Het beschrijven van een spontaan proces is de centrale focus voor een wetenschap die de interactie van agentia wil begrijpen los van de beïnvloeding door sommige (en dus a priori geselecteerde) agentia. Voor een beschrijvende wetenschap is het van belang dat er zo veel mogelijk uit het verleden kan geleerd worden op een onbevooroordeelde manier, verleden dat een noodzakelijke voorwaarde is voor het heden. Voor een toegepaste wetenschap is het van belang dat de toekomst zo veel mogelijk kan geanticipeerd worden. Dus spontane processen en de grenzen van de spontane evolutie zijn voor deze wetenschappen van heel groot belang. Immers: dank zij het organiseren van spontane processen die ook in het verleden kunnen verondersteld worden, kan men er voor zorgen dat sommige gebeurtenissen geen invloed hebben op de toekomstige situatie zodanig dat de anticipatie van die toekomst minder onzeker wordt. Spontane processen zijn processen die evolueren naar een toestand van evenwicht: bij het bereiken van evenwicht stopt immers de spontane evolutie (naar evenwicht). Zolang evenwicht niet bereikt is, is er “actie” waar te nemen.

Een toestand is goed gedefinieerd in het haakformalisme, meer dan dat ene concept hebben we niet nodig om een tralie op te spannen. Daarbij moeten we altijd voor ogen houden dat er niets absoluuts is aan een toestand, verschillende toestanden veronderstellen enkel dat ze elkaar uitsluiten, ze hoeven daarom niet eenzelfde niveau in één tralie te delen en kunnen dus die eigenschap van uitsluiten hebben voor verschillende tralies. Een spontaan proces verloopt van toestand naar toestand en dus van tralie naar tralie. Een spontaan proces volgt een pad in een toestandsruimte. Een toestand kunnen we representeren door een getal N_i. Zowel het getal is beperkt als het aantal getallen (de index i). Met die getallen kunnen we verschillen en sommen berekenen en we kunnen hieruit dan verhoudingen construeren van het type V_ij=(N_i-N_j)/(N_i+N_j). Onder de bijkomende voorwaarde dat j=1+i zeggen we dat een pad in de toestandsruimte gevolgd wordt en dit stellen we dus voor door een reeks N₀, N₁, N₂,... N_i,... Dat pad doet zich voor bij minimaal vier toestanden (opgespannen door twee onderscheidingen) als we zowel snelheid als versnelling willen onderscheiden vanuit de huidige toestand. Toestanden zijn niet simultaan waarneembaar voor een agens-in-context wat betekent dat we een parameter kunnen onderscheiden die de strikte ordening hiervan modelleert voor die agens-in-context. Dat geldt dan simultaan voor die vier toestanden die referentiepunten zijn voor elkaar wat betreft het verschil en de som. Die parameter noemen we “tijd” en neemt van stap tot stap altijd toe (of altijd af), onafhankelijk van wat er ook met een andere parameter zou gebeuren. De intensiteit van toename, Δt is wel afhankelijk van de intensiteit van de getallen N_i en is dus zeker geen invariant zoals men intuïtief veronderstelt bij het tikken van een klassieke klok.

