Eigenwaarden k zijn verhoudingen tussen getallen. De eigenwaarde meet hoe groot de verhouding is tussen de intensiteiten van het verschil van twee verschillende simultaneïteitsintervallen met eenzelfde eenheid (x-x₀). Dat zijn dus intensiteiten van het verschil dat een verschil maakt die binnen een beperking ervaren of waargenomen wordt. De beperking is de beperking van simultaneïteit die als de onvermijdelijke stappen in het proces waarneembaar is. Er is een speciale verhouding bekend, de Gulden Snede. Dikwijls wordt die enkel geometrisch benaderd, maar dat is de keuze voor een bepaalde voorstellingsvorm. De Gulden Snede kan nu een diepere betekenis krijgen als gevolg van de ontwikkelde inzichten in de structuur van een tralie, en we zullen begrijpen dat dit alles te maken heeft met het verschil tussen eenheid en intensiteit.

Willekeurige eigenwaarde en gelijkvormigheid

Een constante eigenwaarde k is niet anders dan het behoud van verhouding in een proces. Dit kunnen we in het algemeen voorstellen als de getalrelatie a/b=c/d=k. We gebruiken hiervoor dus minimaal vier getallen: a, b, c en d maar dit is natuurlijk uitbreidbaar naar meer dan enkel vier getallen. We veronderstellen dat ze alle vier positieve reële getallen zijn, resultaten van tellingen of berekeningen. Dit is niet meer en niet minder dan een symmetrie zoals die uitgedrukt wordt in de standaard taal als “a staat tot b” zoals “c staat tot d”: een bepaald aspect (en dit is dan de verhouding) is invariant voor een bepaalde verandering.

Wat we nu gaan doen is een verhouding construeren met minder dan vier getallen.

Drie getallen

Met drie getallen is ook een constante verhouding te modelleren. In het algemeen kunnen we dat voorstellen als de relatie a/b=b/c=k of b²=ac. Dat zijn dan ook drie getallen met een vast verband met elkaar. Het kwadraat genereert twee oplossingen: b₁=+ac en b₂=-ac.

Er zijn natuurlijk nog andere mogelijkheden met drie getallen, bijvoorbeeld: (a±b)/b=b/c of ac±bc=b². Dit geeft dan aanleiding tot twee mogelijkheden met positieve getallen want deze kwadratische vergelijking heeft twee oplossingen:

b²±bc-ac=0

b₁=(±c+√(c²+4ac))/2

b₂=(±c-√(c²+4ac))/2

De getallen b₁ en b₂ hebben tegengesteld teken aangezien het product b₁b₂ gelijk moet zijn aan -ac (een algemene eigenschap van een vierkantsvergelijking).

De oplossingen zijn dubbelgetallen, de som van twee getallen. In de klassieke wiskunde spreken we over complexe en perplexe getallen, in het haakformalisme spreken we over de structuur van een 1-splitsing of de structuur van een projector. Dubbelgetallen worden gekarakteriseerd door een getal dat een waarde toegewezen kreeg (hier is dit c/2, een rationaal getal dat de intensiteit is van 1) en een getal dat een disjunctie van waarden voorstelt (hier is dit (√(c²+4ac))/2, een getal dat nog geen waarde toegewezen kreeg, we kunnen +1 of -1 kiezen als wortel van +1 of ook +i of -i als wortel van -1). De oplossingen als reëel dubbelgetal vinden we voor (c²+4ac)>0, dus c(c+4a)>0 en dus zowel c≠0 als c>-4a. Dit is een gevolg van de kwadratische relatie, en operationeel zien we dat ook in de commensurabiliteit van getallen; de oplossingen zijn een som van een commensurabel deel en een niet-commensurabel deel (een wortel is niet altijd een rationaal getal).

