Het centraal axioma van het haakformalisme is dat we altijd in een hoger onderscheidingen universum waarnemen (er gebeurt ook altijd iets anders) en dat wat we waarnemen iets invariant is (we ervaren altijd iets). In de klassieke hypothese is dat dan een verhouding die invariant is in een minimaal veranderende waarnemingscontext (er zijn immers maar twee toestanden betrokken). Een invariante verhouding wijst op een symmetrie en is een mogelijke kandidaat voor een (natuur)wet.

We kunnen dit als een 1-splitsing onderzoeken. Dit onderbouwt een lokale processnelheid, waarbij dit nieuwe begrip veel meer omvat dan enkel de relatie tussen een ruimte-afstand en een tijd-afstand. Hiermee modelleren we dat we beseffen dat we zelf een bepaald standpunt innemen, hoewel datgene dat we waarnemen vanuit verschillende standpunten kan waargenomen worden, met een verschillende processnelheid. Wat elkeen dan waarneemt is invariant voor standpunt en processnelheid. In de klassieke benadering waarin stabiele entiteiten verondersteld worden kunnen we dit modelleren door het universum met ℵ.

De invariante verhouding kunnen we op een zeer elegante manier in het “guillemet” model construeren door een scalaire transformatie van de waarnemingscontext met een a priori ongekende «k-1,k»=«(n-m)(n2-m2)-1/2,(n+m)(n2-m2)-1/2»=«(1-m/n)(12-(m/n)2)-1/2,(1+m/n)(12-(m/n)2)-1/2»=«(1-v)(12-v2)-1/2,(1+v)(12-v2)-1/2» waarvan de interpretatie enkel maar kan zijn dat de getallen de grootte (bijvoorbeeld het aantal bits) bepalen van het (per definitie maximale) ℵ universum waarin de verhouding v waargenomen wordt. We hebben dat herkend als de Lorentz transformatie. Zijn beide n en m gelijk aan elkaar dan is deze transformatie niet gedefinieerd omdat de normalisatie factor (n2-m2)-1/2 dan nul wordt. Nul moeten we operationeel interpreteren als waarneembaar klein en daarenboven onwaarneembaar nog kleiner. Dit impliceert dat er in de klassieke hypothese een inherente grens te vinden is. Een van beide getallen is dus groter dan de andere, neem n, en dus is het grootste universum voor te stellen door (ℵ⊗ℵ)2EXPn. Hierbij is 2n een momentaan maximum getal.

We kunnen nu expliciet veronderstellen dat we enkel naar sporen kijken die niet ingebouwd worden in de tralie die ons standpunt weergeeft. We veronderstellen dus dat we altijd over twee getallen m en n beschikken die de sporen kunnen zijn van een proces. Conventioneel kunnen we dus één van die getallen interpreteren als het spoor “in de tijd” (wat ook het meetinstrument hiervoor zou zijn, waarvoor we enkel eisen dat het repetitief schakelt tussen twee elkaar uitsluitende toestanden, uitsluiting die context afhankelijk is en die enkel maar een steeds meer toenemend spoor achterlaat). Hiermee kunnen we dan transparant modelleren dat we op elk moment in de tijd terug van nul kunnen starten en dat de tijd blijft lopen.

Voor n=m is deze bitstring van getallen dus niet gedefinieerd. Theoretisch kan er dus een grens voorspeld worden aan de invariantie, maar waar die grens ligt, gegeven vastliggende entiteiten, kan enkel empirisch gezocht worden omdat enkel op die manier het (maximale) ℵ universum bereikt wordt. Experimenten tonen inderdaad aan dat niet alle verhoudingen mogelijk zijn. Voor beweging in de fysische ruimte (beweging in één ruimtelijke richting) noemen we de maximale verhouding de lichtsnelheid. Die verhouding werd empirisch bepaald en die grens wordt enkel voor entiteiten bereikt met een niet telbare massa. Dit wijst erop dat Mv (of “linear momentum”, of “impuls” of “hoeveelheid beweging”) en niet v de essentiële verhouding is.

Wat dit betekent voor het ℵ-universum kunnen we reconstrueren door de voorwaarden te zoeken waaronder de algemene formule in de speciale relativiteitstheorie optreedt voor een afstand/tijd verhouding. Deze is

x'=(1-Kv2)-1/2(x-vt)

t'=(1-Kv2)-1/2(t-Kxv)

Voor de constante K kunnen we nu een aantal mogelijkheden bekijken.

Deze empirisch vastgestelde formules kunnen we nu als volgt theoretisch reconstrueren: we kunnen de bijkomende vluchtige onderscheiding een getalwaarde K1/2 geven. Hiermee integreert de laatst toegevoegde onderscheiding de twee waarnemingen (namelijk teller en noemer van de verhouding) in hetzelfde universum. Dus we kiezen voor ℵ niet «+1,-1», maar «+K1/2,-K1/2» en voor m.n-1 = K1/2v waarbij K een constante is en v een momentane snelheid.

