Een associatief creatief product heeft ons de mogelijkheid gegeven een invers te definiëren ten opzichte van de twee eenheden van het creatief product.

Ten opzichte van x: (x⊗y)_ℵ=A=<x>⊕<y>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y en (y⊗x)_ℵ=A^-1=<x>⊕<y>⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>, we noteren: (A⊗A^-1)_ℵ=x

Ten opzichte van y: (y⊗x)_ℵ=A^-1=<x>⊕<y>⊕ℵ•x⊕<ℵ•y> en (x⊗y)_ℵ=A=<x>⊕<y>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y, we noteren: (A^-1⊗A)_ℵ=y

Dit heeft geleid tot de definitie van een commutator A⊕<A^-1>=ℵ•(x⊕<y>) en zijn inbedding <A>⊕A^-1=ℵ•(<x>⊕y).

Elkaar uitsluitende welgevormde haakuitdrukkingen

We zullen nu bewijzen dat deze commutatoren niet te onderscheiden zijn van <>⊕x•y en de inbedding <<>>⊕<x•y> wanneer we veronderstellen dat <ℵ•x> en ℵ•y elkaar uitsluiten. Dat betekent dat de conjunctie van beide de waarde <<>> heeft.

Bewijs: we drukken de relatie van uitsluiting uit als vectorvergelijking:

<>⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>⊕ℵ•x•<ℵ•y>=<<>>

ℵ•x⊕<ℵ•y>=<>⊕x•y

A⊕<A^-1>=<>⊕x•y

<A>⊕A^-1=<<>>⊕<x•y>

QED

We hebben al opgemerkt dat de som van de commutator ℵ•(x⊕<y>) en zijn inbedding ℵ•(<x>⊕y) de nulvector is, de som van de commutator en de inbedding van de inbedding is de ingebedde commutator, immers ℵ•(x⊕<y>)⊕ℵ•(x⊕<y>)=ℵ•(<x>⊕y). In dit laatste geval, wanneer dus <ℵ•x> en ℵ•y elkaar uitsluiten, vinden we dus de nulvector versus een projector, onafhankelijk van ℵ, namelijk <<>>⊕<x•y>.

Dit verklaart waarom het begrip “commutator” de relatie legt met het begrip “afgeleide”, we tonen inderdaad aan dat de afgeleide naar ℵ van zowel (x⊗y)_ℵ als (y⊗x)_ℵ gelijk is aan x•y. Inderdaad: (x⊗y)_ℵ=<x>⊕<y>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y=x•(<>⊕<ℵ>)⊕y•(<>⊕ℵ) en dus x•y is de afgeleide in de basis van ℵ. Hierbij is de commutator de projector van x•y.

Primitieve en afgeleide aan elkaar gelijk

We stellen ons nu de vraag onder welke voorwaarde een welgevormde haakuitdrukking als creatief product met een laatst toegevoegde onderscheiding niet verschillend is van zijn afgeleide. We zoeken dus de voorwaarde voor de gelijkheid <x>⊕<y>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y=x•y.

<x>⊕<y>=x•y⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>

<x>⊕<y>⊕x•y=<x•y>⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>

<>⊕<x>⊕<y>⊕x•y=<>⊕<x•y>⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>

<<x><y>>=<ℵ•x<ℵ•y>>

Hieronder de tabel waarmee we deze gelijkheid kunnen onderzoeken en interpreteren.

We zien dat de gelijkheid in de volgende combinaties geldt:

De gelijkheid geldt dus enkel als zowel <<x><y>> als <ℵ•x<ℵ•y>> de waarde <<>> hebben, en dus onmogelijk zijn. Op dat moment zal de waarde van ℵ een ordening opleggen aan x en y. Is de waarde van ℵ gelijk aan <<>> dan moet x fijner zijn dan y, is de waarde van ℵ gelijk aan <> dan moet y fijner zijn dan x.

We kunnen dat ook inzien door aan te tonen dat zowel x<y><<ℵ•x<ℵ•y>>> als <x>y<<ℵ•x<ℵ•y>>> geldt. We drukken daartoe eerst <<ℵ•x<ℵ•y>>>, dus ℵ•x<ℵ•y>, uit als welgevormde haakuitdrukking:

ℵ•x<ℵ•y>

<ℵ<x>><<ℵ>x><<ℵ<y>><<ℵ>y>>

<<ℵ<y><ℵ<x>><<ℵ>x>><<ℵ>y<ℵ<x>><<ℵ>x>>>

<<ℵ<y>x><<ℵ>y<x>>>

Nu vormen we x<y><<ℵ<y>x><<ℵ>y<x>>> en reduceren

x<y><<ℵ<y>x><<ℵ>y<x>>>

x<y><<ℵ><<ℵ><><>>>

x<y>ℵ

Dus wanneer x<y> geldt, dan geldt x<y>ℵ

Nu vormen we <x>y<<ℵ<y>x><<ℵ>y<x>>> en reduceren

<x>y<<ℵ<y>x><<ℵ>y<x>>>

<x>y<<ℵ<><>><<ℵ>>>

<x>y<ℵ>

Dus wanneer <x>y geldt, dan geldt x<y><ℵ>

QED

Merk op dat wanneer x<y>=<<>> of <x>y=<<>>, de waarde van de uitdrukking volledig afhankelijk is van ℵ.

Ook als volgt in te zien:

Stel:

x<y>=<>

<x<y>>=<<>>

<<x><y>><x<y>>=<<x><y>>

<<x<x<y>>><y<x<y>>>>=<<x><y>>

<<xy><y>>=<<x><y>>

y=<<x><y>>

Dus

y=<ℵ•x<ℵ•y>>

<<ℵ<y>x><<ℵ>y<x>>>=<y>

x<<ℵ<y>x><<ℵ>y<x>>>=x<y>

xℵ<y>=<>

QED

Dus in het beschouwde geval dat de primitieve en de afgeleide naar ℵ dezelfde waarde hebben moet gelden dat <<x><y>> niet verschillend is van <<>>, beide welgevormde haakuitdrukkingen sluiten elkaar uit. Er geldt dus <>⊕<x>⊕<y>⊕x•y=<<>>. Wat kunnen we onder die voorwaarde zeggen over de conjunctie van ℵ•x en ℵ•y, dus over <>⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕x•y? We drukken dit uit in haken:

<<<ℵ<x>><<ℵ>x>><<ℵ<y>><<ℵ>y>>>

<<<ℵ<x><<ℵ<y>><<ℵ>y>>><<ℵ>x<<ℵ<y>><<ℵ>y>>>>>

<<<ℵ<x><<<y>><<>y>>><<ℵ>x<<<><y>><y>>>>>

<<<ℵ<x><y>><<ℵ>xy>>>

Aangezien <<x><y>> de waarde <<>> heeft is dit <<ℵ>xy>. Dus: pas als xy fijner is dan ℵ zal ook <>⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕x•y=<<>> gelden. De waarde van ℵ kan dan gelijk wat zijn. Dan geldt dus <x>⊕<y>=<>⊕<x•y> (en xy=x•y) en <ℵ•x>⊕<ℵ•y>=<>⊕<x•y>. Dat betekent dat (<>⊕ℵ•x)•(<>⊕ℵ•y)=<<>>⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕x•y=X met X de nulvector, dus de projectoren van deze twee welgevormde haakuitdrukkingen zijn orthogonaal.