In de verzamelingenleer onderzoekt men onder welke voorwaarden verzamelingen kunnen ontstaan en probleemloos gebruikt worden. Aangezien het begrip “verzameling” niet kan losgekoppeld worden van het begrip “element van”, is een studie van de voorwaarden waaronder deelverzamelingen kunnen ontstaan en probleemloos gebruikt worden dus essentieel.

Voor deelverzamelingen kunnen we een specificatie construeren die de verzameling “genereert”, dus een karakteristiek waaraan alle punten van de verzameling voldoen. De minimale specificatie is de specificatie dat we punten aanduiden die een element zijn van de verzameling. We kunnen de specificatie noteren als {x_i, ...}: de verzameling van de x die voldoen aan... waar op de plaats van de drie puntjes een welgevormde haakuitdrukking staat. Hiermee gebruiken we de standaard conventie om een verzameling aan te duiden. Deze standaard conventie is in het haakformalisme overbodig aangezien een welgevormde haakuitdrukking immers op een volledige en ondubbelzinnige wijze het bedoelde symbolenrepertorium en de onderlinge relaties van deze symbolen weergeeft en een volledige “indien... dan...” constructie weergeeft.

We kunnen nu twee soorten specificaties onderscheiden, gebaseerd op het gegeven dat elke welgevormde haakuitdrukking a zowel als supremum als infimum kan beschouwd worden, we zullen daarbij a zowel als een model als als een context kunnen interpreteren.

Een supremum als een model voor...

Neem als specificatie de welgevormde uitdrukking x_i<a>. In conventionele notatie: {x_i, x_i<a>}. Dus {x_i, x_i<a>} is een verzameling van punten uit een bepaald repertorium en fijner dan a. Merk op dat deze verzameling in het ervaren zelf niet kan onderscheiden worden van {x_i, x_i<a>↔<>}, of ook {x_i, <x_i<a>>↔<<>>}wat de gekozen richting in de tralie en de grens van de verzameling duidelijk maakt (er gebeurt immers nog steeds ook iets anders).

Merk op dat {x_i, x_i<a>} niet kan onderscheiden worden van {<x>_i, <x>_i<a>} aangezien er geen absoluut standpunt is voor de naam van een onderscheiding.

We specificeren elementen van de verzameling die fijner zijn dan het supremum a, onder andere dus ook het element <>. Als a ervaren is moet er minstens één x_i ervaren zijn (∃x_i), en we ervaren altijd iets.

Volledig gelijkaardig zouden we de volgende verzameling kunnen specificeren: {x_i, <<x>_i><a>}. We specificeren hiermee eveneens elementen van de verzameling die fijner zijn dan het supremum a, onder andere dus ook het element <>. Als a ervaren is moeten alle x_i ervaren zijn (∀x_i), en we ervaren altijd iets.

{x_i, x_i<a>}, en volledig analoog {x_i, <<x>_i><a>}, een verzameling van punten fijner dan a, komt overeen met het begrip “model voor a” en we zullen dat dan ook gebruiken als de formele definitie van een model. Elke verzameling kan een model zijn voor <>, want {x_i, x_i<<>>}. Merk op dat deze verzameling in het ervaren zelf niet kan onderscheiden worden van: {x_i, x_i↔<>}

Er geldt: {x_i, x_i<ab>} ⊂ {x_i, x_i<a>}

Inderdaad, de specificatie van de rechter verzameling is fijner dan deze van de linker verzameling.

Bewijs

<x_i<ab>>x_i<a>

<<ab>>x_i<a>

abx_i<a>

<>

Merk de “omkering op”: ab is fijner dan a, maar een model voor ab is ruimer is dan een model voor a.

Een infimum als context voor...

We kunnen een specificatie {x_i, ...} ook noteren als {x_i, <x_i>a} de verzameling van punten ruimer dan a. De specificatie is hier de welgevormde uitdrukking <x_i>a. Merk op dat deze verzameling in het ervaren zelf niet kan onderscheiden worden van: {x_i, <x_i>a↔<>}, en dus ook {x_i, <<x_i>a>↔<<>>}, wat de gekozen richting in de tralie en de grens van de verzameling duidelijk maakt.

Merk op dat {x_i, <x_i>a} niet kan onderscheiden worden van {<x_i>, <<x>_i>a} aangezien er geen absoluut standpunt is voor de naam van een onderscheiding.

We specificeren elementen van de verzameling die ruimer zijn dan het infimum a, onder andere dus ook <<>>. Als a gebeurt moet ook elk element van de verzameling gebeuren (∀x_i), en er gebeurt ook altijd iets willekeurig. Volledig analoog kunnen we dit ook zeggen voor {x_i, <x>_ia} waarbij er minstens één element (∃x_i) van de verzameling moet gebeuren.

