Een onderscheidingen universum kan geëxpandeerd worden of kan gecontraheerd worden. We hebben daartoe welgevormde haakuitdrukkingen geïnterpreteerd als een som van twee termen: een term waar een bepaalde onderscheiding O niet in voorkomt (dus een term die het vectorproduct is met <<>>) en een term waar O wel in voorkomt (dus een term die het vectorproduct is met O). Het gevolg is dat we een voorstelling krijgen met coëfficiënten die elkaar uitsluiten (<<>> sluit elke andere haakuitdrukking uit, of ze nu welgevormd is of niet te bewijzen als volgt: de conjunctie van <<>> met O is <>⊕<<<>>>⊕<O>⊕<<>>•O en dit is <<>>).

Een afgeleide naar een haakuitdrukking h is dan het product van een som-term en een verschil-term die de termen zijn van een creatief product met toevoeging van h dat we als patroon kunnen schrijven als ((som-term)⊗(verschil-term))_h. Door de constructie is duidelijk dat de afgeleide naar h niet anders is dan de afgeleide naar <h>. De tweede afgeleide naar dezelfde haakuitdrukking is altijd een waarde.

We bestuderen nu de mogelijke afgeleiden van een welgevormde haakuitdrukking in hun algemeenheid. We onderscheiden daartoe vier onafhankelijke elementen (“1-vectoren”); p, q, r en s, die nodig en voldoende zijn om een algemene welgevormde haakuitdrukking op te spannen. We vertrekken telkens van dezelfde welgevormde haakuitdrukking r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>. Dit zien we als een patroon en het is al bestudeerd naar de mogelijke relaties die het kan hebben met andere welgevormde haakuitdrukkingen. We kunnen een welgevormde haakuitdrukking altijd interpreteren als een toestand. Het resultaat van ons onderzoek levert enerzijds een aantal welgevormde haakuitdrukkingen op en anderzijds een aantal projectoren die we kunnen interpreteren als sommen of verschillen. Die verschillen kunnen expliciet bestudeerd worden.

Waarde <> (of <<>>)

Veronderstel de toestand r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>. Deze is op twee fundamenteel verschillende manieren te interpreteren als een som van coëfficiënten van <<>> en deze van <>. We noteren die als afleiden naar <>_2&2 en afleiden naar <>_3&1

Splitsing 2&2

r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> kunnen we schrijven als (r•q⊕<s•p>)•<<>>⊕(s•q⊕r•p)•(<>).

De som van de coëfficiënten is: r•q⊕<s•p>⊕s•q⊕r•p dit heeft het patroon van een welgevormde haakuitdrukking die de oorspronkelijke toestand uitsluit.

Het verschil van de coëfficiënten is: r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> dit heeft het patroon van de oorspronkelijke welgevormde haakuitdrukking.

Dus als creatief product met <> is de toestand r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> te noteren als ((r•q⊕<s•p>⊕s•q⊕r•p)⊗(r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>))_<>.

De afgeleide naar <> is gegeven door het product van beide termen en is dus slechts op een onbepaalde term na bepaald:

Het resultaat is <p•q•r•s>. Dit is slechts op een onbepaalde term na bepaald, dus de volgende voorbeelden zijn evenzeer afgeleiden: <>, <<>>, p, <p>, q,..., p•q, ..., p•q•r,... dus minstens alle mogelijke opspannende vectoren op centraal niveau van het universum in vier onderscheidingen. Hierin komen geen sommen voor die geen welgevormde haakuitdrukkingen voorstellen (eventueel in een ander universum). Door geschikte sommen te maken met deze basisvectoren kunnen dus alle (welgevormde of gecollapste) haakuitdrukkingen gemaakt worden in vier onderscheidingen.

Splitsing 3&1

r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> kunnen we schrijven als (r•q)•<<>>⊕(s•p⊕s•q⊕r•p)•(<>). Hiermee onderscheiden we de coëfficiënten van <<>> en deze van <>.

