat de sommen enkel toenemen kunnen we ze gebruiken als de intensiteit van een parameter die zich gedraagt als tijd.

Verhoudingen

Opeenvolgende intensiteiten kunnen we dus optellen en aftrekken en we hebben beide nodig om alle informatie uit de intensiteiten te gebruiken. Het getal 80 is dan niet anders dan een voorbeeld van de abstracte Lorentz invariant m die een evenwicht kan karakteriseren (die m heeft niets te maken met de m×m matrix A, m=0 hebben we een Lorentz nulpunt genoemd, een modellering voor het aantal toestanden die een verschil maken dat geen verschil maakt, in het ervaren hebben ze allemaal dezelfde waarde). Het getal 80 is het verschil 100-20 en dat zijn de waarden in de hoofddiagonaal van matrices B en C.

De Lorentz invariant verandert de tijdrek van het proces. We beschikken nu over een meetbare tijdrek, die we zowel aan de input als aan de output kunnen vaststellen, die anders is dan de tijdrek die we voor de ontoegankelijke klok moeten veronderstellen, de klok die we als de verklarende hypothese kunnen construeren die gebaseerd is op meetbare sporen.

Tijdrek

Laten we ons eerst concentreren op de input van de toegankelijke klok om de relaties verder te interpreteren. Als de input buffers niet een bepaalde intensiteit hebben gaat het proces niet door. Dit is een noodzakelijke voorwaarde (“indien niet…, dan niet…”).

We definiëren de verhouding van een verschil tussen opeenvolgende inputs tot hun som: ((Inp)_i-(Inp)_i+1)/((Inp)_i+(Inp)_i+1). De teller van deze verhouding wordt enkel gelijk aan nul wanneer evenwicht bereikt wordt en de noemer van de verhouding blijft enkel toenemen. De verhouding kan dus ook een golfachtig patroon hebben: de verhouding benadert de nul dan steeds dichter. De verhouding wordt lokaal begrensd door het maximale verschil van de intensiteit van twee opeenvolgende toestanden en is dus geschikt om de lokale dynamiek te kwantificeren. Dit is een intrinsieke eigenschap van beide buffers van de externe klok, ze overschrijden nooit de waarnemingsresolutie, de klok blijft waarneembaar zolang het proces loopt. De waarden houden daarenboven ook rekening met het interne proces: (Δ_ext)-(Δ_int) mag niet negatief worden anders stopt het proces.

De verhouding ((Inp)_i-(Inp)_i+1)/((Inp)_i+(Inp)_i+1) geven we nu de naam v_ij. De onafhankelijkheid van de gekozen schaal voor de intensiteit van de toestanden modelleren we dan als v₀₁+v₁₂+v₂₀=0. Dit is niet anders dan bijvoorbeeld v₂₁+v₁₀+v₀₂=0. Dit kunnen we interpreteren als een lokaal evenwicht met drie verhoudingen. De eenheden van de verhoudingen zijn dan op één manier met elkaar verbonden. Dan kunnen we met de intensiteit van toestanden nieuwe verhoudingen berekenen die gebruikt worden in een Lorentz transformatie, bijvoorbeeld voor opeenvolgende stappen 1 en 2: γ₁₂/γ₂₁=n₂/n₁ en 1/γ₁₂γ₂₁=(1+v₁₂)(1+v₂₁)=(2n₁/(n₁+n₂))(2n₂/(n₁+n₂))=4n₁n₂/(n₁+n₂)²=(1-v²₁₂)=(1-v²₂₁)=(1+v₁₂)(1-v₁₂). Dus γ₁₂γ₂₁=(n₁+n₂)²/4n₁n₂=1/(1-v²₁₂).

Het getal γ₁₂γ₂₁ is enkel afhankelijk van twee getallen (bijvoorbeeld n₁ en n₂) en dus één stap, maar onvermijdelijk gebonden aan een derde getal (bijvoorbeeld n₀). Elk stap heeft zijn eigen tijdrek en er zijn altijd drie soorten tijdrek die de drie mogelijke stappen met elkaar verbinden.

De parameter “tijd” is de noemer (de eenheid) van de verhouding v_ij. Inderdaad klassiek stelt men γ₁₂γ₂₁=γ² en t=γt’ voor de veronderstelling dat x’=0 (verwijzend naar het derde getal) waarmee een toestand in de fysische ruimte bedoeld wordt. We zien dat t verschaald wordt met factor (1-v_rel²)^-1/2 dus t is altijd groter dan t’. Dat is de essentie van relativiteit want v_rel kunnen we interpreteren als gelijk welke verhouding v_ij.

