De <> en <<>> van het haakformalisme kunnen geïnterpreteerd worden als “ja” en “neen” en dus kan de Booleaanse algebra als een model van het haakformalisme beschouwd worden. Een meer beperkende interpretatie van <> en <<>> als “waar” en “onwaar” (zoals gebruikelijk in het domein van de logica) verhindert echter dat men het duale in de Booleaanse algebra waardeert. Men waardeert dus niet het dubbel-Booleaanse en men waardeert niet dat inzicht in (die) dualiteit niet dwingt tot een bepaalde interpretatie. Inderdaad hebben in het haakformalisme “waar” en “onwaar” geen absolute betekenis maar een operationeel onderbouwde (en dus een ervaren) betekenis.

In het technisch domein van de computer wetenschappen komt interpretatie dikwijls op de tweede plaats en dus kan men binaire strings als “schakelfuncties” bestuderen om hun intrinsieke eigenschappen. Hierbij moet men input en output van de gemaakte schakelingen niet restrictief interpreteren. Maar hier duiken de gevolgen op van andere vooronderstellingen die een grondiger inzicht in die schakelfuncties in de weg staan. Men gaat een binaire string afbeelden op een verzameling, zonder de veronderstellingen van de verzamelingen leer aan een onderzoek te onderwerpen. Deze vooronderstelling, die zomaar aanvaard wordt en dus nooit kritisch onderzocht wordt, heeft zeer diepgaande gevolgen die we hierbij proberen duidelijk te maken.

Elke welgevormde haakuitdrukking kan voorgesteld worden door een binaire string. Een binaire string is dus een model voor een welgevormde haakuitdrukking. Dit is op een transparante manier afgeleid uit de studie van tabellen (en bijvoorbeeld niet aangenomen als een a priori, of afgeleid uit de studie van binaire strings). Dus elke welgevormde haakuitdrukking kan geïnterpreteerd worden als een Booleaanse functie, ook “switching function” of "binaire functie” genoemd. Wanneer men nu deze voorstelling beschouwt als op zichzelf staand dan ligt het voor de hand dat men elke bit uit de string beschouwt als een binaire “variabele”. Men zal dan de string “een vector van binaire argumenten” noemen. Aangezien elke bit een andere uitsluit ligt de interpretatie als element van een verzameling voor de hand. Dus kan men trouw blijven aan een manier van voorstellen van een binaire string als een functie f(b₁, b₂, …, b_i, … b_n). Dit is de voorstelling die een binaire welgevormde haakvector met n bits in zijn algemeenheid kan representeren, waarbij er dus 2ⁿ “grondelementen” ontstaan. Dit wordt dan beschouwd als een afbeelding van het cartesiaans product Bⁿ naar B, waarbij B de verzameling is van de twee enig mogelijk waarden: 1 en 0.

Het onmiddellijk gevolg hiervan is dat een AND-atoom dan een elementaire conjunctie genoemd wordt, een OR-atoom een elementaire disjunctie. De enige waarden in het haakformalisme worden als de “constanten” 0(b) en 1(b) genoteerd of een of andere variant daarvan. Gelijk welke functie wordt dan opgebouwd als een disjunctieve normaalvorm of een conjunctieve normaalvorm. Uiteraard vindt men dat er 2 tot de macht 2ⁿ functies zijn. De grote kracht van het haakformalisme is nu dat het gebouwd is uitgaande van n onderscheidingen, terwijl de klassieke binaire benadering de opbouw doet vanuit 2ⁿ elementaire conjuncties (of elementaire disjuncties), immers voor n variabelen zijn er 2ⁿ mogelijke opbouwende vectoren. Dus het haakformalisme heeft exponentieel minder “grondelementen” nodig dan gebruikelijk in de computer wetenschappen. De “variabelen” van het haakformalisme zijn de n onderscheidingen. De variabelen van Booleaanse functies zijn de 2ⁿ atomen (AND-atomen of OR-atomen). We hebben aangetoond dat de 2 tot de macht 2ⁿ welgevormde haakuitdrukkingen (of binaire functies) zowel vanuit de grondelementen “onderscheidingen” als vanuit de grondelementen “atomen” kunnen opgebouwd worden. Het verschil is niet alleen een kwantitatief verschil. Het kwantitatieve kan men als volgt begrijpen: vanuit de grondelementen “onderscheidingen” zijn slechts n elementen nodig, vanuit de grondelementen “atomen” heeft men 2ⁿ elementen nodig. Maar een kwalitatief verschil is veel fundamenteler: vanuit onderscheidingen wordt het relevante universum niet vastgelegd (n kan men vrij kiezen), maar vanuit atomen wordt dit universum wel vastgelegd (n kan niet anders dan a priori gekozen worden). Met een concreet voorbeeld is het groot verschil te waarderen: de entiteit a van het haakformalisme kan binair voorgesteld worden als 10, of als 1010, of als 10101010 enz… dit verandert die entiteit niet, enkel het universum waarin ze functioneert. Dit is ondenkbaar in de computer wetenschappen waarin 10 (de binaire versie van de decimale 2) een volledig ander “getal” is dan 1010 (de binaire versie van de decimale 10), volledig anders dan 10101010 (de binaire versie van de decimale 170) enz....

