Door het onderzoek naar patronen in de chronologie van een evoluerend aspect in één dimensie hebben we een aantal functies kunnen herkennen die de evolutie beschrijven, zoals

We hebben ons geconcentreerd op elkaar uitsluitende toestanden en de evolutie gemodelleerd van een toestand x ten opzichte van een toestand y. We kunnen ze beschouwen als de enige toestanden van een één onderscheiding universum. We hebben de commutator [x, Ak]=Ak⊕<Ak-1>=(<>⊕<ℵk>)•(x⊕y) geconstrueerd die de intensiteit (<>⊕<ℵk>) van een haakuitdrukking geeft in de even stap k van de evolutie op de dimensie die gevormd wordt door (het verschil tussen) x en y. Deze intensiteit is een dubbelgetal functievorm. De commutator is nul als x en y verschillende waarde hebben en een commutator gelijk aan nul betekent dat de laatst toegevoegde onderscheiding geen rol speelt, dat het onderscheidingen universum niet verandert en dat er dus geen evolutie is en dus geen chronologie van sporen gegenereerd wordt. Evolutie hebben we dus gemodelleerd als de evoluerende toestand x met dezelfde waarde als de referentietoestand y, waarde die verder niet gekend moet zijn. We kunnen ons afvragen wat de interpretatie kan zijn van “iets anders dan de referentietoestand y” als er meerdere toestanden zijn en dus een groter universum beschouwd wordt. Het onderzoek naar dynamiek in meerdere dimensies heeft dan nieuwe inzichten opgeleverd. We merkten onder andere op dat geldt dat h1⊕h2⊕h3=X op voorwaarde dat de drie welgevormde haakuitdrukkingen hi dezelfde waarde hebben. Dat geldt dus evenzeer voor hun inbeddingen, dus <h1>⊕<h2>⊕<h3>=X. En dan gelden dus ook de volgende drie vergelijkingen en hun inbeddingen: <h1>=h2⊕h3; <h2>=h1⊕h3; <h3>=h1⊕h2. We hebben hiermee een interpretatie van <y> die uitgedrukt wordt als een som (verschil) van andere toestanden. En hieruit volgen nog andere mogelijkheden zoals h3=h1⊕h2⊕<h3> enz… en ook h1⊕<h2>=h2⊕<h3> en h2⊕<h3>=h3⊕<h1> en h3⊕<h1>=h1⊕<h2>, drie gelijkheden die we verder nog zullen gebruiken. We hebben voor verschillen van toestanden ook een notatie ontwikkeld: h’i is niet anders dan de som <hi>⊕Σhj met de sommatie van 1 tot j en i kleiner dan j. Er zijn dus ook sommen van die sommen die eveneens de nulvector zijn en eenheden opleveren die evenwicht kunnen modelleren.

Dit alles stelt ons in staat om twee toestanden x en y te relateren met andere toestanden en we tonen nu aan dat we dan een groter universum kunnen construeren waarvan we zullen kunnen zeggen dat de toestand Hx evolueert ten opzichte van een referentietoestand Hy, en omgekeerd dat de toestand Hy evolueert ten opzichte van een referentietoestand Hx.

De gevonden patronen voor twee toestanden zullen immers gelden voor gelijk welke som van toestanden aangezien ze gebaseerd zijn op het creatief product en de vectorsom distributief is ten opzichte van het creatief product. Er geldt dus dat r⊕(p⊗q)a=((r⊕p)⊗(r⊕q))a en in een concreet geval dus (met Σ een willekeurige som): Σ⊕(x⊗(<x>⊕y))ℵ=((Σ⊕x)⊗(Σ⊕<x>⊕y)))ℵ en daarenboven speelt de som Σ geen rol meer bij het berekenen van de commutator [x, x’]. Dit betekent: neem een H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q> en als x een van de termen van de som. Dat aspect heeft dus twee extrema waarbinnen de evolutie zich voordoet en daarbij kunnen we één van de extrema als referentie gebruiken, noem die y. Dan zal [H, x’]=[x, x’] waarbij enkel de evolutie van die term gemodelleerd wordt. Elke term maakt dan een evolutie mee met een laatst toegevoegde onderscheiding ℵ met het patroon dat hierboven geëxpliciteerd werd. De sporen die achtergelaten worden zullen zich voordoen als een som van sporen die door elk van de termen achtergelaten wordt met een patroon dat onvermijdelijk moet overeenkomen met r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>, aangezien het H is die evolueert in het grootste universum.