Maar exact hetzelfde patroon moet dus gelden voor de ontoegankelijke klok. We hebben die klok gemodelleerd als een 2×2 matrix A_ij gelijk aan (1, 8; 2, 3), die inwerkt op een vector x_n, genoteerd als kolomvector waarbij we de evolutie starten bij x₀=(1, 0)^T. De cel van de matrix die overeenkomt met de input is de cel A₂₂ op de diagonaal (de waarde 3 in het voorbeeld). De cel van de matrix die overeenkomt met de output is de cel A₁₁ op de diagonaal (de waarde 1 in het voorbeeld). De getallen waarmee we vertrokken zijn x₀=(1, 0)^T. We kunnen dus een lijst maken van de overeenkomstige getallen die bij elke stap gegenereerd worden. De lijst voor A₂₂ maakt de relaties expliciet tussen de ontoegankelijke getallen en de toegankelijke input buffer getallen.

Hiermee is duidelijk geïllustreerd dat het getal 20 overeenkomt met de Lorentz invariant die enkel gelijk is aan nul voor de klok in het hypothetische proces. De tijdrek die waarneembaar is (en dus extern meetbaar) is een getrouwe weergave van het onvermijdelijke en ontoegankelijke hypothetische proces.

(Het kwadraat) van de tijdrek meten we als γ₁₂γ₂₁. Hieronder geven we de evolutie van γ₁₂γ₂₁ van de ontoegankelijke klok voor “output” ervan (vierkant datapunt) en “input” (ruit datapunt) in functie van de stappen in het proces en de polynoom van de vierde graad voor het vierkant datapunt.

Elk proces zal gekarakteriseerd kunnen worden door een ander verloop van tijdrek. We kunnen daar voorbeelden van geven. Tijdrek zal nooit gelijk zijn aan nul.

Aangezien de intensiteiten in de exponent voorkomen van onbekende eenheden verschillend van 1, zijn deze verschillen “verschillen van schaal” die met elkaar gecoördineerd zijn. De coördinatie is zowel intern als extern.

Tijdrek is onvermijdelijk bij een veranderend standpunt (de toestand die gekarakteriseerd wordt door het getal n_i) en daar zijn altijd drie toestanden bij betrokken (en eenheden “verschil van toestanden” en “verschil van verschil van toestanden” en dus twee onderscheidingen).

De blijvende relativiteit van de steeds toenemende parameter

Zolang we iets kunnen tellen is ook tijdrek per constructie een parameter die de evolutie van het getal n_i volgt. We kunnen externe buffers onderscheiden die zich gedragen als hypothetische interne buffers. De externe buffers zijn waarneembaar, de interne niet. Wanneer we dan een getal kunnen vinden als intensiteit voor de eenheid input en een getal als intensiteit voor de eenheid output, geeft ons dat de mogelijkheid om een ontoegankelijke klok te veronderstellen waarmee we kunnen interageren. Maar we hebben nu ook meer sporen die het ontoegankelijke proces mogelijk maken maar niet beïnvloeden. In die sporen kan ook nog variatie zitten. Die sporen kunnen “een eigen leven” leiden, zowel wat betreft input en output. Het heeft zin om te spreken over de toename of afname van sporen in de loop van het proces zonder dat het proces veranderd wordt, er is enkel variatie in de noodzakelijke voorwaarden en de voldoende voorwaarden van het ontoegankelijk proces. We zijn nu in staat om naast het oorspronkelijk proces een nieuw proces te onderscheiden “daar bovenop”. Het zijn de nieuwe aantallen die ons in staat stellen om van een snelheid van toename of afname te spreken per stap in de vorm van (n_i-n_i+1)/(n_i+n_i+1) bovenop de stappen die gebruikt worden voor het oorspronkelijk proces. Voor elke stap wordt de noemer groter (dat hebben we op de grafiek geïllustreerd), maar de teller varieert. We krijgen dus “meer ruimte” die we enkel kunnen beschrijven met meer onderscheidingen. Maar om dat te beschrijven hebben we dus een nieuwe klok nodig want de klok die door matrix A beschreven wordt kan die stappen niet onderscheiden. We hebben een klok nodig die meer (elkaar uitsluitende) toestanden kan onderscheiden en die dus een proces is in een groter universum.