De som van de coëfficiënten: r•q⊕s•p⊕s•q⊕r•p, dit is geen welgevormde haakuitdrukking

Het verschil van de coëfficiënten: r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>, dit is de welgevormde haakuitdrukking die de toestand is die we willen afleiden naar <> (of <<>>).

Het product geeft de afgeleide op een factor na.

Resultaat: <<>>⊕p•q⊕r•s⊕p•q•r•s is <>⊕(<>⊕p•q⊕r•s⊕p•q•r•s), projector van een AND-atoom.

F•(<<>>⊕p•q⊕r•s⊕p•q•r•s) is evenzeer een afgeleide, bijvoorbeeld ook r•q•(<<>>⊕p•q⊕r•s⊕p•q•r•s) anders geschreven als r•q⊕s•p⊕s•q⊕r•p die dus een gewogen projector is van een AND-atoom.

We kunnen natuurlijk ook een andere 3&1 splitsing maken met r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> die we nu schrijven als (r•q⊕<s•p>⊕<s•q>)•<<>>⊕r•p•<>. Som is nu r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕r•p en verschil is r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>. Het product geeft de afgeleide op een factor na.

Resultaat: <>⊕<p•q>⊕r•s⊕p•q•r•s is <<>>⊕(<<>>⊕<p•q>⊕r•s⊕p•q•r•s), ingebedde projector van een OR-atoom.

Zo kunnen we nog twee construeren.

Resultaat: <>⊕p•q⊕<r•s>⊕p•q•r•s is <<>>⊕(<<>>⊕p•q⊕<r•s>⊕p•q•r•s), ingebedde projector van een OR-atoom.

De laatste is.

Resultaat: <>⊕p•q⊕r•s⊕<p•q•r•s> is <<>>⊕(<<>>⊕p•q⊕r•s⊕<p•q•r•s>), ingebedde projector van een OR-atoom.

De vier mogelijkheden resulteren dus in de volgende vier eenheden

<>⊕(<>⊕p•q⊕r•s⊕p•q•r•s)

<<>>⊕(<<>>⊕<p•q>⊕r•s⊕p•q•r•s)

<<>>⊕(<<>>⊕p•q⊕<r•s>⊕p•q•r•s)

<<>>⊕(<<>>⊕p•q⊕r•s⊕<p•q•r•s>)

In hun voorstelling als binaire strings in twee onderscheidingen p•q en r•s zien we de volgende relatie opduiken:

We kunnen nu 4 onbepaalde termen veronderstellen die we interpreteren als de intensiteit I_i van de vier eenheden en zo modelleren we

Besluit

De afgeleide naar een waarde van een willekeurige welgevormde haakuitdrukking levert zowel voor de 2&2 opsplitsing als voor de 3&1 opsplitsing een basis om de volledige tralie in twee onderscheidingen p•q en r•s op basis van de vier oorspronkelijke onderscheidingen p, q, r en s op te bouwen en zo ook de volledige tralie in vier onderscheidingen.

De onbepaalde term van een afgeleide kunnen we interpreteren als de intensiteit van een ervaren atoom.

Unieke 1-vector

Veronderstel de toestand r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>. Deze kunnen we schrijven als <<>>•(<s•p>⊕<r•p>)⊕q•(r⊕<s>) waarmee we q afscheiden om er een creatief product mee te berekenen en hieruit een afgeleide te definiëren. Hiermee zijn we in staat om een coëfficiënt van <<>> te genereren die geen enkel aspect of standpunt van de laatst toegevoegde onderscheiding bevat. Dus: zowel s•p als r•p zijn onafhankelijk van de onderscheiding q.

De som van de coëfficiënten van <<>> en q is: <s•p>⊕<r•p>⊕r⊕<s>. Dit heeft het patroon van een welgevormde haakuitdrukking in drie onderscheidingen: p, r en s.

Het verschil van de coëfficiënten van <<>> en q is: s•p⊕r•p⊕r⊕<s>. Dit heeft het patroon van een welgevormde haakuitdrukking in drie onderscheidingen: p, r en s.

