Veronderstel een welgevormde haakuitdrukking met symbool h. Alle welgevormde haakuitdrukkingen kunnen in twee onderscheidingen uitgedrukt worden en kunnen daarenboven uitgedrukt worden in een a priori ongekend universum dat we enkel kunnen leren kennen door toestanden te ervaren, waaruit dan de intensiteit van de toestand dan blijkt als de intensiteit van een bit in het binair isomorfisme van het haakformalisme. Veronderstel nu dat h de eenheid is die we volgen in een proces waarin de bits van h (bits die te interpreteren zijn als ervaren atomen) een intensiteit krijgen die verschilt van 1. Uit wat we dan meten zouden we een kandidaat tralie kunnen construeren. Het model dat we dan gebruiken is het n-splitsing model. We stellen h in één onderscheiding dan voor als een kolomvector, de kolomvector van een 1-splitsing universum van dubbelgetallen: bijvoorbeeld de eenheidsvector (-1-i 1+i)^T of in het algemeen geval (h₁, h₂)^T. Operatoren zijn dan 2x2 matrices. Dezelfde h in een twee onderscheidingen universum kunnen we ook voorstellen als een eenheid kolomvector (-1-i 1+i -1-i 1+i)^T van een 2-splitsing universum of in het algemeen geval als (h₁, h₂, h₃, h₄)^T. Operatoren zijn dan 4x4 matrices. We hebben een eenheidsvector ook genoteerd in de Dirac notatie als |a> of |1010>. We veronderstellen hiermee dat h uitgedrukt wordt in een universum opgespannen door a en b.

Stel dat we in staat zouden zijn om de vier bits simultaan te volgen met vier verschillende meetopstellingen in dezelfde processtap, dan zouden die vier resultaten kunnen geïnterpreteerd worden als de vier intensiteiten die simultaan waarneembaar zijn bij één (lokale) processtap. Stel dat we niet in staat zouden zijn om de vier bits simultaan te volgen met vier verschillende meetopstellingen die elk een andere soort voor hun rekening zouden nemen, dan zouden die vier resultaten kunnen geïnterpreteerd worden als de vier waarschijnlijkheden die we kunnen relateren aan één processtap. Hierbij gaan we er dan impliciet van uit dat wat we meten herhaalbaar is (we meten dus de intensiteit van een soort) of dat we bij één meting een ongekend aantal eenheden simultaan in één toestand hebben gemeten (bijvoorbeeld een ongekend aantal fotonen). Dat is de reden waarom men in de kwantummechanica niet spreekt van intensiteiten maar van amplitudes en waarschijnlijkheden.

Om dat te kunnen modelleren beschikken we over atomaire projectoren die kunnen ageren op de kolomvector |h> van dubbelgetallen (de 1-splitsing) of dubbelgetallen van dubbelgetallen (de 2-splitsing). Veronderstel nu dat die operatoren 4x4 matrices zijn, juist omdat alle welgevormde haakuitdrukkingen in twee onderscheidingen kunnen uitgedrukt worden. Het zijn die atomaire idempotente projectoren die het model |h> =Σ|e_i><e_i|h> zin geven (met de som over al de atomaire basisvectoren |e_i>, dat zijn er in dit geval 2², de atomen van een universum dat we hoe dan ook kunnen kiezen en laten gebeuren). Dat is dus een som van termen, in het gekozen geval dus vier termen. De intensiteit van elke term wordt dus gegeven door het getal <e_i|h>, de eenheid wordt gegeven door de kolomvector |e_i> en beide uitdrukkingen zijn commutatief. Dat is dus een nevenschikking van vier getallen, hoe dat moet voorgesteld worden is een volledig vrije keuze die we goed moeten begrijpen: stel dat we het totaal aantal bits nemen op N, dan kan die N als een som beschouwd worden van vier soorten bits, namelijk de soort gegeven door vier atomaire (dus orthogonale) basisvectoren met een a priori vrij te kiezen intensiteit, veronderstel deze als N₁, N₂, N₃ en N₄ met als enige voorwaarde dat de som gelijk is aan N, dus N₁+N₂+N₃+N₄=N. Dat betekent dus dat we <<>> in twee onderscheidingen niet voorstellen als de string 1111, maar als de string N₁N₂N₃N₄. Dat zijn daarenboven viervoudige getallen, met een ander woord quaternionen (h₁, h₂, h₃, h₄), verschillend dus van 1, omdat we op die manier de dualiteit van hoogbits en laagbits konden terugvinden en dat dan alle operaties op getallen, inclusief exponentiatie, zinvol kunnen uitgevoerd worden.

