“In een spontaan proces wordt de systeemgrens niet overschreden” is een behoudswet en een tautologie. De systeemgrens kan enkel afgeleid worden wanneer men in staat is een onderscheid te maken tussen agentia die het spontaan proces controleren of beïnvloeden (en dan intern aan de dynamiek genoemd worden) en zij die dit niet doen (en dan extern aan de dynamiek genoemd worden). Enkel de interne agentia controleren of beïnvloeden het proces: de opeenvolging van de toestanden wordt enkel veroorzaakt door de onmogelijkheid ze simultaan te ervaren in hun interactie. Het proces waaraan ze deelnemen wordt dan gekarakteriseerd door een “laatst toegevoegde onderscheiding”, en deze hebben we voorgesteld door ℵ. We interpreteren nu ℵ als een extern spoor.

We gaan deze ℵ nu gebruiken om het spontaan proces verder te modelleren met de bedoeling een proces hypothese te kunnen afleiden uit het waarnemen van externe sporen van het proces.

Metaboliet als intern spoor

We hebben aangetoond dat de orthogonale idempotente ruimten <>⊕<ℵ> en <>⊕ℵ een splitsing genereren waarbij transformaties met willekeurige haakuitdrukkingen zich als de componenten van tweedimensionale getallen gedragen, of anders gezegd als coëfficiënten van orthogonale basisvectoren. We stellen een willekeurige welgevormde haakuitdrukking dan voor als S=s₁•(<>⊕<ℵ>)⊕s₂•(<>⊕ℵ) en als (creatief) product genoteerd is dat S=(s₁⊗s₂)_ℵ. Wanneer we de dynamiek voorstellen als een opeenvolging van toestanden S_i en dus (s_i1⊗s_i2)_ℵ, zullen we S_i de toestanden van metabolieten s_i1•s_i2 noemen. Metabolieten worden dus gemodelleerd door welgevormde haakuitdrukkingen (“indien... dan...” constructies) die onafhankelijk zijn van het extern spoor ℵ. Metabolieten zijn invariant tussen minstens twee stappen in het proces en als interne agentia of interne sporen nemen ze deel aan het proces: de vectorvermenigvuldiging van de metaboliet s_i1•s_i2 met een metaboliet s_(i+1)1•s_(i+1)2 waarbij s_i1•s_i2 en s_(i+1)1•s_(i+1)2 elkaar uitsluiten genereert een nieuwe metaboliet op een afstand gelijk aan 1 van de vorige metaboliet. Die metabolieten zijn dus elkaar uitsluitende relaties tussen opbouwende onderscheidingen die de evoluerende tralie van het spontaan proces opspannen. Tijdens het proces worden dan ook onderscheidingen afgescheiden uit het proces, die het proces dus niet meer beïnvloeden en die dus niet meer karakteristiek kunnen zijn voor de bereikte attractor (entiteit) na het doorlopen van het spontaan proces. Deze zijn de concrete invullingen van ℵ en vormen bijvoorbeeld de reeks n₀; n₁; n₂; n₃; n₄; n₅; n₆;... als het spoor van een reeks gebeurtenissen. Deze noemen we dan externe sporen omdat ze geen deel (meer) uitmaken van de interne dynamiek en door externe agentia kunnen waargenomen worden. De vraag is hoe externe sporen en metabolieten aan elkaar gerelateerd zijn, want die relatie moet er wel zijn aangezien de geconstrueerde werkelijkheid één is.

Daartoe merken we eerst op dat S_i als s_i1•(<>⊕<ℵ>)⊕s_i2•(<>⊕ℵ) in de basis [<>⊕<ℵ>, <>⊕ℵ] gegeven wordt door de componenten (s_i1, s_i2). Aangezien de basis idempotent is zullen de s_i1 en s_i2 zich als getallen gedragen voor som, vectorproduct en creatief product met ℵ. Maar S_i kunnen we evenzeer voorstellen als <s_i1>⊕<s_i2>⊕<s_i1•ℵ>⊕s_i2•ℵ en dus <>•(s_i1⊕s_i2)⊕<ℵ>•(s_i1⊕<s_i2>) en dus in de basis [s_i1⊕s_i2, s_i1⊕<s_i2>] wordt S_i gegeven door de componenten (<>, <ℵ>). Dus, vertrekkend van de externe sporen n₀; n₁; n₂; n₃; n₄; n₅; n₆;... kunnen we de reeks componenten construeren (<>, <n₀>); (<>, <n₁>); … die met elkaar gerelateerd zijn doordat ze componenten zijn van een reeks orthogonale maar niet idempotente basissen [s₀₁⊕s₀₂, s₀₁⊕<s₀₂>]; [s₁₁⊕s₁₂, s₁₁⊕<s₁₂>]; ..., van waaruit we dan een hypothese van een reeks interne sporen (metabolieten) kunnen construeren.