Dus als creatief product met q is de toestand r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> te noteren als ((<s•p>⊕<r•p>⊕r⊕<s>)⊗(s•p⊕r•p⊕r⊕<s>))_q.

De afgeleide naar q is gegeven door het product van beide termen en is dus slechts op een onbepaalde term na bepaald:

Het resultaat is <r•s>.

Door symmetrie is duidelijk dat dit resultaat ook bereikt wordt voor de afscheiding van p.

Door symmetrie is duidelijk dat we het resultaat <p•q> zullen bereiken als we r of s afscheiden als laatst toegevoegde onderscheiding.

p•q en r•s zijn onafhankelijk van elkaar en zullen een twee onderscheidingen universum opspannen met drie basisvectoren: p•q, r•s en p•q•r•s. Omdat afgeleiden op een onbepaalde term na bepaald zijn kunnen ook p•q en r•s als onbepaalde term functioneren voor elkaar. Verder is r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> bijvoorbeeld ook te schrijven als p•q•(r•p⊕<s•q>⊕<s•p>⊕<r•q>)

De 2-vectoren

Veronderstel de toestand H=r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>. Deze kunnen we op verschillende manieren schrijven in het patroon om een afgeleide mee te bepalen door enkel gebruik te maken van de 2-vectoren.

Coëfficienten onafhankelijk

H kunnen we schrijven als <<>>•<s•p>⊕r•q•(<<>>⊕<r•s>⊕<p•q>) waarmee we r•q afscheiden om er een creatief product mee te berekenen en hieruit een afgeleide te definiëren. Hiermee zijn we in staat om een coëfficiënt van <<>> te genereren die geen enkel aspect of standpunt van de laatst toegevoegde onderscheiding bevat. Dus: s•p is onafhankelijk van r•q.

De som van de coëfficiënten van <<>> en r•q is: <<>>⊕<r•s>⊕<p•q>⊕<s•p> dit heeft het patroon van een welgevormde haakuitdrukking

Het verschil van de coëfficiënten van <<>> en r•q is: <>⊕r•s⊕p•q⊕<s•p> dit heeft niet het patroon van een welgevormde haakuitdrukking maar is uiteraard wel te schrijven als een som van welgevormde haakuitdrukkingen, namelijk (<>⊕r•s⊕p•q⊕s•p)⊕(s•p)

Dus als creatief product met r•q is de toestand r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> te noteren als ((<<>>⊕<r•s>⊕<p•q>⊕<s•p>)⊗(<>⊕r•s⊕p•q⊕<s•p>))_r•q

Het vectorproduct van beide termen van het creatief product geeft dan de afgeleide naar r•q, en zoals altijd is dit product bepaald op een onbepaalde term na:

Het resultaat is <<>>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕p•q•r•s. Dit is de projector van het AND-atoom <>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕p•q•r•s.

Het resultaat is bepaald op een onbepaalde term na, dus de afgeleide kunnen we in het algemeen noteren als F•(<<>>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕p•q•r•s) met F een willekeurige welgevormde haakuitdrukking.

Nu kunnen we voor F ook kiezen voor r•q, en die is volledig onafhankelijk van s•p.

Het gevolg is dat we kunnen uitdrukken dat de afgeleide van de toestand r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>=r•q•(<<>>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>) naar r•q, niet anders is dan r•q•(<<>>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕p•q•r•s)=r•q•(<>⊕<>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕p•q•r•s) en de projector tussen haken is de projector van een andere toestand die de eerste toestand uitsluit, namelijk <r•q>•(<>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕p•q•r•s). De intensiteit <r•q> van de toestand (<>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕p•q•r•s) is dus niet anders dan een mogelijke intensiteit F van de projector <<>>⊕p•q⊕r•s⊕p•q•r•s, namelijk de intensiteit van de afgeleide van de toestand r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> naar r•q.