Dit is een belangrijk inzicht: de klok (het proces) die door matrix A beschreven wordt is voor ons niet toegankelijk en wordt enkel toegankelijk dank zij een Lorentz invariante structuur (bijvoorbeeld het getal Input=20 dat nu beschikbaar is). Dat getal kan de functie van <<intensiteit van een eenheid>> opnemen als het verschillend is van nul en meetbare sporen mogelijk maakt. Dit betekent ook dat de ontoegankelijkheid van het proces gemodelleerd wordt door een Input=0. Aan de basis van elk proces ligt dus de hypothese van een ontoegankelijk proces. Een proces heeft altijd een toepasselijke schaal, tussen de schaal van de waarnemingsresolutie en de schaal van de willekeur (willekeur is niet anders dan variatie die door het proces niet verklaard kan worden). Aan de basis van elke praktische klok ligt dus de hypothese van een ontoegankelijke klok.

Een onmiddellijk gevolg van het herkennen van buffers waarvan de intensiteit het proces niet beïnvloedt is dus dat de variatie die kan zitten in de intensiteit van bron en put niet kan gemodelleerd worden met de gekozen klok. Ondanks die (externe) variatie zal het spontaan (intern) proces niet stoppen. Dit kan modelleren dat een klok altijd met minder onderscheidingen kan gemodelleerd worden dan de onderscheidingen die nodig zijn om die variatie te beschrijven. De variatie maakt de werking van de interne klok niet onmogelijk en dit merken we zolang we voldoende input hebben en niet teveel output wegnemen. Binnen de waarnemingsresolutie (die ons de mogelijkheid gaf om bron en put te onderscheiden) zijn bron en put onafhankelijk van de interne buffers die de klok vormen. We kunnen ons dat voorstellen door te interpreteren dat de onderscheidingen die noodzakelijk zijn om de variatie te verklaren in bron en put niet noodzakelijk zijn voor de interne klok maar zouden kunnen gemodelleerd worden door een tweede klok. Die tweede klok zal, om ook weer een praktische klok te zijn die niet alle variatie moet kunnen beschrijven, en slechts de repetitiviteit van een beperkt aantal onderscheidingen modelleren. De mogelijkheid van een nieuwe klok wordt enkel beperkt door onze beperkte creativiteit.

Elk proces dat een interne dynamiek volgt die causaal verklaard kan worden als een gesloten netwerk, kan als klok gebruikt worden die gevoed wordt door een bron die een noodzakelijke voorwaarde blijkt te zijn voor de klok, en die een put voedt waarvoor de klok een noodzakelijke voorwaarde blijkt te zijn. En duaal kunnen we zeggen dat elke klok een voldoende voorwaarde is voor het onderscheiden van een bron en het onderscheiden van een put.

De input en output die de interne klok niet beïnvloeden kunnen gebruikt worden om een interactie aan te gaan met andere klokken. Daarvan hebben we zeer veel voorbeelden in de cybernetica (bijvoorbeeld en de intensiteit van sporen hebben we gemodelleerd met de grootte van de populatie van bestaande soorten). De interne klok van de soort emitteert repetitief een nieuw individu, een nieuwe eenheid die elke andere uitsluit. Hoe meer individuen hoe meer er coördinatie kan ontstaan van hun gedrag en dus ontstaat een nieuwe soort. Maar ook: niet alle aspecten van individueel gedrag moeten beschreven kunnen worden om coördinatie te beschrijven: het nieuwe universum is een ander universum dan het universum dat individueel gedrag kan beschrijven.

Om variatie te verklaren moeten we minstens één causale ordening aannemen en dus een klok. De variatie die deze klok toelaat is “onzichtbaar” voor de klok (zoals een bepaalde idempotente eenheid “onzichtbaar” is voor een bepaalde operatie) en is enkel te modelleren ten opzichte van de strikte ordening van een andere klok. We ontsnappen niet aan de relativiteit van processtappen en dus van tijd. Maar dat betekent ook dat we enkel kunnen modelleren wat we met een klok kunnen anticiperen, want er zullen altijd processen zijn die niet gemodelleerd kunnen worden omdat er ook altijd iets anders gebeurt dan wat we doen gebeuren. Dat is het enige axioma en betekent dat er altijd iets zal gebeuren dat niet te anticiperen is en dat dus niet gerelateerd is aan de beperkte modellering van een praktische klok.