Dit betekent dus ook dat de evolutie van één van de vier aspecten in een kleiner universum kan beschreven worden. De termen zijn r•q, r•p, s•p, en s•q en elke term heeft slechts twee onderscheidingen nodig. Elke term uit het patroon r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q> kan als een toestand beschouwd worden, maar dan in een deel van het universum. Noem deze termen nu xi met i=1, 2, 3, 4 en bewaar de structuur van inbeddingen. Dus H=x1⊕<x2>⊕<x3>⊕<x4>. Om de evolutie van één term te bestuderen vervangen we nu die term door de commutator van de evolutie na één stap, bijvoorbeeld x1⊕<x2>⊕<x3>⊕<[H, x’4]>. Hiermee introduceren we dus ook voor die term een referentie toestand, in dit geval kiezen we voor de notatie y4. Deze som van termen kunnen we nu een nieuwe naam geven, noem deze ∂H/∂x4. Dit is niet anders dan een partiële afgeleide die we in zijn algemene vorm onderzocht hebben. We interpreteren hierbij de relatie tussen commutator en afgeleide voor een laatst toegevoegde onderscheiding als (dubbel)getal.

Aangezien een som van drie identieke termen niet verschillend is van de nul vector, geldt dat (x1⊕<x2>⊕<x3>⊕<[H, x’4]>)⊕(x1⊕<x2>⊕<[H, x’3]>⊕<x4>)⊕(x1⊕<[H, x’2]>⊕<x3>⊕<x4>)⊕([H, x’1]⊕<x2>⊕<x3>⊕<x4>)=Σi[H, x’i]=Σi∂H/∂xi, waarbij het 3&1 patroon behouden moet blijven in de som. Dit modelleert dus de evolutie van H als de evolutie van elk van zijn termen ten opzichte van een referentie die eigen is aan die term. Deze evolutie is zodanig dat de structuur H bij elke stap (elke k) nog steeds kan herkend worden in de sporen die de aspecten achterlaten.

We kunnen het gedrag van H dus in een universum van vier onderscheidingen modelleren als een som van evoluties van vier toestanden, telkens in een universum van slechts twee onderscheidingen.

We merken nu op dat (bijvoorbeeld) x1⊕<x2>⊕<x3>⊕<[H, x’4]> bij het “even” spoor ℵ2n niet anders is dan de reeds afgeleide alternerende functie [x, A2n] waarbij de variabele x vervangen wordt door het patroon <x1⊕<x2>⊕<x3>⊕<x4>> en de referentie y door y4, of dus (<<>>⊕ℵ2n)•(<x1>⊕x2⊕x3⊕x4⊕y4) en dat geldt voor alle aspecten. Het zijn dan die sommen die elkaar opheffen en de som van commutatoren kan dan de commutator zijn van H.

[H, x’4]=(<>⊕<ℵ2n>)•(<x1>⊕x2⊕x3⊕x4⊕y4)

[H, x’3]=(<>⊕<ℵ2n>)•(<x1>⊕x2⊕x3⊕y3⊕x4)

[H, x’2]=(<>⊕<ℵ2n>)•(<x1>⊕x2⊕y2⊕x3⊕x4)

[H, x’1]=(<>⊕<ℵ2n>)•(<x1>⊕<y1>⊕x2⊕x3⊕x4)

Σi[H, x’i]=Σi∂H/∂xi=(<>⊕<ℵ2n>)•(<x1>⊕<y1>⊕x2⊕y2⊕x3⊕y3⊕x4⊕y4)=(<>⊕<ℵ2n>)•(<x1>⊕x2⊕x3⊕x4)⊕(<>⊕<ℵ2n>)•(<y1>⊕y2⊕y3⊕y4)

We hebben dus aangetoond dat de toestand Hx evolueert als (<>⊕<ℵ2n>)•(<x1>⊕x2⊕x3⊕x4) ten opzichte van een referentietoestand Hy die evolueert als (<>⊕<ℵ2n>)•(<y1>⊕y2⊕y3⊕y4). Ze evolueren ten opzichte van elkaar en dit is een zeer krachtig inzicht in relativiteit. De symmetrie is opvallend.

