We hebben een Lorentz transformatie en een eigen-ij-tijd τ gedefinieerd die we konden opbouwen met een som van drie verhoudingen. We gaan nu het verband tonen tussen de eigen-ij-tijd en de eigenwaarde van een proces, en dus gaan we de eigen-ij-tijd gewoon een eigentijd noemen (in één woord dus).
De eigentijd is een functie van het tijdsinterval (n1+n2) of een stap en een willekeurig te kiezen referentiepunt n1. Dit is anders dan het klassieke verschil van tijden (ti-tj), getal dat we wel kunnen kunnen reconstrueren door er de vooronderstellingen van te expliciteren. De eigentijd is eigen is aan elke agens want elke toestand wordt door een andere agens vanuit een ander standpunt ervaren terwijl agentia toch zouden kunnen overeenkomen dat ze “hetzelfde” waarnemen. Het is duidelijk dat dit een abstractere interpretatie is dan de klassieke “eigen tijd”. Agentia verwijzen dus naar dezelfde toestanden die elkaar uitsluiten maar ze ervaren die in een onderscheidingen universum met meer of minder onderscheidingen (en dus met meer of minder potentiële toestanden). De getallen die de toestanden karakteriseren zullen dus groter of kleiner zijn en de Lorentz transformatie geeft aan hoe ze in elkaar kunnen getransformeerd worden.
Het kwadraat van de eigentijd (τ212=4n1n2) is het product van de getallen 2n1 en 2n2 die we interpreteren als de intensiteit van de toestanden T1 en T2 respectievelijk, maar het zijn dus ook de eenheden in een tralie met één onderscheiding meer. Het simultaan voorkomen van twee toestanden is de eenheid op atoombuur niveau in dat universum. De telbare eenheden zijn de andersduale haakuitdrukkingen op atoombuur niveau.
τ212 is niet anders dan 4n1n2=(n1+n2)2-(n1-n2)2 (de invariant van de Lorentz transformatie). De eigentijd is een functie van het tijdsinterval (n1+n2) en een processtap S maar ook van een willekeurig beginpunt en een processtap. Dit kan als volgt aangetoond worden: Stel S=n2-n1 dan is n2=S+n1 en n1+n2=S+2n1. Dan is 4n1n2=(n1+n2)2-(n1-n2)2=(n1+n2)2-S2=(S+2n1)2-S2=4n1(S+n1). Dus (τ12/2)2=n1(S+n1). Het kwadraat van de helft van de eigentijd is het simultaan voorkomen van twee getallen: n1 en (n1+S).
Dus het getal (n1+n2)2 is niet het kwadraat van de tijdsverschillen(!) van de speciale relativiteitstheorie maar het getal (n1-n2)2 is wel het kwadraat van het ruimteverschil. Indien we dat willen kunnen we de voorwaarden voor een verschil in tijd wel construeren. Noem het getal (n1+n2).1 nu a12 en (n1-n2).√-1 nu b12 dan is τ212 niet anders dan a122+b122 en we hebben een volledige connectie gemaakt met de geometrische interpretatie van de speciale relativiteitstheorie, met complexe getallen en de 1-splitsing van een laatst toegevoegde onderscheiding. Zo zullen we trouwens ook de relativistische eigen tijd uit de eigentijd construeren.
Dat tijdsverschillen effectief kunnen gebruikt worden kunnen we demonstreren door het onderzoeken van een willekeurig gekozen nulpunt in de tijd. We zullen dan aantonen dat de maximalisering van de eigen tijd (het principe van maximale veroudering met een relativistische eigen tijd die we afleiden van de eigentijd) niet anders is dan het uitdrukken van de waarneming door een agens-in-context in het hoogste onderscheidingen universum (voor die agens-in-context). Dan lijkt het al helemaal niet paradoxaal dat elke agens-in-context een eigen hoogste onderscheidingen universum hanteert met een eigen laatst toegevoegde onderscheiding.
Als er geldt dat n1=n2, en er dus geen procesevenwicht beschreven wordt met drie intervallen maar wel een “lokaal evenwicht” of “punt evenwicht” als grens van de waarnemingsresolutie, dan geldt dat τ212=4n12=4n22: de eigentijd is een keuze voor een getal (spoor van een meting) gelijk aan 2ni. Dit is het dubbel van een getal dat een aantal toestanden kan modelleren, dus dit is een getal in een onderscheidingen universum met één onderscheiding meer. Merk op dat er hierbij geen probleem is van commensurabiliteit. In dat geval is ook 1/γ12γ21=4n1n1/(n1+n1)2=1. Dat is ook het geval voor de eis dat een gemiddelde verhouding of snelheid kan gedefinieerd worden, namelijk de eis dat (n0+n2) = (n0+n1)(n1+n2) en dus n1=n2=½ met dus één bepaalde keuze van de ni die allemaal identiek zijn en verschillend van n0.
