De oudste manier om redeneringen te onderzoeken op hun toepasbaarheid is de door Aristoteles ontwikkelde syllogistiek. Sinds de beschikbaarheid van de predicatenlogica en de onderliggende verzamelingenleer in de negentiende eeuw kon aangetoond worden dat een aantal syllogismen die door Aristoteles als geldig aangenomen werden, volgens de predicatenlogica niet geldig zijn. Daarom wordt de predicatenlogica tegenwoordig als de meer superieure theorie beschouwd.

Het is echter boeiend om ook de syllogistiek in het haakformalisme te modelleren omdat niet alleen de ongeldige redeneringen van Aristoteles ook in het haakformalisme ongeldig zijn en de geldige geldig zijn in het haakformalisme, en daarenboven de door de predicatenlogica als ongeldige eveneens ongeldig zijn in het haakformalisme, maar voornamelijk omdat de voorwaarden kunnen geëxpliciteerd worden waaronder een aantal geldige redeneringen in de predicatenlogica geldig zijn, en dat heeft alles te maken met de vooronderstelling in de predicatenlogica dat een supremum voor een (deel)verzameling beschikbaar is. Hiermee demonstreren we nog eens de kracht van het haakformalisme.

De categorische (buiten alle twijfel staande) syllogistiek verbindt categorische proposities op een typische manier met elkaar. Er worden maar vier soorten categorische proposities gebruikt. Om deze aan te duiden gebruikt men van ouds de letters A, E, I, O met de volgende betekenis:

De variabele x wordt het subject (s) genoemd, de variabele y het predicaat (p). De variabelen worden termen genoemd. Een uitdrukking van de soort uit een rij van de tabel wordt een premisse (propositie) genoemd. Een geldige syllogistische conclusie verbindt drie premissen met elkaar. Twee premissen zijn het antecedens en moeten een term gemeenschappelijk hebben. Men noemt dit de middenterm (m). De derde premisse is de conclusie of het consequens. Het antecedens is de conjunctie van twee proposities (major en minor) en het consequens (conclusie) is één propositie.

Syllogismen als welgevormde haakuitdrukkingen

Als gevolg van de modellering van ∀ (voor alle, elk) als ∃ (er is een, minstens één, sommige) moet de basis van de predicaatlogische uitdrukkingen die in de syllogistiek gebruikt worden als volgt in het haakformalisme geformaliseerd worden.

Het symbool dat we gebruiken in de eerste kolom bestaat uit drie componenten.

• De relaties A, I, E, O, zoals klassiek gedaan wordt (A en I zijn bevestigend, gememoriseerd in het latijnse “affirmo”, E en O zijn ontkennend, gememoriseerd in het latijnse “nego”).

• x en y zijn subjectterm (s) en predicaatterm (p), waarbij in een syllogisme een van beide de middenterm (m) moet zijn, die niet voorkomt in de conclusie.

De uitdrukking in de standaard taal die we hanteren in de laatste kolom maakt duidelijk dat in het haakformalisme geen verwarring of verwisseling van mogelijkheid (mogen) en model (moeten) meer optreedt. Dit is een toepassing van het inzicht dat gegroeid is vanuit de studie van tabellen. De verbuiging van het werkwoord “zijn” is ook expliciet vervangen door een werkwoordvorm van “te onderscheiden zijn”. Het begrip negatie is door het begrip "iets anders dan" vervangen.

De termen die gebruikt worden in de redeneringen zijn ofwel van het type <<P>_i>, ofwel van het type P_i, dus een mengeling (bijvoorbeeld <P>_iQ_i, <<P>_i>Q_i, ...) komt niet voor, wat natuurlijk een gevolg is van de semantiek voor “is” of “is niet”.

Sinds de beschikbaarheid van de predicatenlogica wordt een syllogisme beschouwd als een logische waarheid die de vorm heeft van een implicatie. Door de variabelen met s, p en m aan te duiden om de middenterm duidelijk te kunnen onderscheiden, de premissen met A, E, I, O, de conjunctie met ∧ en de implicatie met →, kunnen alle mogelijke syllogismen op een compacte manier uitgedrukt worden, bijvoorbeeld als Amp∧Asm →Isp.

