We hebben dynamiek gemodelleerd met eenheden die elkaar uitsluitende toestanden zijn, namelijk x1, x2 enz… en we hebben
met een verschil tussen toestanden een simultaneïteitsinterval gevormd dat toelaat om een causale ordening te definiëren tussen een toestand en een verschil met een andere toestand. Dit leidt tot één simultaneïteitsinterval tussen een toestand en de inbedding van een tweede toestand
in dit ene simultaneïteitsinterval twee inverteerbare simultaneïteitsintervallen (creatief product met ℵ) gedefinieerd tussen de extrema die vanuit twee toestanden gedefinieerd werden. Zo’n interval heeft een invers wanneer ℵ steeds dezelfde waarde heeft die niet gekend moet zijn. Het invers is ten opzichte van het verschil tussen toestanden en een van de extrema van het interval.
het verschil van een simultaneïteitsinterval en zijn invers berekend (de commutator)
Terwijl twee toestanden minimaal nodig zijn om dynamiek te modelleren kunnen we dit ook onderzoeken als we drie (of meerdere) toestanden beschouwen. Dit geeft niet alleen de mogelijkheid om een verschil tussen toestanden te definiëren, maar ook om een verschil tussen verschillen van toestanden te definiëren. Dit maakt verschillende soorten commutatoren mogelijk. Hierbij bleek dat een situatie met drie toestanden (en dus ook verschillen van toestanden) leidt tot de vaststelling dat de veronderstelling dat de drie toestanden dezelfde waarde hebben er toe leidt dat alle mogelijke commutatoren gelijk zijn aan de nulvector. Dus met drie toestanden kunnen we een stabiliteit (of evenwicht) in de dynamiek modelleren, iets dat compatibel is met het modulo3 model van het haakformalisme en dat dus compatibel is met de fundamentele veronderstelling dat er maar twee waarden zijn: “ja” en “neen”: één toestand is “ja” en alle andere hebben de tweede waarde, namelijk “neen”.
Dynamiek zelf zal dus moeten gemodelleerd worden in een situatie die afwijkt van evenwicht en het is voldoende om dat te doen in slechts één dimensie. Dat kennen we als de parameter “tijd”. De waarneming dat de werkelijkheid dynamisch is geeft dus een ordening, een chronologie aan de sporen die in deze evolutie ontstaan. Dit geeft ons een uniek mechanisme om chronologie te modelleren. Een spoor is specifiek voor een bepaalde werkelijkheid. Een spoor ontstaat als een vluchtige onderscheiding (een laatst toegevoegde onderscheiding die niet ingebouwd wordt in de invariante structuur die evolueert) maar wordt eventueel wel ingebouwd in een andere werkelijkheid.
Dat is wat we nu gaan doen. We gaan patronen zoeken in de situatie met slechts twee elkaar uitsluitende toestanden. We kunnen dan verwachten dat er drie eendimensionale dynamische processen te vinden zijn die altijd samen in evenwicht zijn.
Dit inzicht is niet meer en niet minder dan de ervaring van één richting en dus van tijd: “nu” is uniek voor het agens-in-context die “ja” zegt aan “nu”. Dynamiek is er ten opzichte van <<de stap voor “nu”>> en <<de stap na “nu”>>. Dit is gedrag en zullen we modelleren door een recursief proces. Dit proces dat de sporen ℵ1, ℵ2, …, ℵi, ... produceert is niet anders dan geordend, herhaaldelijk, het standpunt “nu” ervaren. Meer moeten we niet veronderstellen.
