Als we tellen genereren we gehele getallen en elk geheel getal drukt dan een intensiteit uit van een eenheid (die dan het getal 1 is). Enkel met verschillen kan een nul geconstrueerd worden en dit drukt een evenwicht uit, een situatie waarin er geen verandering meer waargenomen wordt. Een nul betekent operationeel: zeer klein en onwaarneembaar kleiner en dat is natuurlijk afhankelijk van de waarnemingsmogelijkheid van een agens-in-context. Relaties die een uitdrukking zijn van evenwicht veranderen niet als hetzelfde interval bij alle intervallen bijgeteld wordt die de gesloten lus vormen. We hebben aangetoond dat de Lorentz transformatie ook in dat geval een invariant vertoont die we m genoemd hebben. Aan m moesten we geen eisen stellen, m kan zelfs gelijk zijn aan nul (een “Lorentz nulpunt”) en dat heeft grote gevolgen.

Ratio metingen gebeuren met schaalfactoren. We nemen nu de schaalfactor v_ij als een verhouding van aantallen gemeten in twee toestanden: v_ij=(n_i-n_j)/(n_i+n_j). Deze verhouding kan gelijk zijn aan nul wanneer n_i=n_j en is altijd kleiner dan 1, behalve als n_j=0. Met de verschillen van aantallen, gemeten in twee toestanden, wordt dus een nul geconstrueerd en dit drukt een evenwicht uit, een situatie waarin er geen verandering meer waargenomen wordt. Als er meer dan twee toestanden betrokken zijn kunnen we altijd een procesevenwicht veronderstellen en dat is niet anders dan de uitdrukking dat een som van (verschillen van) schaalfactoren gelijk is aan nul, bijvoorbeeld v_ij+v_jk+v_ki=0. Dit evenwicht verandert niet als de aantallen in de drie betrokken toestanden met eenzelfde getal gesommeerd worden. Dat noemen we het getal m. In plaats van v_ij=(n_i-n_j)/(n_i+n_j) hebben we daarom ook v_ij+m=(m+n_i-m-n_j)/(m+n_i+m+n_j)=(n_i-n_j)/(2m+n_i+n_j) onderzocht. In deze verhouding is enkel de noemer afhankelijk van m. Als m positief is, dan geldt voor de verhoudingen: v_ij>v_ij+m. Als m negatief is, dan geldt voor de verhoudingen: v_ij<v_ij+m. We kunnen ook m=0 veronderstellen

We voeren nu de volgende substitutie uit met getallen t_i en t_j: we stellen n_i=t_i-m en n_j=-t_j-m, zodanig dat t_i-t_j=2m+n_i+n_j. Dus v_ij+m=(n_i-n_j)/(2m+n_i+n_j)=(n_i-n_j)/(t_i-t_j). Hiermee modelleren we een (klassieke) snelheid omdat we nu iets modelleren dat we als een tijdsverschil kunnen interpreteren. Deze substitutie wordt iets helderder wanneer we het karakter van m expliciet tonen: m wordt nu niet meer willekeurig gekozen maar we kiezen een negatief getal. We stellen daarom een nieuw symbool <m> voor als “een positieve m”, dus “een negatieve m” is niet anders dan -<m>. Dus: t_i-t_j=2m+n_i+n_j=-2<m>+n_i+n_j=(n_i-<m>)+(n_j-<m>)=(n_j-<m>)+(n_i-<m>). De laatste gelijkheid bewijst dat dit een commutatieve som is. Deze vorm maakt heel duidelijk dat t_i-t_j kan voorgesteld worden als de commutatieve som van twee getallen: (n_i-<m>) en (n_j-<m>). Voor een invariante m zal die som enkel toenemen (of afnemen) in dezelfde zin zoals elke commutatieve som. Neem m=0, dan is ook <m>=0, en dan geldt dat t_i-t_j=n_i+n_j.

