Door de intensiteit van een toestand op twee verschillende stappen (“in de tijd”, “in de ruimte”) aan elkaar te relateren door het model (x-x₀)_(t+Δt)=k(x-x₀)_(t) met -1<k<1, anticiperen we dat de intensiteit van “het verschil dat een verschil maakt” verandert en dat de verandering gemodelleerd wordt met een factor k die, in een eerste benadering, een nieuwe constante is naast de constante (x-x₀). Daardoor hebben we een nieuwe entiteit gecreëerd, namelijk de soort k(x-x₀). De verschillende entiteiten die gekarakteriseerd worden door een van de mogelijke k_i(x-x₀) hebben we deelentiteiten (of telbare deelsystemen, telbare deelaspecten) genoemd van een spontaan proces. We hebben dan ook onderzocht hoe de deelprocessen kwantitatief hun invloed zullen doen gelden binnen het totaal spontaan proces. Sommen van processen leiden tot S-curves en U-curves en door een selectie van de getallen in de exponenten kunnen we hiermee “catastrofale” gebeurtenissen modelleren, gebeurtenissen die gedurende een groot aantal processtappen amper van intensiteit wisselen om dan plots exponentieel gedrag te vertonen. Dit is een gedrag dat veelvuldig waargenomen wordt in de natuur (fase overgangen tussen vast en vloeibaar, zelfontbranding, het plots instorten van een zandhoop, aardbevingen enz…). De processtappen waarbij dat gebeurt worden de kritische punten genoemd: de specifieke combinatie van parameters waarbij het nieuw gedrag (de catastrofe) optreedt. Dit wordt dikwijls toegeschreven aan schaaleffecten en fractale organisatie en dat is nu onze focus. We merken immers op dat de intensiteit k(x-x₀) op een bepaalde stap kan geïnterpreteerd worden als “van de constante (x-x₀)” maar evenzeer “van de constante k”, beide factoren van de intensiteit kunnen dezelfde rol spelen, maar dat is niet volledig zo, wat zich uit in schaaleffecten (en dus verhoudingen).

Schaaleffecten en meervoudigheid

Het model (x-x₀)_(t+Δt)=k(x-x₀)_(t) is gebaseerd op de klassieke hypothese dat verhoudingen zin hebben, maar ook op de vaststelling dat er niets absoluut is aan de stappen “in de tijd” of “in de ruimte”, ze zijn agens-in-context afhankelijk en de stappen zijn het gevolg van toestanden die elkaar uitsluiten, waarneembaar door de geproduceerde sporen die elkaar uitsluiten. Dat is een veel fundamenteler begrip dan “tijd” of “ruimte”. Dus kunnen we ook de mogelijke <<intensiteit of eenheid>> dus <<k of (x-x₀)>> beschouwen bij een gekozen aantal elkaar uitsluitende toestanden n die we dan beschouwen als potentiële toestanden. We hebben met het algemeen product model inderdaad begrepen dat het product (x-x₀)Π_ν(1+κ) kan modelleren dat producten van de soort (1+k)^ν constanten zijn naast de constante (x-x₀). We hebben dan benadrukt dat hiermee simultaneïteit uitgedrukt wordt, niet ordening, niet opeenvolging. Producten van de soort k^ν hebben we ook zien ontstaan vanuit verschillen in een tralie (wat geleid heeft tot de relatieve begrippen inherente snelheid (constante is 1), inherente versnelling (constante is k), inherente controle (constante is k²), inherente audit (constante is k³)). We moeten dit goed begrijpen want n modelleert nu een aantal potentiële toestanden en niet een aantal stappen. Het aantal potentiële toestanden in een tralie wordt altijd gegeven door n=2^g met g het aantal onderscheidingen die de tralie opspannen.