Coëfficienten afhankelijk

r•p is niet onafhankelijk van r•q

Veronderstel terug de toestand r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>. Deze kunnen we schrijven als <<>>•<r•p>⊕r•q•(<<>>⊕<p•q•r•s>⊕<r•s>) waarmee we nog eens r•q afscheiden om er een creatief product mee te berekenen en hieruit een afgeleide te definiëren. Hiermee genereren we nu een coëfficiënt van <<>> die een aspect (namelijk r) van de laatst toegevoegde onderscheiding bevat. Dus: r•p is niet onafhankelijk van r•q.

De som van de coëfficiënten van <<>> en r•q is: <<>>⊕<p•q•r•s>⊕<r•s>⊕<r•p> dit heeft het patroon van een welgevormde haakuitdrukking

Het verschil van de coëfficiënten van <<>> en r•q is: <>⊕p•q•r•s⊕r•s⊕<r•p> dit heeft niet het patroon van een welgevormde haakuitdrukking maar is uiteraard wel te schrijven als een som van welgevormde haakuitdrukkingen, namelijk (<>⊕p•q•r•s⊕r•s⊕r•p)⊕(r•p)

Dus als creatief product met r•q is de toestand r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> te noteren als ((<<>>⊕<p•q•r•s>⊕<r•s>⊕<r•p>)⊗(<>⊕p•q•r•s⊕r•s⊕<r•p>))_r•q

Het vectorproduct van beide termen van het creatief product geeft dan de afgeleide naar r•q, en zoals altijd is dit product bepaald op een onbepaalde term na:

Het resultaat is <<>>⊕p•q⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>. Dit is de projector van het AND-atoom <>⊕p•q⊕<r•s>⊕p•q•r•s.

s•q is niet onafhankelijk van r•q

Veronderstel terug de toestand r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>. Deze kunnen we schrijven als <<>>•<s•q>⊕r•q•(<<>>⊕<p•q•r•s>⊕<p•q>) waarmee we nog eens r•q afscheiden om er een creatief product mee te berekenen en hieruit een afgeleide te definiëren. Hiermee genereren we nu een coëfficiënt van <<>> die een aspect (namelijk q) van de laatst toegevoegde onderscheiding bevat. Dus: s•q is niet onafhankelijk van r•q.

De som van de coëfficiënten van <<>> en r•q is: <<>>⊕<p•q•r•s>⊕<p•q>⊕<s•q> dit heeft het patroon van een welgevormde haakuitdrukking

Het verschil van de coëfficiënten van <<>> en r•q is: <>⊕p•q•r•s⊕p•q⊕<s•q> dit heeft niet het patroon van een welgevormde haakuitdrukking maar is uiteraard wel te schrijven als een som van welgevormde haakuitdrukkingen, namelijk (<>⊕p•q•r•s⊕p•q⊕s•q)⊕(s•q)

Dus als creatief product met r•q is de toestand r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> te noteren als ((<<>>⊕<p•q•r•s>⊕<p•q>⊕<s•q>)⊗(<>⊕p•q•r•s⊕p•q⊕<s•q>))_r•q

Het vectorproduct van beide termen van het creatief product geeft dan de afgeleide naar r•q, en zoals altijd is dit product bepaald op een onbepaalde term na:

Het resultaat is <<>>⊕<p•q>⊕r•s⊕<p•q•r•s>. Dit is de projector van het AND-atoom <>⊕<p•q>⊕r•s⊕p•q•r•s.

Besluit

Voor de afgeleide naar r•q zijn er drie mogelijkheden.

<<>>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕p•q•r•s

<<>>⊕p•q⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>

<<>>⊕<p•q>⊕r•s⊕<p•q•r•s>

Als eenheden kunnen we ze optellen en dat resulteert in <p•q>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>. We merken op dat dit identiek is met de som van de toestanden

<>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕p•q•r•s=T₁

<>⊕p•q⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>=T₂

<>⊕<p•q>⊕r•s⊕<p•q•r•s>=T₃

Deze som schrijven we nu als r•q•(<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>) of r•q•(T₁⊕T₂⊕T₃) zodanig dat de toestand waarvan we vertrokken geschreven kan worden als r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>=r•q⊕T₁⊕T₂⊕T₃

Dit is een zinvolle uitdrukking omdat de afgeleiden met een onbepaalde intensiteit kunnen vermenigvuldigd worden, en voor de intensiteit kunnen we dus ook kiezen voor r•q.

