We kunnen veronderstellen dat de specifieke combinatie van n, ε en κ een baan B doorloopt in een toestandsruimte die beschreven kan worden door de betrokken variabelen n, ε en κ en de toestanden (conjunctie van een n, ε en κ) beschrijft die waargenomen kunnen worden in het onbekende maar grootste onderscheidingen universum. Dat zijn dus voor een punt een veranderende (dit is de betekenis van n) x en een veranderende (dit is de betekenis van n) eigenwaarde k, dat zijn dus voor die cirkel zowel een veranderende x, een veranderende y (waarbij de relatie (x²+y²) de entiteit beschrijft niet verandert in de loop van n) en de veranderende (dit is de betekenis van n) eigenwaarde k. We veronderstellen dat we met die specifieke combinatie een veranderende (dit is de betekenis van n) entiteit modelleren en daartoe veronderstellen we nu dat de baan een onbekende functie B(ε, κ) is van ε en κ, waarbij ε staat voor (x-x₀) of (x²+y²-a) enz... allemaal mogelijke entiteiten die mogelijkerwijze bestaan uit deelaspecten. De verandering gebeurt en dit genereert een n, de enige onafhankelijke veranderlijke, inclusief de onvermijdelijke laatste onderscheiding waarvan we moeten veronderstellen dat deze niet kan gekozen worden.

Na één stap in de tijd, dus “op tijdstip 1”, wordt B(ε(1+κ)) waargenomen, dus B(ε+εκ). We kunnen de intensiteit B(ε+εκ) niet berekenen zoals we in eerste benadering gedaan hebben omdat we noch ε noch κ kennen (en dus bijvoorbeeld niet kunnen veronderstellen dat ze constant zijn). We hebben echter wel enkel met entiteiten te doen en deze entiteiten zijn telbaar. We veronderstellen nu dat we te doen hebben met een laatst toegevoegde onderscheiding, dus dat we maar éénmaal naar die kunnen afleiden, dus dat maar één benadering voldoende is na één stap in de tijd, dat betekent dat we uitgaan van de veronderstelling dat B(ε+εκ)=B(ε)+(δB(ε)/δε)εκ. We kunnen dat ook als volgt uitdrukken: de klassieke veronderstelling is voldoende dat we B(ε, κ) kunnen benaderen door zijn Taylor reeks ontwikkeling in de partiële afgeleiden naar ε met maar één afgeleide. Noteer dat dit niet zomaar de benadering is van een wiskundige techniek.

We laten ons nu inspireren door Gell-Mann-Levy en Laurent Nottale. Zij merkten op dat we κ kunnen interpreteren als een “dilatatie” van de eenheid of schaal ε en dat ε=e^lnε dus δε/δlnε=e^lnε=ε en dus (δB(ε)/δε)ε=(δB(ε)/δε)(δε/δlnε) en met de kettingregel is dit δB(ε)/δlnε. De kettingregel kan enkel verantwoord worden als alle betrokken termen elkaar uitsluiten, waaruit we moeten besluiten dat dit voor ε in de klassieke benadering impliciet aangenomen wordt. Dus B(ε+εκ)=B(ε)+(δB(ε)/δε)εκ=B(ε)+κδB(ε)/δlnε. Dan introduceren ze een dilatatie operator D en stellen dat B(ε)+(δB(ε)/δε)εκ=B(ε)(1+Dκ). Dit definieert een D als een operator op B(ε). Deze is gelijk aan (δ/δε)ε agerend op B(ε) om (δB(ε)/δε)ε te vormen. Hieruit volgt dat de dilatatie operator D niet anders is dan (δ/δlnε) die ageert op de onbekende functie B(ε) waarin ε als variabele genomen wordt. Dus B(ε, κ) is een functie die niet alleen van de dilatatie κ afhangt maar ook van de schaal ε.

Zo vinden we dus aansluiting met de inzichten uit de recente theorie van “schaal relativiteit”. Dit betekent dat we ook de voorwaarden hiervoor helder hebben kunnen afleiden. Deze zijn: één stap in de tijd en dus impliciet één verschil tussen twee elkaar uitsluitende toestanden, wat exact de voorwaarde is voor het begrip “processnelheid”. We hebben aangetoond dat elke verhouding aanleiding geeft tot relativistische waarnemingen die gemodelleerd kunnen worden door een Lorentz transformatie en dus geldt dat ook voor ε, de meeteenheid, en κ, de processnelheid. Schaal relativiteit is gewoon een gevolg van dat inzicht.

Dit sluit dan mooi aan met het uitgangspunt van de theorie van schaal relativiteit die expliciet wil vertrekken van de vooronderstelling dat de ruimte-tijd schaal waarbinnen een systeem kan geobserveerd worden of kan beïnvloed worden eveneens een karakteristiek is van de toestand waarin een systeem zich bevindt en dus vanuit elke toestand anders zal waargenomen worden. Het is dus geen eigenschap van een meetcontext maar een eigenschap van de geconstrueerde werkelijkheid zelf die agens-in-context afhankelijk is (en dus afhankelijk van een n). In de theorie van schaal relativiteit zoekt men de invarianten voor de “toestand van de schaal van het referentie systeem”, namelijk de intervallen die onderscheiden kunnen worden (die we als intervallen uit een bepaald onderscheidingen universum moeten interpreteren) en die irrelevant zijn voor wat er gebeurt en waargenomen kan worden dank zij dat referentie systeem. Dit leidt tot een fractaal structuur, wat ons, vanuit de inzichten in het haakformalisme, natuurlijk niet verbaast.