In het algemeen kunnen we elkaar uitsluitende toestanden beschouwen, namelijk x1, x2, ...xi... enz… maar die moeten niet geordend zijn. Ordening (en dus chronologie) ontstaat in een proces en dan is het voldoende om slechts twee toestanden te modelleren om chronologie te modelleren. We kiezen nu weer voor de notaties x en y in plaats van xi omdat we de index i in de betekenis van geordende sporen zullen gebruiken. Ervaren we nu x dan staat x hoe dan ook in contrast met <x> en dit wordt meetbaar als het verschil van x met een y, namelijk (<x>⊕y). Dat is een unieke nieuwe eenheid. Merk op dat deze modellering ver verwijderd is van een “analytische benadering”: de modellering gebeurt zoals in werkelijkheid: twee toestanden sluiten elkaar uit en dat zijn de stappen die gezet worden en sporen achterlaten die verschillen van nul, die stappen zijn zeker niet infinitesimaal a priori, de stappen zullen ons trouwens de kans geven om de voorwaarden van iets infinitesimaals te modelleren.
We maken nu een recursie met opeenvolgende intensiteiten en onderzoeken of daarbij dan patronen ontstaan. Dat betekent dat we de eenheid (<x>⊕y) als stabiel beschouwen en de intensiteit ℵ van die eenheid als variabel. Dat is dus niet anders dan de laatst toegevoegde onderscheiding, het spoor dat niet ingebouwd wordt en dat we nu voorstellen als de geordende reeks ℵ1, ℵ2, ...ℵi…
Alle laatst toegevoegde onderscheidingen hebben dezelfde waarde zodanig dat het creatief product, dat niet commutatief en niet associatief is, toch associatief wordt. We kunnen een dynamische evolutie tussen twee extrema dus modelleren door sporen als ℵ1, ℵ2, …, ℵi met eenzelfde waarde die verder niet gekend is. Dit betekent dat we wel weten dat voor gelijk welke i en j geldt dat ℵi•ℵj=<<>>, maar dat de waarde van bijvoorbeeld een ℵi•x niet gekend is. Dit betekent dat ℵi•x (de projectie van het spoor in de werkelijkheid van x) potentieel zinvol kan zijn, maar dat het evenzeer zinvol is om ℵi te projecteren in y om dan ℵi•y te vormen als potentiële structuur.
Simultaneïteitsintervallen hebben we gecodeerd met een hoofdletter (A, B). Dit gaan we blijven doen, maar nu met de sporen ℵi. We veronderstellen nu een simultaneïteitsinterval A1 tussen x en <x>⊕y dat door ℵ1 gegenereerd wordt, waarbij dus ℵ1 het spoor is dat niet ingebouwd wordt in de werkelijkheid van de toestanden x en y. A1=(x⊗(y⊕<x>))ℵ1=<y>⊕ℵ1•x⊕ℵ1•y=<y>⊕ℵ1•(x⊕y). Hieruit volgt dat A1⊕y=ℵ1•(x⊕y). Dit drukt uit dat de intensiteit ℵ1, de intensiteit is van de eenheid (x⊕y). We kunnen dat ook doen met een simultaneïteitsinterval B en dus de tweede referentie voor dezelfde werkelijkheid. Dit is volledig gelijkaardig.
We concentreren ons nu op A intervallen, dus met standpunt x en referentietoestand y. De recursie genereren we als volgt: vanuit het standpunt x en met dezelfde referentietoestand y genereren we met de gecollapste haakuitdrukking A1 een nieuw interval met een ℵ2. Dus: noch x, noch y veranderen, het simultaneïteitsinterval met de vijf niveaus tussen de extrema x en <y> verandert niet, wat er wel verandert zijn de sporen ℵi.
A2=(x⊗A1)ℵ2=(x⊗(<y>⊕ℵ1•x⊕ℵ1•y))ℵ2=<x>⊕y⊕<ℵ1•x>⊕<ℵ1•y>⊕<ℵ2•x>⊕<ℵ2•y>⊕ℵ1•ℵ2•x⊕ℵ1•ℵ2•y. We merken nu op dat ℵ1 en ℵ2 dezelfde waarde hebben dus dat ℵ1•ℵ2=<<>>, dus A2 wordt <x>⊕y⊕<ℵ1•x>⊕<ℵ1•y>⊕<ℵ2•x>⊕<ℵ2•y>⊕x⊕y of dus <y>⊕(ℵ1⊕ℵ2)•<x>⊕(ℵ1⊕ℵ2)•<y>=<y>⊕(ℵ1⊕ℵ2)•(<x>⊕<y>).