Het patroon geldt ook voor een oneven spoor ℵ2n+1. In de voorbeelden zullen we kunnen volstaan om even sporen te gebruiken.

QED

We zien dat het 3&1 patroon behouden blijft zowel in de vier “evoluerende” xi als in de vier referenties yi die onafhankelijk van x kunnen evolueren. De commutator van H is dus een gewogen projector van de laatst toegevoegde onderscheiding. Inderdaad, drie van de vier aspecten van H kunnen door hun projector vervangen worden zonder het resultaat te beïnvloeden, en dus is de projector van H dan een som van vier projectoren (de projector van een welgevormde haakuitdrukking kan altijd als een som van vier projectoren van welgevormde haakuitdrukkingen geschreven worden). We kunnen dus een simultaneïteitsinterval AH definiëren op twee manieren

als (Hx⊗(<Hx>⊕Hy))ℵ=<Hy>⊕ℵ•Hx⊕ℵ•Hy, noem dit het simultaneïteitsinterval AHy

als (Hy⊗(<Hy>⊕Hx))ℵ=<Hx>⊕ℵ•Hy⊕ℵ•Hx, noem dit het simultaneïteitsinterval AHx

Beide hebben dezelfde commutator. We noemen deze Ḣ. Dus Ḣ=ℵ•Hx⊕ℵ•Hy=AHy⊕Hy=AHx⊕Hx

Dus de evolutie van een globaal patroon in een universum zal gelijk zijn aan de som van de evoluties van vier elkaar uitsluitende aspecten in een deel van het universum, elk aspect ten opzichte van de eigen referentie. Dus na stap k=2n wordt de volgende som bereikt:

Ḣ=ℵ•Hx⊕ℵ•Hy=AHy⊕Hy=AHx⊕Hx=(<>⊕<ℵ2n>)•(<x1>⊕x2⊕x3⊕x4)⊕(<>⊕<ℵ2n>)•(<y1>⊕y2⊕y3⊕y4)

We kunnen dit op nog andere manieren uitdrukken, waarmee we een link kunnen leggen naar symbolen die gebruikt worden in de klassieke vectoranalyse.

We kunnen nu de volgende recursie afleiden:

(<>⊕<ℵ2n>)•(<x1>⊕<y1>⊕x2⊕y2⊕x3⊕y3⊕x4⊕y4) is van het patroon(<>⊕<ℵ2n>)•(x⊕y)=<x>⊕<y>⊕<ℵ2n>•(x⊕y)=[x, A2n].

Voor [x, Ak]⊕x⊕y hebben we de recursieve functie afgeleid: ℵk•([x, Ak]⊕x⊕y)=<x>⊕<y> of x⊕y alternerend afhankelijk of k even of oneven is.

Hiermee hebben we ook een rotatie kunnen definiëren: voor k even kan dit geschreven worden als ẋk-1=ℵk-1•(ẋk⊗([x, Ak]⊕x⊕y))ℵk, en voor k oneven als ẋk-1=(ẋk⊗([x, Ak]⊕x⊕y))ℵk, waarbij de recursie dus alterneert.

Toegepast op H komt dit overeen met de rotatie voor k even van ẋk-1=ℵk-1•(ẋk⊗Ḣ)ℵk en door de symmetrie in x en y geldt ook: ẏk-1=ℵk-1•(ẏk⊗Ḣ)ℵk.