Dat betekent dat m als negatief getal kan modelleren dat de noemer van de schaalfactor ook als een verschil uitgedrukt wordt. Hiermee kunnen we onderzoeken wat de gevolgen zijn van die hypothese die een specifieke keuze is van het meer algemene geval. De klassieke interpretatie hiervan is dat men de schaalfactor v_ij interpreteert als een (ruimte-) verschil tot een tijdsverschil en een tijdsverschil blijft dan toenemen vanaf een willekeurig gekozen toestand <m> die we dan als persistente referentie nemen om de verschillen te berekenen. Het tijdsverschil wordt dan monotoon groter en dit kunnen we dan weer gebruiken om andere verschillen te ordenen ten opzichte van deze gekozen ordening. Dit is een speciale constructie: dit is wel een verschil maar een verschil dat zich niet gedraagt als een ruimteafstand. Een ruimteafstand kan toenemen en afnemen, een tijdafstand kan alleen maar toenemen. Empirisch is dat goed onderbouwd: nog nooit is iemand erin geslaagd iets te laten terugkeren in de tijd zodanig dat wat er reeds gebeurd is zou kunnen beïnvloed worden, nog nooit is iemand erin geslaagd een noodzakelijke voorwaarde voor het heden te wijzigen. Noodzakelijke voorwaarden kunnen enkel afgeleid worden van sporen die gevonden en bewaard worden en zijn daardoor hypothesen en ze blijven hypothesen. Iets gelijkaardigs geldt ook voor de toekomst: het heden is een noodzakelijke voorwaarde voor verschillende mogelijke toekomstige gebeurtenissen. Nog nooit is er iemand in geslaagd om slechts één toekomstige gebeurtenis te kiezen, er zal altijd ook iets anders gebeuren. Ook de toekomst is een hypothese en blijft een hypothese.

Tijdsverschillen verloochenen het karakter van de ordening van tijd niet. De beperkingen en mogelijkheden die we nu operationeel kunnen vaststellen en dan kiezen kunnen dan geïnterpreteerd worden als de sporen van verleden keuzes, de noodzakelijke voorwaarden voor het heden en de toekomst. Het “ervaren nu” (waarbij er ook altijd iets anders blijkt te gebeuren) is daarbij een voldoende voorwaarde om coherente hypothesen voor die verleden keuzes te construeren en is een noodzakelijke voorwaarde om iets in de toekomst te laten gebeuren.

Door een verschil te nemen voor de meting van tijd (en dus onvermijdelijk een nul) veronderstellen we dus een evenwicht dat door een willekeurig gekozen toestand zelf uitgedrukt wordt. Het getal m is immers een getal dat meerdere toestanden karakteriseert (en dus voor die toestanden niet van toestand tot toestand kan verschillen van intensiteit). Om een klassieke snelheid te modelleren moeten we wel voor twee toestanden dezelfde referentietoestand kiezen en dit is geen vrije keuze hoewel we gelijk welke referentie zouden kunnen kiezen. Datzelfde geldt voor een evenwicht waarbij drie toestanden betrokken zijn: dit is enkel mogelijk als de intensiteit van elk van de drie toestanden een som is van een invariante m met een variante n_i. De veronderstelling is dan dat elke toestand van een spontaan proces dan als “begintoestand” kan gekozen worden, wat niet anders is dan de veronderstelling dat alle toestanden van het proces a priori gekend zijn. Dat is een meer algemene manier om de veronderstelling uit te drukken dat een spontaan proces onafhankelijk is van de gekozen beginvoorwaarden, wat een uitspraak is die algemeen aanvaard werd tot Poincaré oplossingen probeerde te vinden voor het drielichamenprobleem en zo de deterministische chaos ontdekte. Er zijn dus processen bekend met een grote gevoeligheid voor de beginvoorwaarden: een toestand kiezen maakt het onmogelijk om sommige volgende toestanden te voorspellen en sommige vorige toestanden te reconstrueren. Dit verbaast ons natuurlijk niet met onze interpretatie van het getal m. Dit geeft al een belangrijk gevolg van de hypothese dat enkel tijdsverschillen relevant zijn: enkel sommige anticipeerbare processen kunnen door een klassieke verhouding (een klassieke snelheid bijvoorbeeld) gemodelleerd worden, er zullen altijd processen zijn die niet anticipeerbaar zijn, en dat geldt ook voor reconstrueerbare processen.