Projectoren kunnen we ook met elkaar vermenigvuldigen en we hebben dan een niet commutatieve vorm geconstrueerd waarbij de resulterende projector kan gekozen worden, gewogen met een getal dat het inwendig product is van de twee projectoren die vermenigvuldigd worden. Dit betekent dus dat P_(a)*P_(b)*P_(a)=α*P_(b) en P_(b)*P_(a)*P_(b)=α*P_(a) waarbij α enkel afhangt van de onderlinge verschillen tussen vectoren a en b. Dit is een reëel getal dat gelijk is aan twee maal het verschil tussen het aantal gelijke bits en het aantal verschillende bits van de twee vectoren, exact ook die aantallen die het inwendig product opbouwen of de cosinus gelijkwaardigheid. We zien ook dat het niet anders kan dat α gelijk is aan het spoor van de matrix die het product van beide projectoren geeft (een som van vier getallen). Dit betekent niet anders dat α=<b|P_(a)|b>=<a|P_(b)|a>. Dit is een getal, een metrische maat, een intensiteit die de overgang van a naar b (of van b naar a) in eenzelfde tralie kan kwantificeren.

Veronderstel nu een willekeurige string N₁N₂N₃N₄ die we kunnen beschouwen als opgebouwd als een som van atomaire operatoren. We noemen de string h, h zullen we nu in de loop van processtappen volgen, de vier bits van h krijgen dus in de loop van de stappen een andere viervoudige intensiteit, wat we aangeven als de functie h(t), dus de overgang tussen twee toestanden is nu bijvoorbeeld de overgang van h(t₁) naar h(t₂). De vier bits van h(t₁) veranderen simultaan in de loop van het proces als gevolg van de inwerking van een operator A die een 4x4 matrix is. Die matrix codeert in één symbool, waar onderliggend 16 getallen kunnen onderscheiden worden, de stap van bijvoorbeeld t₁ naar t₂ van een welgevormde haakuitdrukking h in zijn representatie op stap t₁ naar zijn representatie op stap t₂. Dat symbool wordt soms ook genoteerd als A_ij, verwijzend naar de rijen en kolommen van de matrix. Het zijn die rijen en kolommen die ons de nieuwe mogelijkheid gegeven hebben om de dualiteit van hoogbits en laagbits in het haakformalisme te representeren. Met één operator beschrijven we dus de dynamiek van de vier getallen N₁, N₂, N₃ en N₄, waarbij moet blijven gelden dat N₁+N₂+N₃+N₄=N als we veronderstellen dat we geen energie kunnen verliezen of genereren (het aantal bits dat noodzakelijk is om de evolutie van h te beschrijven blijft hetzelfde, wat er verandert is de intensiteit van de vier partities van N).

Dit is gelijkaardig aan de manier om een processnelheid te modelleren als positieve feedback: (x-x₀)_(t+Δt)=k(x-x₀)_(t) of als negatieve feedback: (x-x₀)_(t+Δt)=-k(x-x₀)_(t) waarbij het getal ±k niet verschillend is van een “multidimensionaal getal”: een operator A’_ij. Wat is die operator? Geen verandering zouden we modelleren door als operator A_ij de eenheidsmatrix te nemen, dat betekent dus dat we die kunnen noteren als 1=A_ii. Dus voor de operator A’_ij geldt dat A_ij=1±A’_ij. Zoals we dat vastgesteld hebben bij één eigenwaarde k waar de stappen zich in de exponent bevinden van (1±k), zo vinden we hier ook de stappen terug als exponenten van de matrix A_ij. Die matrices zijn projectoren en de exponent moeten we precies modelleren. Als we dat analytisch benaderen betekent dit dat als Δt naar nul evolueert, dan A_ii naar 1 evolueert en A_ij (voor i verschillend van j) naar nul evolueert. Dus de 16 dubbelgetallen δ_ii+δ_ij evolueren naar 1 op de diagonaal en naar 0 elders. Analytisch hebben we dat genoteerd als dh(t)/dt=Ah(t). Analytisch heeft dit als oplossing h(t)=e^Ath(0). De operator e^At is eveneens een 4x4 matrix, stel M, en wanneer we hier t=0 nemen dan is duidelijk dat M de identiteitsmatrix is, wat nog eens aantoont dat h(0) de eenheid is in dit proces.

De operator M heeft het patroon van een rotatie, we bewijzen dat dit niet anders is dan e^At=1+(sin(t))(A)+(1-cos(t))(A)², die in het meest eenvoudige geval de formule van Euler geeft: e^it=cos(t)+i(sin(t)).

Meer hebben we niet nodig om het patroon voor de evolutie in de tijd voor één enkel kwantumdeeltje terug te vinden in het haakformalisme. Dat is de Schrödinger vergelijking. Deze klassieke differentiaalvergelijking is gekend als iℏd|Ψ(t)>/dt=H|Ψ(t)> met Ψ(t) de golffunctie enkel als functie van de tijd. Hierin is ℏ de gereduceerde Planck constante, de kleinste intensiteit van de kwantum spin ℎ genormeerd met 2π. Dit is een constante schaalfactor met dimensie Jouleseconde. We kunnen altijd de schaal aanpassen zodanig dat ℏ=1. Beide leden van de Schrödinger vergelijking id|Ψ(t)>/dt=H|Ψ(t)> delen we dan door i: d|Ψ>/dt=(1/i)H|Ψ>=-iH|Ψ>. Dit is een klassieke differentiaalvergelijking met als vergelijking die daaraan voldoet: |Ψ(t)>=e^-iHt|Ψ(0)> en dit is niet anders dan het patroon h(t)=e^Ath(0).

