Het haakformalisme kan slechts begrepen worden door het bestuderen van tabellen. Een welgevormde haakuitdrukking heeft geen waarde. De uitdrukking representeert de uitputtend te beschrijven combinatie van “indien... dan ...” uitspraken over de waarde van de opbouwende onderscheidingen. De waarden <> en <<>> worden op de eenvoudigste manier geïnterpreteerd als “ja” en “neen”, waarbij men zich kan voorstellen dat hiermee de aanwezigheid of status van een bepaald (nieuw) symbool vastgesteld wordt gedurende een test die door een deel van de tabel beschreven wordt. Dit is verantwoord doordat men zich kan voorstellen dat “ja” en “neen” elkaar uitsluiten (niet samen aanwezig kunnen zijn) en dat “ja” “iets anders is dan neen” en “neen” “iets anders is dan ja”, en dat men altijd de aanwezigheid van iets kan waarnemen. Het is onmogelijk om alle testen simultaan uit te voeren en dat is ook niet nodig om de welgevormde haakuitdrukking te leren kennen.

Natuurlijk kan men “ja” en “neen” ook booleaans interpreteren, en de tabellen kan men als waarheidstabellen interpreteren, maar die interpretatie zou een sterke inperking zijn van de kracht van het haakformalisme om twee redenen

• een welgevormde haakuitdrukking is een potentiële uitdrukking, dus een uitdrukking waar geen waarde aan toegekend wordt. In die zin geïnterpreteerd is het een booleaanse functie of schakelfunctie.

• het haakformalisme is op twee manieren af te beelden op de booleaanse algebra. Dit laatste punt wordt hieronder verduidelijkt.

De groep (V \{ø}, •) is af te beelden op de booleaanse algebra als volgt: de operatie p•q is als XOR te interpreteren en elke booleaanse uitdrukking is als een XOR van twee andere uit te drukken.

We merken nu op dat er een tweede product te definiëren dat de inbedding is van het eerste product. De tabel is:

Ook de groep (V \{ø}, <•>) ≈ (Z₃ , <•>) is een cyclische groep, waarbij de groep nu uitsluitend wordt voortgebracht door het element <<>> (restklasse +1/). Immers

<<>>

<<<>> • <<>>> = <>

<<<<>> • <<>>> • <<>>> = <<>>

...

Merk de positie op van de haken in de laatste lijn.

Ook de groep (V \{ø}, <•>) is af te beelden op de booleaanse algebra: interpreteer de operatie <p•q> als XNOR en elke booleaanse uitdrukking is als een XNOR van twee andere uit te drukken.

Het belang van beide afbeeldingen is nu dat we moeten vaststellen dat de functie van <> en <<>> in beide anders is, terwijl ALLE booleaanse uitdrukkingen in beide afbeeldingen mogelijk zijn. Ook de haakvectorruimte zal dus beide interpretaties kunnen overkoepelen.

Het dubbel-booleaans karakter waarbij op een coherente manier potentiële onderscheidingen kunnen gehanteerd worden kan nu geïnterpreteerd worden als de onderliggende grond van de structuur van vectorruimten. Vectorruimten maken het immers mogelijk om operaties te definiëren die ageren op hele "geconstrueerde ensembles". De verzameling van de punten die gegenereerd worden door twee kruisende rechten bijvoorbeeld is inderdaad het volledige vlak (vectorruimte, onbegrensde deelruimte) en niet enkel de unie van de punten van de twee rechten (enkelvoudige booleaanse benadering).

De dubbel-booleaanse aanpak van het haakformalisme blijkt inderdaad een vectorruimte te genereren waarin door de transformatie van één punt (deelruimte) hele deeltralies (meerdere vectoren en hun ruimtes) getransformeerd worden. Maar om dit te ontwikkelen moeten we eerst de getalnul zijn plaats geven want de getalnul is een ander begrip dan een van de mogelijke waarden in een booleaanse interpretatie.