We hebben gezien dat de inzichten van het haakformalisme onvermijdelijk leiden tot een wetenschap van patronen: een patroon kunnen we voorstellen als welgevormde haakuitdrukking, maar voor de interpretatie daarvan moeten we nog bijkomende keuzen maken. We tonen nu op verschillende manieren aan dat we vier verschillende maar volledig equivalente manieren kunnen kiezen voor de bijkomende keuzen, de essentie van het inzicht is daar onafhankelijk van. Dit inzicht deelt het haakformalisme met de systeem theorie waarin structuren kunnen bestudeerd worden onafhankelijk van hoe ze gematerialiseerd worden.

Neem gelijk welk aspect a, dan impliceren we onvermijdelijk ook de inbedding ervan, namelijk <a>. Een aspect inbedden in een haak is een operatie die, wanneer nog eens uitgevoerd, terug het uitgangspunt produceert. Zo’n operatie noemt men een involutie. Dit geldt voor elk aspect dat we in een welgevormde haakuitdrukking representeren, ook als we niets noteren want de inbedding van <<>> is <> en de inbedding van <> is <<>>. Dit geldt ook voor niet welgevormde haakuitdrukkingen, wat het gemakkelijkst in te zien met de voorstelling in binair formaat: de inbedding van een don’t care uit de niet welgevormde haakuitdrukking verandert niet maar de inbedding van een laagbit in een hoogbit en omgekeerd is wel een involutie van de niet welgevormde haakuitdrukking.

Een involutie leidt onvermijdelijk tot een groepsstructuur: de viergroep van Klein. We hebben dat met eenvoudig voorbeeld geïllustreerd: neem ab en als involutie enkel de inbedding van b, dus de involutie genereert a<b> en dan weer ab en dan weer a<b>. Dit genereert de triade (a, ab, a<b>). Zowel ab als a<b> zijn fijner dan a en er geldt ook dat zowel <ab> als <a<b>> ruimer zijn dan <a>, of, zo we willen <<a>b> als <<a><b>> ruimer zijn dan a. De viergroep geldt ook voor de inbedding van een volledige haakuitdrukking, zoals we konden vaststellen met <>, a, <a> en <<>>.

Een combinatie van twee soorten involutie leidt tot wat we een quaternale benadering noemen en we hebben daar al een voorbeeld van gegeven. De naamgeving werd geïnspireerd door “The theory of quaternality” van W.H. Gottschalk (University of Pennsylvania 1953). Het inzicht daarbij is dat deze quaternaliteit het onvermijdelijk gevolg is van de minimaal vier mogelijkheden om exact hetzelfde patroon voor te stellen. Het is onvermijdelijk dat een welgevormde haakuitdrukking op minimaal vier verschillende manieren te interpreteren is. Dus: niet het patroon verandert maar de interpretatie verandert.

Dit maakt het onvermijdelijk om heel helder uit te leggen wat bedoeld wordt met de operatie van inbedding aangezien gelijk welke involutie minimaal een quaternale benadering zal mogelijk maken, maar misschien wel meer-dan-quaternale benaderingen. Er is immers in het algemeen een verschil tussen een deel van de uitdrukking inbedden en de totale uitdrukking inbedden en meerdere delen kunnen al dan niet ingebed worden. En als we maar een deel van de uitdrukking inbedden dan hebben we bewezen dat we al onmiddellijk het verband leggen met nevenschikking en dus simultaneïteit. Dit kan het best met hetzelfde voorbeeld gedemonstreerd worden dat we al eens gebruikt hebben zodat de volgende stap in de abstractie duidelijk wordt. We bereiden ons dus voor om te onderzoeken hoe een relatie zoals simultaneïteit (of nevenschikking), de gerelateerde triade en de gerelateerde groepsstructuur, zich kan voordoen in een quaternale context.

