Vermogen is een energiedensiteit, is de energie gemeten met een andere eenheid, is “de energie per stap”, de stap hebben we T genoemd en een willekeurig gekozen T kunnen we ook identificeren met “een vrijheidsgraad”. Een vrijheidsgraad is een begrip dat we gebruiken om aan te geven wat we willen veranderen, om aan te geven dat niet alles verandert. We illustreren dat met een voorbeeld: we spreken over een cirkel en dan is het aspect dat we kunnen veranderen de straal, wat niet verandert is het typisch verband van de getallen op de omtrek, de cirkel is beschreven als x²+y²-r²=0 en r is de enige vrijheidsgraad: voor een cirkel met waarneembare getallen moeten we een (vrije) keuze maken voor r. De cirkel is de eenheid wanneer we relatie x²+y²-r²=0 als evenwicht willen beschouwen (en hiermee een Pythagorees drietal construeren), r is dan de enige parameter die we laten variëren en die voor een gradiënt zou kunnen zorgen. Dat telt evenzeer voor een bol x²+y²+z²-r²=0 (we herkennen dan het 3&1 formaat). In het ervaren zelf is de variabele “de laatst toegevoegde onderscheiding” die enkel in het ervaren zelf dezelfde waarde heeft als de andere onderscheidingen. We kunnen dan een dynamiek beschrijven per eenheid van straal, bijvoorbeeld een rotatie energie.

Een vrijheidsgraad is een begrip dat ook gebruikt wordt in de thermodynamica (en meer specifiek in de kinetische gastheorie). Dit vergt een verduidelijking want we willen ook hier de relatie kunnen uitleggen van een vrijheidsgraad met “een laatst toegevoegde onderscheiding”.

In de negentiende eeuw ontstond het besef dat temperatuur te maken zou kunnen hebben met de bewegingsenergie van deeltjes (zich voorstellend dat bijvoorbeeld gasdeeltjes tegen elkaar en tegen de wanden van een vat botsen met een zekere snelheid en dat ze door de botsing een versnelling ondervinden). Hoe meer botsingen, hoe meer warmte en ook: hoe meer warmte, hoe meer botsingen. Ludwig Boltzmann veronderstelde dat die beweging (en dus de bewegingsenergie) gerelateerd zou kunnen zijn met de verschillende manieren waarop een molecule kan bewegen. Dit kunnen we als volgt begrijpen: stel dat een deeltje als ruimtelijk aspect een bolvorm zou hebben, dan kan die bol in de drie dimensies van de ruimte bewegen en dat op een symmetrische manier, de bol zou kunnen roteren maar elke rotatie-as zou even waarschijnlijk zijn. Stel nu dat een deeltje als twee met elkaar verbonden bollen zou moeten voorgesteld worden, dan zou niet alleen het massamiddelpunt in drie dimensies kunnen bewegen, maar er zouden ook bewegingen mogelijk zijn van rotaties van en rond de as die de twee bollen verbindt en dat zijn maar deels symmetrische bewegingen en ze hebben andere energievereisten zoals we in werkelijke experimenten kunnen vaststellen met grotere bollen. Ook zouden de twee bollen naar elkaar toe en van elkaar weg kunnen vibreren (dus in de richting van de as ten opzichte van elkaar). Dat zijn allemaal soorten veranderingen die niet relevant zijn voor de veranderingen die een individuele bol kan vertonen. Om ze te beschrijven moeten we andere onderscheidingen kunnen maken: we hebben een groter onderscheidingen universum nodig. Al deze soorten bewegingen vereisen energie (en slaan zelfs energie op) en sommige soorten bewegingen vereisen een andere energie die afhankelijk zal zijn van temperatuur (bijvoorbeeld: deeltjes in vaste, vloeibare of gasfase kunnen op andere manieren bewegen en het kleinst aantal mogelijkheden vinden we bij vaste deeltjes). Die soorten bewegingen worden vrijheidsgraden genoemd. Dit idee kan verder uitgebreid worden want nog ingewikkelder moleculen kunnen ook nog op allerlei andere manieren trillen, waardoor het aantal vrijheidsgraden voor transformaties van energie nog groter kan zijn (als ze zouden vereisen dat ze autonoom moeten kunnen gemodelleerd worden). We kunnen bijvoorbeeld vaststellen dat lange macromolecules in een medium trillingen uitvoeren rond evenwichtstoestanden die anders zijn voor andere delen van de molecule en dus afhankelijk van het milieu waarin de verschillende delen zich bevinden. Dit maakt duidelijk dat het begrip “vrijheidsgraad” gerelateerd is met specifieke eigenschappen van specifieke entiteiten in hun context. Het heeft dus alles te maken met eigenschappen die asymmetrisch kunnen zijn in een bepaalde context. Wanneer we ons afvragen hoeveel vrijheidsgraden we “zouden moeten” onderscheiden, dan moeten we op een creatieve manier experimentele omgevingen bedenken waarin die vrijheidsgraden zouden kunnen waargenomen worden. Dan moeten we andere processen ontwerpen die op een nieuwe manier kunnen waargenomen worden.

