Een laatst toegevoegde onderscheiding maakt de begrippen “associativiteit” en “invers” zinvol. Dit kunnen we modelleren in het haakformalisme als een creatief product met de laatst toegevoegde onderscheiding, creatief product dat als een 1-splitsing kan voorgesteld worden en zo hebben we de klassieke hypothese gemodelleerd. We hebben onderzocht hoe verschillende maar compatibele testopstellingen sporen (getallen) kunnen nalaten die een nieuwe entiteit construeren die maximaal gebruikt maakt van het bestaan (zinvol zijn) van een invers, met als prototype voorbeeld een snelheid als functie van een afstandsverschil ten opzichte van een tijdsverschil en waarbij het invers duidelijk te zien is in vt/x=1.

De uitbreiding naar andere en ook meerdere parameters ligt nu voor de hand, en aangezien elke parameter voldoet aan de wiskundige eisen van een eenheid en een nulpunt, kunnen we ons voorstellen dat sommige parameters met elkaar verbonden moeten zijn door een getal vergelijking naar analogie met vt/x=1. Deze getal vergelijking zal dus verschillende eenheden hebben die we herkennen als verschillende dimensies en die we kunnen voorstellen door x_i met i=1, 2,..., n voor n onderscheiden dimensies waarvan de metingen sporen achterlaten in de vorm van getallen die verwijzen naar de intensiteit van verschillen met een referentie.

Die getal vergelijkingen geven het verband tussen die intensiteiten, en hebben de algemene vorm x₁=f(x₂, x₃, …, x_n), vorm die uitdrukt dat de (intensiteit van de) parameter x₁ kan uitgedrukt worden als een getal functie van de (intensiteiten van de) andere parameters. Het prototype voorbeeld is een snelheid als functie van een afstandsverschil ten opzichte van een tijdsverschil.

Dit brengt onmiddellijk met zich mee dat we zouden kunnen spreken van primaire dimensies (afstandsverschil, tijdsverschil) en secundaire dimensies (snelheid). Het onderscheid herkennen we op het eerste zicht in het gebruik van het achtervoegsel “-verschil”, wat aangeeft dat aan sommige dimensies een meetproces kan verbonden worden, en aan andere niet, wat niet betekent dat het onmogelijk zou moeten zijn. Een voorbeeld hiervan is een kracht in Newton die zowel als secundaire als ook als primaire dimensie kan gemeten worden. De keuze van referentie voor de primaire dimensies zal dus ook de intensiteit van de sporen van de secundaire dimensies bepalen, en men moet dus een beslissing nemen voor elke parameter welke fractie van een getal aan de intensiteit, en welke fractie aan de referentie eenheid zal toegewezen worden. Dit heeft dan als onmiddellijk gevolg dat de verhouding van twee intensiteiten van dezelfde dimensie onafhankelijk zal zijn van de fractie die aan de referentie eenheid toegewezen werd. Delen we de eenheid met een factor C, dan moeten we de intensiteit met die factor C vermenigvuldigen, en vice versa. Diezelfde eis kunnen we dus stellen aan de secundaire dimensies (inderdaad, sommige zouden mogelijkerwijze in een meetproces kunnen gemeten worden en daarmee primaire dimensies kunnen zijn). Laten we dat de eis noemen van onafhankelijkheid van de intensiteit van de primaire eenheden. Dat heeft natuurlijk gevolgen voor de manier waarop ze samengesteld kunnen worden en dus voor de vorm van x₁=f(x₂, x₃, …, x_n). Dit betekent dat we die eis ook meer precies kunnen onderzoeken. Zo een onderzoek noemt men dimensie onderzoek.

Neem nu de intensiteit x_1,0 van een samengestelde eenheid als de volgende abstracte functie van meetwaarden: f(x_1,1, x_1,2, …, x_1,n). Een tweede intensiteit x_2,0 van dezelfde samengestelde eenheid is dan niet anders dan f(x_2,1, x_2,2, …, x_2,n). We kunnen nu veronderstellen dat we elke waarde van de primaire eenheid vermenigvuldigen met een waarde a_i^-1 zodanig dat we zowel de waarde x_1,i als x_2,i moeten vermenigvuldigen met a_i. We krijgen dan nieuwe intensiteiten van een samengestelde eenheid, namelijk f(a₁x_1,1, a₂x_1,2, …, a_nx_1,n) en f(a₁x_2,1, a₂x_2,2, …, a_nx_2,n). De eis van onafhankelijkheid van de intensiteit van de primaire eenheden voor de berekende secundaire eenheid betekent dat de verhoudingen van beide onafhankelijk is van de intensiteit van de primaire eenheden. Dus:

f(a₁x_1,1, a₂x_1,2, …, a_nx_1,n)/f(a₁x_2,1, a₂x_2,2, …, a_nx_2,n)=f(x_1,1, x_1,2, …, x_1,n)/f(x_2,1, x_2,2, …, x_2,n) en dat herschrijven we als:

f(a₁x_1,1, a₂x_1,2, …, a_nx_1,n)=f(a₁x_2,1, a₂x_2,2, …, a_nx_2,n){f(x_1,1, x_1,2, …, x_1,n)/f(x_2,1, x_2,2, …, x_2,n)}

Dit is een voorbeeld met getallen. Dus links en rechts van het gelijkheidsteken staan getallen.