De manier waarop we de geldigheid van syllogismen bewijzen in het haakformalisme is dat we aantonen dat de conjunctie van de major en minor (uitgangsuitdrukkingen) ruimer is dan de conjunctie van de drie uitdrukkingen. Dus als majorANDminor ervaren zijn, geldt majorANDminorANDconclusie. In het haakformalisme worden immers alle veronderstellingen telkens mee uitgedrukt en dit maakt de formele voorstelling zo volledig dat er geen verwarring meer mogelijk is.

De 64 formeel welgevormde syllogismen kunnen in vier vormen ondergebracht worden naargelang de functie die de middenterm vervult (subject of predicaat). De vier vormen zijn de volgende:

mp∧sm →sp

pm∧sm →sp

mp∧ms →sp

pm∧ms →sp

Hierdoor wordt de middenterm eigenlijk geëlimineerd en in totaal krijgt men dan 256 potentieel mogelijke syllogismen. Hiervan zijn er volgens Aristoteles slechts 24 geldige syllogismen. We geven hierna alle 24 klassieke syllogismen in dat schema weer. Enkel in het eerste syllogisme is dit zeer expliciet in een lange haakuitdrukking uitgedrukt, dit leidt tot een patroon van schrappen dat dan verder niet meer expliciet uitgevoerd wordt. We geven ook expliciet aan wanneer de geldigheid kan afhangen van enkel de middenterm die geëlimineerd wordt.

De Aristoteliaanse syllogistiek kent dus 24 geldige redeneringen uit de 256 potentieel mogelijke. Voor de predicaatlogische manier van redeneren zijn slechts 15 van de 24 Aristoteliaanse uitdrukkingen geldig. Van deze 15 zijn er slechts 7 geldig voor ongekende universa. Dit betekent dat er van de 256 potentieel mogelijke redeneervormen slechts 7 geldig zijn voor alle mogelijke universa (repertoria van symbolen). Dit tonen we aan met het haakformalisme, waarbij we kunnen expliciteren welke voorwaarde moet opgelegd worden aan universa om de geldige predicaatlogische redeneringen terug te vinden. We zullen in wat volgt bewijzen dat de predicaatlogische geldigheid kan teruggevonden worden door één of meer universa tot één punt (met eventueel een onbeperkt aantal simultane punten) te beperken. Dit betekent eigenlijk dat de ervaringswaarde van <<x>_i> en x_i dezelfde is, dus dat men een situatie beschouwt waarbij alle x dezelfde waarde hebben (“equivalent zijn”) en dus telbare entiteiten zijn.

In dit onderzoek vinden we dus de oudste geldige syllogismen terug, ook de syllogismen die door de predicatenlogica als niet geldige redeneringen ontmaskerd werden. Op onze beurt ontmaskeren we syllogismen die wel in de predicatenlogica als geldig beschouwd worden, maar dat niet kunnen zijn in onbeperkte (creatief evoluerende) universa.

mp∧sm →sp

Amp∧Asm→Asp

<<<<m>_i<<p>_j>><<s>_k<<m>_i>>>><<<m>_i<<p>_j>><<s>_k<<m>_i>><<s>_k<<p>_i>>>

<<m>_i<<p>_j>><<s>_k<<m>_i>><<<m>_i<<p>_j>><<s>_k<<m>_i>><<s>_k<<p>_i>>>

<<m>_i<<p>_j>><<s>_k<<m>_i>><<<s>_k<<p>_i>>>

<<m>_i<<p>_j>><<s>_k<<m>_i>><s>_k<<p>_i>

<<m>_i><m>_i<s>_k<<p>_i>

<><s>_k<<p>_i>

<>

Geldig

We merken op dat de geldigheid volledig bepaald wordt door de middenterm.