Er zijn natuurlijk ook mogelijkheden die drie positieve getallen met elkaar koppelen en die enkel onder nog andere bijkomende voorwaarde een oplossing hebben met reële getallen, het zijn verhoudingen waarbij het kwadraat van een som ontstaat zoals b/(a±b)=(a±b)/c want dat leidt tot (a±b)²=bc en dus b²±ba-bc+a²=0 met oplossingen

b₁=(±(a-c)+√((a-c)²-4a²))/2

b₂=(±(a-c)-√((a-c)²-4a²))/2

De reële oplossingen zijn enkel mogelijk voor ((a-c)²-4a²))>0, dus c²-2ac-3a²>0, dus voor punten uit de positieve kwadranten begrensd door de rechten (c+a)=0 en (c-3a)=0. Dat zijn de kwadranten met stompe hoek in de onderstaande grafiek die de rechten voorstelt f(x)=-x en f(x)=3x of dus c=-a en c=3a.

Deze soort grafiek hebben we al bestudeerd als de 1-splitsing (x, f(x)) en dus als een tweedimensionale metrische ruimte (een vlak). Hierbij is het vlak opgespannen door de rechte a en de rechte c loodrecht daarop. Elke rechte splitst het vlak in een gedeelte onder en boven die rechte. Die deelvlakken onderscheiden zich doordat de koppels in die deelvlakken ofwel in het positieve halfvlak liggen ofwel in het negatieve halfvlak. In het gebied boven de beide rechten zal zowel het linker gedeelte als het rechter gedeelte van de 1-splitsing positief zijn, in het gebied onder de beide rechten zal zowel het linker gedeelte als het rechter gedeelte negatief zijn. Enkel koppels in die gebieden kunnen door de relatie van simultaneïteit met elkaar verbonden zijn. De koppels in de twee andere kwadranten kunnen dat niet. Dus de reële oplossingen van (a±b)²=bc met onbekende b zijn de koppels (a, c) van een 1-splitsing die simultaan kunnen zijn.

Twee getallen

Als we in b²±bc-ac=0 veronderstellen dat c=a, dan maakt dit onmiddellijk duidelijk dat zelfs met enkel twee getallen een constante verhouding te modelleren is. Daartoe hebben we een som nodig die twee van de drie getallen met elkaar koppelt, bijvoorbeeld (a±b)/b=b/a of ±ab+a²=b².

b²±ba-a²=0

b₁=(±a+√(a²+4a²))/2=±a(1+√5)/2

b₂=(±a-√(a²+4a²))/2=±a(1-√5)/2

De verhouding (1+√5)/2 heeft een naam gekregen, de Gulden Snede φ en dat is nu de focus. We zullen eerst zoveel mogelijk relevante eigenschappen van de Gulden Snede demonstreren omdat we hiermee dan overduidelijk de betekenis hiervan in een onderscheidingen universum kunnen aantonen.

Eigenschappen van de Gulden Snede

De Gulden Snede is een verhouding tussen twee specifieke reële getallen, namelijk de verhouding van (1+√5) tot 2. Er geldt: (1+√5)/2=φ=1,6180339887. Het aantal cijfers na de komma wordt op een bepaald punt afgebroken als gevolg van de beperkte resolutie van de berekening.

Het invers van de Gulden Snede is 2/(1+√5)=2(1-√5)/(1+√5)(1-√5)=2(1-√5)/(-4)=-(1-√5)/2=(-1+√5)/2

We berekenen nu φ-1=(1+√5)/2-1=(1+√5)/2-2/2=(-1+√5)/2

Uit beide vergelijkingen volgt dat φ^-1=-(1-√5)/2=(-1+√5)/2=φ-1=0,6180339887. Dit getal krijgt soms een eigen symbool 0,6180339887=Φ.

De Gulden Snede maakt het mogelijk om twee inversen te definiëren voor de getalvermenigvuldiging:

• er geldt dat het product φ×Φ=φ×φ^-1=1, of dus meer expliciet: ½(1+√5)×½(-1+√5)=4/4=1.

• er geldt dat het product (1+φ)×(1-φ^-1)=(1-φ^-1+φ-φ×φ^-1)=(1-φ+1+φ-1)=1.

We merken op dat ±φ en ±Φ “dubbelgetallen” zijn gevormd door de som van een getal waarvoor men kan kiezen (namelijk 1) en een getal dat enkel kan gebeuren (namelijk √5). Hiermee worden dan ook de dubbelgetallen ±(1+φ) en ±(1-φ^-1) gevormd.