Dit betekent dat de operator die op de eenheid bij stap 0 inwerkt gelijk is aan e^-iHt. Dit is voor te stellen als een matrix en we noemen deze M. Dus M=e^-iHt. Ook wanneer we hier t=0 nemen (en dus it=0), dan is duidelijk dat M de identiteitsmatrix is, wat nog eens aantoont dat |Ψ(0)> de eenheid is in dit proces, eenheid die zich aanpast voor elke processtap zodanig dat er van feedback geen sprake meer kan zijn: wat gebeurt en wat waargenomen kan worden zijn niet meer van elkaar te onderscheiden.

H is een operator die de Hamiltoniaan genoemd wordt, een matrix die gerelateerd is met zowel de kinetische als potentiële energie op stap t, energievormen die in elkaar transformeren zodanig dat een harmonische trilling ontstaat. We kunnen die H uitdrukken in functie van M door de natuurlijke logaritme te nemen van M=e^-iHt: ln(M)=-iHt. Hieruit volgt H=iln(M)/t.

Elke harmonische trilling kunnen we beschouwen als de fysische implementatie van een onderscheiding. Willekeurige trillingen zullen als onafhankelijk van elkaar kunnen beschouwd worden en zullen dus een tralie opspannen. De grote uitdaging hierbij is een kandidaat tralie te construeren zodanig dat de amplitudes van de trillingen een spoor van de matrix M genereren waarvan de som gelijk is aan een constant getal dat als normalisatiefactor kan gebruikt worden. Dat is niet anders dan de keuze voor een gepaste schaal.

Het meetprobleem in de kwantum mechanica

Het haakformalisme maakt het mogelijk om het meetprobleem in de kwantum mechanica op een nieuwe manier te duiden. In de ontwikkeling van het haakformalisme is duidelijk dat de werkelijkheid een potentiële constructie is (“indien…, dan…”) die niet adequaat beschreven kan worden met ruimte-tijd aspecten. Dit is onmiddellijk duidelijk wanneer men beseft dat een (“indien…, dan…”) constructie zowel in het verleden als in de toekomst zinvol kan zijn, terwijl we natuurlijk ervaren dat we ons ons verleden of onze toekomst enkel kunnen verbeelden. De werkelijkheid kan gemodelleerd worden als een tralie en tralies zijn op een hyperbol af te beelden die geen fysisch te ervaren bol is, het is wel een constructie zonder singulariteit waarbij het altijd mogelijk is om een punt in een ander punt te roteren. Doen we dat, dan creëren we een singulariteit, namelijk één punt wordt gekozen, maar dat moeten we niet doen, de werkelijkheid, de potentiële constructie is zo dat de hele tralie anticipeerbaar blijft. Iets is anticipeerbaar wanneer we met zekerheid kunnen zeggen: “indien we zouden roteren naar dat punt, dan zou dat punt met zekerheid ervaren zijn”. Wat niet anticipeerbaar is, is wat er gebeurt wanneer iets gekozen wordt en om dat te kunnen modelleren hebben we extra aspecten nodig bovenop de aspecten die de tralie opspannen waarvan we een punt kiezen. Dat is de “laatst toegevoegde onderscheiding”. Dat gebeuren zal altijd in werkelijkheid moeten blijken en dat kan dan leiden tot weer een nieuwe keuze die gemaakt kan worden als de tralie daardoor causaal persistent verandert. De Schrödinger vergelijking modelleert een golf (een coördinatie van aspecten) als een lineaire superpositie van mogelijke toestanden en dat blijkt een perfecte “indien…, dan…” constructie te zijn. Dit is niet verbazend omdat golven in het haakformalisme een kwantitatief model zijn voor (on)zekerheid. De Schrödinger vergelijking bewijst dat we in staat zijn om een potentiële evolutie van een tralie te modelleren zelfs als we niet waarnemen, en als we dan waarnemen dan is wat we konden anticiperen geen verrassing, we bevinden ons in één welbepaalde toestand van het persistente geheel. Enkel zullen we dan vaststellen dat er ook simultaan iets anders gebeurd is dan wat we konden anticiperen (en dat is een andere toestand), dat andere wordt enkel bij het waarnemen zelf ingebouwd in de tralie die daardoor een uniek toestand modelleert. Onze waarnemingsresolutie is daardoor onvermijdelijk op verschillende manieren beperkt zonder dat dit als problematisch moet beschouwd worden, onze keuzemogelijkheden zien er enkel anders uit, van ervaren toestand tot ervaren toestand.