Het haakformalisme geeft dus een exponentieel diepere interpretatie van de relaties tussen binaire uitdrukkingen. De opbouwende patronen (de onderscheidingen) van het haakformalisme zijn daarenboven metrisch het verst verwijderd van de opbouwende patronen van de Booleaanse functies, ze zijn elementen van het centraal niveau in een tralie, juist het niveau waar zich de meeste punten bevinden in die tralie die daarenboven nog evenveel hoog-bits als laag-bits bevatten, en het moet ons dus niet verbazen dat die patronen niet “bij toeval” ontdekt kunnen worden.

Een van de gevolgen is dat de Booleaanse functies “welgevormd” kunnen zijn met een aantal atomen niet gelijk aan 2ⁿ, terwijl in het haakformalisme (dat gebaseerd is op onderscheidingen) aangetoond wordt dat hierdoor enkel gecollapste tralies kunnen ontstaan met hun zeer diepe operationeel onderbouwde interpretatie als relevant deel van een universum. Daarenboven kunnen we bijvoorbeeld aantonen dat een tralie met 6 atomen opgespannen kan worden door 4 deelonderscheidingen in plaats van 6 (eenvoudiger is natuurlijk de 6 atomen met twee uit te breiden zodanig dat een tralie van 8 atomen door 3 onderscheidingen kan opgespannen worden waarvan dan een deel van de tralie collapst en een ruimte met zes deelatomen ontstaat).

De tabellen die we gebruiken in het haakformalisme worden in de computer wetenschappen functie tabellen genoemd, of zelfs waarheidstabellen. Zoals dikwijls is de naamgeving zeer verwarrend waardoor de adepten van dat domein voor zichzelf een dieper inzicht verduisteren. Men spreekt wel van conjunctie en disjunctie, maar bijvoorbeeld het vectorproduct van het haakformalisme (exclusieve disjunctie) wordt “antivalentie” genoemd (met als functiesymbool een omcirkelde plus, dus ⊕) en de transformatie van het haakformalisme (inbedding van het vectorproduct) wordt “equivalentie” genoemd (met als functiesymbool het similariteitsteken, dus ∼). Dit is slechts een relevante interpretatie in een twee onderscheidingen universum en/of onder voorwaarde dat transitiviteit verondersteld wordt. Ik vermoed dat men 0 als een getalnul interpreteert, zonder dat daar enige verklaring wordt voor gegeven (behalve dat men in een technische interpretatie een van de punten die een voltage verschil vertonen als “grond” moet aannemen). In de computer wetenschappen wordt daarenboven de begrippen “elkaar uitsluiten” en “elkaar insluiten” (die in het haakformalisme operationeel onderbouwd worden) “orthogonaliteit” genoemd. Orthogonaliteit kan echter ook andere vormen aannemen. En uiteraard kan de kracht van het creatief product niet gewaardeerd worden (een relatie die geen verschil maakt tussen disjunctie en exclusieve disjunctie) omdat dit bijkomend abstract onderscheid ook niet nodig is als de grondelementen per definitie die karakteristiek vertonen (omdat ze atomen zijn van het beschouwde universum).

Boeiend is daarentegen dat in het deeldomein van de computer wetenschappen, namelijk de cryptografie met binaire codes, het begrip dualiteit wel gewaardeerd wordt en exact zo gebruikt wordt als in het haakformalisme, en dat in dat domein stilaan het enorme voordeel gewaardeerd wordt van zelfduale codes.

Het is trouwens niet zo moeilijk om gelijk welke binaire string te interpreteren in zijn opbouwende onderscheidingen en we durven poneren dat juist de omzetting van een binaire string in een welgevormde haakuitdrukking impliciet gedaan wordt in een neuraal netwerk dat naar patronen zoekt.