We kunnen nu ook T₄ onderscheiden als <>⊕p•q⊕r•s⊕p•q•r•s

Het resultaat is dat de intensiteit in een unieke richting (gegeven door de projector van een atoom in twee onderscheidingen) gegeven wordt door de afgeleide naar dit soort 2-vector te berekenen.

r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>=r•q•(<<>>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>)=r•q•<T₄>

r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>=<s•p>•(<p•q•r•s>⊕<<>>⊕p•q⊕r•s)=<s•p>•<T₁>

r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>=<s•q>•(<r•s>⊕p•q⊕<<>>⊕p•q•r•s)=<s•q>•<T₃>

r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>=<r•p>•(<p•q>⊕r•s⊕p•q•r•s⊕<<>>)=<r•p>•<T₂>

Door te sommeren bekomen we:

r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>=r•q•<T₄>⊕<s•p>•<T₁>⊕<s•q>•<T₃>⊕<r•p>•<T₂>

Noteer: een afgeleide kunnen we altijd in twee richtingen interpreteren. We kunnen dit als volgt illustreren.

Veronderstel de toestand r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> en we schrijven deze terug als <<>>•<s•p>⊕r•q•(<<>>⊕<r•s>⊕<p•q>) waarmee we nu (<<>>⊕<r•s>⊕<p•q>) afscheiden om er een creatief product mee te berekenen en hieruit een afgeleide naar (<<>>⊕<r•s>⊕<p•q>) te definiëren. Dus de coëfficiënt van <<>> is <s•p> en de coëfficiënt van (<<>>⊕<r•s>⊕<p•q>) is r•q.

De som van de coëfficiënten is nu <s•p>⊕r•q en het verschil is <s•p>⊕<r•q>. Dus het product, namelijk de afgeleide is de nulvector.

Gemeenschappelijke 2-vector en 4-vector

Er zijn nog de 2-vectoren p•q en r•s en hun product: de 4-vector p•q•r•s. Ze onderscheiden zich doordat ze niet als onafhankelijk kunnen beschouwd worden van minstens één van de termen van r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>.

We zullen aantonen dat elke welgevormde haakuitdrukking die we als toestand kiezen dezelfde afgeleide kan hebben voor de keuze p•q, r•s of p•q•r•s.

Afgeleide is een welgevormde haakuitdrukking

We kunnen de welgevormde haakuitdrukking r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> vanuit drie twee dimensionele basissen op 12 manieren als creatief product schrijven.

Aangezien de afgeleide op een onbepaalde term na bepaald is kunnen we hieruit besluiten dat de afgeleide van een algemene welgevormde haakuitdrukking minstens het vectorproduct is van alle optredende welgevormde haakuitdrukkingen of mogelijke coëfficiënten, met het voorbeeld is dat dus p•q•r•s.

De tweede afgeleide zal een waarde zijn en dit ook kunnen we schrijven als een product van coëfficiënten, bijvoorbeeld p•q•r•s schrijven we als p•q•(<>⊕<r•s>)⊕<p•q>•(<>⊕r•s) en hiervan is het product van coëfficiënten <>, of we schrijven p•q•r•s als p•q•r•s•(<>⊕<r•s>)⊕p•q•r•s•(<>⊕r•s) en hiervan is het product van coëfficiënten <<>>.