Dit maakt ook duidelijk wat de diepere betekenis is van een referentieframe, betekenis die pas duidelijk begrepen wordt sinds de relativiteitstheorie. Twee agentia kunnen een ander getal m gekozen hebben voor het berekenen van tijdsverschillen en aangezien elke m een intensiteit (gemeenschappelijk deel) moet zijn van verschillende toestanden in evenwicht, kunnen die twee referentietoestanden ook ten opzichte van elkaar veranderen. Dit betekent, met de inzichten van het haakformalisme, dat een referentieframe een andere naam is voor één tralie met 2ⁿ potentieel te ervaren of te gebeuren toestanden die specifiek is voor één agens-in-context. De effecten van de evolutie van een tralie in de loop van een proces kunnen slechts vanuit de inzichten van de relativiteitstheorie beschreven worden.

Dus in plaats van de hypothese v_ij=(n_i-n_j)/(n_i+n_j) met slechts 2 onbekenden, beschouwen we v_ij=(n_i-n_j)/(t_i-t_j) en dit noemen we een (klassieke) snelheid. Het valt onmiddellijk op dat de noemer nu nul kan zijn, en dit op het gekozen nulpunt in de tijd (en zo men wil: “telkens weer”). De verhouding is dan ongedefinieerd of, zo men wil, ongekend groot en onwaarneembaar groter zoals de lichtsnelheid in vacuum. Dit legt dan een maximale resolutie vast. Deze verhouding heeft 4 onbekenden en om deze naar twee onbekenden te reduceren kan men een invariant kwadraat definiëren als (t_i-t_j)²-(n_i-n_j)², een verschil van twee kwadraten met vier onbekenden, volledig gelijkaardig als voor het meer abstractere (n_i+n_j)²-(n_i-n_j)² dat eveneens een verschil is van twee kwadraten, maar dan met twee onbekenden en dat we “de eigen ij-tijd” genoemd hebben. Het kwadraat (t_i-t_j)²-(n_i-n_j)² herkennen we als de “eigen tijd” zoals die ook in de speciale relativiteitstheorie gebruikt wordt. Het gevolg hiervan is dat de parameter “tijd” het karakter van een dimensie krijgt (een verschil dus, een projector) en zich, zoals ruimte, gedraagt als een getal dat geordend wordt ten opzichte van een vrij te kiezen “nul”, getal dat we dan herkennen als een coördinaat zoals dat gebruikt wordt in de geometrie. Vrij te kiezen betekent dat de ordening (meer, minder) niet ten opzichte van iets anders bepaald wordt. De reden is echter niet dezelfde als voor ruimtegetallen (verschillen) die een geordende referentie nodig hebben om daarvan hun ordening af te leiden. De reden is voor de “tijdsgetallen” (verschillen) dat de ordening op elk moment (“opnieuw”) kan ontstaan. Het dimensionaal en metrisch karakter van de tijd ontstaat dus door het vasthouden aan een keuze van nulpunt die van stap tot stap verandert maar dat dan een vaste referentie is voor het construeren van monotoon toenemende tijdsverschillen. In de praktijk kan elke agens-in-context daar vrij voor kiezen, maar we kunnen natuurlijk ook kiezen om “een gezamenlijk verleden standpunt” als referentie te gebruiken (bijvoorbeeld een big bang) als we de gezamenlijke potentiële werkelijkheid willen construeren.