Het aantal mogelijke toestanden kunnen we nu onderzoeken als gerelateerd met de intensiteit van de eenheid (x-x₀) die we gekozen hebben om waar te nemen. We hebben immers al opgemerkt dat n als een verdubbelingstijd (of halveringstijd) kan geïnterpreteerd worden van de eenheid onder focus in een veronderstelling van een geordende opeenvolging van toestanden. Dat is dus de interpretatie als we tijd nemen als ordening. Maar n zien we nu als de meervoudigheid van de eenheid (x-x₀). Het is altijd goed om zich hierbij expliciet te herinneren dat dit in werkelijkheid zin moet hebben (denk aan het voorbeeld: een halve koe is geen koe maar een kadaver en het verschil dat een verschil maakt is hier de koe en enkel de meervoudigheid van de koe kan groter of kleiner zijn). Dat we n als alternatief voor k kunnen zien is met een voorbeeld te illustreren.

• Veronderstel de n (het aantal potentiële toestanden) waarvoor geldt in positieve feedback: (x-x₀)(1+k)ⁿ=2(x-x₀). Dit is een verdubbeling van (x-x₀). Hieruit volgt dat n=(log₂(1+k))^-1 en die n zal evenzeer als k het proces karakteriseren. Dit proces is een ander proces dan de geordende opeenvolging van toestanden, het is een proces van simultane herkenning. Bijvoorbeeld voor een kleine k (stel k=0,1) bekomen we een mogelijke verdubbeling tussen 7 en 8 potentiële toestanden want n=(log₂(1,1))^-1=7,2725408973. Dit impliceert minimaal drie onderscheidingen. Dus de verdubbeling van de eenheid die waargenomen wordt kan slechts vanaf drie onderscheidingen waargenomen worden.

• Veronderstel de n (het aantal potentiële toestanden) waarvoor geldt in negatieve feedback: (x-x₀)(1-k)ⁿ=2^-1(x-x₀). Dit is een halvering van (x-x₀) en dat moet dus een zinvolle uitspraak zijn en kan dus enkel maar een uitspraak zijn over een intensiteit. Hieruit volgt dat: (1-k)ⁿ=2^-1 waaruit volgt n=-(log₂(1-k))^-1. Bijvoorbeeld voor een kleine k (stel k=0,1) bekomen we een mogelijke halvering tussen 6 en 7 potentiële toestanden want n=-(log₂(0,9))^-1=6,578813479. Dit impliceert minimaal drie onderscheidingen. Dus de halvering van de eenheid die waargenomen wordt kan slechts vanaf drie onderscheidingen waargenomen worden. Merk op dat deze uitspraak compatibel is met de uitspraak bij verdubbeling.

We tellen, discontinu dus, de intensiteit van een entiteit, en dat hangt af van het aantal potentiële toestanden die we eveneens discontinu kunnen tellen als ze simultaan aangeboden zijn (en dat betekent dus “in één tralie”, als elementen van één hyperbol). Het aantal potentiële toestanden waarbij verdubbeling of halvering kan optreden is een alternatieve maat voor de eigenwaarde. Dus naarmate n toeneemt (afneemt) kunnen er mogelijks ook meer entiteiten ontstaan (verdwijnen) als ze maar stabiel genoeg zijn en dat is waar te nemen als gerelateerd tot de intensiteit van het gekozen verschil dat een verschil maakt, de intensiteit van de eenheid (x-x₀). Pas wanneer het onderscheidingen universum groot genoeg is kunnen nieuwe relaties ontstaan die we ook entiteiten kunnen noemen. “De entiteit” vullen we niet specifieker in met een a priori interpretatie, het is iets dat telbaar is. Deze veronderstelling wordt duidelijker met een voorbeeld.