Gevolgen

Drie van de aspecten van het 3&1 patroon kunnen gecollapste haakuitdrukkingen zijn, de vierde niet. Inderdaad H=x1⊕<x2>⊕<x3>⊕<x4> kan bijvoorbeeld ook geschreven worden als H=<>⊕x1⊕<>⊕<x2>⊕<>⊕<x3>⊕<x4>. Dat betekent dat drie als invulling van het patroon A=(x⊗(y⊕<x>))ℵ=<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y kunnen voorgesteld worden (dit is een gecollapste haakuitdrukking als x en y welgevormde uitdrukkingen zijn) en de vierde niet. Maar de vierde kan wel in hetzelfde patroon voorgesteld worden op voorwaarde dat we de referentie y voor dit vierde aspect als de nulvector nemen, inderdaad: A=(x⊗(X⊕<x>))ℵ=X⊕ℵ•x⊕ℵ•X=ℵ•x en dit is een welgevormde haakuitdrukking en elke welgevormde haakuitdrukking kan geschreven worden als een vectorproduct met een laatst toegevoegde onderscheiding, waarbij die uitdrukking in het grootste universum binnengebracht wordt. Dus elke welgevormde haakuitdrukking H kan geschreven worden als een som van drie simultaneïteitsintervallen met een referentie en één “zonder” referentie (of referentie nul). Dit is hoe we tijd ervaren: het nulpunt van tijd kan willekeurig gekozen worden, vanaf gelijk welk “huidig” moment kunnen we een evolutie anticiperen (in de toekomst) of reconstrueren (in het verleden). Daar is niets absoluuts aan, wanneer we willekeurig drie aspecten kiezen dan leggen we een vierde in dat patroon vast. Dus AH=(Hx⊗(<Hx>⊕Hy))ℵ=Σi[H, x’i]=Σi∂H/∂xi met i=1, 2, 3, 4 en waarbij één van de ∂xi zich zal gedragen als een ∂t. En dit zullen we niet merken in de som Hx=(<>⊕<ℵ2n>)•(<x1>⊕x2⊕x3⊕x4), maar we zullen dit merken in de som (<>⊕<ℵ2n>)•(<y1>⊕y2⊕y3⊕y4) waarin één van de referenties y onvermijdelijk de nul vector zal zijn. Door symmetrie zal hetzelfde gelden voor de som (<>⊕<ℵ2n>)•(<x1>⊕x2⊕x3⊕x4) waarin dus ook één van de referenties x onvermijdelijk de nul vector zal zijn als geen van de referenties y de nulvector is, aangezien we bewezen hebben dat

Σi[H, x’i]=Σi∂H/∂xi=(<>⊕<ℵ2n>)•(<x1>⊕x2⊕x3⊕x4)⊕(<>⊕<ℵ2n>)•(<y1>⊕y2⊕y3⊕y4).

We kiezen nu één van deze 8 mogelijkheden als nulvector.

Dus: veronderstel nu dat y4 de nulvector is, dan geldt:

[H, x’4]=(<>⊕<ℵ2n>)•(<x1>⊕x2⊕x3⊕x4)=∂H/∂t

[H, x’3]=(<>⊕<ℵ2n>)•((<x1>⊕x2⊕x3⊕x4)⊕y3)=∂H/∂x3=∂H/∂t⊕(<>⊕<ℵ2n>)•y3

[H, x’2]=(<>⊕<ℵ2n>)•((<x1>⊕x2⊕x3⊕x4)⊕y2)=∂H/∂x2=∂H/∂t⊕(<>⊕<ℵ2n>)•y2

[H, x’1]=(<>⊕<ℵ2n>)•((<x1>⊕x2⊕x3⊕x4)⊕<y1>)=∂H/∂x1=∂H/∂t⊕(<>⊕<ℵ2n>)•<y1>

Dus ook: AHy4=∂H/∂t⊕Σi∂H/∂xi =∂H/∂t⊕Σi(<>⊕<ℵ2n>)•yi met i=1, 2, 3. Dit is slechts een correcte notatie als we de 3&1 structuur van een welgevormde haakuitdrukking in de eenheden volgen.

De veronderstelling dat y4 de nulvector is impliceert dat we een y4 kunnen modelleren als een som van drie welgevormde haakuitdrukkingen met dezelfde waarde of als drie gecollapste haakuitdrukkingen met een som gelijk aan de nulvector. Dit is altijd mogelijk en we hebben hierin een vrije keuze. We kunnen dus altijd een welgevormde haakuitdrukking G veronderstellen als som van vier elkaar uitsluitende toestanden waarvan sommige als referentie fungeren, als som van drie aspecten Gi met dezelfde waarde en dus G1⊕G2⊕G3 gelijk aan de nulvector. Dus G=G1⊕G2⊕G3⊕G4=G4. De evolutie van G is dan als volgt gerelateerd aan de evolutie van H:

[H, x’4]=(<>⊕<ℵ2n>)•(<x1>⊕x2⊕x3⊕x4)=∂H/∂t⊕(<>⊕<ℵ2n>)•(G1⊕G2⊕G3) met G1⊕G2⊕G3=X.