Het invariant kwadraat (t_i-t_j)²-(n_i-n_j)² construeren we nu met behulp van de Lorentz referentie eenheid m en de veronderstellingen t_i=n_i+m en t_j=-n_j-m, zodanig dat t_i-t_j=2m+n_i+n_j. Dus de snelheid (n_i-n_j)/(t_i-t_j) is dan dezelfde als de meer abstracte verhouding v_ij+m=(n_i-n_j)/(2m+n_i+n_j) en de eigen tijd is dan de negatieve versie van de eigen ij-tijd want 4(m+n_i)(m+n_j)=4(t_i)(-t_j). Het product van twee opeenvolgende t is nu gelijk aan een negatief kwadraat en dat zorgt voor het optreden van de disjunctie <<+√-1 of -√-1>> als men hiervan de wortel neemt. Wanneer we een versnelling uitrekenen in aanwezigheid van m dan ontstaat zo’n product in de intensiteit van de versnelling (de teller), en dan hebben we aangetoond dat er altijd een m zal kunnen gevonden worden die geen impact heeft op de intensiteit van de versnelling van het proces enkel op de eenheid ervan, een zeer diep en niet geometrisch inzicht in de “kromming van de ruimte-tijd”, kromming die groter is naarmate de absolute waarde van m groter is (de som met een negatieve m verkleint de noemer van de verhouding en dus vergroot de verhouding).

Dat is wat men klassiek moet doen om een verschil te maken tussen “tijdsverschillen” en “ruimteverschillen” maar het gevolg is dan dat “tijd” een parameter lijkt te zijn zoals “ruimte” en impliciet de hypothese uitdrukt dat men “terug kan gaan in de tijd”. Inderdaad: alle klassieke natuurwetten zijn symmetrisch voor omkering van het teken van de parameter tijd. Aangezien we m=0 vrij kunnen kiezen zien we dat in de veronderstellingen t_i=n_i+m en t_j=-n_j-m. Deze nul maakt duidelijk dat dit een berekende constructie is. Daar is helemaal niets verbazend aan als we de werkelijkheid als een potentiële constructie begrijpen en we “chronologie” (en dus tijd) niet axiomatisch aannemen maar afleiden uit een meer fundamentele en causale ordening (<<het verleden is een noodzakelijke voorwaarde voor het nu en het nu is een noodzakelijke voorwaarde voor de toekomst>> of <<de toekomst is een voldoende voorwaarde voor het nu en het nu is een voldoende voorwaarde voor het verleden>>).

Die keuze is inderdaad altijd mogelijk. We kunnen immers veronderstellen dat elk getal m en elk getal n_i, en dat voor alle i, gelijk zijn aan een kwadraat (waarmee we ook de eis naar commensurabiliteit oplossen zodanig dat we enkel met te kiezen getallen overblijven indien we dat willen). <m> is dan ook een kwadraat en -<m> is dan een negatief kwadraat. We stelden dat t_i-t_j=2m+n_i+n_j=-2<m>+n_i+n_j=(n_i-<m>)+(n_j-<m>). De beide termen, (n_i-<m>) en (n_j-<m>), zijn dan een verschil van kwadraten en een verschil van kwadraten is altijd te schrijven in het universeel patroon van een verhouding kleiner dan 1, namelijk (e-f)/(e+f).

Het nulpunt van een tijdsverschil

Een tijdsverschil kan alleen maar vanaf een gekozen nulpunt het karakter van een ordening krijgen en we kunnen altijd veronderstellen dat we een nulpunt kunnen kiezen, maar evenzeer moeten we veronderstellen dat sommige nulpunten niet te kiezen zijn. Als een nulpunt mogelijk is voor de telling van een eenheid kunnen we een ratio meting uitvoeren en pas dan zijn alle wiskundige technieken toepasbaar. Dus als we klassieke tijd willen modelleren dan moeten we ook een nulpunt definiëren en het is niet evident dat dit te vinden is (er zijn meer intervalmetingen dan ratio metingen). De “eigen tijd” is dus onvermijdelijk gedefinieerd ten opzichte van een nulpunt, een waarnemingsgrens waarbij ordening niet meer mogelijk is (wat we ook een waarnemingsresolutie kunnen noemen). In elke wetenschap waar kwantiteiten zinvol zijn, zijn we nog steeds bezig met het zoeken naar welke waarnemingsgrenzen we collectief delen en welke processen hetzelfde nulpunt kunnen hebben.