We kunnen drie ruimtelijke dimensies onderscheiden, “drie” is de intensiteit van “ruimtelijke dimensie” als entiteit en “ruimtelijke dimensie” is effectief meetbaar als een verschil. Dus als we van één dimensie naar twee dimensies gaan, verdubbelen we de intensiteit van “ruimtelijke dimensie”. We kunnen ons dat voorstellen als een mogelijke constante (1+k)^r die, zoals we aantoonden slechts beschikbaar is vanaf drie onderscheidingen. Indien we ook van één ruimtelijke dimensie naar drie dimensies willen gaan zijn er minimaal vier onderscheidingen bij betrokken. Dit inzicht, gebaseerd op de logische relatie “elkaar uitsluiten”, gaat diep genoeg om daarmee de vier “dimensies” van de “ruimte-tijd” uit de relativiteitstheorie te kunnen begrijpen.

Het inzicht om de eigenwaarde te interpreteren als een aantal potentiële toestanden waarbij verdubbeling kan optreden kan gemakkelijk uitgebreid worden. Bijvoorbeeld voor dezelfde kleine k (stel k=0,1) bekomen we een verdrievoudiging tussen de 11 en 12 potentiële toestanden want n=(log₃(1,1))^-1=11,5267046072476. Dit impliceert dan minimaal vier onderscheidingen. Dus een ver-m-voudiging voor dezelfde kleine k zal mogelijk zijn rond een aantal potentiële toestanden n=(log_m(1,1))^-1. Hierin is n een reëel positief getal dat zich altijd tussen twee gehele getallen bevindt (het zijn gehele getallen die geteld worden, m is een geheel getal).

We geven nu een aantal voorbeelden. De variabele m wordt gegeven op de abscis en zoals elke logaritmische curve kunnen we n uitdrukken als een gewogen natuurlijke logaritme en de vergelijking is opgenomen als n in de grafiek.

Het minimaal aantal toestanden is weergegeven in de ordinaat en de ver-m-voudiging in de abscis voor een (positieve) k=0,1

Het minimaal aantal toestanden is weergegeven in de ordinaat en de ver-(1/m)-voudiging in de abscis voor een (negatieve) k=-0,1

Hieronder geven we de grafiek n=(log_m(1+k))^-1 die de relatie geeft tussen m, de intensiteit van de eenheid op de abscis, en n, het minimaal aantal toestanden op de ordinaat, voor twee verschillende positieve k (vierkant datapunt voor k=0,1 en ruit datapunt voor k=0,3). Het eerste relevante aantal m is 2, het grootste in deze grafiek is 20. Dit illustreert duidelijk dat een ver-m-voudiging (bijvoorbeeld een verdubbeling voor m=2) van een gekozen (x-x₀) voor een grotere eigenwaarde in een kleiner universum al bereikt wordt (dus bereikt wordt voor een kleiner aantal potentiële toestanden, voorgesteld in de ordinaat).

De minimale waarde m, de verdubbeling, geeft dus de minimale hoeveelheid weer van toestanden n van een universum waarbij een tweede eenheid “kan ontstaan” naast de waargenomen eenheid, namelijk het gekozen verschil (x-x₀). De n die gemodelleerd wordt heeft slechts van ver iets met tijd te maken want tijd is ook een voorbeeld van hoe toestanden kunnen geteld worden (toestanden die elkaar altijd uitsluiten). Het is de minimum (maximum) intensiteit (“in de tijd” van het proces of “in de ruimte” van het proces) waarbij een bepaalde soort uitsluiting optreedt (en dus kan optreden, pas bij die intensiteit is de uitsluiting waarneembaar en dus wordt dan iets telbaar). Immers: de invariante entiteit die in een toestand kan waargenomen worden zal zich op een bepaalde diepte bevinden in een tralie zodanig dat elke mogelijke toestand (atomair in een bepaald gekozen universum) die entiteit kan realiseren. Zijn er meer mogelijke toestanden dan zal de entiteit zich metrisch verder bevinden dan het niveau van die toestanden en dat is afhankelijk van de relevante tralie. Een tralie met één onderscheiding kan wederzijdse uitsluiting modelleren van maar twee toestanden, een tralie met twee onderscheidingen kan wederzijdse uitsluiting modelleren van maximaal vier toestanden, een tralie met n onderscheidingen kan wederzijdse uitsluiting van maximaal 2ⁿ toestanden uitdrukken. Aangezien entiteiten atoomburen zijn voor een bepaald onderscheidingen universum, zal het aantal entiteiten dat een bepaald gedrag vertoont ook deze distributie volgen.