[H, x’3]=(<>⊕<ℵ2n>)•((<x1>⊕x2⊕x3⊕x4)⊕y3)=∂H/∂x3=∂H/∂t⊕(<>⊕<ℵ2n>)•y3

[H, x’2]=(<>⊕<ℵ2n>)•((<x1>⊕x2⊕x3⊕x4)⊕y2)=∂H/∂x2=∂H/∂t⊕(<>⊕<ℵ2n>)•y2

[H, x’1]=(<>⊕<ℵ2n>)•((<x1>⊕x2⊕x3⊕x4)⊕<y1>)=∂H/∂x1=∂H/∂t⊕(<>⊕<ℵ2n>)•<y1>

Maar aangezien we de vrije keuze hebben kunnen we dus ook kiezen: H1⊕H2⊕H3=X=∂H/∂x1⊕∂H/∂x2⊕∂H/∂x3=(<>⊕<ℵ2n>)•<y1>⊕(<>⊕<ℵ2n>)•y2⊕(<>⊕<ℵ2n>)•y3=X. En dus <y1>⊕y2⊕y3=X voor ℵ2n verschillend van <<>>. We moeten ons niet door symbolen laten verblinden.

Dit is een belangrijk resultaat omdat het nu heel helder is dat we kunnen spreken van twee soorten toestanden: een toestand die we konden aanduiden met het symbool t en drie toestanden met dezelfde waarde waarvoor we de symbolen x, y en z kunnen gebruiken, waarbij x⊕y⊕z=X=<x>⊕<y>⊕<z>. We gebruiken die symbolen om de analogie maar duidelijk ook het verschil met de klassieke interpretatie als “afstanden” aan te geven (ruimteafstanden of tijdsafstanden). De symbolen staan voor elkaar uitsluitende toestanden en toch kunnen we ze in twee categorieën onderbrengen: drie toestanden met dezelfde waarde en met referentietoestanden versus een toestand zonder referentietoestand.

Zo we willen kunnen we deze toestanden ook de naam ruimte-tijd gebeurtenissen geven zoals in de speciale relativiteitstheorie.

Simultaneïteit en evenwicht

We vragen ons nu af of de modellering Σi∂H/∂xi=(<>⊕<ℵ2n>)•(<x1>⊕x2⊕x3⊕x4)⊕(<>⊕<ℵ2n>)•(<y1>⊕y2⊕y3⊕y4) niet te veel veronderstelt. Is het mogelijk om hetzelfde te modelleren met slechts 4 elkaar uitsluitende aspecten in plaats van met 8. Want interactie tussen verschillende aspecten van één entiteit (entiteit die in stap k een waarde heeft dank zij de waarde van vier aspecten) hebben we gemodelleerd als evolutie van een toestand x ten opzichte van een som van toestanden. Een som van toestanden is een x⊕y, som van x met zijn referentietoestand, maar ook een x⊕<y>, dus een som met “iets anders dan de referentie van het aspect x”, waarbij <y> ook door de andere aspecten van de entiteit bepaald wordt en de tegengestelde waarde heeft van de waarde van y (die niet bekend moet zijn) en dus ook aan evolutie onderhevig is. De interactie wordt dus gemodelleerd als som van elkaar uitsluitende toestanden die een welgevormde haakuitdrukking representeren waarbij de som van sommige aspecten simultaneïteit uitdrukken. De relativiteit uit zich dan hierin dat zowel de beschouwde toestanden als de referentietoestanden kunnen evolueren.

We onderscheiden nu twee mogelijkheden

Noteer dat simultaneïteit zowel geldt voor (<x>⊕<y>) als voor (<x>⊕y), maar onder andere voorwaarden. In het eerste geval moeten x en <y> elkaar uitsluiten, in het laatste geval moeten x en y elkaar uitsluiten. Dit is natuurlijk ook van toepassing voor (<y>⊕<z>), (<y>⊕z) als voor (<z>⊕<x>), (<z>⊕x).

Evoluties van minimaal drie aspecten worden hierdoor op dezelfde manier gemodelleerd en daar staat de evolutie van het vierde aspect van de welgevormde haakuitdrukking buiten aangezien het geen referentiepunt heeft, en dus ook geen evoluerend referentiepunt.