De definitie van de getallen die tijd voorstellen, namelijk t_i=n_i+m en t_j=-n_j-m en het gevolg dat eigen tijd het karakter moet hebben van een complex getal maakt duidelijk dat een nulpunt ook gegeven kan worden door te veronderstellen dat n_i+n_j=0. Dan is v_ij=(n_i-n_j)/(n_i+n_j) niet gedefinieerd (of, zo we willen, ongekend groot en onwaarneembaar groter). Maar n_i+n_j=0 betekent ook dat n_i=-n_j, en hierdoor heeft de tijdparameter het patroon t_i=n_i+m en t_j=n_i-m met n_i een reëel getal en m een zuiver imaginair getal, twee getallen die onafhankelijk van elkaar kunnen gekozen worden. Dan is t_i-t_j=2m. Het tijdsverschil is dus een zuiver imaginair getal en v_ij+m=(n_i-n_j)/(2m) en is dus goed gedefinieerd. Dan wordt t_i-t_j=2m en n_i-n_j=-2n_j=2n_i. De beide getallen, namelijk m en n_i, die nu nog overschieten van de vier oorspronkelijke getallen (namelijk n_i, n_j, t_i, t_j) kunnen onafhankelijk van elkaar gekozen worden en m kunnen we ook kiezen als nul. Hiermee wordt het getal m het nulpunt van een tijdsverschil dat we naar willekeur kunnen kiezen, nulpunt dat dan ook v_ij+m ongekend groot en onwaarneembaar groter maakt. Hier zien we dus de intensiteit van gemiddelde verschillen ½(t_i-t_j)=m en ½(n_i-n_j)=n_i=-n_j. Dat is niet hetzelfde als de veronderstelling van de zinvolheid van een gemiddelde som. Een gemiddelde som zorgt ervoor dat het verband tussen toestanden niet meer gemodelleerd wordt, waardoor een “puntsnelheid” kan gedefinieerd worden die los staat van een procesevenwicht. Dus door de keuze t_i-t_j=2m en n_i-n_j=-2n_j=2n_i kan verondersteld worden dat v_ij verschillend is van 0 (de teller is zeker verschillend van nul als n_i verschillend van nul is, terwijl n_i+n_j=0 betekent dat er een getal verondersteld wordt dat de evolutie in de ene richting exact in de andere richting kan compenseren, gegeven een waarnemingsresolutie voor de nul). Hierbij kan v_ij ook de derde component zijn in een procesevenwicht. Een echt procesevenwicht met drie schaalfactoren wordt mogelijk en het evenwicht is de uitdrukking van een verschil dat geen verschil meer maakt.

Met n_i+n_j=0 wordt de eigen ij-tijd 4(m+n_i)(m+n_j) niet anders dan 4(m+n_i)(m-n_i)=4(m²-n_i²) en door invulling van de waarde van de getallen m en n_i wordt dit (t_i-t_j)²-(n_i-n_j)², de “eigen tijd” zoals die ook in de speciale relativiteitstheorie gebruikt wordt. Het product (m+n_i)(m-n_i) kan ook altijd als een verhouding geschreven worden, namelijk (1-k)/(1+k) voor een k=(1-(m²-n_i²))/(1+(m²-n_i²)).

Tijdsverschil en trilling

De veronderstelling n_i+n_j=0 betekent dat we nu de mogelijkheid krijgen om een verband te leggen met een model van het haakformalisme dat volledig compatibel is met een 1-splitsing. Het betekent dat de getallen waarmee elkaar uitsluitende stappen (de toestanden) kunnen gekwantificeerd worden dezelfde waarde hebben en positief of negatief zijn (dit is een disjunctie, geen exclusieve disjunctie, een exclusieve disjunctie zouden we kunnen uitdrukken als “ofwel positief, ofwel negatief”). Dit kunnen we ook gebruiken om een trilling rond een evenwicht te modelleren. We kunnen inderdaad veel fysische trillingen om ons heen waarnemen en het model dat we nu kunnen ontwikkelen kan ook gebruik maken van de rijkdom van inzichten rond interferenties, resonanties enz… van die fysische trillingen.