Bolzmann besefte dat alle bewegingen kunnen voorkomen wanneer de deeltjes botsen en hij nam aan dat geen enkele soort beweging meer of minder waarschijnlijk zou zijn (we noemen dat nu het equipartitie beginsel, iets wat we aanschouwelijk kunnen tonen in een tralie, waarbij we de gelijkwaardigheid van welgevormde haakuitdrukkingen modelleren). Hij nam dan de hypothese aan dat het gemiddelde van alle bewegingen een spontane distributie zou aannemen die gerelateerd zou zijn aan temperatuur, hoe hoger de temperatuur hoe meer verschillende soorten beweging mogelijk zouden zijn en de gemiddelde beweging bij evenwicht zou daardoor anders berekend moeten worden. In veel experimenten in de voorbije 100 jaar bleek inderdaad dat de gemiddelde hoeveelheid energie per vrijheidsgraad die een klein deeltje in een bepaald materiaal heeft, enkel afhankelijk is van de (absolute) temperatuur T° op een factor na, namelijk k_B die we sinds Max Planck de Bolzmann constante noemen (dimensie: Joule per Kelvin en dus is dit een vermogen). In formule vorm met N het aantal vrijheidsgraden: E/N=½ k_BT°. De temperatuur blijkt dus een vermogen te zijn (een energiedensiteit, een energie per vrijheidsgraad) en ook de Bolzmann constante blijkt dus een constant vermogen te zijn voor alle materiële deeltjes (vermogen in een nieuwe eenheid gemeten, namelijk als een energie per vrijheidsgraad per Kelvin) in een omgeving van straling. Dit is een constant vermogen dat blijkbaar de grens is van waarnemingsresolutie zoals ook de lichtsnelheid in vacuüm de grens is van waarnemingsresolutie.

Dit idee bleek zeer succesvol te zijn, ook voor de soorten veranderingen die er optreden op nucleair of moleculair niveau die enkel kwantummechanisch kunnen verklaard worden. Immers: niet alleen het thermisch vermogen f_SjT°_j zien we gebonden aan vrijheidsgraden maar ook het chemisch vermogen f_njμ_j, zien we gebonden aan nucleaire of moleculaire energieniveaus. We slagen erin om die energieniveaus μ te kwantificeren in een omgeving van (warmte)straling en telkens weer speelt k_B een rol als een factor in de vergelijkingen. Zo blijkt de Fermi-Dirac densiteit van “identieke deeltjes” over elkaar uitsluitende energetische toestanden in thermisch evenwicht gegeven te zijn door (e^(E-μ)/kBT°+1)^-1, waarin E de energie kwantificeert van de unieke toestand die evenwicht uitdrukt. In contrast hiermee wordt de Bose-Einstein densiteit van “identieke deeltjes” die zich in dezelfde toestand bevinden van niet te onderscheiden energetische toestanden in thermisch evenwicht gegeven door (e^(E-μ)/kBT°-1)^-1. Beide verhoudingen met het patroon “invers dubbelgetal” zijn dichtheden, zijn fracties van de maximale bezetting (die per definitie gelijk is aan 1) en die maximale bezetting wordt dus bereikt door in het Fermi-Dirac geval te stellen dat (e^(E-μ)/kBT°+1)^-1=1 dus e^(E-μ)/kBT°=0 (en dat is dus een onbereikbare toestand) en door (e^(E-μ)/kBT°-1)^-1=1 dus e^(E-μ)/kBT°=2 in het Bose-Einstein geval (merk op: 2ⁿ is altijd even en bereikbaar, de even niveaus kunnen entiteiten modelleren). We hebben dat als begrensde intensiteit begrepen bij een bepaalde processtap n die meetbaar is met de parameters E, μ, k_B en T° (en een energetisch evenwicht afhankelijk van μ en T°). We hebben de stap n waarbij dat evenwicht bereikt wordt gemodelleerd als een schaal of een weerstand R_n . Daartoe schrijven we e^(E-μ)/kBT° als (e^E/e^μ)^1/kBT° en dit als ((1±r)ⁿ/(1±r)^n’)^1/kBT° en dit is niet anders dan de verhouding van een R_n tot R_n’ tot een bepaalde exponent die modelleert dat de getallen niet ingebouwd worden in een tralie. De constante van Bolzmann k_B is dus een schaalfactor (densiteit) die verschillende meetbare contexten op een zekere temperatuur met elkaar verbindt, een constante schaalfactor zoals we dat ook herkennen met de lichtsnelheid. Een proces verloopt in stappen (en dus “quanta”) wat duidelijk wordt als een foton (dit is een boson) ontstaat wanneer een elektron (dit is een fermion) “na excitatie” (energieopname) zijn grondtoestand weer bereikt. De energie wordt dan niet ingebouwd in de tralie maar “geëmitteerd” en het resultaat daarvan is een meetbaar spoor (in dit geval een foton). De niveaus zijn niet anders dan de parameter T van een energiedensiteit. De snelheidsverdelingswet van Bolzmann volgt dan uit beide densiteiten (als de factor +1 of -1 van het dubbelgetal geen rol meer speelt en dus wanneer e^(E-μ)/kBT° veel groter is dan 1 en dus (E-μ)/kBT° sterk verschilt van nul). Dan is er geen meetbaar verschil meer tussen de Fermi-Dirac densiteit en de Bose-Einstein densiteit.