Evolutie genereert dus onvermijdelijk twee soorten van drie alternerende functies van het type [x, x’]⊕x⊕y=ℵ•(<x>⊕<y>) die met elkaar in evenwicht zijn en waarvan de waarde van moment tot moment gegeven wordt door de waarde van de variabele ℵ die de eenheid (<x>⊕<y>) kwantificeert, namelijk [x, Ak]⊕x⊕y=ℵk•(<x>⊕<y>). Maar dit maakt ook duidelijk dat we een notatie moeten ontwikkelen om te verwijzen naar het referentiepunt (en dus het soort evenwicht). We kiezen voor [x, x’y]⊕x⊕y=ℵ•(<x>⊕<y>) en [x, x’<y>]⊕x⊕<y>=ℵ•(<x>⊕y). Dus de getallen die in de stap k van de evolutie (bij het afscheiden van het spoor ℵk) eenheden kwantificeren zijn als volgt aan elkaar gerelateerd, en dat voor elke k: ℵk•(<x>⊕y)⊕ℵk•(<y>⊕z)⊕ℵk•(<z>⊕x)=[x, x’<y>]⊕x⊕<y>⊕[y, y’<z>]⊕y⊕<z>⊕[z, z’<x>]⊕z⊕<x>=0 en dus ook [x, x’<y>]⊕[y, y’<z>]⊕[z, z’<x>]=0. En indien x, y en z dezelfde waarde hebben, geldt er evenzeer dat ℵk•(<x>⊕<y>)⊕ℵk•(<y>⊕<z>)⊕ℵk•(<z>⊕<x>)=[x, x’y]⊕x⊕y⊕[y, y’z]⊕y⊕z⊕[z, z’x]⊕z⊕x=0 en dus ook [x, x’y]⊕[y, y’z]⊕[z, z’x]=0.

Dat betekent dus dat we een interpretatie hebben voor de drie aspecten van de welgevormde haakuitdrukking H die we altijd kunnen construeren van zodra we simultaneïteit willen uitdrukken: het zijn drie verschillen van toestanden (het zijn dus drie processnelheden) die voor H juist in dat grootste universum geprojecteerd worden door het vectorproduct met ℵ en waarbij geldt dat x⊕y⊕z=<x>⊕<y>⊕<z>=X of dus ook: x⊕<y>=y⊕<z> en y⊕<z>=z⊕<x> en z⊕<x>=x⊕<y>. We kunnen nu de drie componenten van H een andere naam geven:

[x, y]=ℵ•(x⊕<y>)=ℵ•Hz

[y, z]=ℵ•(y⊕<z>)=ℵ•Hx

[z, x]=ℵ•(z⊕<x>)=ℵ•Hy

De index van H verwijst naar het aspect dat niet in de commutator aanwezig is. Dit is de invulling van [x, x’<y>]⊕[y, y’<z>]⊕[z, z’<x>]=0.

En hieruit volgt dus onvermijdelijk dat Hx⊕Hy⊕Hz=X: en dit kunnen we interpreteren als welgevormde aspecten met dezelfde waarde. Dus ook in een situatie waarin we niet veronderstellen dat de elkaar uitsluitende toestanden dezelfde waarde hebben, kunnen we drie aspecten vinden waarvan de som gelijk is aan nul en waarbij we dan kunnen veronderstellen dat het aspecten zijn met dezelfde waarde.

En natuurlijk geldt:

[y, x]=[<x>, <y>]=ℵ•(<x>⊕y)=<ℵ•Hz>=-ℵ•Hz

[z, y]=[<y>, <z>]=ℵ•(<y>⊕z)=<ℵ•Hx>=-ℵ•Hx

[x, z]=[<z>, <x>]=ℵ•(<z>⊕x)=<ℵ•Hy>=-ℵ•Hy

Dit is dan de invulling van [x, x’y]⊕[y, y’z]⊕[z, z’x]=0.

We kunnen dit terug vertalen in indexen als volgt:

[1, 2]=ℵ•(1⊕<2>)=ℵ•H3

[2, 3]=ℵ•(2⊕<3>)=ℵ•H1

[3, 1]=ℵ•(3⊕<1>)=ℵ•H2

[2, 1]=ℵ•(<1>⊕2)=-ℵ•H3

[3, 2]=ℵ•(<2>⊕3)=-ℵ•H1

[1, 3]=ℵ•(<3>⊕1)=-ℵ•H2

Dit kunnen we heel compact op een klassieke vectoranalyse manier schrijven als het patroon [1, 2]=ℵ•ε123•H3 waarbij ε123 het symbool is voor een +1 als de volgorde van de toestanden een permutatie is van de reeks 123, en gelijk is aan -1 indien dit niet het geval is. Indien er geen permutatie is van de drie symbolen dan is ε123 gelijk aan nul.