We doen nu een stap in het abstracte wanneer we elke a_i als een variabele gaan beschouwen en dus veronderstellen dat deze relatie moet gelden onafhankelijk van onze keuze voor een concrete a_k. In de veronderstelling dat we de primaire meetprocessen zo gekozen hebben dat ze onafhankelijk van elkaar kunnen uitgevoerd worden (hun conjunctie is niet onmogelijk en elk realiseren ze een disjunctie die we “de gemeten entiteit” noemen), kunnen we ook elke variabele a_i onafhankelijk van de andere kiezen. Om dat duidelijk te maken zullen we die variabele aanduiden als α_i. We krijgen dus de vergelijking:

f(α₁x_1,1, α₂x_1,2, …, α_nx_1,n)=f(α₁x_2,1, α₂x_2,2, …, α_nx_2,n){f(x_1,1, x_1,2, …, x_1,n)/f(x_2,1, x_2,2, …, x_2,n)}

Dit is een wiskundig welgedefinieerde vergelijking in de variabelen α_i die we ook als volgt kunnen schrijven met K={f(x_1,1, x_1,2, …, x_1,n)/f(x_2,1, x_2,2, …, x_2,n)}, namelijk de constante waar de α_i geen rol spelen:

f(α₁x_1,1, α₂x_1,2, …, α_nx_1,n)=Kf(α₁x_2,1, α₂x_2,2, …, α_nx_2,n)

Hiervan nemen we de afgeleide naar α₁. Dat is dus een partiële afgeleide die we noteren als δf(..)/δα₁.

x_1,1δf(α₁x_1,1, α₂x_1,2, …, α_nx_1,n)/δα₁=x_2,1K δf(α₁x_2,1, α₂x_2,2, …, α_nx_2,n)/δα₁

Dit is dus:

x_1,1δf(α₁x_1,1, α₂x_1,2, …, α_nx_1,n)/δα₁={x_2,1δf(α₁x_2,1, α₂x_2,2, …, α_nx_2,n)/δα₁}{f(x_1,1, x_1,2, …, x_1,n)/f(x_2,1, x_2,2, …, x_2,n)}

{x_1,1δf(α₁x_1,1, α₂x_1,2, …, α_nx_1,n)/δα₁}/{f(x_1,1, x_1,2, …, x_1,n)}={x_2,1δf(α₁x_2,1, α₂x_2,2, …, α_nx_2,n)/δα₁}/{f(x_2,1, x_2,2, …, x_2,n)}

Wanneer we nu alle α_i=1 kiezen, wat we altijd kunnen, dan geldt dat de volgende verhoudingen, aan elkaar gelijk zijn, verhoudingen waarin enkel nog getallen voorkomen:

{x_1,1δf(x_1,1, x_1,2, …, x_1,n)/δα₁}/{f(x_1,1, x_1,2, …, x_1,n)}={x_2,1δf(x_2,1, x_2,2, …, x_2,n)/δα₁}/{f(x_2,1, x_2,2, …, x_2,n)}

Dat geldt dus voor elke afgeleide naar α_i dus dat geldt voor elke verhouding van de partiële afgeleide van f (die we noteren als δf(x_1,1, x_1,2, …, x_1,n)/δα_i) tot de functie f (die we noteren als f(x_i,1, x_i,2, …, x_i,n)).

Dat betekent dus dat f de vorm moet hebben f(x_i,1, x_i,2, …, x_i,n)=Cα₁^c1α₂^c2...α_n^cn waarbij C en de c_n constanten zijn.

Dus de klassieke hypothese heeft als gevolg dat we variabelen vinden (secundaire variabelen genoemd) die het product zijn van een constante met het product van andere variabelen (primaire variabelen) tot een willekeurige constante macht. Dit geeft dus de relatie tot de verschillende dimensies die aan eenheden kunnen toegekend worden en het gevolg zijn van het simultaan kunnen uitvoeren van meerdere (primaire) testopstellingen die aanleiding geven tot sporen die getallen zijn. Dit geeft ook aan dat de schaal die we toekennen aan gemeten eenheden (de resolutie of het verschil tussen twee metingen, de inherente grens) een grote rol zal spelen in de getallen die toegekend kunnen worden aan intensiteiten, en dat er dus ook een onderzoek moet volgen naar schaal relativiteit, schaal effecten en machtsfuncties. Dit laatste heeft dan ook het gevolg dat we de machten c_n kunnen begrijpen als tijdstappen waarna een nieuwe eenheid relevant wordt en stabiel blijft.