Hieruit volgt dat A2⊕y=(ℵ1⊕ℵ2)•(<x>⊕<y>)
A2⊕y=(<ℵ1>⊕<ℵ2>)•(x⊕y)=<ℵ1>•(x⊕y)⊕<ℵ2>•(x⊕y)
Aangezien A1⊕y=ℵ1•(x⊕y) is dus A2⊕y=<A1⊕y>⊕<ℵ2>•(x⊕y)
We hebben dus A2⊕y als functie van A1⊕y in de eerste stap van een recursieve operatie voorgesteld. Dat interpreteren we nu als een differentie vergelijking want (A2⊕y)⊕<(<A1⊕y>)>=<ℵ2>•(x⊕y). In woorden: het verschil (na één stap) van A2⊕y met de intensiteit van de voorgaande stap <A1⊕y> is een hoeveelheid van de eenheid.
De recursieve operatie vanuit het standpunt x zonder de referentie y te wijzigen kunnen we nu verder zetten met een volgende stap die het interval A3 doet ontstaan:
A3=(x⊗(<y>⊕(ℵ1⊕ℵ2)•(<x>⊕<y>)))ℵ3=<x>⊕y⊕(ℵ1⊕ℵ2)•(x⊕y))⊕<ℵ3•x>⊕<ℵ3•y>⊕ℵ1•ℵ3•<x>⊕ℵ1•ℵ3•<y>⊕ℵ2•ℵ3•<x>⊕ℵ2•ℵ3•<y>=<x>⊕y⊕(ℵ1⊕ℵ2)•(x⊕y))⊕<ℵ3•x>⊕<ℵ3•y>⊕<x>⊕<y>⊕<x>⊕<y>=<y>⊕(ℵ1⊕ℵ2⊕<ℵ3>)•(x⊕y)
Hieruit volgt dat A3⊕y=(ℵ1⊕ℵ2⊕<ℵ3>)•(x⊕y)
Aangezien A2⊕y=(ℵ1⊕ℵ2)•(<x>⊕<y>) volgt hieruit dat A3⊕y=<A2⊕y>⊕<ℵ3>•(x⊕y)
We berekenen nu de volgende stap:
A4=(x⊗(<y>⊕(ℵ1⊕ℵ2⊕<ℵ3>)•(x⊕y)))ℵ4=<x>⊕y⊕(ℵ1⊕ℵ2⊕<ℵ3>)•(<x>⊕<y>)⊕<ℵ4•x>⊕<ℵ4•y>⊕ℵ4•(ℵ1⊕ℵ2⊕<ℵ3>)•(x⊕y)
A4=<x>⊕y⊕(ℵ1⊕ℵ2⊕<ℵ3>)•(<x>⊕<y>)⊕<ℵ4•x>⊕<ℵ4•y>⊕(x⊕y)
A4=<y>⊕(ℵ1⊕ℵ2⊕<ℵ3>⊕ℵ4)•(<x>⊕<y>)
Hieruit volgt dat A4⊕y=(ℵ1⊕ℵ2⊕<ℵ3>⊕ℵ4)•(<x>⊕<y>)
Aangezien A3⊕y=(ℵ1⊕ℵ2⊕<ℵ3>)•(x⊕y) volgt hieruit dat A4⊕y=<A3⊕y>⊕<ℵ4>•(x⊕y)
Een volgend interval zal het volgend product genereren (ℵ1⊕ℵ2⊕<ℵ3>⊕ℵ4)•ℵ5 dus als patroon herkennen we <<>>⊕<<>>⊕<>⊕<<>>=<> en dus
A5=<y>⊕(ℵ1⊕ℵ2⊕<ℵ3>⊕ℵ4⊕<ℵ5>)•(x⊕y)
Hieruit volgt dat A5⊕y=(ℵ1⊕ℵ2⊕<ℵ3>⊕ℵ4⊕<ℵ5>)•(x⊕y)
Hieruit volgt dat A5⊕y=<A4⊕y>⊕<ℵ5>•(x⊕y)
Het patroon van de recursie is duidelijk.