Het universum van Hx, Hy, Hz is er dus een van processnelheden, dus van verschillen tussen toestanden die elkaar uitsluiten. Verschillen zijn gewogen projectoren. Met verschillen kunnen we evenwicht formuleren.

De evolutie van H

We hebben al begrepen dat slechts een gedeelte van de evolutie van de welgevormde H kan uitgedrukt worden als een evolutie van projectoren Hx, Hy, Hz aangezien het vierde aspect geen projector kan zijn. Dan kunnen we opmerken dat, als drie aspecten van een welgevormde haakuitdrukking H dezelfde waarde hebben, het vierde aspect onvermijdelijk dezelfde of de andere waarde moet hebben, het kan onmogelijk geen waarde hebben.

Dat betekent dus dat we minstens ook een andere welgevormde haakuitdrukking kunnen onderscheiden, noem deze F, en waarbij geldt dat AF=∂F/∂t⊕Σi∂F/∂xi met i=1, 2, 3 en waarbij geldt dat, als H1⊕H2⊕H3=X, het dan onvermijdelijk is dat de som F1⊕F2⊕F3≠X moet gelden. En omgekeerd. Dus als Σi∂H/∂xi=X dan moet onvermijdelijk gelden dat μ=Σi∂F/∂xi≠X met i=1, 2, 3 en μ een getal, de intensiteit van <<>> (of <>). Dus zal er, naast de welgevormde H, ook een welgevormde F zijn die ook een evolutie zal vertonen en gekarakteriseerd zal zijn doordat één referentiepunt de nulvector is. H en F zijn welgevormde haakuitdrukkingen die verschillend zijn van elkaar. We merken nu op dat het aspect H4 (dus ∂H/∂t) onmogelijk geen waarde kan hebben. Dat hebben we ook moeten veronderstellen voor F1⊕F2⊕F3. Dus we kunnen F zo kiezen dat μ=∂H/∂t=Σi∂F/∂xi en dus ∂H/∂t⊕<Σi∂F/∂xi>=X

Hetzelfde geldt voor F4 (dus ∂F/∂t). We kunnen dat uitdrukken door een getal ν, de intensiteit van <<>> (of <>), en stellen dat F4=ν⊕(H1⊕H2⊕H3), wat betekent dat ∂F/∂t ⊕<Σi∂H/∂xi>=ν met i=1, 2, 3 en waarbij dus Σi∂F/∂xi=X.

Als we dus schrijven: Σi[F, x’i]=∂F/∂t⊕Σi∂F/∂xi met i=1, 2, 3 en Σi[H, x’i]=∂H/∂t⊕Σi∂H/∂xi met i=1, 2, 3 dan moet gelden dat beide met elkaar gerelateerd zijn. Als we nu veronderstellen dat ∂H/∂t=ν⊕<Σi∂F/∂xi> met ∂H/∂t verschillend van nul en dus ∂H/∂t⊕Σi∂F/∂xi=ν dan kunnen we niet meer veronderstellen dat ∂F/∂t=Σi∂H/∂xi want Σi∂H/∂xi hebben we dan gelijk aan nul verondersteld en dat zou dan betekenen dat ∂F/∂t=X wat conflicteert met de veronderstelling dat F een welgevormde haakuitdrukking is. Dus ∂F/∂t=Σi∂H/∂xi⊕ν moet gelden.

De evolutie van F is dan als volgt gerelateerd aan de evolutie van H:

[H, x’4]=(<>⊕<ℵ2n>)•(<x1>⊕x2⊕x3⊕x4)=∂H/∂t=∂H/∂t⊕∂H/∂t⊕Σi∂F/∂xi aangezien ∂H/∂t⊕Σi∂F/∂xi=X

[H, x’3]=(<>⊕<ℵ2n>)•((<x1>⊕x2⊕x3⊕x4)⊕y3)=∂H/∂x3=∂H/∂t⊕(<>⊕<ℵ2n>)•y3=∂H/∂t⊕∂F/∂x3

[H, x’2]=(<>⊕<ℵ2n>)•((<x1>⊕x2⊕x3⊕x4)⊕y2)=∂H/∂x2=∂H/∂t⊕(<>⊕<ℵ2n>)•y2=∂H/∂t⊕∂F/∂x2

[H, x’1]=(<>⊕<ℵ2n>)•((<x1>⊕x2⊕x3⊕x4)⊕<y1>)=∂H/∂x1=∂H/∂t⊕(<>⊕<ℵ2n>)•<y1>=∂H/∂t⊕∂F/∂x1