We kunnen nu onderzoeken welke relaties tussen (1±k) en (x-x₀) mogelijk zijn voor dezelfde n. Daartoe beschouwen we de cumulatie (dit is het getal (x-x₀)(1±k)ⁿ) en de variabelen zijn dus n, (1±k) en (x-x₀). Dat zijn drie aspecten die met elkaar gerelateerd zijn. Dit maakt heel duidelijk dat er een verschil is tussen de termen (1±k) en (x-x₀): de exponent n komt slechts bij één van de producttermen voor. Stel nu dat we (1±k) als variabele kiezen en dus (x-x₀) als constante (het verschil dat een verschil maakt veranderen we niet) dan kunnen we veronderstellen dat “met een bepaalde minimale mogelijkheid van uitsluiting”, namelijk n, een “foto” gemaakt wordt van (het spoor van) de intensiteiten van twee variabelen, namelijk (x-x₀)(1±k)ⁿ en (1±k). Noem de constante (x-x₀) nu C, de eenheid die cumuleert, noem het getal (x-x₀)(1±k)ⁿ nu de variabele z, en noem het getal (1±k) nu de variabele y, dan zien we het machtsverband z=Cyⁿ. De intensiteit z is dus recht evenredig met een macht van y. De symmetrische situatie is dus het patroon met een machtsverband y=(z/C)^1/n. De variabele y (dit is het dubbelgetal (1±k)) kunnen we voor het gemak ook een dubbelgetal-eigenwaarde en resolutie noemen voor positieve feedback of voor negatieve feedback als we n zouden laten variëren. We moeten dit goed begrijpen: de “foto” die we nemen is een foto in een universum dat we NU (vaste n) als potentieel en ervaarbaar moeten veronderstellen, terwijl we ons ook kunnen voorstellen dat het NU het resultaat is van misschien miljoenen jaren evolutie (variabele n) die we als hypothetisch proces kunnen construeren, noodzakelijke voorwaarde voor het ervaren NU. De dubbelgetal-eigenwaarde is niet anders dan de cumulatie bij n=1: dan is de intensiteit (x-x₀)(1±k)ⁿ recht evenredig met (x-x₀) of (1±k), en de mogelijke k (die positief of negatief kan zijn) is dan 1 meer dan de verhouding van de intensiteit (x-x₀)(1±k) met (x-x₀)(1±0). De dubbelgetallen (x-x₀) of (1±k) spelen dezelfde rol.

Hieronder is een voorbeeld gegeven van drie vaste exponenten n en de keuze C=1. Met vierkant datapunt is n=0,5 wat betekent dat de abscis de variabele z geeft en de ordinaat de variabele y, met ruit datapunt is n=1 wat betekent dat er een vrije keuze is of de abscis de variabele z geeft en de ordinaat de variabele y of omgekeerd, met driehoek datapunt is n=1,5 wat betekent dat de abscis de variabele y geeft en de ordinaat de variabele z.

We hebben de vrije keuze welke variabele we als abscis of ordinaat kiezen en dat is dus de betekenis van een product (of een verhouding). Dit betekent niet anders dan dat we vrij zijn om de grootte van het onderscheidingen universum te kiezen: 1 onderscheiding (met 2¹ toestanden die elkaars inbedding zijn) of n onderscheidingen (met 2ⁿ toestanden) en dat we met die getallen verhoudingen kunnen maken.