A1⊕y=ℵ1•(x⊕y)
A2⊕y=<A1⊕y>⊕<ℵ2>•(x⊕y)
A3⊕y=<A2⊕y>⊕<ℵ3>•(x⊕y)
A4⊕y=<A3⊕y>⊕<ℵ4>•(x⊕y)
A5⊕y=<A4⊕y>⊕<ℵ5>•(x⊕y)
…
Het patroon na de eerste stap is in het algemeen dus Ai⊕y=<Ai-1⊕y>⊕<ℵi>•(x⊕y)
Laten we eens kijken naar die eerste stap. We zijn gestart met A1=(x⊗(y⊕<x>))ℵ1=<y>⊕ℵ1•x⊕ℵ1•y=<y>⊕ℵ1•(x⊕y). Dus A1⊕y=ℵ1•(x⊕y). We kunnen ons nu afvragen of we ook nog een voorliggende stap kunnen modelleren, dus een A0=(x⊗(?⊕<x>))ℵ0. Hier staat het symbool <<?>> voor een onbekende haakuitdrukking. Dus er zou moeten gelden dat <y>⊕ℵ1•(x⊕y) niet verschillend is van <?>⊕ℵ0•(x⊕?). Omdat het haakformalisme een positieve constructiemethode is, moet dat betekenen dat y de nulvector moet zijn en dat ℵ0 en ℵ1 dezelfde waarde moeten hebben. Dit laatste geldt natuurlijk want ℵ0•ℵ1=<<>>. Dus A0=(x⊗<x>)ℵ0. Dit is ℵ0•x. En dus: bij de eerste stap (i=1) wordt y “gecreëerd”. Zo geformuleerd is dit verwarrend, maar dit drukt perfect uit dat het onmogelijk is om zonder referentiepunt een “eerste stap te zetten”, een eerste stap is altijd ten opzichte van iets. Een referentiepunt (in dit geval dus y) kan ook onbekend zijn en onbekend blijven en toch noodzakelijk zijn voor een eerste stap.
Het patroon Ai⊕y=<Ai-1⊕y>⊕<ℵi>•(x⊕y) kunnen we ook schrijven als (Ai-1⊕y)⊕(Ai⊕y)=<ℵi>•(x⊕y). Hierin is de modellering van een evolutie te herkennen van de intensiteit van de eenheid (x⊕y), namelijk een x ten opzichte van een ongekend referentiepunt y als een onbekende functie van de laatst toegevoegde onderscheiding die sporen achterlaat die niet ingebouwd worden in de tralie van die eenheid. Het referentiepunt komt hier als patroon duidelijk naar voor. We kunnen ook als referentiepunt de nulvector nemen en dan genereren we Ai=<Ai-1>⊕<ℵi>•x, een zeer eenvoudige differentievergelijking.
De sporen kunnen getallen zijn, meer bepaald resultaten van een telling, te begrijpen als de verandering van de intensiteit van (Ai⊕y) vergeleken met de voorgaande stap. Dit kunnen we interpreteren als het aantal maal dat de bitstring moet herhaald worden om in het relevante universum te functioneren. Die sporen interpreteren we dan als de evaluaties van een getalfunctie bij elke stap in de evolutie, dus op elk moment, momenten die elkaar uitsluiten. Op abstract niveau is deze functie een recursie van het creatief product van x met een steeds complexer wordend verschil van x met een vaste referentie y waarbij de variabele gelijk is aan de stap i die dan ℵi als spoor achterlaat. We merken op dat dit niet anders is dan wat we met de notatie x’ wilden bereiken. Immers x’=<x>⊕y met y een onbekende maar welgevormde toestand. Hierbij verwijst het accent naar de term die ingebed wordt, alle andere mogelijke termen die staan voor een som van toestanden (die elkaar dus uitsluiten) zijn niet betrokken.