Emp∧Asm→Esp

<<m>_i<p>_j><<s>_k<<m>_i>><s>_k<p>_j

<<m>_i<p>_j><m>_i<s>_k<p>_j

<<p>_j><m>_i<s>_k<p>_j

<><m>_i<s>_k<p>_j

<>

Geldig

Dat de geldigheid kan beschouwd worden als volledig bepaald door de middenterm is als volgt duidelijk:

<<m>_i<p>_j><<s>_k<<m>_i>><s>_k<p>_j

<<m>_i<p>_j><m>_i<s>_k<p>_j

<<m>_i><m>_i<s>_k<p>_j

<><m>_i<s>_k<p>_j

<>

Amp∧Ism→Isp

<<<<m>_i<<p>_j>><<<s_k><m_i>>>>><<s_k><p_j>>

<<m>_i<<p>_j>><s_k><m_i><<s_k><p_j>>

<<<p>_j>><s_k><m_i>p_j

<p>_j<s_k><m_i>p_j

<>

Geldig

Hier wordt de geldigheid niet bepaald door de middenterm. Dit is als volgt duidelijk:

<<<<m>_i<<p>_j>><<<s_k><m_i>>>>><<s_k><p_j>>

<<m>_i<<p>_j>><s_k><m_i><<s_k><p_j>>

<<m>_i<<p>_j>><s_k><m_i>p_j

<<m>_i<<p>_j>><m_i><s_k>p_j

Nu merken we op dat de term <<m>_i<<p>_j>><m_i> enkel verder kan gereduceerd worden als i=1, maar zelfs dan blijft de term <m_i> over en hangt de waarde <> af van <p>_jp_j.

Emp∧Ism→Osp

<<m>_i<p>_j><s_k><m_i><<s_k>p_j>

<<m>_i<p>_j><s_k><m_i><p_j>

Niet verder te reduceren.

Niet geldig.

In de predicatenlogica is dit syllogisme toch geldig. De uitdrukking kan geldig gemaakt worden met i=j=1

<<m><p>><s_k><m><p>

<><s_k>

<>

Geldig.

Volledig equivalent is de veronderstelling dat alle m dezelfde waarde hebben en dat alle p dezelfde waarde hebben, waarde die verder niet gekend moet zijn. We bewijzen dat deze veronderstelling resulteert in <<m>_i<p>_j><m_i><p_j>↔<>.

Bewijs:

We moeten vier mogelijkheden onderscheiden:

Stel elke m_i↔<> en elke p_j↔<>

<<<>>_i<<>>_j><<>_i><<>_j>↔<>

Stel elke m_i↔<> en elke p_j↔<<>>

<<<>>_i<<<>>>_j><<>_i><<<>>_j>↔<>

Stel elke m_i↔<<>> en elke p_j↔<>

<<<<>>>_i<<>>_j><<<>>_i><<>_j>↔<>

Stel elke m_i↔<<>> en elke p_j↔<<>>

<<<<>>>_i<<<>>>_j><<<>>_i><<<>>_j>↔<>

QED

Dit maakt het uiteraard mogelijk om de vooronderstellingen van de predicatenlogica te expliciteren. De volgende redenering “als alle m niet te onderscheiden zijn van iets anders dan alle p en sommige s niet te onderscheiden zijn van sommige m, daaruit volgt dat sommige s niet te onderscheiden zijn van iets anders dan sommige p” is slechts geldig als de verzameling m en de verzameling p kunnen voorgesteld worden door één supremum, noem deze M en P, waarbij M alle aspecten van de mogelijke elementen van de verzameling van de m realiseert en geen andere en P alle aspecten van de mogelijke elementen van de verzameling van de p realiseert en geen andere. De elementen van de verzameling worden beschouwd op het niveau waarin ze zich niet kunnen onderscheiden van elkaar. Het zijn die, en enkel die aspecten die relevant zijn in de redenering. Mogelijke andere aspecten die zouden kunnen beschouwd worden (en aanleiding geven tot het onderscheiden van sommige m en sommige p) worden als niet relevant beschouwd. Dit heeft natuurlijk alles te maken met het inherent onbekende van “iets anders dan”, dat hier als een “negatie” moet functioneren.