Laten we hiermee de transformatiestring opnieuw opbouwen en er vervolgens een transformatie mee uitvoeren.

«k-1,k»=«(n-m)(n2-m2)-1/2,(n+m)(n2-m2)-1/2». We kunnen teller en noemer delen door hetzelfde getal n dat we verschillend van nul nemen. «+k-1,k»=«((n-m)/n)((n2-m2)/n2)-1/2,((n+m)/n)((n2-m2)/n2)-1/2». Zodanig dat «k-1,k»=«(1-m/n)(1-(m/n)2)-1/2,(1+m/n)(1-(m/n)2)-1/2». Wanneer m en n een verhouding hebben tot elkaar, stel m.n-1=K1/2v=v/c, dan wordt dit «k-1,k»=«(1-K1/2v)(1-Kv2)-1/2,(1+K1/2v)(1-Kv2)-1/2». Dus «k-1,k» wordt voorgesteld door de naamstring (1-ℵK1/2v)(1-Kv2)-1/2.

Als we nu de string (1-ℵK1/2v)(1-Kv2)-1/2 en de string (t+ℵK1/2x) met elkaar vermenigvuldigen en zo de transformatie uitvoeren bekomen we:

(t+ℵK1/2x)(1-ℵK1/2v)(1-Kv2)-1/2

((t-Kxv)+ ℵK1/2(x-vt))(1-Kv2)-1/2

(t-Kxv)(1-Kv2)-1/2 + ℵK1/2(x-tv)(1-Kv2)-1/2.

Dit is terug een string van het type t'+ℵx'. We herkennen de Lorentz transformatie wanneer we stellen dat (t-Kxv)(1-Kv2)-1/2=t' en (x-tv)(1-Kv2)-1/2=x'.

De string t'+ℵK1/2x' is van het patroon t+ℵK1/2x.

Voor m.n-1 =1= K1/2v of v = K-1/2 is deze transformatie niet gedefinieerd. Het punt gelijk aan 1 wordt bereikt voor v=K-1/2=c. Aangezien de klassieke hypothese uitgaat van het bestaan van entiteiten die identiek kunnen blijven, betekent dit dat dit de uiterste grens moet zijn aan het aantal identieke entiteiten die te tellen is in de afstand/tijd setting. De transformerende string wordt dan een wiskundig onbepaalde string «k-1,k»=«(1-ℵK1/2 K-1/2)(1-K.K-1)-1/2».

Voor andere processen moet de minimale (of maximale) verhouding ook empirisch vastgesteld worden, zo kan de algemene relativiteitstheorie afgeleid worden van het bestaan van een maximale kracht (of Mv flow, “impulsverandering”) gegeven door c4/4G met c de lichtsnelheid en G de gravitatieconstante, wat niet anders is dan de grens van het vermogen (de verandering van energie per tijdseenheid) die gelimiteerd is tot c5/4G of de grens van verandering van massa die gelimiteerd is tot c3/4G (zie Schiller). Dit heeft geleid tot een nieuwe definitie van telbare massa (dus massa als meetbare entiteit) het begrip "lokale kromming" introduceert als een statisch beeld voor een spontane dynamische verandering van referentieframe.

Voor een inherente grens hebben we maar twee getallen nodig. De n en m in de inherente grens zijn twee getallen die coëfficiënten opbouwen van een structuur. Die structuur met een a priori ongekend aantal bits is de laatst toegevoegde onderscheiding wat duidelijk wordt door de voorstelling in het guillemet model: «(n-m)(n2-m2)-1/2,(n+m)(n2-m2)-1/2». Zijn de 2ν-1 hoogbits ervan gewogen met de coëfficiënt (n-m)(n2-m2)-1/2, dan zijn de 2ν-1 laagbits ervan gewogen met (n+m)(n2-m2)-1/2 (de toewijzing kan natuurlijk ook anders). Dit kunnen we ook schrijven als (1-m/n)(1-(m/n)2)-1/2 versus (1+m/n)(1-(m/n)2)-1/2. De hoogbits van ℵ zijn de bits van <>⊕<ℵ>, de laagbits van ℵ zijn de bits van <>⊕ℵ en hierin is ℵ opgespannen door 2ν bits.

Nu is de coëfficiënt van de laatst toegevoegde onderscheiding vanuit de inzichten van het haakformalisme gerelateerd met het aantal atomen dat te meten is in het onderliggend onderscheidingen universum. De Einstein relativiteit geeft aan dat dit constant is. Dus het aantal atomen (elkaar uitsluitende toestanden van een toestandsruimte) van het universum is constant en voor elke waarnemer hetzelfde aantal en gegeven door 2n met n een onderliggend aantal onderscheidingen die niet interfereren met M, M die de factor is waarmee v vermenigvuldigd wordt en een M die misschien wel door 2ν bits opgespannen wordt?