We hebben hiermee een variërend interval gemodelleerd als differentievergelijking. Hierbij blijft het patroon van het interval Ai⊕y bij elke stap herkenbaar en de laatst toegevoegde onderscheiding modelleert enkel de grootte van het universum “op dat moment”.
Het interval op stap i is (Ai-1⊕y)⊕(Ai⊕y)=<ℵi>•(x⊕y). Dit is de intensiteit <ℵi> van de eenheid (x⊕y).
Het interval op stap i+1 is (Ai⊕y)⊕(Ai+1⊕y)=<ℵi+1>•(x⊕y). Dit is de intensiteit <ℵi+1> van de eenheid (x⊕y).
De toename is dus het verschil van beide intervallen en een verschil is niet commutatief. Dit is <ℵi>•(x⊕y)⊕ℵi+1•(x⊕y) versus ℵi•(x⊕y)⊕<ℵi+1>•(x⊕y).
<ℵi>•(x⊕y)⊕ℵi+1•(x⊕y)=(<ℵi>⊕ℵi+1)•(x⊕y) en dit kunnen we voorstellen als κ•(x⊕y) met κ een positief getal (voor toename) of een negatief getal (voor afname).
We zullen nu aantonen dat we κ kunnen interpreteren als een eigenwaarde.
We zullen nu voor Ai⊕y een notatie gebruiken die voor het eerst gebruikt werd door Isaac Newton en connotaties oproept met snelheid: ẋi=Ai⊕y=<ẋi-1>⊕<ℵi>•(x⊕y). We hebben voor deze notatie gekozen omdat ẋi ook als abstractie van de klassieke fysische snelheid gebruikt wordt zonder expliciet te verwijzen naar tijd zoals in de notatie dx/dt die door Gottfried Leibniz gebruikt werd. De dot boven een letter wordt gevormd met html ̇ na de letter.
Die abstractie is gebaseerd op het inverteerbaar simultaneïteitsinterval Ai van toestanden en als meer gepaste bewoording hebben we dat een “processnelheid” genoemd, een begrip dat zowel als een snelheid als als een versnelling kan functioneren. We gebruiken dus één punt boven een symbool, er is geen enkele reden om daarnaast nog een dubbel punt te voorzien. Dit volgt uit de abstracte betekenis van het nieuw begrip “processnelheid”: de disjunctie van “snelheid” en “versnelling”, dus: “snelheid of versnelling”.
We lijsten hierbij op wat we al gevonden hebben.
ẋ2=A2⊕y=<A1⊕y>⊕<ℵ2>•(x⊕y)=<ℵ1>•(x⊕y)⊕<ℵ2>•(x⊕y)=(ℵ1⊕ℵ2)•(<x>⊕<y>)
ẋ3=A3⊕y=<A2⊕y>⊕<ℵ3>•(x⊕y)=(ℵ1⊕ℵ2)•(x⊕y)⊕<ℵ3>•(x⊕y)=(ℵ1⊕ℵ2⊕<ℵ3>)•(x⊕y)
ẋ4=A4⊕y=<A3⊕y>⊕<ℵ4>•(x⊕y)=(ℵ1⊕ℵ2⊕<ℵ3>)•(<x>⊕<y>)⊕<ℵ4>•(x⊕y)=(ℵ1⊕ℵ2⊕<ℵ3>⊕ℵ4)•(<x>⊕<y>)
...
ẋk=Ak⊕y=<ẋk-1>⊕<ℵk>•(x⊕y)
κ, die niet anders is dan <ℵk> kunnen we dus interpreteren als de eigenwaarde van de abstracte processnelheid, eigenwaarde die mogelijkerwijze bij elke stap varieert.