Wereldlijn van een parameter

We kunnen verschillende “andere” parameters construeren uitgaande van de getallen N_i die we dan elk kunnen onderzoeken om te begrijpen wat ze modelleren. Voorbeelden zijn dan “afstanden in tijdsverschillen” en “afstanden in drie ruimtelijke parameters” waarvan we ontdekten dat ze de ruimte-tijd van de relativiteitstheorie opspannen. Die “andere” parameters zijn op een specifieke manier relatief ten opzichte van elkaar, we onderscheiden dus verhoudingen en schaalfactoren. Zo kunnen we ons veel waarneembare parameters voorstellen die we dan vrijheidsgraden kunnen noemen. Elk van die parameters heeft een intensiteit voor elk punt “in de tijd”. De uitdrukking “in de tijd” moeten we echter preciezer omschrijven met “bij elke stap in het gemodelleerde proces” omdat we dan erkennen dat ook die parameter een waarnemingsresolutie heeft die bepaald wordt door het proces. Sommige processen gaan veel te traag of veel te snel om waarneembaar te zijn. We zijn dus altijd in staat een grafiek te maken waarin we twee parameters met een intensiteit voorstellen. Dit zijn twee intensiteiten die een relatie hebben tot elkaar die in de grafiek duidelijk wordt. Ze kunnen immers als twee onafhankelijke dimensies voorgesteld worden aangezien één parameter niet ingebouwd wordt in de structuur en enkel in deze stap meetbaar is. Dat betekent dat we de intensiteit van die parameter wel kunnen verwachten, eventueel anticiperen, maar niet voorspellen (we kunnen immers niet anders dan iets in werkelijkheid te laten blijken). Indien nuttig, dan kunnen we de twee parameters als orthogonaal beschouwen, waarmee we uitdrukken dat er een positie denkbaar is waarbij een van de parameters niet relevant is omdat die op die positie gelijk welke intensiteit kan hebben. Een eerste parameter is dan “stap” die metrisch en lineair toeneemt (cumuleert in het proces) en die ons toelaat om de variatie in de tijd van het proces te modelleren en een tweede parameter moeten we nog leren kennen, moeten we nog interpreteren, we nemen enkel aan dat deze een eenheid en intensiteit moet hebben die kan variëren. De relatie visualiseren we in de grafiek als een twee dimensionaal punt (t, f(t)). De relatie noemen we de wereldlijn van die tweede parameter f(t) en hebben we verbonden met de klassieke hypothese van een 1-splitsing. In het algemeen geval moeten we immers verschillende overgangen veronderstellen van toestanden die elkaar uitsluiten, en de vraag is dan: welke overgangen worden gevolgd in een spontaan proces dat sporen achterlaat die in die “ruimte” als intensiteiten van een parameter kunnen gemodelleerd worden?

Al deze abstracte inzichten kunnen met getallen geconstrueerd worden die de sporen zijn die we behouden van metingen die “enkel momentaan” uitgevoerd zijn. We hebben niet meer dan twee getallen nodig die dynamiek kwantificeren bovenop de vier getallen waarmee we een structuur (in twee onderscheidingen) kunnen opbouwen. We leiden daarmee getalrelaties af die in de historisch gegroeide wetenschap een naam gekregen hebben (bijvoorbeeld klassieke snelheid, Lorentz transformatie enz…) maar de getallen moeten we niet interpreteren als geometrische coördinaten. Het zijn verhoudingen, het patroon m_i/n_i. Toch gaan we er van uit dat een pad in een ruimte van toestanden (zoals ze begrepen wordt als conjunctie van onderscheidingen) ook als fysisch pad moet kunnen geïnterpreteerd worden in de zin van de relativiteitstheorie, dus in een werkelijkheid waarin alle symbolen fysisch zijn (en niet getallen). Dat betekent dat zo’n “pad van toestand naar toestand” moet gevonden kunnen worden uitgaande van de fysische sporen die sommige processen achterlaten, sporen die we (dank zij een herhaalbare meetprocedure) getrouw kunnen afbeelden op een getal indien we, los van de fysische werkelijkheid, over de fysische werkelijkheid relevante veronderstellingen willen maken. We interpreteren die sporen dan als de verandering in de fysische driedimensionale ruimte met een gekozen referentietoestand. Dat is niet anders dan een van de verschillende concretisering van het abstracte pad dat we nu bedoelen (het pad waar men zich helemaal geen fysische ruimte kan of moet bij voorstellen, een abstract pad is een “ander-ruimtelijk” pad).

Een abstract pad wordt niet doorlopen maar als hypothese geconstrueerd uitgaande van de sporen die nu gemeten worden. Behalve ordening gelijkt het abstract pad in niets op een fysisch pad in een fysische ruimte en een fysische tijd. Het is op die manier dat we de hypothese van Richard Feynman moeten interpreteren dat “een deeltje alle paden exploreert tussen bron en detector” (Richard P. Feynman 1985 QED: The Strange Story of Light and Matter (Princeton University Press)). Het deeltje doet dat dus niet waarneembaar (vandaar het werkwoord “exploreert”) maar het is een entiteit in verschillende simultane onderscheidingen universa (een universum met n onderscheidingen impliceert alle universa met n-m onderscheidingen, waarbij m en n gehele getallen zijn en 0<m<n). Sinds de kwantummechanica begrijpen we dat al onze fysische ervaringen het resultaat zijn van de eigenschappen van fermionen (die we kunnen modelleren als toestanden die elkaar uitsluiten) die alleen maar botsen met elkaar omdat ze niet dezelfde toestand kunnen innemen. Zo zijn we nog steeds aan het zoeken of er misschien verschillende elkaar uitsluitende deeltjes kunnen gevonden worden die onmogelijk dezelfde wereldlijn positie kunnen innemen en daardoor kunnen ontstaan of verdwijnen.