Een manier om de Gulden Snede geometrisch te construeren is te vertrekken van een rechthoekige driehoek met zijden a/2 en a. Het kwadraat van de lengte van de schuine zijde is dus (a/2)²+a² dus de lengte is (a√5)/2. De som van a/2 en (a√5)/2 is a(1+√5)/2 en als men kiest om a=1 te nemen dan is dit φ.

De genererende relatie van φ

De relatie van gelijkvormigheid die maar gebruik maakt van twee getallen genereert dus φ. We zullen nu uitgebreid aantonen dat φ en Φ de eenheden zijn met intensiteit m of n van de vier oplossingen (n₁ en n₂) en (m₁ en m₂) van de symmetrische vergelijking in n en m: : (n±m)/n=±n/m of dus (nm±m²)=±n².

(nm±m²)=±n² genereert 2 mogelijkheden

(nm+m²)=+n² dit is niet anders dan n²-nm-m²=0

(nm-m²)=-n² dit is niet anders dan n²+nm-m²=0

Dus φ of Φ zijn ook de intensiteiten van de eenheid n of m, de vier getallen spelen dezelfde rol. De “of” is dus een disjunctie, geen exclusieve disjunctie.

We zullen beide vergelijkingen expliciet berekenen.

n²-nm-m²=0

We schrijven de vergelijking eerst met onbekende n.

n²-nm-m²=0

n₁=(m+√(m²+4m²))/2=m(1+√5)/2=mφ

n₂=(m-√(m²+4m²))/2=m(1-√5)/2=-mΦ

We kunnen checken dat de algemene eigenschappen van een vierkantsvergelijking ook voor deze wortels gelden:

n₁+n₂=m(φ-Φ)=m

n₁n₂=m²(φΦ)=m²

Nu geldt: φ^-1=Φ, dus de twee mogelijkheden kunnen we ook schrijven als n₁=mφ en n₂=-mφ^-1 in φ en n₁=mΦ^-1 en n₂=-mΦ in Φ.

Er geldt dus: n²-nm-m²=(n-mφ)(n+mΦ)=(n-mφ)(n+mφ^-1)=(n-mΦ^-1)(n+mΦ)

We schrijven de vergelijking nu met onbekende m.

m²+nm-n²=0

m₁=(-n+√(n²+4n²))/2=-n(1-√5)/2=nΦ

m₂=(-n-√(n²+4n²))/2=-n(1+√5)/2=-nφ

De twee mogelijkheden kunnen we dus schrijven als m₁=nφ^-1 in φ en m₂=-nφ en m₁=nΦ en m₂=-nΦ^-1 in Φ.

Er geldt dus: m²+nm-n²=(m-nΦ)(m+nφ)=(m-nφ^-1)(m+nφ)=(m-nΦ)(m+nΦ^-1)

n²+nm-m²=0

We schrijven de vergelijking eerst met onbekende n.

n²+nm-m²=0

n₁=(-m+√(m²+4m²))/2=-m(1-√5)/2=mΦ

n₂=(-m-√(m²+4m²))/2=-m(1+√5)/2=-mφ

We kunnen checken dat de algemene eigenschappen van een vierkantsvergelijking ook voor deze wortels gelden.

Nu geldt: φ^-1=Φ, dus de twee mogelijkheden kunnen we ook schrijven als n₁=mφ^-1 en n₂=-mφ in φ en n₁=mΦ en n₂=-mΦ^-1 in Φ.

Er geldt dus: n²+nm-m²=(n-mΦ)(n+mφ)=(n-mφ^-1)(n+mφ)=(n-mΦ)(n+mΦ^-1)

We schrijven de vergelijking nu met onbekende m.

m²-nm-n²=0

m₁=(n+√(n²+4n²))/2=n(1+√5)/2=nφ

m₂=(n-√(n²+4n²))/2=n(1-√5)/2=-nΦ

De twee mogelijkheden kunnen we dus schrijven als m₁=nφ en m₂=-nφ^-1 in φ en m₁=nΦ^-1 en m₂=-nΦ in Φ.