We merken op dat de verhouding γij/γji=nj/ni onafhankelijk is van eenheid waarin beide getallen worden voorgesteld, noem de eenheid e, dan is er geen verschil met enj/eni.
De verhouding γij/γji=nj/ni kunnen we interpreteren als (1-k)/(1+k), met k de eigenwaarde van een proces. De voorwaarde is dat voor elke ni en opeenvolgende nj geldt dat (ni-nj)/(ni+nj)=k. Deze verhouding kunnen we dan ook schrijven als (1-γij/γji)/(1+γij/γji)=k. Deze constante is niet anders dan de uitdrukking van negatieve feedback tussen twee buffers: neemt de teller toe, dan neemt de noemer af en omgekeerd (neemt de noemer toe dan neemt de teller af). Zo’n eenheid kunnen we bestuderen als eigenwaarde (een verhouding) die verandert bij elke stap. We hebben die eenheid dan genoteerd als kn=1/(1+(1±r)-n) met r de eigenwaarde van de verandering van de eenheid.
Het gevolg van de veronderstelling γij/γji=nj/ni=(1-k)/(1+k) is dat de eigentijd die gedefinieerd is als τ2ij=4ninj niet anders is dan 4γijγji=1-k2, of γijγji=(1/2)2-(k/2)2, een verschil van twee kwadraten.
Een verhouding (1-k)/(1+k) is altijd te schrijven als (1-m2) voor een m2=2k/(1+k).
Bewijs: 1-m2=1-2k/(1+k)=(1+k-2k)/(1+k)=(1-k)/(1+k)
Een verhouding (1-k)2/(1+k)2 is altijd te schrijven als (1-n2) voor een n2=(2k)2/(1+k)2 (dus n=2k/(1+k)=m2).
Bewijs: 1-n2=1-(2k)2/(1+k)2=((1+k)2-4k2)/(1+k)2=(1-k)2/(1+k)2
Deze laatste verhouding toont dat het onvermijdelijk is dat een verschil van kwadraten gelijk is aan een kwadraat, dat is de stelling van Pythagoras. Hieruit kunnen we altijd een hoek afleiden want 1=(1-k)2/(1+k)2+n2 en dit is het patroon van sin2(θ)+cos2(θ), dus (1-k)2/(1+k)2n2=tan2(θ) en hieruit volgt θ.
Een verhouding (1-k)/(1+k)=v is altijd te schrijven als (1-v)/(1+v)=k.
We tonen nu aan dat als we de verhouding γij/γji=nj/ni de betekenis te geven van een eigenwaarde k’ (een verhouding k’/1), dat dan onvermijdelijk moet gelden dat k’=1.
We vertrekken van γ12γ21=1/(1-v212)=(n1+n2)2/4n1n2 dus 1/γ12γ21=(1-v212)=4n1n2/(n1+n2)2=4(n2/n1)/(1+n2/n1)2. Stel nu n2/n1=k’ dan zien we (1-v212)=4k’/(1+k’)2. Hieruit volgt 1-4k’/(1+k’)2=v212 dus v212=(1-k’)2/(1+k’)2.
Maar als we uit deze laatste verhouding (1-v212) berekenen dan vinden we: 1-v212=1-(1-k’)2/(1+k’)2=4k’2/(1+k’)2=(2k’/(1+k’))2.
We hebben dus de gelijkheid 4k’2/(1+k’)2=(1-v212)=4k’/(1+k’)2 en dat kan enkel voor k’=1. Dus elk getal en elk volgend getal zijn aan elkaar gelijk.
Dit betekent dat de gemeten toename gelijk is aan nul ((ni-nj)=0, we meten een Δ=0).
Het gevolg van de veronderstelling γij/γji=nj/ni=k’=1 is dat de eigentijd die gedefinieerd is als τ2ij=4ninj niet anders is dan (2ni)2. Dit is het kwadraat van het getal dat overeenkomt met de stabiele ni in een universum met één onderscheiding meer, er is geen verandering enkel een voorstelling van hetzelfde in een groter universum.
Dit maakt ook duidelijk dat we de eerste veronderstelling, namelijk (ni-nj)/(ni+nj)=k kunnen interpreteren als e(ni-nj)=kne(ni+nj). Dus de toename (we meten een Δ) is de intensiteit kn(ni+nj) die bij elke stap verandert van een eenheid e van de toename.