Het haakformalisme kan geïnterpreteerd worden als een bitgewijze logische structuur. Met de quaternale benadering kunnen we aantonen dat deze geen klassieke booleaanse structuur is maar een “dubbel-booleaanse”.
We illustreren dit met de tabel van de quaternale benadering van een willekeurige welgevormde haakuitdrukking.
Haakuitdrukking |
Bitstring |
In Boole algebra |
Operatie voor de Boole algebra |
<<a><c<b>>> |
1011.1010 |
aAND(cOR<b>) |
Start |
<a><c<b>> |
0100.0101 |
<a>OR(<c>ANDb) |
complementeren is elk punt negeren en OR en AND wisselen (hierbij wordt ook TRUE en FALSE gewisseld) |
<a<<c>b>> |
0101.1101 |
<a>AND(<c>ORb) |
contradualeren is elk punt negeren |
a<<c>b> |
1010.0010 |
aOR(cAND<b>) |
dualeren is OR en AND wisselen (hierbij wordt ook TRUE en FALSE gewisseld) |
AND en OR zijn met elkaar uit te wisselen indien we ook TRUE en FALSE met elkaar wisselen en voor elk punt zijn negatie nemen, wat het dubbel-booleaanse karakter aantoont.
We kunnen dit ook als volgt demonstreren:
Haakuitdrukking |
Bitstring |
In Boole algebra |
Operatie voor de Boole algebra |
<<a><c<b>>> |
1011.1010 |
aAND(cOR<b>) |
Start |
<a><c<b>> |
0100.0101 |
<aAND(cOR<b>)> |
complementeren |
<a<<c>b>> |
0101.1101 |
<aOR(cAND<b>)> |
contradualeren is het complementeren van het dualeren |
a<<c>b> |
1010.0010 |
aOR(cAND<b>) |
dualeren is OR en AND wisselen (hierbij wordt ook TRUE en FALSE gewisseld) |
De traliestructuur is dezelfde maar de interpretatie van supremum en infimum wordt omgewisseld. Een potentieel punt bevindt zich altijd tussen <> en <<>>, wat ook hun interpretatie is.
Dit heeft een aantal belangrijke gevolgen:
Het is bekend dat de logische operatoren NOR (“Peirce arrow”) en NAND (“Sheffer stroke”) alle andere operatoren kunnen uitdrukken, nu is ook duidelijk dat hetzelfde geldt voor de logische operatoren OR en AND wanneer men <> en <<>> zonder interpretatie als de extrema beschouwt.
Het principe van het “uitgesloten midden” wordt in het haakformalisme veel krachtiger: het kan als potentialiteit geïnterpreteerd worden. Een welgevormde haakuitdrukking is een structuur die potentieel ofwel de waarde <>, ofwel <<>> kan hebben maar dit hoeft ook niet: het is een “indien..., dan...”.