{x_i, <x_i>a}, de verzameling van punten ruimer dan a, komt overeen met het begrip “context voor a” en we zullen dat dan ook gebruiken als de formele definitie van een context. Gelijk welke verzameling, geconstrueerd uit gelijk welk repertorium van symbolen kan als context voor het ervaren zelf beschouwd worden, immers als we a vervangen door <> kunnen we de verzameling noteren als {x_i, <>}.

We zijn niet beperkt in onze creativiteit om contexten te creëren.

Voorbeelden

Een telbare verzameling

Een verzameling van n onderscheidingen kunnen we noteren als {x_n, <x_n><<x>_n>}. Merk op dat deze notering niet kan onderscheiden worden van {<x>_n, <x_n><<x>_n>}. Deze verzameling drukt uit dat de n onderscheidingen dezelfde waarde hebben, wat die ook moge zijn (we hebben aangetoond dat <x_n><<x>_n> niet kan onderscheiden worden van <<<x₁•x_i+1>>_i> voor i van 1 tot n-1). De elementen van de verzameling zijn dus van een bepaalde soort, en zijn dus entiteiten en entiteiten kunnen geteld worden. We onderzochten elders de symmetrieën die daar aan de basis van liggen. Entiteiten onderscheiden zich doordat hun karakteriserende onderscheidingen dezelfde waarde hebben. Zo kan het begrip “multiset” in het haakformalisme gemodelleerd worden wanneer men gaat spreken over soorten (onderscheidingen) en de multipliciteit van soorten (onderscheidingen) in de verzameling.

In het haakformalisme kunnen we dus twee verzamelingen-vormen onderscheiden die een telbare verzameling kunnen impliceren, maar zelf niet telbaar zijn.

1. “In het ervaren” is de telbare verzameling <x_n><<x>_n> simultaan gerealiseerd met het realiseren van <x_n> of het realiseren van <<x>_n>. Deze “of” is zowel de logische OR als de logische XOR. Beide laatste niet telbare verzamelingen kunnen door één patroon voorgesteld worden aangezien er geen absoluut standpunt is voor de naam van een onderscheiding, we kiezen voor <<x>_n>.

2. “In het laten gebeuren” gebeurt de telbare verzameling <<x_n><<x>_n>> simultaan met het laten gebeuren van x_n en het laten gebeuren van <x>_n. Deze “en” is zowel de logische AND als de logische XNOR. Beide laatste niet telbare verzamelingen kunnen door één patroon voorgesteld worden aangezien er geen absoluut standpunt is voor de naam van een onderscheiding, we kiezen voor x_n.

Als we deze patronen onderzoeken, onderzoeken we dus simultaan ook telbare verzamelingen.

Kleene operator

In de informatica is de Kleene operator op een verzameling gekend. Dit is een unaire operator die vanuit een verzameling een nieuwe verzameling bouwt, namelijk de kleinste superverzameling die de lege verzameling bevat en alle concatenaties van symbolen uit de eerste verzameling waarbij symbolen ook meerdere malen kunnen voorkomen. Dit kunnen we in het haakformalisme bijvoorbeeld realiseren door de formele nevenschikking van symbolen die simultaan de “soort” van symbolen realiseren, soort die niet als symbool vermeld wordt in het repertorium. Het repertorium van symbolen blijkt dan een monoïde te zijn met de binaire operatie “nevenschikking” en het eenheidselement <<>>.

Conclusie

Om de hele verzamelingenleer te reconstrueren in het haakformalisme hebben we dus aan twee vormen genoeg: <<x>_n> en x_n. Zij kunnen niet los gezien worden van het ervaren en het gebeuren die de basis vormen van het haakformalisme. Zij kunnen niet los gezien worden van elkaar (aangezien ze door simultaneïteit met elkaar verbonden zijn: <<x>_n> realiseren realiseert x_n en x_n laten gebeuren laat <<x>_n> gebeuren). De verschillen tussen beide vormen kunnen we terugvinden in het taalgebruik van de kwantificering.

Beide vormen verwijzen naar een welbepaald onderscheidingen universum en een welgevormde verzamelingstheoretische uitdrukking zal dus een relatie weergeven tussen onderscheidingen universa, waarbij het haakformalisme toelaat om uit te drukken dat sommige relaties ofwel altijd ervaren zijn, ofwel potentieel zijn, ofwel onmogelijk te ervaren zijn (enkel kunnen gebeuren).