Afgeleide is de projector van een atoom

Keuze p•q

Veronderstel de toestand r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>. Elke term van de som gebruikt minstens één standpunt van deze soort 2-vectoren. We kunnen dus een willekeurige opsplitsing maken om deze soort 2-vector als laatst toegevoegde te beschouwen.

r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> schrijven we daarom als <<>>•r•q⊕p•q•(<s•q>⊕<p•s>⊕<r•q>)

Som: r•q⊕<s•q>⊕<p•s>⊕<r•q>=<s•q>⊕<p•s> dit heeft de vorm van een eerste generatie verschil

Verschil: <r•q>⊕<s•q>⊕<p•s>⊕<r•q>=<s•q>⊕<p•s>⊕r•q dit heeft de vorm van een tweede generatie verschil

Het resultaat is <>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>, of dus de ingebedde projector van een OR-atoom.

Ook hier is het resultaat bepaald op een onbepaalde term na, dus de afgeleide kunnen we in het algemeen noteren als F•(<>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>) met F een willekeurige welgevormde haakuitdrukking.

Keuze r•s

r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> schrijven we nu ook als <<>>•r•q⊕r•s•(<r•p>⊕<r•q>⊕<s•p>)

Som: r•q⊕<r•p>⊕<r•q>⊕<s•p>=<r•p>⊕<s•p> dit heeft de vorm van een eerste generatie verschil

Verschil: <r•q>⊕<r•p>⊕<r•q>⊕<s•p>=<r•p>⊕<s•p>⊕r•q dit heeft de vorm van een tweede generatie verschil

Het resultaat is <>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>, of dus de ingebedde projector van een OR-atoom.

Keuze p•q•r•s

Veronderstel de toestand r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>. Deze kunnen we schrijven als <<>>•r•q⊕p•q•r•s•(<r•q>⊕<r•p>⊕<s•q>)

Som: r•q⊕<r•q>⊕<r•p>⊕<s•q>=<r•p>⊕<s•q> dit heeft de vorm van een eerste generatie verschil

Verschil: <r•q>⊕<r•q>⊕<r•p>⊕<s•q>=r•q⊕<r•p>⊕<s•q> dit heeft de vorm van een tweede generatie verschil

Het resultaat is <>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>, of dus de ingebedde projector van een OR-atoom.

Projector van drie 2-vectoren

We kunnen een welgevormde haakuitdrukking schrijven in een drie dimensionale basis met een selectie van unieke 2-vectoren. Bijvoorbeeld: in de projectoren is q niet aanwezig.

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<p•q>•(<>⊕<p•r>)⊕p•q•(<>⊕<p•s>)⊕r•p•(<>⊕<r•s>)

(<>⊕<r•p>)

We kunnen dat schrijven in een formaat dat duidelijk de termen laat zien die we als som en verschil gebruiken voor een afgeleide naar (<>⊕<r•p>):

(<p•q>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕<s•p>)•<<>>⊕<p•q>•(<>⊕<p•r>)

Som is <p•q>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<p•q>=p•q⊕<s•q>⊕<r•p>⊕<s•p> dit heeft niet het patroon van een welgevormde haakuitdrukking want dit kunnen we ook schrijven als p•q•(<<>>⊕<s•p>⊕<r•q>⊕<s•q>) en de uitdrukking tussen haken is niet welgevormd.

Verschil is <p•q>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕<s•p>⊕p•q=<s•q>⊕<r•p>⊕<s•p> dit heeft het patroon van een tweede generatie verschil.

Resultaat: <s•p>⊕<r•q>⊕<s•q>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>

We bewijzen nu dat de afgeleide naar (<>⊕<r•p>) dezelfde eenheid heeft als (<>⊕<r•p>)

We schrijven daartoe <s•p>⊕<r•q>⊕<s•q>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s> als:

<r•p>⊕(r•p⊕<s•p>⊕<r•q>⊕<s•q>)⊕<>⊕(<<>>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>)

<r•p>⊕r•p•(<<>>⊕<r•s>⊕<p•q>⊕<p•q•r•s>)⊕<>⊕(<<>>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>)

(<>⊕<r•p>)⊕r•p•(<<>>⊕<r•s>⊕<p•q>⊕<p•q•r•s>)⊕(<<>>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>)

(<>⊕<r•p>)⊕(<<>>⊕r•p)•(<<>>⊕<r•s>⊕<p•q>⊕<p•q•r•s>)

(<>⊕<r•p>)⊕(<>⊕<r•p>)•(<>⊕r•s⊕p•q⊕p•q•r•s)

(<>⊕<r•p>)•(<<>>⊕<>⊕r•s⊕p•q⊕p•q•r•s)

(<>⊕<r•p>)•(r•s⊕p•q⊕p•q•r•s)

(r•s⊕p•q⊕p•q•r•s) is een tweede generatie verschil in het twee onderscheidingen universum opgespannen door r•s en p•q.