Deze veronderstelling komt verder neer op de veronderstelling dat alle aspecten van een bepaalde verzameling dezelfde waarde hebben, waarde die verder niet gekend moet zijn, zo is ook duidelijk dat het mogelijk is dat de waarde van de elementen van de verzameling die gekarakteriseerd wordt door supremum M anders kan zijn dan de waarde van de elementen van de verzameling die gekarakteriseerd wordt door supremum P. Een element zonder toegekende ervaringswaarde mag hierin dus niet voorkomen.

Amp∧Asm→Isp

<<m>_i<<p>_j>><<s>_k<<m>_i>><<s_k><p_j>>

Niet verder te reduceren ook niet voor één punt

<<m><<p>>><<s><<m>>><<s><p>>

<<m>p><<s>m><<s><p>>

Niet geldig.

Emp∧Asm→Osp

<<m>_i<p>_j><<s>_k<<m>_i>><<s_k>p_j>

Kan niet verder gereduceerd worden ook niet voor één punt

<<m><p>><<s><<m>>><<s>p>

<<m><p>><<s>m><<s>p>

Niet geldig.

pm∧sm →sp

Apm∧Osm→Osp

<<p>_i<<m>_j>><s_k>m_j<<s_k>p_i>

<<p>_i<<m>_j>><s_k>m_j<p_i>

<<p>_i><s_k>m_j<p_i>

Kan niet verder gereduceerd worden.

Niet geldig.

In de predicatenlogica toch geldig, kan geldig gemaakt worden met i=1

p<s_k>m_j<p>

p<s_k>m_j<>

<>

Geldig.

Ook hier is dat equivalent met de veronderstelling dat <<p>_i><p_i>↔<>

Epm∧Ism→Osp

<<p>_i<m>_j><s_k><m_j><<s_k>p_i>

<<p>_i<m>_j><s_k><m_j><p_i>

Niet verder te reduceren.

Niet geldig.

In de predicatenlogica toch geldig, kan geldig gemaakt worden met i=j=1

<<p><m>><s_k><m><p>

<><s_k><m><p>

<>

Geldig.

Ook dit is niet anders dan de veronderstelling <<p>_i<m>_j><m_j><p_i>↔<>

Apm∧Esm→Esp

<<p>_i<<m>_j>><<s>_k<m>_j><s>_k<p>_i

<<<m>_j>><<m>_j><s>_k<p>_i

<m>_j<<m>_j><s>_k<p>_i

<m>_j<><s>_k<p>_i

<>

Geldig.

We merken op dat dit afhangt van de middenterm.

Epm∧Asm→Esp

<<p>_i<m>_j><<s>_k<<m>_j>><s>_k<p>_i

<<m>_j><<<m>_j>><s>_k<p>_i

<<m>_j><m>_j<s>_k<p>_i

<><m>_j<s>_k<p>_i

<>

Geldig.

We merken op dat dit afhangt van de middenterm.

Apm∧Esm→Osp

<<p>_i<<m>_j>><<s>_k<m>_j><<s_k>p_i>

Kan niet verder gereduceerd worden ook niet voor één

<<p>m><<s><m>><<s>p>

Niet geldig.

Epm∧Asm→Osp

<<p>_i<m>_j><<s>_k<<m>_j>><<s_k>p_i>

Kan niet verder gereduceerd worden ook niet voor één

<<p><m>><<s>m><<s>p>

Niet geldig.

mp∧ms →sp

Omp∧Ams→Osp

<m_i>p_j<<m>_i<<s>_k>><<s_k>p_i>

<m_i>p_j<<m>_i<<s>_k>>s_k

<m_i>p_j<<m>_i>s_k

Kan niet verder gereduceerd worden.

Niet geldig.

In de predicatenlogica toch geldig, kan geldig gemaakt worden met i=1 en dan hangt het af van de middenterm.