Er geldt dus: m²-nm-n²=(m-nφ)(m+nΦ)=(m-nφ)(m+nφ^-1)=(m-nΦ^-1)(m+nΦ)

Stel n/m=φ (of m/n=Φ)

Wanneer we de vergelijkingen uitdrukken in φ of Φ dan komen de symmetrieën ook duidelijk naar voor.

Neem de vergelijking n²-m²-nm=0, en drukt deze uit in φ of φ^-1=Φ

• namelijk (n/m)²-1²-(n/m)=0, of, uitgedrukt in φ, φ²-φ-1=0

• namelijk 1²-(m/n)²-(m/n)=0, of, uitgedrukt in φ^-1, φ^-2+φ^-1-1=0 en dus Φ²+Φ-1=0.

Er geldt dus φ²-φ-1=φ^-2+φ^-1-1 of dus φ²-φ=φ^-2+φ^-1=Φ²+Φ.

De symmetrie is ook duidelijk in de volgende verhoudingen: de vergelijking n²-m²-nm=0 is niet anders dan (n+m)=n²/m of (n-m)=m²/n of (n+m)(n-m)=nm of (n+m)n^-1=(n-m)^-1m of (n+m)m^-1=(n-m)^-1n of (n+m)/(n-m)=n³/m³=φ³.

Het specifieke aan deze relatie is dat een verhouding gemodelleerd wordt met twee getallen n en m en hun som of verschil, er zijn dus vier getallen maar ze zijn met elkaar gerelateerd: n, m, n+m en n-m. De vier getallen kunnen niet vrij van elkaar gekozen worden zoals bijvoorbeeld een willekeurige a, b, c en d die de gelijkvormigheid a/b=c/d kunnen vertonen. In de volgorde n-m, m, n, n+m vormen ze een Fibonacci viertal. We zullen daar verder de gevolgen van onderzoeken.

Combinatie van eenheden

Wat intensiteit is en wat eenheid is kan vrij gekozen worden. We kunnen dus ook intensiteiten beschouwen met de getalwaarde van de eenheden. Inderdaad hebben we geen enkele beperking nodig gehad op de keuze van m en n, ze kunnen bijvoorbeeld reële getallen zijn, complexe, perplexe, quaternionen, of tensoren enz….

We demonstreren dit met de genererende relatie n²-nm-m²=0 met onbekende n en zijn oplossingen mφ en -mΦ waarbij we m als intensiteit beschouwen. We kiezen als m een bekend dubbelgetal, namelijk m=φ. Dan zijn de oplossingen φ+1 en -1, want φ²=φ+1 en φΦ=1. Dat is niet verschillend als voor de keuze van m=1+φ^-1. Als we kiezen voor m=φ^-1 dan zijn de oplossingen 1 en φ-2 (en deze laatste oplossing is niet anders dan -Φ²).

De genererende relatie van 1+φ

De gelijkvormigheidsrelatie met drie getallen genereert de eenheid 1+φ onder specifieke voorwaarden. Dit kunnen we construeren met een geometrische constructie en het zal duidelijk worden waarom: niet alle getallen zijn nog mogelijke intensiteiten van de eenheid. Omdat we nu andere getallen gebruiken dan n of m, gebruiken we andere symbolen, namelijk a en c.

Neem een rechthoek met lange zijde a en korte zijde b. Dus b<a. De diagonaal vormt een rechthoekige driehoek met de diagonaal als schuine zijde. Loodrecht op die schuine zijde kunnen we één schuine zijde tekenen die een hoek van de rechthoek, die zich niet op de gekozen diagonaal bevindt, verbindt met een punt op de lange zijde a. Dit punt legt een lengte c vast, kleiner dan de lengte a. Dus c<a. De lengtes b en c vormen een nieuwe rechthoekige driehoek. Doordat de schuine zijden loodrecht zijn en beide driehoeken rechthoekig zijn, zijn de twee driehoeken gelijkvormig en dus geldt a/b=b/c.