(<>⊕<s•p>)

We kunnen H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<p•q>•(<>⊕<p•r>)⊕p•q•(<>⊕<p•s>)⊕r•p•(<>⊕<r•s>) schrijven in een formaat dat duidelijk de termen laat zien die we als som en verschil gebruiken voor een afgeleide naar (<>⊕<s•p>): (p•q⊕r•q⊕<r•p>⊕<s•p>)•<<>>⊕p•q•(<>⊕<s•p>)

Som: <p•q>⊕r•q⊕<r•p>⊕<s•p>

Verschil: r•q⊕<r•p>⊕<s•p>

Product:

Resultaat: <r•p>⊕r•q⊕s•q⊕p•q⊕<r•s>⊕p•q•r•s

Dit is te schrijven als (<>⊕<s•p>)•(<p•q>⊕r•s⊕<p•q•r•s>)

(<>⊕<r•s>)

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<p•q>•(<>⊕<p•r>)⊕p•q•(<>⊕<p•s>)⊕r•p•(<>⊕<r•s>) schrijven we als (r•q⊕<s•q>)•<<>>⊕r•p•(<>⊕<r•s>) en dit werken we uit in de volgende paragraaf

Projector van gemeenschappelijke 2-vector en 4-vector

(<>⊕<r•s>)

r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> schrijven we als (r•q⊕<s•q>)•<<>>⊕r•p•(<>⊕<r•s>)

De som van beide coëfficiënten is r•q⊕<s•q>⊕r•p dit heeft de vorm van een tweede generatie verschil

Het verschil van beide coëfficiënten is r•q⊕<s•q>⊕<r•p> dit heeft de vorm van een tweede generatie verschil

Resultaat: <<>>⊕r•s, en dus in het algemeen een F•(<>⊕<r•s>)

Dus de afgeleide van r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> naar (<>⊕<r•s>) is niet anders dan diezelfde eenheid, vermenigvuldigd met een willekeurige factor. Bijvoorbeeld: neem de factor r•q dan is de afgeleide van r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> naar (<>⊕<r•s>) gelijk aan r•q•(<>⊕<r•s>) of dus <r•q>⊕<s•q> en dit is een eerste generatieverschil.

(<>⊕p•q)

r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> schrijven we als (<s•p>⊕<s•q>)•<<>>⊕r•p•(<>⊕p•q)

De som van beide coëfficiënten is <s•p>⊕<s•q>⊕r•p dit heeft de vorm van een tweede generatie verschil

Het verschil van beide coëfficiënten is <s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> dit heeft de vorm van een tweede generatie verschil

Resultaat: <<>>⊕<p•q>, en dus in het algemeen een F•(<>⊕p•q)

Dus de afgeleide van r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> naar (<>⊕p•q) is niet anders dan diezelfde eenheid, vermenigvuldigd met een willekeurige factor.

(<>⊕<p•q•r•s>)

r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> schrijven we als (r•q⊕<s•p>)•<<>>⊕r•p•(<>⊕<p•q•r•s>)

De som van beide coëfficiënten is r•q⊕<s•p>⊕r•p dit heeft de vorm van een tweede generatie verschil

Het verschil van beide coëfficiënten is r•q⊕<s•p>⊕<r•p> dit heeft de vorm van een tweede generatie verschil

Resultaat: <<>>⊕p•q•r•s, en dus in het algemeen een F•(<>⊕<p•q•r•s>)

Dus de afgeleide van r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> naar (<>⊕<p•q•r•s>) is niet anders dan diezelfde eenheid, namelijk (<>⊕<p•q•r•s>), vermenigvuldigd met een willekeurige factor.

