Het begrip “verzameling van” (iets is een verzameling van iets) kan niet los gezien worden van het begrip “element van” (iets is een element van iets), immers: bij het begrip “verzameling” verwachten we dat elementen (of het ontbreken ervan) relevant is en bij het begrip “element” verwachten we iets dat deze verzamelt (of niet). Dit maakt onmiddellijk duidelijk dat achter deze begrippen een relatie schuilgaat en we zullen deze relatie in het haakformalisme expliciteren.

De relatie van simultaneïteit, de centrale relatie in het haakformalisme is alles wat we nodig hebben om de relatie van "element zijn van ..." (en dus ook het verzameling begrip) te vertalen in het haakformalisme.

Neem een willekeurige verzameling {a₁, a₂, ..., a_k, ...}.

Klaarblijkelijk kan deze instructie een verzameling genereren waarbij we de vrije keuze hebben tussen de elementen ervan. De keuze om een individuele a_m te ervaren maakt de keuzevrijheid van de elementen van de verzameling ervaren. We kunnen deze verzameling dus voorstellen door de welgevormde patroonnotatie a_i. De gekrulde haken zijn dus overbodig.

De instructie “neem een willekeurige verzameling {a₁, a₂, ..., a_k, ...}” kan ook verzamelingen genereren met elementen waartussen geen vrije keuze bestaat. Om de verzameling te ervaren moeten we alle elementen ervaren. We kunnen deze voorstellen door de welgevormde notatie <<a>_i> die we eveneens herkennen als een patroonnotatie. De gekrulde haken zijn dus overbodig.

Zo kunnen we ook uitgaan van alle mogelijke andere relaties tussen de elementen van de verzameling, en we kunnen dus elke welgevormde haakuitdrukking beschouwen als de specificatie van een verzameling elementen die in het ervaren kunnen gegrond worden. De voorstelling van een verzameling zal hoe dan ook gebruik moeten maken van een repertorium aan symbolen of sporen. Indien het vereist is dat een verzameling te gronden moet zijn in de werkelijkheid dan moet de structuur van het repertorium van symbolen met het haakformalisme te onderzoeken zijn.

Aangezien we elke welgevormde haakuitdrukking kunnen opbouwen door enkel atomen te gebruiken zullen we ons van de patroonnotatie voor atomen bedienen. Door het duale van het haakformalisme is het noodzakelijk dat we de vormen a_i en <<a>_i> onderscheiden (met als referentiepunt het ervaren) en de vormen <a_i> en <a>_i onderscheiden (met als referentiepunt het gebeuren).

We zullen nu een partiële orderelatie definiëren tussen de verzameling en een punt: (a_i, a_k) en deze noteren als a_k ∈ a_i dan en slechts dan wanneer a_i fijner is dan a_k (dus a_i<a_k> ↔ <>). Als we het element (één entiteit) a_k van de verzameling a_i ervaren dan moeten we ook de verzameling a_i ervaren, en als we de verzameling a_i laten gebeuren dan moeten we elk element a_k van de verzameling a_i laten gebeuren. Door het duale kan de actualiteit van de relatie van “element van” dus ook door <a>_i<<a>_k> ↔ <> voorgesteld worden.

De volgende conventie is dan ook volledig compatibel met de haak in het haakformalisme: ¬(a_k ∈ a_i ) wordt genoteerd als a_k ∉ a_i en komt dus in het haakformalisme overeen met <a_i<a_k>>.

Noteer: in het begin van de twintigste eeuw legde Bertrand Russell de vinger op een paradox bij het ondoordacht gebruik van verzamelingen en deelverzamelingen. Sindsdien is men gaan spreken van een klasse, een soort repertorium (in plaats van verzameling) waar niet alle elementen van kunnen gekozen worden. In het haakformalisme begrijpen we dat als het inzicht van het enige axioma: als men kiest iets te ervaren zal ook altijd iets anders gebeuren (dat dus niet te kiezen is). In het haakformalisme is het daarenboven heel helder aan te tonen waartoe dit leidt en dit heeft alles te maken met het begrip “deelverzameling”. We zullen inderdaad aantonen dat het begrip “deelverzameling” niet zonder bijkomende veronderstellingen in het haakformalisme kan teruggevonden worden en dank zij het haakformalisme op een transparante manier kan onderzocht worden.