Om de aandacht te richten geven we een voorbeeld van zo een verhouding m_i/n_i in het binair model van het haakformalisme. Neem m_i als het aantal betekende bits en n_i als het totaal aantal bits (en dus is n_i-m_i het aantal don’t cares). Zo verbinden we aan 1111111x het getal 7/8 en aan 1111x11x de verhouding 6/8 enz…. Wat we nu gemodelleerd hebben is een variërende m_i bij vaste n_i die we hier gelijk genomen hebben aan 8. Maar we kunnen ook n_i variëren want 1111111x met waarde 7/8 kunnen we ook schrijven als 1111111x1111111x met waarde 14/16 enz…. We zien dat door n_i groter te nemen er getallen bereikbaar worden die anders niet konden uitgedrukt worden en dan kunnen we 1111111x1111111 met waarde 14/15 verbinden enz… Dus een variërende n_i maakt het mogelijk een waarnemingsresolutie te modelleren en 1/n_i krijgt dan de betekenis van een gekozen eenheid en m_i/n_i is dan de uitdrukking van een intensiteit van die eenheid waarbij de eenheid expliciet getoond wordt en de veronderstelling van een verhouding m_i/n_i=constant kan dus ook verondersteld worden. Natuurlijk is de som van bits maar een voorbeeld van een kwantificering, in plaats van een gewone som van bits als intensiteit kunnen we ook de inwendige discriminatie intensiteit gebruiken (dat zijn kwadraten) en die eventueel gaan wegen met de inwendige discriminatie intensiteit van <<>>. Daarenboven is elke verhouding van het type (1-N)/(1+N) te schrijven als een verschil van kwadraten (1-K²) door een geschikte transformatie. De getallen (1-m_i/n_i)/(1+m_i/n_i) die verhoudingen zijn (en waarvan we 1/(1+m_i/n_i) als de eenheid kunnen nemen) kunnen we dus ook representeren door getallen (1-κ_i)(1+κ_i) die producten zijn en die beide de functie van eenheid kunnen innemen.

Als we kijken naar een rechte in een willekeurig wereldlijn diagram, kijken we eigenlijk naar een constante verhouding m_i/n_i en ℵ. We kijken dus, langs een 1-splitsing (de twee metrische assen) naar één gekende welgevormde haakuitdrukking als het stabiel patroon in een ongekend universum. Een wereldlijn die geen rechte is modelleert een pad tussen elkaar uitsluitende toestanden waarbij we een getal (functie van het getal dat de tijd voorstelt) gebruiken als enige parameter. Als we kijken naar een curve in een willekeurig wereldlijn diagram, kijken we een beperking in de betrokken onderscheidingen universa. Voor sommige processen die in het heden mogelijk zijn, zijn die universa dan onwaarneembaar (nog niet waarneembaar of niet meer waarneembaar).

Het totaal proces van verandering zal dus een pad volgen “in een ruimte”, beschreven in een diagram dat we ook als een abstractie van een klassiek Minkowski diagram kunnen beschouwen. Die ruimte is er een van toestanden die beschreven kunnen worden door een aantal onderscheidingen met als laatst toegevoegde onderscheiding de conjunctie, “enkel in de momentane toestand”, van <<de parameter t>> en <<de parameter f(t)>>.

Voorbeelden van wereldlijnen

We geven hiervan verschillende primitieve voorbeelden waarbij we de tijd parameter gebruiken als abscis. We bespreken als een typisch voorbeeld van de toepassing van deze primitieve processen een proces dat goed beschreven kan worden en complex genoeg is om de eigenschappen van verschillende parameters te modelleren. We kiezen voor de prooi-predator interactie (of de interactie van een soort met zijn parasiet).

