Een repertorium aan symbolen kunnen we minimaal voorstellen als een keuzevrijheid tussen een aantal symbolen. We kunnen dit dan zonder a priori onderzoeken met behulp van het haakformalisme maar dan zijn we beperkt tot een beperkt aantal symbolen. Het loont de moeite om in de standaard taal uit te drukken wat we bedoelen met een beperkt aantal symbolen en een onbeperkt aantal symbolen zonder a priori te gebruiken, want er is ook een model van het haakformalisme te ontwikkelen vanuit de veronderstelling dat elke haakuitdrukking (welgevormd of niet) door een ongekend lange bitstring kan voorgesteld worden, waarmee we modelleren dat het onderscheidingen universum “oneindig is” of niet “uitputtend kan gekend worden”.

We zullen nu de begrippen “eindig” repertorium en “oneindig” repertorium in het haakformalisme modelleren.

Als het aantal symbolen beperkt is, is het in principe, maar ook in de praktijk (mits inzet van geschikte middelen), mogelijk om de relaties tussen de symbolen te modelleren met een tabel, als er n symbolen zijn dan zijn daarmee 2EXP2ⁿ relaties te construeren.

Stel nu dat het aantal symbolen oneindig is. Ook dan kan men elk symbool kiezen. Het is echter onmogelijk om alle symbolen te kiezen in het geval dat elke keuze een andere keuze uitsluit. “Uitsluiten” is het begrip waarmee we de lineariteit van tijd modelleren in het haakformalisme. Met een concreet voorbeeld: aangezien mijn leven eindig is, en het aantal symbolen in de veronderstelling oneindig is, leef ik nooit lang genoeg om alle symbolen uit het repertorium individueel te kiezen. Om de aandacht te richten: er zijn 7 miljard mensen op de wereld en ze sluiten elkaar uit. Niemand zal ontkennen dat ik elke willekeurig gekozen mens zou kunnen gaan opzoeken maar dat ik dat onmogelijk voor alle mensen kan doen. Hoewel het ondoenbaar is om elk symbool te kiezen (en dus waarde <> te geven), en dus de inbedding van het symbool te laten gebeuren, toch twijfelen we er niet aan dat dit in principe mogelijk is. Een oneindige keuzevrijheid is nog steeds een keuzevrijheid in het ervaren maar we kunnen er niet voor kiezen om de inbedding van elk te kiezen punten te laten gebeuren. Dit is in de taal van het haakformalisme wat bedoeld wordt met “in principe kunnen kiezen”. Een keuzevrijheid is kunnen kiezen voor sommige punten, minstens één punt dus (de betekenis van de klassieke ∃x), en dit geldt voor alle punten (een eerste betekenis van de klassieke ∀x), dus elk punt van de keuzevrijheid. Het betekent niet dat dit een keuze is om met één punt simultaan alle punten te kiezen (een tweede betekenis van de klassieke ∀x): aangezien alle punten elkaar zouden kunnen uitsluiten kan dit dus niet. Met het voorbeeld van de 7 miljard mensen (die elkaar uitsluiten) wordt dit duidelijk.

Stel nu dat het aantal symbolen “onaftelbaar oneindig” is. We kunnen nu geloven dat we de keuzevrijheid hebben voor sommige punten maar nu kunnen we niet meer zeggen dat dit geldt voor elk punt van de keuzevrijheid, dit is de betekenis van onaftelbaarheid, begrip dat ontstaan is in het getallendomein en de meest primitieve actie in dat domein benoemt: een individueel punt kan ik niet meer kiezen. Het betekent uiteraard ook niet dat dit een keuze is voor alle punten. Merk op dat we toch kunnen spreken van die punten (en ze dus een symbool kunnen krijgen) en van onderverdelingen van die symbolen waarvan er een onaftelbaar oneindig aantal zijn. Het getal dat we daarvoor als symbool zouden gebruiken kennen we als een reëel getal: we kunnen wel spreken van alle getallen met een 5 op de 40ste plaats achter de komma van de decimale weergave (en een reëel getal kan dus groter of kleiner kan zijn dan een ander), maar het is onmogelijk om er sommige van aan te duiden of neer te schrijven (de onmogelijkheid is operationeel weer te geven door te zeggen dat de decimale weergave niet eindigt, niet volledig kan gekend worden, dus oneindig (lang) is). Dit is helemaal niet zo esoterisch als het klinkt wat we kunnen illustreren met een concreet voorbeeld: we gooien een dobbelsteen op een vlakke ondergrond en we voegen de onderscheiding “richting” toe aan zowel een van de ribben van de dobbelsteen als aan de vlakke ondergrond. We kunnen dan vaststellen dat telkens ik een dobbelsteen gooi op een vlakke ondergrond, de dobbelsteen in één bepaalde toestand terechtkomt met één bepaalde richting. We kunnen de richting evenmin kiezen als het aantal ogen zonder het proces van het gooien zelf met nog andere onderscheidingen in te perken (het proces nog meer te specificeren door bijvoorbeeld in de testcontext een aanslag te eisen waar de dobbelsteen telkens tegen geduwd wordt vooraleer de test beëindigd wordt). Telkens kunnen we de hoek h_i meten tussen de in de test gerealiseerde richting van de ribbe en een vast gekozen richting op de vlakke ondergrond. Het operationaliseren van een richting gaat dus over het meten van een hoek h_i. We merken dan dat alle hoeken die we kunnen bedenken wel eens kunnen voorkomen, elke hoek kan een uniek symbool krijgen door bijvoorbeeld de index i te gebruiken, maar daarenboven zal elke concrete hoek h_i (wat i ook moge zijn, bijvoorbeeld π) simultaan de onderscheiding “mogelijke hoek” of h realiseren. Hoewel de hoek π kan voorkomen en ik er dus een symbool voor kan verzinnen, zodanig ik sommige eigenschappen kan onderzoeken, kan ik er niet voor kiezen. In alle situaties kan ik een welbepaalde hoek meten maar het is onmogelijk om voor een bepaalde hoek te kiezen (operationeel betekent dit dus dat er geen procedure is die mij een bepaalde hoek oplevert). Dit kunnen we ook beschouwen als de grens van elk gekozen meetsysteem: ALTIJD is het resultaat benaderd, de hoek π kan voorkomen maar nooit gekozen worden, in een stochastisch proces is de waarschijnlijkheid van een op voorhand bepaald resultaat gelijk aan nul. Een formalisering waarin symbolen met elkaar gerelateerd worden zal altijd onvolledig zijn (Gödel). Dit is wat bestudeerd wordt in de constructivistische wiskunde waar men het keuzeaxioma moet invoeren om over te gaan van “∀x ∃y waarvoor geldt P(x,y)” naar “∀x ∃f waarvoor geldt P(x, f(x))”. In het haakformalisme is dit het inzicht van het enige axioma: er is geen verschil tussen het kiezen van iets en het laten gebeuren van iets anders en dit geven we de naam “actie”.

Wat dit betekent voor het getallen domein is dus formeel in het haakformalisme uit te drukken.