We hebben verondersteld dat b<a en c<a, we kunnen dus de veronderstelling onderzoeken dat a-c=b. Uit a/b=b/c, dus b²=ac volgt dan dat (a-c)²=ac en dus a²-3ac+c²=0. We beschouwen dat als een vergelijking in de onbekende a. De vergelijking beschouwen in de onbekende c is volledig gelijkaardig. Er zijn twee mogelijkheden:

a₁=(3c+√(9c²-4c²))/2=c(3+√5)/2

a₂=(3c-√(9c²-4c²))/2=c(3-√5)/2

De relatie met de som en product eigenschappen van de oplossingen van de vierkantsvergelijking is duidelijk:

a₁+a₂=3c

a₁a₂=(c(3+√5)/2)(c(3-√5)/2)=c²(9-5)/4=c²

We merken nu op dat c(3+√5)/2=c(1+(1+√5)/2)=c(1+φ) met φ de Gulden Snede verhouding. Dus uit de eigenschap van het product van de wortels van de vierkantsvergelijking volgt dat (3-√5)/2 het invers moet zijn van (1+φ). We kunnen dat als volgt construeren zoals we al in het eerste geval demonstreerden:

De Gulden Snede is de verhouding van (1+√5) tot 2. Er geldt: (1+√5)/2=φ=1,6180339887.

Het invers van de Gulden Snede is 2/(1+√5)=2(1-√5)/(1+√5)(1-√5)=2(1-√5)/(-4)=-(1-√5)/2=(-1+√5)/2

We berekenen nu φ-1=(1+√5)/2-1=(1+√5)/2-2/2=(-1+√5)/2

Uit beide vergelijkingen volgt dat φ^-1=-(1-√5)/2=(-1+√5)/2=φ-1=0,6180339887.

(3-√5)/2 schrijven we nu als (4-1-√5)/2 en dus 2-(1+√5)/2=2-φ=2-(φ^-1+1)=(1-φ^-1) en dus geldt dat (1-φ^-1) het invers is van (1+φ).

Er geldt dus:

a₁=c(1+φ)

a₂=c(1-φ^-1)

Dit maakt ook duidelijk dat er voor het product van de oplossingen van de vergelijking geldt dat:

a₁a₂=c(1+φ)c(1-φ^-1)=c²(1-φ^-1+φ-1)=c²(1-φ+1+φ-1)=c²

We kunnen de oplossingen van a²-3ac+c²=0 dus schrijven als

a₁=(3c+√(9c²-4c²))/2=c(3+√5)/2=c(1+(1+√5)/2)=c(1+φ)

a₂=(3c-√(9c²-4c²))/2=c(3-√5)/2=c(1+(1-√5)/2)=c(1-(-1+√5)/2)=c(1-φ^-1) want φ^-1=-(1-√5)/2=(-1+√5)/2

Er geldt dus a²-3ac+c²=(a-c(1+φ))(a-c(1-φ^-1))

De vergelijking a²-3ac+c²=0 is volledig symmetrisch en dus geldt ook:

c₁=a(1+φ)

c₂=a(1-φ^-1)

c₁+c₂=3a

c₁c₂=a(1+φ)a(1-φ^-1)=a²(1-φ^-1+φ-1)=a²(1-φ+1+φ-1)=a²

Er geldt dus a²-3ac+c²=(c-a(1+φ))(c-a(1-φ^-1))

Dit maakt duidelijk dat a of c (disjunctie) de rol speelt van intensiteit van verschillende eenheden, enerzijds de eenheid (1+φ), anderzijds de eenheid (1-φ^-1), maar ook kunnen we dit interpreteren als dezelfde eenheid “a of c” (disjunctie) met twee verschillende intensiteiten, enerzijds de intensiteit (1+φ), anderzijds de intensiteit (1-φ^-1). Maar nu moeten we aandachtig zijn. De vergelijking a²-3ac+c²=0 is volledig symmetrisch maar dat geldt niet voor de waarden die we kunnen kiezen: <<de waarde van c kunnen we enkel vrij kiezen tussen 0 en a>> of <<de waarde van a kunnen we enkel vrij kiezen tussen 0 en c>>. Omdat we nu waarden moeten gebruiken die strikt geordend zijn is deze disjunctie een exclusieve disjunctie. De strikte ordening sluit bijvoorbeeld complexe getallen uit als intensiteit. Het is dus niet verbazend dat we deze vergelijking enkel vanuit een geometrische constructie, die enkel voor reële getallen relevant is, kunnen vinden.