<m>p_j<<m>>s_k

<>p_jms_k

<>

Geldig.

Dit is equivalent met de veronderstelling <m_i><<m>_i>↔<>

Imp∧Ams→Isp

<m_i><p_j><<m>_i<<s>_k>><<s_k><p_j>>

<m_i><p_j><<m>_i<<s>_k>>s_k

<m_i><p_j><<m>_i>s_k

Kan niet verder gereduceerd worden.

Niet geldig.

In de predicatenlogica toch geldig, kan geldig gemaakt worden met i=1 en dan hangt het af van de middenterm.

<m><p_j><<m>>s_k

<><p_j>ms_k

<>

Geldig.

Dit is equivalent met de veronderstelling <m_i><<m>_i>↔<>

Emp∧Ims→Osp

Door de symmetrie van E en van I is deze uitdrukking identiek met EpmIsmOsp

Niet verder te reduceren.

Niet geldig.

In de predicatenlogica toch geldig, kan geldig gemaakt worden met i=j=1

Amp∧Ims→Isp

Door de symmetrie van de I termen is deze uitdrukking identiek met AmpIsmIsp

Geldig.

Emp∧Ams→Osp

<<m>_i<p>_j><<m>_i<<s>_k>><<s_k>p_j>

Kan niet verder gereduceerd worden ook niet voor één

<<m><p>><<m>s><<s>p>

Niet geldig.

Amp∧Ams→Isp

<<m>_i<<p>_j>><<m>_i<<s>_k>><<s_k><p_j>>

Kan niet verder gereduceerd worden ook niet voor één

<<m>p><<m>s><<s><p>>

Niet geldig.

pm∧ms →sp

Ipm∧Ams→Isp

<p_i><m_j><<m>_j<<s>_k>><<s_k><p_i>>

<p_i><m_j><<m>_j<<s>_k>>s_k

<p_i><m_j><<m>_j>s_k

Kan niet verder gereduceerd worden.

Niet geldig.

In de predicatenlogica toch geldig, kan geldig gemaakt worden met j=1 en dan hangt het af van de middenterm.

<p_i><m><<m>>s_k

<p_i><>ms_k

<>

Geldig.

Dit is equivalent met de veronderstelling <m_i><<m>_i>↔<>

Epm∧Ims→Osp

Door symmetrie van E en van I is deze uitdrukking identiek met EmpIsmOsp

Niet verder te reduceren.

Niet geldig.

In de predicatenlogica toch geldig, kan geldig gemaakt worden met i=j=1

Apm∧Ems→Esp

Door symmetrie van E is deze uitdrukking identiek met ApmEsmEsp

Geldig.

Apm∧Ams→Isp

<<p>_i<<m>_j>><<m>_j<<s>_k>><<s_k><p_i>>

Kan niet verder gereduceerd worden, ook niet voor één

<<p>m><<m>s><<s><p>>

Niet geldig.

Epm∧Ams→Osp

<<p>_i<m>_j><<m>_j<<s>_k>><<s_k>p_i>

Kan niet verder gereduceerd worden, ook niet voor één

<<p><m>><<m>s><<s>p>

Niet geldig.

Apm∧Ems→Osp

<<p>_i<<m>_j>><<m>_j<s>_k><<s_k>p_j>

Kan niet verder gereduceerd worden, ook niet voor één

<<p>m><<m><s>><<s>p>

Niet geldig.

Term functor logica

Het elimineren (en dus reduceren van een welgevormde haakuitdrukking) kunnen we interpreteren als de manier waarop de “plus-minus algebra” of “Calculus of Terms” soms ook “Term Functor Logic” van Fred Sommers formeel werkt. Maar hierbij is er ook een fundamenteel verschil dat enkel in het haakformalisme duidelijk kan gemaakt worden: in het haakformalisme kunnen we werken met verzamelingen zonder supremum. Dat kan niet in de Term functor logica en evenmin in de klassieke predicaatlogica en syllogistiek.