Klokken zijn gesloten netwerken die een spoor (“iets”) kunnen achterlaten zonder hun dynamiek te verliezen. Het zijn die sporen die we gebruiken om evoluties te modelleren. Niet alle sporen zijn relevant voor interactie en sommige buffers genereren dus sporen die verwijderd kunnen worden zonder de dynamiek in het gedrang te brengen. Een voorbeeld hiervan is de lucht die we uitademen, of andere excreties. Een tegenvoorbeeld is de emissie van nakomelingen, zonder deze emissie sterft de populatie uit. Interactie van entiteiten en de evolutie van hun populaties hebben we gemodelleerd als een proces waarbij “dat iets”, aangeleverd door een bron, getransformeerd wordt en geleverd wordt aan een put. De enige eis die we stelden is dat een kwantum van dat iets zich niet simultaan in meerdere buffers kan bevinden. Het “iets” moet dus een entiteit zijn die andere entiteiten uitsluit. Dat is typisch voor materie en niet voor informatie. In elke buffer kan “dit iets” op een andere manier gemeten worden en we kunnen de toename en afname van “dit iets” voor elke buffer volgen doordat we een ordening kunnen vinden die eigen is aan het proces en een monotone transformatie weergeeft van “dit iets” tussen bron en put, gemeten dank zij een proces verschillend van het gemodelleerde proces (de “externe klok”). Om het monotoon pad te beschrijven gebruiken we het begrip “evenwicht” en we zeggen dat elk proces de evolutie beschrijft van iets “ver van evenwicht” naar naar iets “in evenwicht”. Er is geen verandering waarneembaar zowel in de toestand “ver van evenwicht” (de toestand van de bron) als in de toestand “in evenwicht” (de toestand van de put), beide begrippen zijn enkel ten opzichte van elkaar gedefinieerd. Dit herkennen we als karakteristiek voor elk onderscheid: “iets” ten opzichte van “iets anders”.

Dit zijn zeer universele veronderstellingen en we herkennen dat we hiermee alle processen kunnen modelleren die karakteristieken hebben die ook wij hebben als agens-in-context. Voor alle processen kunnen we tijdrek veronderstellen omdat we altijd tijdrek kunnen meten. De communicatie die nodig is voor coördinatie van processen gebeurt met sporen die kunnen afgescheiden worden zonder het proces van de individuele klok te beïnvloeden, we beïnvloeden wel de klok van het gecoördineerde proces, maar dat is gewoonlijk de bedoeling: we willen beïnvloeden wat er simultaan kan gebeuren. We herkennen dit als het patroon van de co-evolutie van entiteiten die sporen achterlaten. Het “iets” interpreteren we in de huidige stand van wetenschap als “energie”, energie is iets materieels, iets dat getransformeerd kan worden in andere vormen, in andere buffers. De hypothetische evolutie van de soorten die we waarnemen kunnen we verklaren door energetische processen. We stellen dan vast dat we ook nu meer en meer in staat zijn energie materieel te bufferen in nieuwe entiteiten (soorten of eenheden die een intensiteit kunnen hebben) met een zekere permanentie zodanig dat we die energie niet verliezen. Dat zijn de soorten die kunnen blijven interageren met elkaar om bijvoorbeeld meer synergie te vertonen.

De klokken kunnen gesynchroniseerd worden, wat betekent dat er een relatie gevonden wordt tussen de processtappen van de ene en de processtappen van de andere klok. We kunnen daartoe gelijk welke emissie gebruiken. De verdubbelingstijd of halveringstijd van de emissie karakteriseert het proces (we gebruiken dan het aantal tijdstappen waarbij verdubbeling of halvering optreedt als een alternatieve maat voor de eigenwaarde). Tijdrek (het oprekken van de eenheid van de parameter waarmee we meten) levert ons de sporen waarmee we nieuwe processen kunnen maken die doorgaan in buffers die causaal gekoppeld zijn en die dus nieuwe klokken zijn. We kunnen daarom verwachten dat we in praktische klokken zowel een autonomie als een causale hiërarchie zullen kunnen onderscheiden.

Klokken impliceren repetitiviteit en dus ook golven. Als een (onbekend aantal) stappen in een proces verschaald wordt, kunnen we dat waarnemen in de meetbare aspecten van een golfverschijnsel. Op die manier kan de schaal van het universum dat relevant is voor het leven op aarde gekwantificeerd worden door enkel de straling van de zon te gebruiken. Maar golven worden overal waargenomen en zijn te modelleren enkel door gebruik te maken van frequenties van (on)zekerheid. Een golf is te verschalen onafhankelijk van zijn interpretatie als fysische golf. Hierbij blijkt dat er meer mogelijke processen leiden tot (onbegrensde) toename dan er processen zijn die evolueren naar een evenwicht (dat uiteraard begrensd is) en dat dit te modelleren is met behulp van het relativistisch Doppler effect (de verschuiving van de frequentie van (on)zekerheid). Dit geeft aan dat we ook onbegrensde creativiteit kunnen kwantificeren met tijdrek. Tijdrek is daarbij het oprekken van de eenheid van een parameter waarmee we kunnen meten. Het aantal eenheden is niet beperkt en in het getallendomein zijn dat de priemgetallen: natuurlijke getallen die kunnen geteld worden.