Bij de keuze c=0 volgt uit a-c=b dat a=b en uit b²=ac dat er geldt dat b=0 en dus a=b=c=0. Bij de keuze c=a volgt uit a-c=b dat er geldt dat b=0 en uit b²=ac dus dat a=b=c=0. Nochtans is hier meer aan de hand. Uit b²=ac volgt dat (a-c)²=ac en dus a²-3ac+c²=0 en dat is enkel een tautologie als c=a=0 en die tautologie vinden we ook terug in de vier mogelijkheden: a₁=a(1+φ) en a₂=a(1-φ^-1), c₁=c(1+φ) en c₂=c(1-φ^-1), waarbij we de eenheden (die een intensiteit hebben gelijk aan nul) niet meer wegmoffelen, we tonen ze nog steeds expliciet. De vier mogelijkheden vormen dus een disjunctie.

We kunnen dit beter begrijpen wanneer we ook andere veronderstellingen onderzoeken.

Veronderstellen we nu dat c=b:

Dus a/b=a/b

Dus b/c=1

a/b=b/c wordt dan a/b=1

a²-3ac+c²=0 wordt dan a²-3ab+b²=0

a₁=b(1+φ)

a₂=b(1-φ^-1)

Nog meer verhelderend kunnen we nu een relatie veronderstellen waarbij a noch c gelijk kan zijn aan nul: c=1/a, en we zien dat dit voldoet aan de eis dat 0<c<a, dat is een waarde die we kunnen kiezen. Dus we veronderstellen dat a-1/a=b

Dus a/b=a/(a-1/a)

Dus b/c=(a-1/a)a

a/b=b/c wordt dan a/(a-1/a)=(a-1/a)a of (a-1/a)²=1 of (a²-1)²=a² en dus:

a⁴-3a²+1=0

a₁²=(1+(1+√5)/2)=(1+φ)

a₂²=(1+(1-√5)/2)=(1-φ^-1)

a₁²+a₂²=3

a₁²a₂²=(1+φ)(1-φ^-1)=1

Deze veronderstelling construeert dus de beide eenheden die in de vier mogelijkheden een intensiteit krijgen. De vier mogelijkheden worden dus geconstrueerd als de “dubbelgetallen” +(1+φ), -(1+φ), +(1-φ^-1) en -(1-φ^-1).

Als we hetzelfde patroon volgen maar dan met een som (a+1/a) zijn de oplossingen complexe getallen.

Dus a/b=a/(a+1/a)

Dus b/c=(a+1/a)a

a/b=b/c wordt dan a/(a+1/a)=(a+1/a)a of (a+1/a)²=1 of (a²+1)²=a²

a⁴+a²+1=0 waaruit volgt dat a² twee oplossingen kent de “dubbelgetallen” (-1/2±i√3/2) met i=√-1.

Vier eenheden

De betekenis daarvan wordt duidelijk als we nog eens een stap terug zetten.

De vergelijking a²-3ac+c²=0 is volledig symmetrisch maar dat geldt niet voor de waarden die we kunnen kiezen: een van de twee parameters moet groter zijn dan nul en groter dan de andere of een van de twee parameters moet kleiner zijn dan nul en kleiner dan de andere. We realiseren dat met de veronderstelling dat een van de parameters de inverse is van de andere, bijvoorbeeld c=1/a. Dit interpreteren we nu als een normalisatie door gebruik te maken van het grootste getal om een eenheid te construeren en enkel maar veelvouden van dit kleinste getal als intensiteiten te veronderstellen. De eenheid c=1/a genereert immers de vergelijking a⁴-3a²+1=0 met de twee oplossingen a₁²=(1+φ) en a₂²=(1-φ^-1) zodanig de vergelijking vier oplossingen heeft: +(1+φ), -(1+φ), +(1-φ^-1) en -(1-φ^-1) die we als eenheden beschouwen die een intensiteit kunnen krijgen zodanig dat voldaan is aan a₁²+a₂²=3 en a₁²a₂²=1. Noteer dat 3 een priemgetal is dat enkel te schrijven is als een verschil van kwadraten, niet als een som van kwadraten.