We merken nu op dat ook y niet anders is dan een verhouding, een schaalfactor, een processnelheid. Dus als we y vermenigvuldigen met een getal (een nieuwe “schaalfactor”) dan blijft het patroon behouden, het patroon dat de intensiteit van de verschillende deelaspecten van het totale proces met elkaar relateert. Immers neem de constante D, verschillend van 1, als een andere schaalfactor voor de resolutie (1±k), dan is z=C(Dy)ⁿ=(CDⁿ)yⁿ. Het patroon van de verschillende eigenwaarden wordt gewoon met een nieuwe factor vermenigvuldigd, wat zich uit in een andere lokale helling van de curve. Speciale voorbeelden van een constante D (namelijk D=k voor n=1, D=k² voor n=2, D=k³ voor n=3) hebben we gegenereerd uit de verschillen tussen stappen die we in tabelvorm weergegeven hebben en dat zijn dus de meetbare inherente entiteiten: processnelheid, procesversnelling, procescontrole en procesaudit:

Hieronder een voorbeeld met een positieve k (dus positieve feedback als we een variërende n veronderstellen) en met n=0,25 constant (niet variërend dus) en een schaalfactor 1 voor de datapunten met vierkant en 0,5 voor de datapunten met ruit.

We kunnen z=CDⁿyⁿ natuurlijk anders schrijven om meer expliciet naar de klassieke hypothese te verwijzen:(z/C)¹=(y/D^-1)ⁿ of dus (z/z₀)¹=(y/y₀)ⁿ en hiermee drukken we twee dimensieloze verhoudingen uit die expliciet de betrokken eenheden van de klassieke hypothese en, hierdoor, de schaalfactoren z₀ en y₀ introduceren, namelijk de “verschillen die een verschil maken”. Klassiek zouden deze verschillen die een verschil maken “randvoorwaarden” genoemd worden van differentiaalvergelijkingen. De verhouding kunnen we natuurlijk ook schrijven als (y/y₀)=(z/z₀)^1/n als we van een exponent groter dan 1 willen veranderen naar een exponent kleiner dan 1. Voor anticipaties naar het verleden (die we “mogelijke reconstructies” noemen van noodzakelijke voorwaarden voor het waarnemen nu) gebruiken we dan een negatieve n.

Het machtsverband herkennen we ook wanneer we een logaritme nemen: log(z)-log(z₀)=n(log(y)-log(y₀)), een lineair verband, dat we dus zien verschijnen als de eenheden van de assen van de grafiek logaritmisch verdeeld zijn. Merk op dat y afwijkt van 1, wat zorgt dat log(y) verschillend is van nul. De verhouding y=(1±k) kunnen we altijd schrijven als (y₀±y₀k)/y₀ en dus kunnen we altijd een y₀ kiezen als de relevante en waargenomen resolutie, de relevante vrijheidsgraad, de relevante entiteit. Er zullen dus ook slechts sommige schaalfactoren y₀ zijn die dezelfde entiteiten genereren, en sommige waarneembare entiteiten zullen slechts in een groter universum waarneembaar zijn.

We kunnen dit als volgt interpreteren: het verband (z/z₀)¹=(y/y₀)ⁿ drukt de voorwaarde uit waaronder het onderscheidingen universum met n toestanden en dubbelgetal-eigenwaarde y als intensiteit van een gekozen eenheid y₀, waarneembare entiteiten genereert van de soort (de eenheid) z₀. Dit betekent ook dat niet alle onderscheidingen universa waarneembare entiteiten (van een bepaalde soort) genereren. Een waarneembare entiteit wordt discontinu geteld met enkel gehele getallen. Een eenvoudig voorbeeld hiervan wordt geboden door de Gulden Snede want er geldt dat voor even x: (φ^x+φ^-x) een geheel getal is en dat voor oneven x: (φ^x-φ^-x) een geheel getal is. De dubbelgetallen (φ^x+φ^-x) en (φ^x-φ^-x) zijn dus telbare entiteiten die gebaseerd zijn op de eenheid van de Gulden Snede.