We nemen terug het willekeurig gekozen haakelement <<a><c<b>>> als uitgangspunt. Maar nu bekijken we dit als de uitdrukking van een relatie van twee universa: een universum enkel opgespannen door “a”, en een universum opgespannen door “b en c”. Dit betekent dat we nu kunnen modelleren dat we enkel in het universum van a een involutie uitvoeren en niet in het universum van “b en c”. We moeten dus hiervoor nieuwe namen verzinnen (we kunnen dat niet contradualeren noemen omdat we die naam reeds gebruikten voor de operatie die de inbedding van elke onderscheiding uitvoert). We noemen deze nieuwe operaties “(x)-involuties” omdat in binair formaat de involutie van de bits van a (dus ...1010…), de ingebedde a oplevert (dus ...0101…) en de involutie van de bits van b (dus ...1100…), de ingebedde b oplevert (dus ...0011…), en de involutie van de bits van c (dus ...11110000…), de ingebedde c oplevert (dus ...00001111…) enz… Het voorbeeld maakt duidelijk dat we dus blokken van bits involueren en dat dit, enkel voor zelfduale punten, leidt tot een inbedding van de totale uitdrukking. Voor alle duidelijkheid moeten we dan het complementeren ook relateren tot een vorm die de totale uitdrukking omvat en we moeten dus spreken van “(x, y, z, ...)-complementeren”.

(a, b, c)-complementeren verwijst naar de specifieke relatie van a, b en c die de start uitmaakt en dan ingebed wordt.

Het is duidelijk dat we ook zouden kunnen (b)-involueren of (c)-involueren of zowel (b)-involueren als (c)-involueren, wat we noteren als (b, c)-involueren. Er is een verschil met de operatie (b, c)-complementeren omdat die op de hele relatie, wat die ook zou zijn, inwerkt, dus (b, c)-complementeren zou in dit geval van een start met <c<b>> leiden tot het element c<b>.

Wanneer we de bitstrings van de drie onderscheidingen onder elkaar zetten is gemakkelijk in te zien welke patronen hierbij ontstaan:

...10101010... voor a

...11001100... voor b

...11110000... voor c

De twee eerste en de twee laatste bits van b en van c onderscheiden zich niet van elkaar, ze onderscheiden zich enkel als ze een relatie aangaan met a. Dus de (a)-involutie kunnen we perfect volgen in de twee eerste en de twee laatste bits. We geven dat aan in de volgende tabel:

Centraal in de bitstring blijven er dus vier bits over en zij coderen voor een punt in twee onderscheidingen, in dit geval zijn dat atomen (drie identiek bits en één andere bit).

Dat patroon is onvermijdelijk en kunnen we naar hogere universa uitbreiden. Hierbij zien we duidelijk dat de involutie overeenkomt met een verandering van een soort leesrichting in een deel van de bitstring en dat zich dit onderscheidt van een inbedding van de totale bitstring. We geven hiervan een voorbeeld met de volgende twee tabellen:

Zoals we kunnen zien in de tweede tabel zal de verandering slechts een gedeelte van de bitstring beïnvloeden en inderdaad enkel de leesrichting van de bitstring:

In vier onderscheidingen gelden immers de volgende binaire strings, die we in blokken van vier kunnen weergeven:

0001.0001.0001.0001 voor <a><b>

1110.1110.1110.1110 voor <<a><b>>

1111.0000.0000.0000 voor <<c><d>>

De eerste tabel gaan we nu op een andere manier voorstellen waarin duidelijk wordt dat we drie soorten blokken kunnen onderscheiden, een blok p, een blok p’ en een blok q. We hebben nu twee soorten blokken: p versus p’ terwijl q zich niet onderscheidt van q’.

We kunnen nu nog andere vormen vinden waarin we dezelfde drie blokken op een andere manier combineren:

Besluit

Het herkennen van quaternaliteit in logische toepassingen is historisch gezien een belangrijke stap. Het heeft geleid tot nieuwe begrippen die een bepaald soort tegenstellingen in een vierkant kunnen voorstellen zonder helder de tegenstellingen te kunnen duiden. Voorbeelden van die begrippen zijn: contradictorisch; contrair; subcontrair; subaltern; enz… We hebben aangetoond dat we die begrippen kunnen vervangen door duidelijk gecodeerde involuties en complementen. Mogelijks verwarrende naamgeving hebben we in het haakformalisme niet nodig. We vervangen immers al deze pogingen uiteindelijk door slechts één operatie: de transformatie of zijn inbedding, die niet anders dan de inbedding van het vectorproduct of het vectorproduct. Dit ligt dan aan de basis van de viergroep van Klein.

We kunnen dat illustreren door sommige rijen uit de laatste tabel als een voorbeeld te zien van de vier bekende operaties uit de categorische syllogistiek, wat we extensief zullen bestuderen.

We illustreren dat ook door het creatief product in een quaternale structuur voor te stellen (het creatief product is een product dat geen verschil maakt tussen het vectorproduct en de nevenschikking).