Neem nu de intensiteit x van de eenheid 1/a (met 0<x<a) dan wordt c=x/a en dan wordt a²-3ac+c²=0 niet anders dan a⁴-3xa²+x²=0, een vergelijking zodanig dat a₁²+a₂²=3x=x(1+φ)+x(1-φ^-1) en a₁²a₂²=x².

Exponenten van φ

Wat speciaal is aan de verhouding φ is dat al de exponenten die zo ontstaan sommen zijn als “dubbelgetallen” en voldoen aan de recursieve Fibonacci formule: φ^x+1=φ^x+φ^x-1. Dus de som van twee opeenvolgende exponenten van φ geeft de volgende exponent. Voor de reciproque exponenten is dat het verschil: φ^-(x+1)=φ^-x-φ^-(x-1).

We herkennen een Fibonacci viertal in φ-1, 1, φ, φ+1, viertal dat gelijk is aan φ^-1, 1, φ, φ². Het getal dat volgt op φ+1 is dan φ+(φ+1)=2φ+1 en dit is niet anders dan het getal dat volgt op φ², namelijk φ³. Het getal dat voor φ-1 komt is 1-(φ-1)=2-φ en dit is niet anders dan het getal dat voor φ^-1 komt, namelijk φ^-2. De volgende reeks is dus een Fibonacci reeks:

…, φ^-n, …, φ^-2,φ^-1, φ⁰, φ¹, φ², …, φⁿ, ...

Daarenboven herkennen we ook de Fibonacci reeks in de getallen van beide elementen van de koppels (x, y) met patroon ((x-1)φ+y) van de sommen die zo ontstaan:

φ¹=φ+0.

φ²=φ+1.

φ³=2φ+1.

φ⁴=3φ+2.

φ⁵=5φ+3.

φ⁶=8φ+5.

…

φ^-1=φ-1.

φ^-2=-(φ-2).

φ^-3=2φ-3.

φ^-4=-(3φ-5).

φ^-5=5φ-8.

φ^-6=-(8φ-13).

…

Sommen van exponenten van φ zijn telbaar

Dat betekent dat er geldt dat voor even x: φ^x+φ^-x= geheel getal en voor oneven x: φ^x-φ^-x= geheel getal. De getallen vormen een nieuwe reeks met het Fibonacci patroon:

Producten zijn exponenten van φ

We kunnen nu vijf eenheden onderscheiden: 1, φ, φ^-1, 1+φ, 1-φ^-1. Dit geeft de volgende commutatieve vermenigvuldigingstabel met enkel exponenten van φ:

Exponenten van φ als basis van een binaire representatie

Er kan een talstelsel geconstrueerd worden met de gulden snede als basis. Het is een positiestelsel waarin elk niet-negatief reëel getal kan worden voorgesteld door een reeks van exponenten van de gulden snede zonder dat in de voorstelling twee opeenvolgende exponenten van φ voorkomen (want de som van twee opeenvolgende exponenten van φ geeft de volgende exponent). Het gevolg hiervan is dat in de φ-representatie met enkel 1 en 0 er altijd kan voor gezorgd worden dat een patroon van opeenvolgende 1111… niet voorkomt. Dit is een opvallende eigenschap in het licht van de binaire vertaling van het haakformalisme, waarbij het patroon van opeenvolgende 1111… wel voorkomt.

Een voorbeeld voor enkele natuurlijke getallen, merk op dat de representatie op een 1-splitsing koppel gelijkt:

Het patroon x±x^-1

We hebben de genererende vergelijking voor (1+φ) en (1-φ^-1) gevonden als x²-3x+1=0. Dit is niet anders dan x²+1=3x en dus x+x^-1=3. Inderdaad, neem bijvoorbeeld x=(1+φ) dan geldt (1+φ)+(1+φ)^-1=((1+φ)²+1)(1+φ)^-1=(1+2φ+φ²+1)(1+φ)^-1=(1+2φ+1+φ+1)(1+φ)^-1=(3+3φ)(1+φ)^-1=3(1+φ)(1+φ)^-1=3.

Dat is niet anders dan een voorbeeld van hoe een priemgetal kan geschreven worden als dubbelgetal.