In het haakformalisme stellen we de energieniveaus μ voor als de even niveaus in een tralie: op een niveau zijn potentiële entiteiten geclassificeerd in een universum met daarboven een laatst toegevoegde onderscheiding. Elk punt van een niveau gedraagt zich als een disjunctie (conjunctie) van mogelijkheden (beperkingen) met dezelfde waarde in een universum met één toegevoegde onderscheiding. Het aantal niveaus is afhankelijk van het relevante onderscheidingen universum. Het is niet omdat we ons een continuüm kunnen voorstellen voor de temperatuur, dat temperatuur een relevant energieniveau zou zijn voor datgene dat we willen bereiken (we beschouwen met andere woorden temperatuur als exergie per vrijheidsgraad). Dit is als volgt in te zien: het equipartitiebeginsel is onlosmakelijk verbonden met een “gemiddelde” van bewegingen (zie het gemiddeld vermogen ½(V₁+V₂) dat nodig is in de berekening van energie) en we kunnen slechts van een “gemiddelde beweging” spreken als er een voldoende groot aantal bewegingen beschouwd worden waarvan de details (die de bewegingen een specificiteit kunnen geven) irrelevant zijn. Een gemiddelde heeft slechts zin in een groter universum waarbij we de specificiteit van het gedrag (dat enkel in dat universum te modelleren is) niet willen modelleren. We modelleren dat als een soort nul omdat we kunnen veronderstellen dat alle berekenbare verschillen met een attractor elkaar opheffen. Dus kunnen we slechts van een “gemiddelde beweging” spreken als een thermisch evenwicht bereikt werd dat de fysische realisatie is dat we “iets uitmiddelen”. Temperatuur is dus een relatief begrip. Als we ons een lange molecule voorstellen (een eiwit of een kunststof) dan zal de kop en de staart een andere beweging uitvoeren dan een stuk ergens in het midden en het is dat verschil dat essentieel is voor de bruikbare eigenschappen van de molecule. Niet altijd is een soort thermisch gemiddelde beweging relevant. De molecule zal bijvoorbeeld een kop hebben die water aantrekt en een staart die water afstoot en verschillende gelijkaardige molecules vormen dan bijvoorbeeld een membraan die water kan scheiden van vet en dit creëert een potentiaal en dit kan functioneren als een celwand. De kop van de molecule voert een andere beweging uit dan de staart van de molecule, met een ander gemiddelde en in overdrachtelijke zin heeft de kop dan een andere temperatuur dan de staart (temperatuur is niet anders dan een specifieke exergiedensiteit). We gebruiken het begrip “exergie” omdat het vermogen afhankelijk is van de context. Een warmtebad op een bepaalde temperatuur is slechts één van de mogelijke contexten. Een macromolecule die energie levert in een levende cel kan dat doen in een temperatuurinterval in de cel onafhankelijk of er nu thermisch evenwicht bereikt is of niet. Wanneer we dat willen onderzoeken of gebruiken dan moeten enkel met die context rekening houden. Dat is dan weer afhankelijk van onze verbeelding om andere processen te creëren.

We zullen nu veronderstellen dat de kwantificering van het concept “vrijheidsgraad” niet anders is dan 2ⁿ waarvan n de kwantificering is van het concept “onderscheiding” zoals we dat in het haakformalisme gebruiken. We gaan er dus van uit dat “de stap” niet anders is dan “een bijkomende onderscheiding”, en in een proces dus “de laatst toegevoegde onderscheiding” omdat dit duidelijk verwijst naar de ordening die gekozen is om het gedrag een referentie te geven. We moeten de stap effectief uitvoeren om iets te laten gebeuren. Daar is niets absoluut aan en als we toch zouden willen om iets absoluut te creëren dan moet het onze eigen tijd overstijgen als een verbeelde, niet ervaren, potentiële werkelijkheid zowel in het verleden als de toekomst: het relevante en potentiële onderscheidingen universum voor onze ervaren werkelijkheid. Dat universum heeft minimaal 4 bits en dus 4 energiedensiteiten die onafhankelijk zijn van elkaar (elke bit is een andere soort vrijheidsgraad die niet a priori moet gekend zijn), zolang als de toestanden die daarmee overeenkomen elkaar maar uitsluiten. We kunnen nu spreken van een vermogen als een intensiteit (van energie) per bit, gebruik makend van het binair model van een potentiële werkelijkheid met 2ⁿ toestanden (bits) voor n onderscheidingen.

Vermogen blijkt dus een zeer fundamenteel begrip te zijn.