N_1,n+1=N_1,n+ΔN_1,n+1=N_1,n+0,3(N_1,n-(1/15)N_1,nN_2,n)

N_2,n+1=N_2,n+ΔN_2,n+1=N_2,n-0,1(N_2,n-(1/1000)N_1,nN_2,n)

Stap_1,n(n) met N_1,n(n)

Om de aandacht te richten tonen we de grafiek van enkel de aantallen N_1,n (de “prooien”, ruit datapunt) in de loop van 50 stappen n, dus als functie van n. Dit is niet anders dan N_1,n(n). De grafiek van de stappen (vierkant datapunt) is ook getoond met de schaalverdeling aan de rechter kant, uiteraard is dit een rechte: een stap op de abscis komt overeen met dezelfde stap op de ordinaat. Dit is niet anders dan Stap_1,n(n). We tonen de grafiek Stap_1,n(n) om de vergelijking te kunnen maken met de grafieken die volgen.

We volgen nu een aantal wereldlijnen van hetzelfde aantal (“prooien”), dus enkel de aantallen N_1,n maar met een verschillende abscis: de parameter “tijd”, dus dit is N_1,n(t). Op die manier maken we een wereldlijn maar met de tijd as als abscis (in plaats van de standaard procedure die door Minkowski geïnitieerd werd waarin hij de tijd as als ordinaat gebruikte). We gebruiken steeds dezelfde eigenwaarden (zie 0,3; 0,1; 1/15 en 1/1000 in de formules). We moeten nu ook een Lorentz invariante m veronderstellen (die een rol speelt in de eenheden van de verhoudingen maar die geen rol speelt in de formules voor de variatie in N_1,n). Telkens nemen we Stap_1,n(t) mee, met de schaalverdeling aan de rechterkant, omdat dit de interpretatie zal vergemakkelijken. Stap_1,n(t) verschilt dus van Stap_1,n(n).

Stap_1,n(t) met N_1,n(t)

De eerste stap (Stap_1,n(t), vierkant datapunt) is de laagste in de grafiek, de laatste stap is de hoogste. We herkennen het monotoon verloop dat we verwachten van stappen. Elke stap komt overeen met een aantal N_1,n(t) (ruit datapunt). Het verschil met N_1,n(n) is het gevolg van de keuze voor een andere abscis, namelijk Tijd_1,n(t) en niet meer Stap_1,n(n). Tijd_1,n(t) is uiteraard nu een rechte. Omdat de aantallen N_1,n(t) monotoon toenemen in de stappen van 1 tot 6 zien we ook een monotone toename in N_1,n(t). Op stap 6 volgt een keerpunt en de aantallen nemen dan monotoon af. Dat is niet anders dan wat er gebeurt als we de stap als abscis zouden gebruikt hebben, maar nu gebruiken we de parameter Tijd_1,n(t) als abscis. Een volgend keerpunt genereert weer een toename en een laatste keerpunt modelleert weer een afname.

Tijdrek(t)

Bij elke stap in het proces correspondeert een Tijdrek(t). Tijdrek(t) is een kwadratische functie zoals kan gezien worden in de grafiek (de vergelijking en de determinatiecoëfficiënt). We gebruiken deze naam in de grafiek in plaats van Tijdrek_1,n(t) omdat 1 en n niet variëren. Tijdrek is een kwadratische relatie, maar de curve is geen “pad”. Dit kan goed gevolgd worden dank zij de monotone toename van Stap(t): de curve wordt fractaal opgebouwd. De Lorentz invariante m heeft geen invloed op de vorm van de curves, enkel op hun positie ten opzichte van de ordinaat as.

Het proces dat we modelleren met Stap_1,n(t), vierkant datapunt, is geen evenwicht, er is dus maar één tijdrek te berekenen.

Stap_1,n(t) met Ruimte_1,n(t) en Tijd_1,n(t)

Tijd_1,n(t), datapunt met driehoek, is uiteraard een rechte.

Stap_1,n(t) met Snelheid_1,n(t) en Versnelling_1,n(t)

Merk op hoe de grootste intensiteiten van Snelheid_1,n(t) en Versnelling_1,n(t) geconcentreerd aanwezig zijn rond het nulpunt van Tijd_1,n(t), nulpunt dat enkel bereikt kan worden voor m gelijk aan een negatief getal.

Stap_1,n(t) met Vermogen_1,n(t) en Veranderingsenergie_1,n(t)

Vermogen_1,n(t) en Veranderingsenergie_1,n(t) zijn berekend op basis van Snelheid_1,n(t) en Versnelling_1,n(t). Ze zijn dus ook enkel geconcentreerd aanwezig rond het nulpunt van Tijd_1,n(t), nulpunt dat enkel bereikt kan worden voor m gelijk aan een negatief getal.