De keuze voor een nulpunt in de ordeningsparameter betekent dus de keuze voor een resolutie van een afstand n_i-n_j=-2n_j=2n_i die overeenkomt met een maximale resolutie die door een golfverschijnsel mogelijk gemaakt wordt.

De eenheid van de getallen kunnen we dan voorstellen als +1, -1, +1, -1, …. met een intensiteit gegeven door 2n en dus met een frequentie (namelijk een aantal 2n per tijdseenheid 2m) van n/m. De frequentie is één getal en dat getal is terug een verhouding. Deze voorstelling als een reeks getallen suggereert dat ze elkaar uitsluiten en dus “in de tijd” en “in de ruimte” gegeven zijn (de intensiteit is de “lengte” van de voorstelling van de reeks getallen). Dit is niet het inzicht van het model, het inzicht is abstracter: we moeten ons een disjunctie “op een bepaald moment” of “op een bepaalde plaats” voorstellen, geen exclusieve disjunctie. We mogen ons niet laten misleiden door het onvermijdelijke gegeven dat er wel iets moet neergeschreven worden en dat dit onvermijdelijk in de ruimte gebeurt, of dat er wel iets moet medegedeeld worden en dat dit onvermijdelijk in de tijd gebeurt. We hebben een gelijkaardige opmerking gemaakt voor de beperkingen van een Venn diagram en de interpretatie van “trillingen”. We beschouwen dus een verhouding n/m en dit is een schaalfactor. De schaalfactor beschrijft één karakteristiek van een trilling, de amplitude van de trilling is een bijkomende karakteristiek die we pas kunnen waarnemen als verschillende trillingen in één toestand met elkaar interfereren en de interferentie een waarnemingsresolutie overschrijdt.

De ordeningsparameter die enkel kan toenemen kunnen we dan interpreteren als een hoek: een hoek kan nul zijn en kan blijven toenemen in een bepaalde richting en een goniometrische functie van de hoek zal een getal opleveren dat kan variëren tussen -1 en +1. Die hoek is niet ruimtelijk maar abstract, we hebben de hoek leren zien als de kwantificering van (on)zekerheid van waarnemen en de verandering van hoek als de evolutie van (on)zekerheid.

De Fourier analyse laat inderdaad toe om elk punt in een toestandsruimte (zowel discontinu als punten op een baan die continu is) als een lokale superpositie van trillingen met verschillende amplitudes te beschrijven. In de praktijk zal de langste golflengte overeenkomen met de laatste onderscheiding die bereikt wordt in een gekozen tijdsverschil, kiest men een groter tijdsverschil dan heeft men een grotere golflengte nodig. De overeenkomende golf wordt dan de fundamentele harmonische genoemd, een geheel aantal maal die basisverhouding (basisfrequentie) geeft de mogelijke boventonen en al deze frequenties kunnen een verschillende amplitude hebben.

Tijdsverschillen en tijdrek

We hebben aangetoond dat we het kwadraat van de eigen tijd van de speciale relativiteitstheorie ook kunnen uitdrukken als het meer abstracte 4(m+n_i)(m+n_j): de eigen ij-tijd. De eigen ij-tijd is een term van de verhouding 1/γ_ij+mγ_ji+m=4(m+n_i)(m+n_j)/(2m+n_i+n_j)²=1-v²_ij+m waarbij n_i en n_j de getallen zijn die bij een metrisch verschil n_i-n_j gemeten worden (bijvoorbeeld een eendimensionale ruimtelijke afstand, een verschil tussen vermogens enz...) en die een unieke toestand kwantificeren. Het invers van deze verhouding is het kwadraat van tijdrek. Tijdrek kunnen we op het meest abstracte niveau begrijpen als het oprekken van de eenheid (vrijheidsgraad) waarmee we meten. Wanneer m verschillend is van nul kunnen we teller en noemer van de verhouding tijdrek delen door m omdat m dan de rol kan spelen van een eenheid. Dit maakt duidelijk hoe m ook c kan modelleren (de klassieke lichtsnelheid in vacuüm).