De interne sporen kunnen we nog op een tweede manier construeren. Immers, elke welgevormde haakuitdrukking kan als een creatief product op de volgende manier uitgedrukt worden als een som van vectorproducten: S=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>. S kunnen we op twee manieren schrijven in een orthogonale basis die niet meer gevormd wordt door projectoren en we tonen hiervan vier varianten:

• s•(<p>⊕<q>)⊕r•(<p>⊕q) ∼ p•(<s>⊕<r>)⊕q•(<s>⊕r)

• (<r•p>⊕<s•q>)•<<>>⊕(<r•p>⊕s•q)•s•r ∼ (<r•p>⊕<s•q>)•<<>>⊕(r•p⊕<s•q>)•p•q

• (r•p⊗s•q)_s•r ∼ (r•p⊗s•q)_<p•q>

• <<<s•r>><r•p>><<s•r><s•q>> ∼ <<p•q><r•p>><<<p•q>><s•q>>

Dit betekent voor de toestand S=(s₁⊗s₂)_ℵ dat we deze ook kunnen schrijven in functie van p, q, r, s door te stellen dat ℵ=s•r en dus dat r=s•ℵ en s=r•ℵ en dus dat (r•p⊗s•q)_s•r=(s•ℵ•p⊗r•ℵ•q)_ℵ. Aangezien we dezelfde laatst toegevoegde onderscheiding veronderstellen in dat ene proces dan moeten we ook stellen dat ℵ=<p•q> en dus dat p=<q•ℵ> en q=<p•ℵ> en dus dat (r•p⊗s•q)_s•r=(<r•ℵ•q>⊗<s•ℵ•p>)_ℵ=<(s•ℵ•p⊗r•ℵ•q)_<ℵ>>. Er geldt dus dat (s•ℵ•p⊗r•ℵ•q)_ℵ ∼ (<r•ℵ•q>⊗<s•ℵ•p>)_ℵ

We hebben nu twee vormen voor het intern spoor waarin de generator van het extern spoor ℵ maximaal benut wordt: (s•ℵ•p⊗r•ℵ•q)_ℵ en (<r•ℵ•q>⊗<s•ℵ•p>)_ℵ. De componenten van het creatief product zijn in het ene geval een keuzevrijheid (bijvoorbeeld s•ℵ•p), in het andere geval een beperking (bijvoorbeeld <s•ℵ•p>) die hoe dan ook aan elkaar gerelateerd zijn (heeft de ene de waarde <> dan heeft de andere de waarde <<>>).

Noteer dat de veronderstelling van één proces met zich meebrengt dat de gelijkheid geldt op één bepaald moment en dus dat ℵ=s•r=<p•q>=ℵ en dus s•r=<p•q> betekent p•q•r•s=<> of dus s•p=<r•q>, dan zijn op één bepaald moment de twee vormen van het intern spoor (<r•ℵ•q>⊗r•ℵ•q)_ℵ en (<r•ℵ•q>⊗r•ℵ•q)_ℵ niet te onderscheiden van elkaar. Dit is een anti-commutatief creatief product en gelijk aan <r•ℵ•q•ℵ> of dus <r•q> of dus s•p. Dit is dus het vectorproduct van elkaar uitsluitende toestanden dat modelleert dat tijdens het proces onderscheidingen afgescheiden worden. Het concreet extern spoor wordt dan gegeven door het ervaren zelf van het momentane punt. Stel r•q gelijk aan <> dan wordt (<r•ℵ•q>⊗r•ℵ•q)_ℵ gelijk aan (<<>>⊗<>)_ℵ en dit is <ℵ<<<>>>><<ℵ><<>>> is het extern spoor ℵ, met uiteraard zijn duaal <ℵ>.

Besluit

Een hypothese van welke interne toestanden elkaar opvolgen in een spontaan proces wordt dus op een unieke manier afgeleid uit het waarnemen van externe sporen van het proces. De externe sporen zijn waarneembaar door een agens die geen deel uitmaakt van het proces, maar die op zijn eigen manier beperkt wordt door de waarneming van sporen die door hem niet simultaan kunnen waargenomen worden en waaruit hij de niet-simultaneïteit van het spontaan genererende proces kan afleiden. Dit betekent dat we dus aangetoond hebben dat het voldoende is externe sporen waar te nemen om van daaruit metabolieten van het proces te construeren, metabolieten die altijd hypothetisch zullen zijn.

We hebben ook aangetoond dat interne sporen en externe sporen op een unieke manier aan elkaar gerelateerd zijn.