Dus ook: Ḣ=∂H/∂t⊕Σi∂F/∂xi met i=1, 2, 3 en (<>⊕<ℵ2n>)•yi=∂F/∂xi

Hieruit volgt dus dat ∂H/∂t⊕Σi∂F/∂xi=∂H/∂t⊕(<>⊕<ℵ2n>)•y3⊕(<>⊕<ℵ2n>)•y2⊕(<>⊕<ℵ2n>)•<y1>=X en dus ∂H/∂t=(<>⊕<ℵ2n>)•<y3>⊕(<>⊕<ℵ2n>)•<y2>⊕(<>⊕<ℵ2n>)•y1.

Dus: de referenties yi van de evolutie van de welgevormde haakuitdrukking F zijn in de evolutie van de welgevormde haakuitdrukking H vervangen door de referenties <yi> met i=1, 2, 3.

Dit laatste patroon kennen we vanuit het onderzoek naar de dynamiek in een dimensie. We hebben dan afgeleid dat (X⊗y)ℵ=<y>⊕ℵ•y=(<>⊕ℵ)•y. Hieruit leiden we af: (y⊗X)ℵ=<y>⊕<ℵ•y>=(<>⊕<ℵ>)•y. Dus ∂F/∂xi kunnen we uitdrukken voor elke i als het volgende creatief product: ∂F/∂xi=(yi ⊗X))ℵ2n

en dus Ḣ=∂H/∂t⊕Σi(yi ⊗X)ℵ2n met i=1, 2, 3.

We kunnen dit nog anders uitdrukken:

Er geldt: (X⊗<y>)ℵ=y⊕<ℵ•y>=(<>⊕ℵ)•<y>. Hieruit leiden we af: <ℵ>•(X⊗<y>)ℵ=<ℵ•y>⊕y=(<>⊕<ℵ>)•<y>.

en dus Ḣ=∂H/∂t⊕<ℵ2n>•Σi(X⊗yi )ℵ2n met i=1, 2, 3.

We kunnen de volgende verschillen tussen H en F vaststellen.

Voor een van beide is het onbelangrijk of de toestanden x, y, z nu welgevormde haakuitdrukkingen zijn of hun projectoren. Want stel dat x de projector is van de welgevormde haakuitdrukking xp en we kiezen H, dan schrijven we bijvoorbeeld ℵ•Hz=[x, y]=ℵ•(<>⊕xp⊕<<>⊕yp>)=ℵ•(xp⊕<yp>) en de vorm is dezelfde gebleven, dat betekent: het doet er niet toe of we welgevormde haakuitdrukkingen of projectoren als toestanden nemen om de interactie te beschrijven. Dat geldt dan niet meer voor F.

Een tweede verschil is het volgende: indien geldt: Σ∂H/∂xi=0 dan moet gelden Σ∂F/∂xi≠X met i=1, 2, 3, maar ook: indien geldt: Σ∂F/∂xi=0 dan moet gelden Σ∂H/∂xi≠X met i=1, 2, 3.

Deze symmetrie is natuurlijk een indicatie dat we hetzelfde patroon zullen vinden als we de rol van de evoluerende toestanden (x, y, z) en de referentie toestanden (bijvoorbeeld: y, z, x) wisselen.

Om de evolutie te beschrijven hebben we twee welgevormde haakuitdrukkingen moeten veronderstellen. Daartoe was het nodig om twee getallen te introduceren, ν en μ. Het kunnen zowel positieve als negatieve getallen zijn. Dit was echter voor één gekozen toestand van elke welgevormde haakuitdrukking (we namen H4 en F4). Daar is niets speciaal aan, dus voor alle toestanden moet dit gelden in in totaal zullen we dus 6 getallen vinden: ν1, ν2, ν3 en μ1, μ2, μ3. Het zijn er maar 6 omdat elk getal gerelateerd is aan de intensiteit van de som van de intensiteit van drie toestanden. Deze zes getallen kunnen door sommatie geconstrueerd worden uit vier getallen: de intensiteiten van vier toestanden.