Gevolg: som van partiële afgeleiden

We zullen nu het conventioneel symbool voor een partiële afgeleide gebruiken om de contractie van een welgevormde haakuitdrukking naar een willekeurige haakuitdrukking voor te stellen. Dus stel dat we de contractie willen aangeven van T naar S dan noteren we δ_S(T).

We hebben drie projectoren (<>⊕<r•s>), (<>⊕<p•q>) en (<>⊕<p•q•r•s>). De afgeleide van dezelfde haakuitdrukking naar die projectoren resulteert in dezelfde projectoren op een factor na. Kiezen we dezelfde factor dan is de som niet anders dan F•(<>⊕<r•s>)⊕F•(<>⊕<p•q>)⊕F•(<>⊕<p•q•r•s>)=F•(<p•q>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>). We kiezen nu de factor F=r•q en H=r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p> kunnen we nu schrijven als r•q⊕r•q•(<p•q>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>) of dus H=r•q•(<<>>⊕δ_<>⊕<p•q>(H)⊕δ_<>⊕<r•s>(H)⊕δ_{<>⊕<p•q•r•s>}(H)). Dit kunnen we ook noteren als H=r•q•(δ_<>2&2(H)⊕δ_<>⊕<p•q>(H)⊕δ_<>⊕<r•s>(H)⊕δ_{<>⊕<p•q•r•s>}(H)) of ook: H⊕<r•q>=r•q•(δ_<>⊕<p•q>(H)⊕δ_<>⊕<r•s>(H)⊕δ_{<>⊕<p•q•r•s>}(H)) waarin we r•q als invariante referentie kunnen interpreteren.

Overzicht: afgeleiden van de toestand r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>

De onderstaande tabel geeft een overzicht van enkele berekende afgeleiden. Het is altijd mogelijk naar meerdere laatst toegevoegden af te leiden, dus het overzicht is niet volledig. Het maakt wel duidelijk dat de afgeleiden naar <>_2&2 , p, q, r en s eenzelfde resultaat opleveren (afgeleiden zijn immers enkel op een onbepaalde term na bepaald). Alle vectorproducten die we kunnen vormen met de afgeleiden naar <>_2&2 , p, q, r en s kunnen beschouwd worden als partiële afgeleide.

Inderdaad: H=q•r⊕<p•r>⊕<p•s>⊕<q•s> kunnen we bijvoorbeeld schrijven als H=q•s•(r•s⊕<p•q•r•s>⊕<p•q>⊕<>) en het vectorproduct is distributief voor het creatief product, dus vanuit de som van afgeleiden (r•s⊕<p•q•r•s>⊕<p•q>⊕<>) berekenen we de afgeleiden van H door vectorproduct met q•s.

Door de distributiviteit van de som en het creatief product is <>⊕<p•q>⊕r•s⊕<p•q•r•s> op zijn beurt niet anders dan de som van <> met drie partiële afgeleiden.

Indien we de onbepaalde term U noemen dan kunnen we ook U met <>, p, q, r en s gebruiken om een groter universum op te spannen.

Verder te onderzoeken

In het geval dat de kettingregel geldt, waarvan we de vooronderstellingen construeren, kunnen we de afgeleide naar U van T ook noteren als: δT/δU=(δT/δS)•(δS/δU).

We kunnen het conventioneel symbool met de gestileerde S (een integratie, symbool ∫) gebruiken om de expansie van een welgevormde haakuitdrukking met een welgevormde haakuitdrukking voor te stellen. Maar hierachter zit dan de impliciete veronderstelling dat een som een zinvolle uitdrukking is en de voorwaarde hiervoor is dat de som niet verschillend is van een welgevormde haakuitdrukking. De expansie van T met één welgevormde haakuitdrukking S kunnen we zonder probleem noteren als ∫_ST. Een voorbeeld hiervan is S niet verschillend van ℵ.